Implicit Vs. Explicit Numerical Methods

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Implicit Vs. Explicit Numerical Methods

Numerical solution schemes are often referred to as being explicit or implicit. When a direct computation of the dependent variables can be made in terms of known quantities, the computation is said to be explicit. When the dependent variables are defined by coupled sets of equations, and either a matrix or iterative technique is needed to obtain the solution, the numerical method is said to be implicit.

수치 해법은 종종 외연적이거나 내재적이라고합니다. 종속 변수의 직접 계산이 알려진 양과 관련하여 이루어질 수있는 경우, 계산은 외연적이라고합니다. 종속 변수가 연결된 방정식 세트에 의해 정의되고 솔루션을 얻기 위해 행렬 또는 반복 기술이 필요하면 수치 방법은 내재적이라고합니다.

In computational fluid dynamics, the governing equations are nonlinear, and the number of unknown variables is typically very large. Under these conditions implicitly formulated equations are almost always solved using iterative techniques.

전산 유체 역학에서 지배 방정식은 비선형이며 미지 변수의 수는 대개 매우 큽니다. 이러한 조건에서 내재적으로 공식화 된 방정식은 거의 모든 경우 반복 기법을 사용하여 해결됩니다

Iterations are used to advance a solution through a sequence of steps from a starting state to a final, converged state. This is true whether the solution sought is either one step in a transient problem or a final steady-state result. In either case, the iteration steps resemble a time-like process. Of course, the iteration steps usually do not correspond to a realistic time-dependent behavior. In fact, it is this aspect of an implicit method that makes it attractive for steady-state computations, because the number of iterations required for a solution is often much smaller than the number of time steps needed for an accurate transient that asymptotically approaches steady conditions.

반복은 시작 상태에서 최종 수렴 상태로 일련의 단계를 통해 솔루션을 향상시키는 데 사용됩니다. 추구하는 솔루션이 일시적인 문제의 한 단계이거나 최종 정상 상태 결과 중 하나인지 여부에 상관없이 사실입니다. 두 경우 모두 반복 단계는 시간과 비슷한 프로세스와 유사합니다. 물론 반복 단계는 대개 실제 시간 의존적 인 동작과 일치하지 않습니다. 실제로, 솔루션에 필요한 반복 횟수가 점진적으로 정상 조건에 접근하는 정확한 과도 상태에 필요한 시간 단계 수보다 훨씬 적기 때문에 정상 상태 계산에 매력을주는 것은 암시 적 방법의이 측면입니다 .

On the other hand, it is also this “distorted transient” feature that leads to the question, “What are the consequences of using an implicit versus an explicit solution method for a time-dependent problem?” The answer to this question has two parts. The first part has to do with numerical stability and the second part with numerical accuracy.

반면에 “시간 의존적 문제에 대해 내재적 솔루션 대 외연적인 솔루션 방법을 사용했을 때의 결과는 무엇입니까?”라는 질문에 이르는 “왜곡 된 일시적인”기능이기도합니다.이 질문에 대한 대답은 두 부분으로 나뉩니다 . 첫 번째 부분은 수치 안정성과 관련이 있으며 두 번째 부분은 수치 정확도와 관련이 있습니다.

The Stability Issue

The principal reason for using implicit solution methods, which are more complex to program and require more computational effort in each solution step, is to allow for large time-step sizes. A simple qualitative model will help to illustrate how this works. Let Q be a quantity whose value Qn+1 we want to compute at time t=(n+1)dt, in terms of its value at time t=ndt, i.e., Qn+1=Qn+dtS, where S is the rate of change in Q.

implicit 해법은 더 복잡한 프로그래밍을 요하고 각 계산 단계에서 더 많은 계산량이 필요하지만이를 사용하는 가장 큰 이유는 큰 크기의 시간 단계를 설정 할 수 있다는 점에 있습니다. 여기에서는 간단한 정성 모델을 이용하여 그 구조를 설명합니다. Q를있는 양으로, 시간 t = ndt의 Q 값에 대해 시간 t = (n + 1) dt의 값 Qn + 1을 계산합니다. 즉 Qn + 1 = Qn + dtS로 S를 Q의 변화율합니다.

In an explicit numerical method S would be evaluated in terms of known quantities at the previous time step n. An implicit method, in contrast, would evaluate some or all of the terms in S in terms of unknown quantities at the new time step n+1. Since new quantities appear on both the left and right side of the Q-equation, it is said to be an implicit definition of the new n+1 values. Usually a matrix or iterative solution must be used to compute the new quantities.

explicit 수치 법에서는 S는 이전 시간 단계 n에서 알려진 양에 대해 평가됩니다. 이에 대해 implicit 해법은 S의 일부 또는 모든 항목이 새로운 시간 단계 n + 1에서 알 수없는 양에 대해 평가됩니다. Q 식의 우변과 좌변 모두에 새로운 양이 출현하는 새로운 n + 1 값의 implicit 정의라고 할 수 있습니다. 일반적으로 이러한 새로운 양을 계산하기 위해 행렬 분해 또는 반복 계산 솔루션이 필요합니다.

Numerical stability has to do with the behavior of the solution as the time-step dt is increased. If the solution remains well behaved for arbitrarily large values of the time step, the method is said to be unconditionally stable. This situation never occurs with explicit methods, which are always conditionally stable. It is easy to see this by dividing the Q-equation by dt and then letting dt approach infinity. In this limit there are no n+1 terms remaining in the equation so no solution exists for Qn+1, indicating that there must be some limit on the size of the time step for there to be a solution.

수치 안정성은 시간 단계 dt를 증가 시켰을 때의 솔루션의 행동에 관련합니다. 어떤 큰 값을 설정 한 시간 단계에 대해서도 해석이 양호한 거동을 나타내는 것이라면, 그 해법은 무조건 안정되어 있다고 말할 수 있습니다. 이 상황은 explicit 해법은 볼 수없고, 항상 조건으로 안정적입니다. Q 식을 dt로 나눈하여 dt가 무한대에 가까워 지도록 하면이를 쉽게 확인할 수 있습니다. 이 제한 내에서 식에 남아있는 n + 1 항은 일절없고, Qn + 1에 존재하는 솔루션도 없습니다. 즉, 솔루션을 얻으려면 시간 단계의 크기에 어떤 제한을 줄 필요가있는 것으로 나타납니다.

In an implicit formulation, a solution for the unknowns at new time step n+1 may be obtained for any size time step. Of course, the solution for very large times may not be realistic unless the implicit formulation has been carefully constructed.

implicit 공식화는 새로운 시간 단계 n + 1에서 알 수없는 수량에 대한 해답은 어떤 시간 단계도 요청할 수 있습니다. 당연히 큰 시간 단계에서 얻어진 해는 implicit 공식화을 신중하게 한 경우를 제외하고 현실적이지 않을 수 있습니다.

A typical iterative solution for Qn+1 is constructed by computing the k+1 iterate in terms of the kth iterate value, where the first iterate is taken to be equal to Qn. The equation for Qk+1 is often a Newton’s approximation (or similar approximation) having the form Qk+1=Qk+A(Qn-Qk+dtSk). In this expression A is a relaxation factor, and Sk is an approximation to S evaluated in terms of the kth iterate. If A is chosen properly, successive iterates will eventually converge to Qn+1.

Qn + 1을 요구하는 전형적인 반복 계산을 세우려면 k 번째 반복 값에서 k + 1 번째 반복을 계산합니다. 여기서 첫 번째 반복이 Qn와 동일한 것으로합니다. Qk + 1 식은 종종 Qk + 1 = Qk + A (Qn-Qk + dtSk) 형식의 뉴턴 근사 (또는 유사한 근사법)입니다. 이 식에서, A는 완화 계수, Sk는 k 번째 반복에 대해 평가 된 S의 근사치입니다. A를 적절하게 선택하면 이후의 반복으로 결국 Qn + 1에 수렴합니다.

The relaxation coefficient A must have the form A=1/(1+Cdt) in order to insure the proper limits at small and large values of dt. That is, at very small time-step sizes the explicit equation is recovered, while at very large time-step sizes the equation has a limiting value independent of dt. The quantity C must be a positive coefficient characterizing all the terms in the original equation (i.e., in S) that have been approximated implicitly. For example, if Q is a velocity component governed by a momentum equation with implicit viscous terms, then C would be proportional to the kinematic viscosity divided by the square of the grid size.

dt가 작은 값과 큰 값의 경우에 적절한 제한을 갖도록 완화 계수 A는 A = 1 / (1 + Cdt) 형식을 취할 필요가 있습니다. 즉, 매우 작은 크기의 시간 단계에서 explicit 방정식은 회복되지만 매우 큰 크기의 타임 단계에서는 식은 dt에 의존하지 않는 제한된 값이 주어집니다. 양 C는 원래 식에서 음으로 근사 된 모든 항목 (즉, S 내)의 특성을 정의하는 양의 계수입니다. 예를 들어, Q가 implicitly 인 점성 항을 따른 운동량 방정식에 의해 지배되는 속도 성분 일 때, C는 동점도를 격자 크기의 제곱으로 나눈 값에 비례합니다.

The Accuracy Issue

When dt is sufficiently small only one iteration is necessary for convergence, which leads to Qn+1=Qn+dt/(1+Cdt)Sn. This shows that the implicit formulation adds a smaller change to Q in one time step than would occur in an explicit method because of the under-relaxation factor A=1/(1+Cdt) that multiplies the time step.

dt가 충분히 작은 경우 수렴은 단일 반복 계산만을 요하고 Qn + 1 = Qn + dt / (1 + Cdt) Sn입니다. 이것은 시간 단계에 곱 부족 완화 계수 A = 1 / (1 + Cdt)에 의해 양으로 해법보다 implicit 공식화 것이 하나의 타임 단계 기준 Q에 의해 작은 변화가 적용 표시됩니다.

As a general rule, it can be shown that the condition Cdt≤1 is very nearly equivalent to the stability condition for an explicit approximation. Another general rule is that the time-step sizes for explicit stability and accuracy are usually equivalent. Thus, when Cdt>1, an explicit method would be unstable, but implicit methods simply under-relax more to maintain the stability of the iterative solution. It is this increased damping, with the increase in time-step size, which produces inaccuracies in transient behavior.

원칙적으로 조건 Cdt≤1은 explicit 근사에 대한 안정 조건과 거의 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 또한 또 다른 원칙적으로 양으로 해법의 안정성과 정확도를 얻기위한 시간 단계 크기는 일반적으로 동일합니다. 따라서 Cdt> 1 일 때, explicit 해법은 불안정 해지고 있지만, implicit 해법은 반복 계산에 의한 해석의 안정성을 유지하기 위해 단순히 부족 완화 계수가 작고 조정됩니다. 이 시간 단계 크기의 증가에 따라 증가하는 감쇠가 비정상 행동의 부정확성을 제공합니다.

For an implicit method to have minimal under-relaxation (i.e., little damping), a time-step size much smaller than the stable, explicit value would have to be used. In fact, according to the above analysis, at the explicit stability limit Cdt=1 the implicit approximation still has a significant under-relaxation factor of A=1/2. To reduce this under-relaxation damping the time-step size would have to be much smaller than the explicit stability limit, but this makes little sense since an implicit method is not required.

implicit 해법 최소의 부족 완화 (즉, 작은 감쇠)가 주어진다는 안정된 explicit 해법 값보다 크기가 훨씬 작은 시간 단계를 사용해야합니다. 사실, 위의 분석을 통해 explicit 해법의 안정성 한계 Cdt = 1에서 implicit 근사 아직 A = 1 / 2라는 큰 부족 완화 계수를 가지고 있습니다. 이 부족 완화 감쇠를 줄이려는 explicit 해법의 안정성 한계보다 훨씬 작은 크기의 시간 단계가 필요하지만 implicit 해법은 요구되지 않기 때문에 거의 의미가 없습니다.

A Physical Example

An elementary physical problem involving the propagation of a pressure wave can be used to illustrate the differences between implicit and explicit methods. Imagine an increase in pressure is applied to one end of an organ pipe that is closed at the opposite end. We know that a pressure wave will move down the pipe and be reflected at the closed end. Given enough time, pressure waves will travel back and forth in the pipe many times before the pressure distribution settles down to the constant value applied at the open end.

압력 파의 전파를 수반하는 간단한 물리 현상 문제를 사용하여 implicit 해법과 explicit 해법의 차이를 보여줍니다. 개방 단부에서 압력이 가해지고 반대쪽은 함구쪽에 있기 오르간 파이프를 예로 들어 있습니다. 압력 파가 파이프를 통과하여 함구 단에서 반사하는 것을 알 수 있습니다. 충분한 시간이 주어지면 압력 파가 파이프 내를 여러 번 왕복하고 결국 압력 분포는 개구부에 가해지는 정치에 안정됩니다.

If only steady-state results are wanted, then an implicit solution scheme with lots of damping of the pressure waves should be used so that steady conditions will be reached as quickly as possible. In this case the damping incorporated in the implicit iteration method (i.e., the under-relaxation) is highly desirable.

정상 상태의 결과만을 요구하는 경우는 압력 파의 감쇠가 많은 implicit 해법 구성표를 사용하여 가능한 한 빨리 정상 상태에 도달하게합니다. 이 경우, implicit 반복 계산법에 내장 된 감쇠 (즉, 부족 완화)은 강하게 요구하는 것입니다.

If, instead, the transient pressure waves are to be investigated, then we want the least amount of numerical damping so that many wave reflections can be accurately followed. This situation is best treated with an explicit solution method.

반면 비정상 압력 파를 조사하는 경우는 많은 파도 반사를 정확하게 추적 할 수 있도록 수치적 감쇠를 최소화하는 것이 바람직합니다. 이 상황은 explicit 해법으로 푸는 것이 최선입니다.

Explicit methods require a time-step size that limits the advance of the pressure step to less than one computational cell per time step. However, this restriction is related to accuracy because most difference equations involve quantities from neighboring cells only. A pressure wave that propagates further than one cell in one time step would then be moving into regions that have no defined influence on the pressure. Not only is this physically unrealistic, it also leads to numerical instability.

Explicit 해법은 압력 단계의 진행을 시간 단계 당 1 계산 셀 미만으로 제한하는 크기의 시간 단계를 필요로합니다. 그러나 대부분의 차분 방정식은 인접 셀에서만 양을 고려하기 위해이 제한 정도에 관련합니다. 하나의 시간 단계에서 1 셀 이상을 전파하는 압력 파 압력에 정의 된 영향이 전혀없는 영역에 유입합니다. 이것은 물리적으로 비현실적 일뿐만 아니라 숫자 불안정으로 이어집니다.

Implicit methods, on the other hand, couple all the cells together through an iterative solution that allows pressure signals to be transmitted through a grid. The price for this communication between distantly located cells is a damping or smoothing of the pressure waves introduced by the under-relaxation needed to solve the coupled equations.

반면 Implicit 해법은 반복 계산법을 통해 모든 셀이 결합 된 것으로, 압력 신호가 격자 내를 전파합니다. 이렇게 떨어진 거리에있는 셀 사이의 상호 작용의 대가는 결합 방정식을 푸는 데 필요한 부족 해져서 발생하는 압력 파의 감쇠 또는 평활화(smoothing )입니다.

The choice of whether an implicit versus explicit method should be used ultimately depends on the goal of the computation. When time accuracy is important, explicit methods produce greater accuracy with less computational effort than implicit methods. For this reason, FLOW-3D uses explicit techniques whenever possible, but implicit options are available when they are needed.

implicit 해법과 explicit 해법 중 어느 것을 사용할 것인지 여부는 결국 계산의 목표에 따릅니다. 시간 정확도를 중시하는 경우는 explicit 해법이, implicit 해법에 비해 적은 계산량으로보다 정확한 답을 얻을 수 있습니다. 이러한 이유로 FLOW-3D는 적용 가능한 문제는 가능한 explicit 해법을 사용하지만 필요에 따라 implicit 해법 옵션을 사용할 수 있습니다.

수렴 조건

Convergence Criteria/수렴 조건

No material is truly incompressible, but this assumption is often a good approximation. When using this assumption in connection with a numerical solution scheme it is necessary to devise some way to impose the physical mechanism that is responsible for the incompressible behavior.

완전히 비압축성인 물질은 존재하지 않지만 종종 비압축성이라는 가정은 좋은 근사치입니다. 이 가정을 수치 해법 방식으로 사용하는 경우에는 비압축성 거동에 대한 물리적 메커니즘을 주는 어떤 방법을 생각해야합니다.

(1) $\displaystyle \frac{d\rho }{dt}+\rho \nabla \cdot \vec{U}=0$

The measure of incompressibility is the divergence of the velocity, Ñ ·U, which is equal to the time rate-of-change of fluid volume per unit volume. The divergence appears in the mathematical statement of mass conservation, where dr/dt is the change in density of a fluid element as it moves with the fluid. If the fluid is incompressible then its density should remain constant and, according to Eq.(1), this implies the velocity divergence should be zero:

비압축성 속도의 발산은 Ñ · U로 계산합니다. 이것은 단위 부피당 유체 체적의 시간 변화율과 같습니다. 발산은 질량 보존식의 항으로 나타납니다. 여기서, dr / dt는 유체와 함께 이동하는 유체 요소의 밀도 변화입니다. 유체가 비압축성 일 때, 그 밀도는 항상 일정 식 1에서 속도의 발산은 0으로 표시됩니다.

$\displaystyle \nabla \cdot \overrightarrow{U}=0$

The physical mechanism that leads to incompressible behavior is the rapid propagation of pressure waves, which must move through a fluid much faster than the material speed of the fluid. Most often, the numerical propagation of pressure waves is accomplished by some sort of iteration scheme that couples pressures to velocities. The goal of the iteration is to reduce the magnitude of the velocity divergence below some absolute numerical value, e, called the convergence criteria.

비압축성의 거동을주는 물리적 메커니즘은 압력파의 급속한 전파이며, 유체의 물질 속도보다 훨씬 빠르게 유체 내를 이동해야합니다. 대부분의 경우, 압력파의 수치적인 전파는 압력과 속도를 연속하게 된 어떤 반복 계산 체계에서 구할 수 있습니다. 수렴 조건이라 불리는 속도의 발산의 크기가 몇몇 절대값 e 이하까지 계산을 반복하는 것이 목표입니다.

Selecting a Convergence Criteria

A question frequently asked is how should be be chosen? The answer to this is simple, and yet subtle, and depends on the numerical method that is selected for computing a solution.

“어떻게 수렴 기준을 선택해야합니까”는 자주 묻는 질문입니다. 그 대답은 간단하면서도 파악하기 어려운 것으로, 해를 구하기 위해 선택한 수치법에 따라 다릅니다.

A discretized version of Eq.(1) indicates the change in density occurring in one time step, dt, is given by:

식 1을 이산화 된 식으로 하나의 타임 단계 dt로 인한 밀도 변화가 나타납니다.

(2) $\displaystyle \frac{\delta \rho }{\rho }=\delta t\nabla \cdot \overrightarrow{U}$

There are a couple of things to observe about this result. First, the right side has the general order of magnitude of:

이 결과는 확인해야 할 몇 가지가 있습니다. 먼저 우변은 기본적으로 자릿수입니다.

$\displaystyle \delta t\nabla \cdot \overrightarrow{U}\approx \frac{\delta tU}{\delta x},$

where d x is the length or size of the discrete elements used in the numerical solution. This quantity is often referred to as the flow Courant number. It is well known that the Courant number should be less than one for accurate results. It must also be less than one for numerical stability when using explicit computational methods.

여기에서 dx는 수치 해법에서 사용하는 이산화 된 요소의 길이 또는 크기입니다. 이 양은 종종 흐름 “쿨랑 수”라고합니다. 정확한 결과를 얻기 위해서는 쿨랑 수를 1 이하로 해야한다고 알려져 있습니다. 또한 explicit 계산 법을 사용하는 경우도 수치 안정성을 위해 1 미만이어야합니다.

We see from relation (2) that if the Courant limit of one is exceeded, the change in density could be greater than the density itself! This observation is the reason why the Courant limit is so closely tied to issues of accuracy and stability. It also explains why stability conditions become more restrictive as the number of spatial dimensions increases from one to two or three. For stability, the accumulated change resulting from fluxes in all directions must not be allowed to change the density (or other quantity) by more than its current value. Thus, with more dimensions there are more fluxes and a smaller time-step size is needed to ensure that elements are not over emptied.

관계식 2에서 쿨랑 수가 1을 초과하면 밀도 변화의 값이 밀도 자체보다 커질 가능성이 있음을 알 수 있습니다. 이 점에서도 쿨랑 수가 정확성이나 안정성 등의 문제에 밀접하게 관계하고 있는 이유를 알 수 있습니다. 또한 공간적 차원이 1에서 2 또는 3으로 올라 갈수록 안정 조건이 더 어려워지는 이유도 설명됩니다. 안정성을 위해 모든 방향에서의 플럭스에서 발생하는 변화의 누적에 의해 밀도 (또는 다른 양)을 현재의 값보다 크게 변화시켜도 되지 않습니다. 따라서 보다 다차원에서 더 많은 플럭스가 발생하므로 요소가 필요 이상으로 비워지는 것을 피하기 위해 더 작은 시간 단계가 필요합니다.

Returning to relation (2), we see how much change in density to expect from a given convergence criteria e. For example, if e = 0.001 the expected change in density in one unit of time would be one tenth of one percent, certainly small enough to be considered “incompressible” for most applications.

관계식 2로 돌아 가면 주어진 수렴기준 e에서 예상 밀도 변화량을 알 수 있습니다. 예를 들어, e = 0.001하면 한 시간 단위로 예상 밀도 변화는 1 %의 1/10이며, 대부분의 응용프로그램은 “비압축성”으로 간주될 만큼 충분히 작습니다.

A value of e = 0.001 is the nominal value that is often suggested for incompressible flow calculations. In the case of natural convection or other problems where very small density variations are important, the value of e may have to be smaller, depending on how the governing equations are formulated.

e = 0.001은 비압축성 흐름 계산의 많은 경우에 적합하다고 일컬어지는 값입니다. 자연 대류의 경우와 매우 작은 밀도 변화가 중요한 문제에서는 지배 방정식을 어떻게 수립하는지에 따라 더 작은 값을 e로 지정해야 할 수도 있습니다.

If the value of e is too large, and the pressure solution method employs some amount of over-relaxation, the fluid may behave as though it is compressible. In this case numerical pressure waves might be observed to travel across the computational region. Reducing the value of e, or the amount of over-relaxation, reduces the amplitude of these artificial waves.

e 값이 너무 크면 압력의 솔루션 방법은 약간의 오버 완화를 포함하는 경우 유체가 압축성 거동을 나타낼 수 있습니다. 이 경우, 수치적인 압력파의 계산 영역에 걸친 이동을 볼 수 있습니다. e의 값을 작게하거나 지나치게 완화를 줄이면 이러한 인공적인 파도의 진폭이 작아집니다.

One question that needs to be answered is whether or not errors in density generated in one time step might accumulate to something more significant over a large number of time steps. The answer to this question is no, if the proper numerical method is employed.

대답해야 할 하나의 질문 문제는 하나의 시간 단계에서 생성되는 밀도의 오차가 여러 시간 단계에 걸쳐 큰 영향을 미칠 정도로 누적 될 가능성이 있는지 여부입니다. 이에 대해 적절한 수치 법을 채용하면, 그러한 가능성은 없습니다.

Selecting a Self-Correcting Numerical Method

When numerical iteration methods are employed, it is generally thought that very fine convergence criteria are required to produce accurate results. This in not true, however, if the equations being solved can be formulated in a “self correcting” way. The general idea can be illustrated in connection with the equations for an incompressible fluid, where the incompressibility condition is a zero velocity divergence, D:

수치 반복 계산법을 사용하는 경우, 일반적으로는 정확한 결과를 얻기 위해 매우 정밀한 수렴 기준이 필요하다고 생각합니다. 계산식이 “자기 보정” 형으로 수식화되는 경우, 그것은 반드시 제대로 되지 않습니다. 기본적인 생각은 비압축성 유체에 대한 식을 이용하여 설명 할 수 있습니다. 여기에서는 비압축성 조건으로 속도 발산 D를 제로로 합니다.

(3) $\displaystyle D=\nabla \cdot \overrightarrow{U}=0.$

The fluid pressure, p, must satisfy an equation that is derived by taking the divergence of the momentum equation (e.g., the Navier-Stokes equation). Retaining all terms, the pressure equation is:

유체의 압력 p는 운동량 방정식 (나비에 – 스토크 스 방정식 등)의 발산로부터 유도되는 식을 만족해야 합니다. 모든 항목을 유지하고 다음 압력식이 성립됩니다.

(4) $\displaystyle \frac{\partial D}{\partial t}={{\nabla }^{2}}\left( {p}/{\rho }\; \right)+\upsilon {{\nabla }^{2}}D-Q.$

where:

$\displaystyle Q=\nabla \cdot \left[ \nabla \cdot \left( \overline{UU} \right) \right].$

Here r is the fluid density and u its kinematic viscosity. This is a Poisson equation for pressure that is most efficiently solved each time step by an iteration process, for which there must be a convergence criteria.

여기서, r은 유체 밀도, u는 동점도입니다. 이것은 압력의 푸 아송 방정식으로 수렴 기준을 반드시 설정되는 반복 계산 과정을 통해 각 시간 단계가 가장 효율적으로 계산됩니다.

To minimize the accumulation of iteration convergence errors over many time steps one can employ a high level of convergence at each time step, or use a self-correcting treatment that was first used in connection with the Marker-and-Cell (MAC) method (F.H. Harlow and J.E. Welch, Phys. Fluids 8, 2182 (1965)). In many numerical methods devised to solve Eq.(4) the temptation is to set the left hand side to zero because of Eq.(3). In the self-corrective procedure, however, the left side is replaced by:

많은 시간 단계에 걸쳐 누적되는 반복 계산의 수렴 오차를 최소화하기 위해 각 시간 단계에서 높은 수준의 수렴을 설정하거나 MAC (Marker-and-Cell) 법 (FH Harlow, JE Welch , Physics of Fluids Volume 8, p.2182 (1965))과 함께 처음 사용 된 자기 보정형 처리를 사용합니다. 식 4를 풀기 위해 고안된 많은 수치 법에서는 식 3에서 왼쪽을 제로로하고 싶다고 생각 될지도 모릅니다. 그러나 자기 보정형 처리는 왼쪽 아래로 바뀝니다.

$\displaystyle \frac{\partial D}{\partial t}\approx \frac{{{D}^{n+1}}-{{D}^{n}}}{\delta t}\to \frac{-{{D}^{n}}}{\delta t},$

where n indicates the n-th time step.

여기서 n은 n 번째 시간 단계를 나타냅니다.

Retaining the $\displaystyle {{D}^{n}}$ term is a corrective procedure that tends to remove any error in velocity divergence left from the previous cycle. For instance, if D had a small positive residual in some element at the end of the n-th step, corresponding to a small expansion, then during step n+1 there is a source term added to the equation (i.e., -Dn/d t) to produce a corrective compression by the same amount.

Dⁿ 항을 유지하는 수정 작업은 이전주기에서 남은 속도 발산의 오차가 제거되는 경향이 있습니다. 예를 들어, n 번째 시간 단계의 마지막에 하나의 요소에 약간의 팽창에 해당하는 소량의 양의 오차가 D에 존재하는 경우 단계 n + 1는 그것을 해결하기 위해 같은 양의 압축이 생성 된 소스 항 (-D ⁿ / dt)가 식에 추가됩니다.

Using this procedure cuts down the accumulation of incompressibility errors, even when a relatively coarse convergence criteria is used for the pressure equation. More details about self-corrective procedures can be found in the paper: C.W. Hirt and F.H. Harlow, J. Comp. Phys. 2, 114 (1967).

이 프로세스는 압력 방정식에 비교적 거친 수렴 기준을 설정 한 경우에도 비압축성의 누적 오차는 줄어 듭니다. 자기 수정 형 처리에 대한 자세한 내용은 다음 리소스를 참조하십시오. CW Hirt, FH Harlow, Journal of Computational Physics Volume 2, p.114 (1967).

One distinct advantage of the self-corrective feature, which is not always appreciated, is its insensitivity to initial conditions. Some incompressible flow solvers require initial conditions that satisfy the incompressibility condition. Because of this, these methods sometimes require the solution of a separate problem to get usable initial conditions. In the MAC method, and other methods that use the self-correcting feature, any non-zero velocity divergence in initial conditions is automatically removed after the first cycle of calculation. The convenience of this feature for users cannot be over emphasized.

자기 보정형 기능의 가장 큰 특징으로는 반드시 평가되는 것은 아니지만 초기 조건을 덜 엄격하게 처리 할 점이 있습니다. 일부 비압축성 흐름 해결사는 비압축성 조건을 만족하는 초기 조건이 요구됩니다. 따라서이 방법은 사용 가능한 초기 조건을 얻기 위해 다른 문제에 대한 해결책이 필요할 수 있습니다. MAC 법이나 자기 수정 형 기능을 사용하는 다른 방법으로는 초기 조건의 비 제로의 속도 발산 계산의 첫 번째 사이클에서 자동으로 제거됩니다. 사용자들에게는 매우 편리한 기능이라는 것은 말할 필요도 없습니다.

FLOW-3D uses the self-corrective procedure as well as an automatic setting of the convergence criteria that adjusts e to whatever is happening during the course of a solution. The latter is another user convenience that can be extremely useful for problems having a variety of flow stages.

FLOW-3D 프로그램은 자기 보정형 처리뿐만 아니라 솔루션을 계산하는 동안 발생하는 상태에 따라 e가 조정되는 수렴기준 자동 설정 기능을 제공합니다. 후자 또한 다양한 흐름의 단계를 갖는 문제에 사용자에게 매우 유용한 사용하기 쉬운 기능입니다.

수치 점성 및 인공 점성이란?

What are Artificial and Numerical Viscosities?

The earliest, successful application of computational fluid dynamics was in connection with the Manhattan Project during World War II. Researchers used computations to study the propagation and interaction of shock waves, a subject crucial to the success of the atomic bomb.

전산 유체 역학 (CFD)의 적용으로 성과를 거둔 가장 오래된 예는 제 2 차 세계 대전 동안 진행된 맨해튼 계획에 관한 것이 있습니다. 연구진은 원자 폭탄의 개발에 필수 주제인 충격파의 전파와 상호 작용을 이해하기 위해 계산에 의한 분석을 실시했습니다.

Shock Wave Discontinuities/충격파의 불연속성

Shock waves are mathematically treated as discontinuities, but it was quickly recognized this would cause problems for any numerical solution. Of course, a shock wave is not a true physical discontinuity, but a very narrow transition zone whose thickness is on the order of a few molecular mean-free paths. Application of the conservation of mass, momentum, and energy conditions across a shock wave requires that there be a transformation of kinetic energy into heat energy. Physically, this transformation can be represented as a viscous dissipation, which was the idea latched onto by early investigators.

충격파는 수학적으로는 불연속적인 현상으로 간주되지만 어떤 수치 솔루션을 채용하고도 문제를 일으킬 수 있다는 것은 일찍부터 인식되어 있었습니다. 물론 충격파는 물리적으로 불연속적인 현상이 아니라, 분자의 평균 자유 공정과 같은 정도의 두께를 가진 매우 좁은 전이층입니다. 충격파에 질량, 운동량, 에너지의 저장 조건을 적용하려면 운동 에너지에서 열에너지로 변환 할 필요가 있습니다. 연구자들은 일찍부터 이 변환을 물리학적으로는 점성 소산으로 표현해야 한다는 것을 이해하고 있었습니다.

By introducing an unphysically large value of viscosity, investigators were able to thicken shock transition zones to where they could be resolved computationally. This artificial increase in the value of viscosity became known as an artificial viscosity.

연구자들은 비 물리적으로 큰 값의 점성을 통합하여 계산을 해결할 수 있을 때까지 충격파 전이 층을 두껍게하는 데 성공했습니다. 이렇게 인공적으로 점성의 값을 증가시킨 것을 “인공 점성”라고 부르게되었습니다.

Viscosity Dissipation/점성 소산

If the viscosity isn’t large enough, velocity oscillations about the correct mean velocity are observed to develop behind a shock. These oscillations can be interpreted as a macroscopic version of heat energy, i.e., fluctuating kinetic energy in place of fluctuating molecular energy. In hydraulic jumps, the hydraulic analogy of a shock wave, this fluctuating energy appears as a sequence of large eddies behind the jump.

점성이 충분히 높지 않은 경우 충격파 뒤에서 올바른 평균 속도 주위에서 속도가 진동하는 것이 확인되고 있습니다. 이러한 진동은 열에너지를 거시적으로 나타낸 것, 즉 변화하는 분자 에너지 대신에 변화하는 운동 에너지로 해석 할 수 있습니다. 수중에서 발생하는 충격파라고도 할 수 다이빙이 발생하면이 변동하는 에너지는다이빙 뒤에서 연속적인 큰 소용돌이로 나타납니다.

Artificial Viscosity/인공 점성

The proper formulation and magnitude needed for an artificial viscosity has undergone many refinements over the years and includes tests to apply this viscosity only in regions undergoing strong compression and with magnitudes that are various functions of the first and/or second power of the compression rate. The culmination of these refinements is best exhibited in the method pioneered by Godunov (S.K. Godunov, Mat. Sbornik 47, 271 (1959); translated as JPRS 7225, U.S. Dept. Com., 1960), in which a local “shock tube” or elementary wave solution is used to capture the existence and propagation characteristics of shock and rarefaction waves.

인공 점성의 엄격한 수식화와 필요한 값의 크기는 수년 동안 다양한 개량이 이루어지고 왔습니다. 강한 압축을 받는, 압축률의 1 제곱 및/또는 제곱의 함수로 표현하는 크기를 갖는 영역에서 이 점성을 적용하기위한 테스트도 개발되고 있습니다. 이렇게 쌓인 개선의 성과는 Godunov 의해 개발 된 기법에 잘 나타나 있습니다 (S.K. Godunov, Mat. Sbornik Volume 47, p.271 (1959), JPRS 7225로 U.S. Dept. Commerce 의해 번역, 1960). 이 방법은 국소적인 “충격파 관”라는 단순한 파동 실험 장치를 이용하여 충격파 및 희석파의 존재 및 전파 특성을 포착합니다.

Numerical Viscosity/수치 점성

Although artificial viscosity was introduced for numerical reasons, it is an elective addition used to modify a physical process so that it can be more easily computed. Artificial viscosity should not be confused with numerical viscosity, which is an unwanted consequence of certain types of numerical approximations.

인공 점성은 수치적인 이유로 고안되었습니다 만, 물리적 프로세스를 보다 쉽게 계산할 수 있도록 수정하기 위해 선택되어 도입된 개념입니다. 인공 점성은 수치 점성과 혼동해서는 안됩니다. 수치 근사 유형에 따라 수치 점성은 바람직하지 않습니다.

Numerical viscosity arises from discrete approximations to the momentum advection terms in Eulerian equations, or from re-zoning operations used in Lagrangian formulations. The origin of the effect is the use of a homogenizing assumption in the elements or control volumes underlying the approximation scheme. For instance, when momentum is exchanged between neighboring elements through a convective flux the resulting contributions in a given element are combined with the momentum already there to arrive at a new value of average momentum for that element. This combining or homogenizing process introduces a smoothing effect. When another step to advance time is taken, this new value is passed on to the next element in the direction of flow. Repetition of this smoothing operation over the many steps needed to carry a solution forward in time contributes to a “diffusion” of momentum in the direction of flow.

수치 점성은 오일러 방정식의 운동량 이류(advection) 항에 이산 근사와 라그랑주 공식화에서 사용되는 리-조닝(re-zoning) 처리에서 발생합니다. 그 영향의 근원은 근사 체계의 기반에있는 요소와 컨트롤 볼륨에서 균질화를 위해 사용하는 가정입니다. 예를 들어, 대류 플럭스를 통해 인접 셀 간의 운동량이 교환되면, 교환에서 발생한 모든 요소의 기여도가 이미 존재하고 있던 운동량에 추가하여 해당 요소의 평균 운동량의 새로운 값이 됩니다. 이 합산, 즉 균질화 과정을 통해 스무딩 효과를 얻을 수 있습니다. 시간이 진행하고 다음 시간 단계로 이동하면 이 새로운 값은 흐름의 방향에서 다음에 요소에 전달됩니다. 분석 시간으로 전진시키기 위해 필요한 여러 단계에 걸쳐 이 평활화 처리가 반복 됨으로써 흐름의 방향으로 운동량의 ‘확산’이 생깁니다.

Strictly speaking, the numerical diffusion does not behave like a true viscous diffusion because it is associated with fluid convection and does not possess the correct stress-versus-strain-rate dependency associated with a real viscosity. For example, numerical diffusion does not satisfy Newtonian relativity because it depends on the choice of computational grid, which is an absolute reference frame for the numerical approximations. Also, because the amount of numerical diffusion is proportional to the velocity of flow through a grid, it does not have the rotational symmetry possessed by a real viscosity.

엄밀하게 말하면, 수치 확산은 유체 대류와 관련된 것으로, 실제의 점성과 관련된 정확한 응력 변형 속도 의존성을 갖지 않기 때문에 진정한 점성 확산 거동과는 다릅니다. 예를 들어, 수치 확산 숫자 근사치의 절대 기준 좌표인 계산 격자의 선택 때문에 뉴턴 역학에서 상대성 원리에 부합하지 않습니다. 또한 수치 확산량은 격자 내를 통과하는 흐름의 속도에 비례하기 때문에 실제 점성이 갖는 회전 대칭이 없습니다.

Numerical Approximations/수치 근사

Research into numerical approximation schemes that minimize numerical viscosity effects is a continuing activity of a large part of the CFD community. The difficulty in developing such schemes is that some smoothing must always be incorporated into a numerical solution to keep it computationally stable and to smooth out dispersion errors. Dispersion errors are those errors that arise because components of a solution having different grid resolution requirements may propagate through the grid with slightly different speeds. Whenever this occurs, unphysical oscillations develop in the solution where these components reinforce or cancel one another.

수치 점성의 영향을 최소한으로 억제하는 수치 근사 체계의 연구는 CFD 분야에서 큰 부분을 차지하고있는 지속적인 활동입니다. 이러한 체계를 개발하는 어려움은 계산 안정성을 유지하고 분산 오차를 부드럽게하기 위해 수치 해법에 항상 어떤 평활화 처리를 통합해야 하는 것입니다. 분산 오차는 다른 격자 해상도 요구 사항이 솔루션의 성분이 약간 다른 속도로 격자 내를 전파 할 수있는 것이 원인으로 생기는 오차입니다. 이것이 발생한 경우 그러한 성분이 강화된 또는 상쇄되는 등 해 비 물리적인 진동이 발생합니다.

The trick is to develop approximation schemes that remain accurate (i.e., have a minimum of numerical smoothing) and at the same time are robust (i.e., have sufficient numerical smoothing to compensate for dispersion errors and to remain computationally stable for a wide range of applications).

이에 대처하는 요령은 정확성을 유지하는 (즉, 최소한의 수치 적 평활화를 포함) 동시에 강력한 (즉, 분산 오차를 보정 할 수있는 충분한 수치 적 평활화를 내장 각종 문제에 적용 할 수있을만큼 계산 안정성이있다) 근사 체계를 개발하는 것입니다.

What FLOW-3D Does

In FLOW-3D the default method is a first-order, upstream, advection technique that is extremely robust, but which introduces some numerical viscosity. If it is determined that this numerical viscosity is excessive, because sharp velocity profiles must be computed without the luxury of high grid resolution, then a second-order accurate, monotonicity preserving option can be employed with the flip of a switch.

For compressible flows, an implicitly coupled pressure-velocity solution option can be used in FLOW-3D to capture shock waves and minimize the appearance of post-shock oscillations.

FLOW-3D의 기본 기술은 매우 견고한 first-order, upstream, advection 이지만, 약간의 수치 점성을 포함합니다. 고해상도 격자를 사용할 수 없는 환경에서 뚜렷한 속도 프로파일을 계산할 수 없기 때문에 이 수치 점성이 너무 크다고 판단 된 경우, 간단한 조작으로 2 차 정확도의 단순성 유지 옵션을 선택 할 수 있습니다.

압축 흐름은 FLOW-3D의 implicitly 연성에 의한 압력 – 속도 해법 옵션을 사용하여 충격파를 포착하고 충격파 뒤에 출현하는 진동을 최소한으로 억제 할 수 있습니다.

수치 불안정성

Numerical Instability / 수치 불안정성

Many numerical approximations to partial differential equations are unusable because they produce unstable computational results. Computational stability issues have been discussed in two previous articles in the CFD-101 series: Computational Stability and Heuristic Analysis. In this article, a simple mechanical model is described that leads to an understanding of common numerical instabilities associated with approximations of the Navier-Stokes equations. In particular, the simple model applies to instabilities arising from fluid dynamic forces such as viscous stress, surface tension, elasticity and more. The stability conditions obtained with the simple model do not depend on any particular numerical approximations, but instead involve only generic considerations of mass and forces.

편미분 방정식의 많은 수치 근사는 불안정한 계산 결과가 발생하므로 불안정합니다. 계산 안정성의 문제는 “전산 유체 역학 모델의 기초”시리즈의 마지막 2 항, 즉 계산 안정성과 휴리스틱분석 에서 논의되고 있습니다. 이 절에서는 나비에-스토크스 방정식과 관련된 일반적인 수치 불안정성의 이해로 이어질 간단한 기계적 모델에 대해 설명합니다. 이 간단한 모델은 특히 점성 응력, 표면 장력, 탄성 등의 유체 역학적인 힘에서 발생하는 불안정성에 적용됩니다. 간단한 모델에 의해 얻어지는 안정성 조건은 특정 수치 근사에 의존하지 않지만 대신 질량과 힘에 대한 일반적인 고려 사항만을 포함합니다.

The Model System

Figure 1. Model System

Imagine a mass M located between two rigid walls and connected to the walls by springs, as shown in Fig. 1. Assuming that the springs satisfy Hook’s law in which a spring force on the block is proportional to the change in length of the spring, an equation of motion for the block, which moves in only the horizontal direction is,

그림 1과 같이 두 강체 벽 사이에 위치하고 그 벽에 스프링으로 연결된 질량 M을 가정합니다. 블록에 작용하는 스프링 힘이 스프링의 길이의 변화에 비례하는 훅의 법칙을이 스프링이 채운다고 가정했을 경우, 수평 방향으로만 이동하는 블록의 운동 방정식은 다음과 같이됩니다.

(1) $\displaystyle M\frac{\partial U}{\partial t}=-2k\left( X-{{X}^{0}} \right)$

Symbol X⁰ indicates the initial x position of the block and M is the block mass. Initially X=X⁰ and the block is at rest, U=0. Now imagine a perturbation given to the block by assigning a velocity of U⁰ at time t=0. After a small time interval δt the block moves to position X¹=X⁰+U⁰δt and a simple discretization of Eq. 1 gives the velocity at the end of the time interval as,

기호 X⁰는 블록의 초기 x 위치를 나타내는 기호 M은 블록의 질량을 나타냅니다. 초기 상태에서는 X = X⁰이며, 블록은 정지하고, U = 0입니다. 여기서, 시간 t=0에서 속도 U=0을 지정하여 블록에 섭동을 준다고 가정합니다. 작은 시간 간격 δt 후 블록은 위치 X ¹ = X ⁰ + U ⁰ δt로 이동하여 식 1의 간단한 이산화에 의해 시간 간격의 마지막의 속도는 아래 식과 같이 표현됩니다.

(2) $\displaystyle M\left( \frac{{{U}^{1}}-{{U}^{0}}}{\delta t} \right)=-2k\left( {{X}^{1}}-{{X}^{0}} \right)$

Replacing X¹ by its value X⁰+U⁰ δt and rearranging gives an equation for the new velocity U¹,

X¹을 값 X⁰ + U⁰ δt로 치환하여 정리하면 새로운 속도 U¹의 식을 얻을 수 있습니다.

(3) $\displaystyle {{U}^{1}}={{U}^{0}}\left( 1-2\frac{k\delta {{t}^{2}}}{M} \right)$

This is a recursion in which for each successive time-step the velocity at the end of the time step is equal to the previous value of the velocity times the bracketed quantity in Eq. 3, so that after n time steps,

이것은 재귀 식이고, 연속하는 각 시간 단계에 대해 그 시간 단계의 마지막에 속도가 이전 시간 단계의 속도 값으로 식 3의 괄호 안의 금액을 곱한 값과 같아, n 시간 단계 후에는 아래와 같이됩니다.

(4) $\displaystyle {{U}^{n}}={{U}^{n-1}}\left( 1-2\frac{k\delta {{t}^{2}}}{M} \right)={{U}^{0}}{{\left( 1-2\frac{k\delta {{t}^{2}}}{M} \right)}^{n}}$

Note that the superscript n on the bracketed quantity in Eq. 4 is an exponent, not a time level index, although its value in this case is the same as the time level index. From Eq. 4 we see that if the quantity in the bracket has an absolute magnitude larger than 1.0 the velocity Uⁿ will increase exponentially with increasing n. Thus, to prevent the exponential growth of the velocity in this model system, the time-step size must be limited to satisfy the following inequality,

식 4의 괄호 안의 금액의 위 첨자가 시간 수준 지표가 아닌 지수인 것에주의하십시오. 그러나 이 경우 지수 값과 시간 수준 지표는 동일합니다. 식 4에서 괄호 안의 금액이 1.0보다 큰 절대 값을 가지는 경우, 속도 Uⁿ은 n의 증가와 함께 지수 적으로 증가하는 것을 알 수 있습니다. 따라서 이 모델 시스템에서 속도의 기하 급수적 증가를 막기 위해서는 다음의 부등식을 만족하도록 시간 단계 크기를 제한하는 것이 필요합니다.

(5) $\displaystyle \frac{k\delta {{t}^{2}}}{M}\le 1$

When the left hand side of Eq. 5 is greater than one, the velocity Uⁿ will oscillate between positive and negative values on consecutive time steps while exponentially increasing in magnitude.

식 5의 왼쪽이 1보다 큰 경우 속도 Uⁿ은 크기가 기하 급수적으로 증가하면서, 연속 시간 단계에서 양수와 음수 사이를 진동하게됩니다.

This behavior is characteristic of a classical numerical instability. In this case, Eq. 5 shows that the instability can be prevented by keeping δt small enough to satisfy the inequality. As a general rule when a numerical instability occurs and exhibits the character of increasing plus and minus values on successive time steps it can be cured by reducing the time-step size.

이 동작은 고전적인 수치 불안정성의 특징입니다. 이 예에서는 불평등을 충족 δt를 충분히 작게 유지하여 불안정성을 막는 것이 가능하다고 식 5로 표시되어 있습니다. 일반적으로 수치 불안정성이 발생하여 연속 시간 단계에서 증가하는 긍정적이고 부정적인 값의 특징이 나타난 경우는 시간 단계 크기를 작게함으로써 해결할 수 있습니다.

Exploring this simple mechanical model further we can see from Eq. 4 that the instability results from an overreaction to an initial action. That is, when the time-step size large, Eq. 4 predicts a new velocity in the opposite direction and with a larger magnitude. This excessive velocity then becomes the starting condition for the subsequent time step, leading to an exponential increase in the velocity magnitude.

이 간단한 기계적 모델을 더 고려하면 불안정성이 초기 작용에 대한 과민 반응에 기인하는 것으로 식 4에서 알 수 있습니다. 즉, 시간 단계 크기가 큰 경우, 식 4는 반대 방향의 크기가 커진 새로운 속도가 예상됩니다. 이 과잉 속도가 이번에는 다음 시간 단계의 시작 조건이 속도의 크기의 지수적인 증가로 이어집니다.

The stability condition in Eq. 5 is based on an explicit formulation, meaning that the current response of the mass is expressed in terms of the previous displacement. An implicit formulation,where the current response of the mass is based on the subsequent position of the mass (i.e., using X² in Eq. 2 instead of X¹) would likely be unconditionally stable, but it requires a knowledge of the unknown final position X². For most equations implicit methods require an iterative solution, and the additional computational effort required for such solutions is the price that must be paid to eliminate the stability condition.

식 5의 안정성 조건은 explicit 배합에 따라 있습니다. 이것은 질량의 현재 응답이 이전의 변위에 의해 표현되는 것을 의미합니다. 질량의 현재 응답이 후속 위치에 따른 implicit 공식화 (즉, 식2의 X¹ 대신 X²를 사용)는 무조건 안정이라고 생각됩니다 만, 미지의 최종 위치 X ² 이어야 합니다. 대부분의 방정식의 경우, implicit 해법은 반복 분석이 필요하기 때문에 반복 분석에 필요한 추가의 계산량은 안정성 조건을 없애기 위해 지불해야하는 대가입니다.

Application to the Navier-Stokes Equation

To use the above mechanical model of a numerical instability to understand instabilities that may occur in the Navier-Stokes equation imagine two elements of an Eulerian computational grid in which a perturbation is made to a velocity on the boundary separating two elements, as shown in Fig. 2.

위의 기계적 모델의 수치 불안정성을 이용하여 나비에-스토크스 방정식에서 발생할 수 있는 불안정성을 이해하기 위해 그림 2와 같이 두 개의 요소를 나눌 경계의 속도에 섭동이 된 오일러 계산 격자에 의한 2 개의 요소를 가정합니다.

Figure 2. Grid Model

For simplicity, think of the elements outlined by solid lines as cubes of equal size, and that the vector represents a velocity in the x direction. The dashed lines in the centers of the elements (i.e., y-z planes) define the extent of the partial volumes of the elements assigned to the u velocity. The total mass of fluid in the partial volumes correlates to the mass M in the mechanical model. When the velocity U moves fluid between elements the elements respond by generating forces that act to counter the velocity, much like the springs in the mechanical model. These forces may arise because of compression or expansion of the fluid, viscous stresses, surface tension (if there is a fluid interface within the fluid mass M) or other forces. By identifying the appropriate stiffness coefficient k in each case we can use Eq. 5 to arrive at a stability criterion for that physical process when using an explicit numerical approximation in a grid like that shown in Fig. 2.

간단히, 실선에 의해 윤곽이 그려져 있는 요소가 동일 크기의 입방체라고하고 벡터 x 방향의 속도를 나타내는 것으로 생각합니다. 두 요소의 중앙 (즉 yx 평면)의 점선에 의해 속도 U에 할당 된 요소의 부분 체적의 범위가 정의됩니다. 부분 체적 내에 유량의 전체 질량은 기계적 모델의 질량 M과 상관 관계가 있습니다. 속도 U는 응답 요소 사이의 유체가 이동 된 경우 기계적 모델 스프링과 마찬가지로 속도에 대항하여 작용하는 힘을 발생하여 요소는 응답합니다. 이러한 힘은 유체 점성 응력, 표면 장력 (유체와 질량 M의 범위 내에 유체 계면가있는 경우) 또는 기타의 힘에 의한 압축 또는 인장으로 인해 발생 될 수 있습니다. 각 예에서 적절한 강성 계수 k를 특정하여 그림 2와 같은 격자에서 양으로 수치 근사를 사용하는 경우, 식 5를 사용하여이 물리적 과정에 대한 안정성 기준에 도달 가능합니다.

Several examples of how this analogy can be applied are given in the following sections. In each case the mass M of the fluid in the partial volumes is given by,

이 유사성을 어떻게 적용 할 수 있는지에 대한 예는 다음 절에서 설명합니다. 각 예에서 부분 부피의 유체의 질량 M은 아래 식에 의해 주어집니다.

(6) $\displaystyle M=\rho \delta x\delta y\delta z,$

where ρ is the density of the fluid and elements have dimensions δx, δy and δz.

여기서, ρ는 유체의 밀도이며, 요소의 치수는 δx, δy와 δz입니다.

Compressible Fluids

To find the stiffness coefficient, k, recall that k is a measure of the force generated to resist an applied perturbation. For a compressible fluid this force is related to the change in fluid pressure because of a change in fluid density according to the thermodynamic relation dp=c²dρ, where c is the speed of sound in the fluid. The fluid mass moved across the boundary between the elements is ρUδt*δyδz and the change in density in the element receiving the mass is this mass change divided by the volume of the element, dρ=ρUδt/(δx). The corresponding change in element pressure is then given by

강성 계수 k를 요구하려면, k가 더해진 섭동에 저항하기 위해 만들어지는 힘의 척도임을 기억하십시오. 압축성 유체의 경우,이 힘은 유체 압력의 변화와 관련이 있습니다. 이것은 열역학적 관계 dp = c 2 dρ 의한 유체 밀도의 변화에 의한 것입니다. 여기서 c는 유체의 음속입니다. 요소 사이의 경계를 넘어 이동 한 유체의 질량은 ρUδt * δyδz이며, 질량을받는 요소에서의 밀도 변화는이 질량을 요소의 부피로 나눈 dρ = ρUδt / (δx)입니다. 그 결과, 요소 압력의 대응하는 변화는 아래에 제공됩니다.

(7) $\displaystyle dp={{c}^{2}}d\rho =\frac{\rho {{c}^{2}}U\delta t}{\delta x}.$

The force responding to the U velocity perturbation in each element is the product of the pressure change from Eq. 7 and the cross sectional area of the element δyδz. The effective stiffness of an element k, is therefore the force divided by the initial displacement Uδt,

각 요소의 속도 U의 섭동에 응답하는 힘은 식 7에 의한 압력 변화와 요소 단면적 δyδz의 곱입니다. 따라서 요소의 유효 강성 k는 힘을 초기 변위 Uδt로 나눈 것입니다.

(8) $\displaystyle k=\frac{\rho {{c}^{2}}U\delta t\delta y\delta z}{\delta xU\delta t}=\frac{\rho {{c}^{2}}\delta y\delta z}{\delta x}$

Substituting this value for k and the definition for M, from Eq. 6, into the stability condition Eq. 5 results in the stability condition for compressible fluids,

이 k의 값과 식 6에 따르면 M의 정의를 안정성 조건 식 5에 대입하여 압축성 유체의 안정성 조건을 얻을 수 있습니다.

(9) $\displaystyle \frac{k\delta {{t}^{2}}}{M}={{\left( \frac{c\delta t}{\delta x} \right)}^{2}}\le 1.$

This is the well-known Courant condition than restricts the distance a sound wave travels in one time step to be less than the width of a computational element. An analogy with the simple mechanical model has provided this result without the need to write out an equation for pressure waves in a compressible fluid and then perform a stability analysis on that equation.

이것은 하나의 시간 스텝 중에 음파가 진행하는 거리를 계산 요소의 폭보다 짧게 제한하는 잘 알려진 쿨랑 조건입니다. 간단한 기계적 모델과의 유사성에 따라 압축성 유체 음파 방정식을 기술하고, 그 방정식에 의한 안정성 분석을 수행 할 필요없이이 결과를 얻을 수 있었습니다.

Viscous Stresses / 점성 응력

The viscous forces that are generated in response to a perturbed velocity U in a fluid of viscosity μ consist of shears in the x, y and z directions. For example, the shear stress on the lower surface of the element for the velocity U is μU/δz, assuming that the velocity in neighboring cells is zero. There is a corresponding stress at the upper surface of the element. Each of these stresses act on a surface of area δxδy (in the current example) to produce a viscous force. Similarly, there are stresses in the x and y direction acting on their corresponding areas. In each direction there are force pairs (similar to the two springs) but because of Eq. 5 it is necessary to use the effective k for a single spring. This is half of the total of all the the viscous forces divided by the initial displacement Uδt,

점도 μ의 유체의 섭동 속도 U에 대해 생성되는 점성 힘은 x, y 및 z 방향의 전단력으로 구성됩니다. 예를 들어, 인접 셀의 속도가 0이라고 가정하면 속도 U에 요소의 아랫면에 작용하는 전단 응력은 μU / δz입니다. 요소의 표면에는 압축 응력이 발생합니다. 이러한 응력의 각각은 표면적 δxδy (본 예의 경우)에 작용하고 점성 힘을 발생합니다. 마찬가지로 해당 면적에 작용하는 x 및 y 방향의 응력도 존재합니다. 각 방향에서 (2 개의 봄처럼) 세트 힘이 존재하지만, 식 5를 위해 1 개의 봄의 유효 강성 k를 사용하는 것이 필요합니다. 이것은 모든 점성 힘의 합계를 초기 변위 Uδt로 나눈 것의 절반입니다.

(10) $\displaystyle k=\mu \left( \frac{U\delta y\delta z}{\delta x}+\frac{U\delta x\delta z}{\delta y}+\frac{U\delta x\delta y}{\delta z} \right)\frac{1}{U\delta t}.$

Inserting this value for k and using Eq. 6 for M into the stability condition for the mechanical model given in Eq. 5 yields

식 5에 의해 주어진 기계적 모델의 안정 조건에 k의 값을 넣고 M 식 6을 사용하면 아래 식을 얻을 수 있습니다.

(11) $\displaystyle \frac{k\delta {{t}^{2}}}{M}=\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{1}{\delta {{x}^{2}}}+\frac{1}{\delta {{y}^{2}}}+\frac{1}{\delta {{z}^{2}}} \right)\delta t\le 1.$

Equation 11 is the stability condition for explicit viscous stresses approximated in an Eulerian grid.

식 11은 오일러 격자에 근접한 explicit 점성 응력의 안정성 조건입니다.

Surface Tension

Figure 2A. With deformed interface.

Imagine a fluid interface located between the two elements that is deformed by a U velocity perturbation, as shown in Fig. 2A. In this case the reaction is a surface tension force on each of the segments of the surface illustrated in Fig. 2A. For simplicity, assume a two-dimensional surface (e.g., no variation in the z direction) and a constant surface tension coefficient σ.

그림 2A와 같이 속도 섭동 U에 의해 변형된 2 개의 요소 사이에 위치하는 유체 계면을 상정합니다. 이 예에서, 반응은 그림 2A에 표시된 표면의 각 구분에 작용하는 표면 장력에 의한 힘입니다. 간단히 2 차원 표면 (예 : z 방향의 변화없이)과 일정한 표면 장력 계수를 가정합니다.

Surface tension in each segment acts tangentially along the surface so the force responding to the U velocity is the x component of that force, i.e., the surface tension coefficient times the sine of the angle of the surface segment with respect to the vertical. For a small initial displacement, the x-force from each surface segment can be approximated by σUδtδz/δy giving the resulting stiffness coefficient,

각 구분의 표면 장력은 표면에 따라서 접선 방향으로 작용하기 때문에 속도 U에 대응하는 힘은 표면 장력의 x 성분입니다. 즉, 수직의 표면 구분 각도의 사인을 표면 장력에 곱한 것입니다. 작은 초기 변위의 경우 각 표면 세그먼트에서 x 방향의 힘은 σUδtδz / δy 의해 근사 할 수 있으며, 그 결과로 다음의 강성 계수를 얻을 수 있습니다.

(12) $\displaystyle k=\left( \frac{\sigma U\delta t\delta z}{\delta y} \right)\frac{1}{U\delta t}$

Substituting this k and M into Eq. 5 gives the stability condition for surface tension,

이 k와 M을 식 5에 대입하면 표면 장력에 대한 안정성 조건을 얻을 수 있습니다.

(13) $\displaystyle \frac{k\delta {{t}^{2}}}{M}=\frac{\sigma }{\rho }\frac{\delta {{t}^{2}}}{\delta x\delta {{y}^{2}}}\le 1.$

This result appears somewhat odd because of the different exponents of the δx and δy factors, but for cubic or square elements this makes no difference. For non-uniform elements, however, we should perform a similar evaluation in the y and z directions and then use the most restrictive of the results. In any case, this is a reasonable and useful result from a very simple model based on action and reaction principles.

이 결과는 δx과 δy 지수가 다르기 때문에 다소 이상하게 보이지만, 입방체 또는 사각형 요소의 경우 그 영향은 없습니다. 하지만 For non-uniform 요소의 경우 y 및 z 방향에서 비슷한 평가를 실시하여 가장 제한적인 결과를 사용할 수 있어야합니다. 어쨌든, 이것은 작용과 반작용의 원리에 근거한 매우 간단한 모델에 의한 합리적이고 유익한 결과입니다.

Bulk Elasticity / 체적 탄성

For a fluid with elastic properties the U velocity perturbation is resisted by an elastic stress in a way that closely resembles a spring. If ε is the bulk modulus of the fluid then the stress associated with extension or compression in an element is εUδt/δx. This stress acts over the surface area δyδz, and the stiffness k is this force divided by the displacement Uδt. Substituting this into Eq. 5 provides the stability condition,

탄성 특성을 가진 유체의 경우 속도 U의 섭동은 스프링과 잘 닮은 형식의 탄성 응력에 의해 제한됩니다. 유체의 체적 탄성률이 ε의 경우 요소의 인장 또는 압축에 관련하는 응력은 εUδt / δx입니다. 이 응력은 표면적 δyδz 작용하고 강성 k는이 힘을 변위 Uδt로 나눈 것입니다. 이것을 식 5에 대입하면 아래의 안정성 조건을 얻을 수 있습니다.

(14) $\displaystyle \frac{k\delta {{t}^{2}}}{M}=\frac{\varepsilon }{\rho }\frac{\delta {{t}^{2}}}{\delta {{x}^{2}}}\le 1.$

Similar results exist for the y and z directions.

비슷한 결과가 y 및 z 방향으로도 존재합니다.

Concluding Remarks

A simple mechanical model has been used to illustrate a common type of numerical instability, that arises from an action-reaction process. Using this simple model it is possible to quickly derive a variety of stability conditions for fluid dynamic forces modeled by explicit finite difference approximations in an Eulerian grid. The stability conditions are derived by using mass and force concepts in fluids that are analogous to the mass and forces in the model mechanical system. Significantly, the stability conditions arrived at are generic and do not depend on specific finite-difference approximations. Additionally, these derivations provide a simple way to understand the mechanisms driving the unstable behavior.

간단한 기계적 모델을 사용하여 작용과 반응 과정에서 발생하는 일반적인 유형의 수치 불안정성에 대해 설명했습니다. 이 간단한 모델을 사용하여 오일러 격자의 양으로 유한 차분 근사에 의해 모델링 된 유체 역학적인 힘에 대한 다양한 안정성 조건을 신속하게 도출 할 수 있습니다. 이러한 안정성 조건은 기계적 모델 시스템의 질량과 힘 유사한 유체의 질량과 힘의 개념을 이용하여 도출됩니다. 중요한 점은 도달한 안정성 조건이 일반적이며 특정 유한 차분 근사에 의존하지 않는 것입니다. 또한이 도출에 의해 불안정한 거동을 야기 메커니즘을 이해하는 간단한 방법도 제공됩니다.

The approach taken here could be extended to other types of physical forces (e.g., electrical, non-inertial, etc.) and even advective processes could be included by using the analogy that a change in momentum resulting from advection could be thought of as the result of an equivalent force.

여기서 사용한 방법은 다른 유형의 물리적 힘 (예 : 전기적 힘 비 관성력 등)로 확장 할 수 있으며, 이류(advective )에 의해 생기는 운동량의 변화를 등가 힘의 결과로 생각되면 유사성을 이용함으로써 이류 과정조차 포함 할 수 있습니다.

Furthermore, more refined estimates of the stiffness coefficient, for instance, by including more dimensional effects, could be added to enhance the stability conditions. In any case, the object here is to show that numerical instabilities can often be understood from a simple analysis. It is hoped that the insight this provides might guide the development of more robust and accurate numerical approximations.

또한, 예를 들어 더 많은 차원 효과를 포함하여 강성 계수보다 정밀한 추정을 추가하고 안정성 조건을 강화 할 수 있습니다. 어쨌든 여기에서의 목표는 대부분의 경우 수치 불안정성을 간단한 분석에서 이해하고 보여주는 것입니다. 여기에 제공된 통찰력이 더 강력하고 정확한 수치 근사치의 개발로 이어질 것으로 기대됩니다.

휴리스틱 분석

Heuristic Analysis

Finite-difference equations may have rapidly growing and oscillating solutions that in no way resemble the solutions expected from the partial differential equations they are meant to approximate. Such solutions are said to exhibit computational instability. Clearly, it is desirable to avoid these numerical disasters. For linear difference equations with constant coefficients, computational stability can be determined using a Fourier method pioneered by von Neumann (see the article in this series “Computational Stability.” Unfortunately, most equations of physical interest are either nonlinear, or have non-constant coefficients, or both.

유한 차분 방정식의 계산 결과에서 본래 근사하는 편미분 방정식에서 예상되는 것과 크게 다르게 급속하게 증가하고 부호가 자주 반전하는 솔루션을 얻을 수 있습니다. 이러한 솔루션이 나타내는 행동을 “계산 불안정성”라고합니다. 물론 이러한 해석은 바람직하지 않습니다. 상수 계수를 따른 선형 차분 방정식의 계산 안정성을 확인하는 방법으로는 von Neumann 의한 푸리에 방법을 사용할 수 있습니다 (본 시리즈 “계산 안정성” 참조). 불행히도, 물리 현상을 나타내는 대부분의 방정식은 비선형이거나 비 상수 계수를 수반하거나 또는 둘 다입니다.

Heuristic Analysis Methods

In this article a simple heuristic analysis method is described for investigating the computational stability of such finite-difference equations. An important by-product of this type of analysis is that it often suggests simple ways to eliminate the instabilities and at the same time increase the accuracy of the approximations.

이 책에서는 위의 유한 차분 방정식의 계산 안정성을 조사하기위한 간단한 휴리스틱 분석 방법에 대해 설명합니다. 이 유형의 분석은 많은 경우에 불안정을 제거하는 방법을 보여뿐만 아니라 근사치의 정확도를 높이는 방법도 보여주는 뛰어난 특징이 있습니다.

The approach described here is called “heuristic” because it is not rigorous or complete, but it often works and can provide a great deal of useful information. Reference [1] is the original publication describing the heuristic stability method from which much of this article has been taken.

여기서 설명하는 방법은 엄격하지도 완전하지도 않은 것으로부터 “추론”이라고되어 있지만, 많은 경우에 유효하고 유용한 정보를 많이 제공합니다. 안정성을 분석하기위한 휴리스틱 기법에 대해 작성된 참고 문헌 [1]은이 책에서 다루고 많은 정보 출처 소스입니다.

Heuristic analysis is based on the rather simple idea of reducing a finite-difference equation back to a partial differential equation by expanding each of its terms in a Taylor series and keeping only terms to a certain order in the expansion. This expansion is in powers of the space and time increments, which are assumed to be small to begin with.

휴리스틱 분석은 유한 차분 방정식을 전개하고 각항을 테일러 급수로 나타내 특정 차수까지의 항만을 남김으로 편미분 방정식에 귀착시키는 비교적 간단한 개념을 기반으로합니다. 이 확장은 처음에는 작은 것으로 예상되는 공간 증가 및 시간 증분의 거듭 제곱으로 표시됩니다.

Certainly such an expansion must, to lowest order, reproduce the original partial differential equation, otherwise, it would not be a good approximation. Oftentimes this requirement is referred to as the “consistency” of the approximation. Terms beyond the lowest order in the expansion are referred to as truncation errors.

이러한 확장은 원래의 미분 방정식을 최소 차수까지 재현하는 것이 필수적입니다. 그렇지 않으면 좋은 근사치를 얻을 수 없습니다. 이 요구 사항은 종종 근사치의 ‘일치 성’이라고 합니다. 전개 된 최소 차수 다음은 절단 오류라고합니다.

The basic concept of a heuristic analysis is that the Taylor-expanded equation is a more accurate representation of the difference equation than the original partial differential equation. Even keeping only a few truncation error terms should result in a partial differential equation that is more closely related to the difference equation. With this in mind, the following discussion will show that an examination of the truncated equation can sometimes reveal properties shared with the difference equation such as stability problems, necessary initial conditions and/or serious inaccuracies.

휴리스틱 분석은 테일러 전개 방정식 쪽이 원래 편미분 방정식보다 차분 방정식을보다 정밀하게 나타내고 있다는 기본 개념을 기반으로합니다. 절단 오차 부분을 일부 남긴 경우에도 항은 차분 방정식에 가까운 편미분 방정식입니다. 이 점을 염두에 두면서 여기에서 계산을 중단 한 식을 조사함으로써 안정성 문제 필요한 초기 조건 심각한 부정확성 등 차등 방정식과 일반적인 특성이 밝혀 질 것을 보여 있습니다.

To begin, we consider the same linear partial differential equation that was discussed in the first article on stability: Computational Stability.

첫째, 안정성에 쓰여진 ” 계산 안정성”에서 사용한 것과 동일한 선형 편미분 방정식 생각합니다.

Linear Equation Example

The equation for one-dimensional advection-diffusion of a variable u(x,t) is

여기에서는 변수 u (x, t)의 1 차의 이류 확산 방정식을 이용합니다.

(1) $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}.$

The convection velocity c and the diffusion coefficient ν are assumed to be constants. Solutions of this equation are known to be bounded and otherwise well-behaved.

대류 속도 c와 확산 계수 ν은 상수로 간주합니다. 이 방정식의 해는 경계이며, 양호한 거동을 나타내는 것을 알 수 있습니다.

What will be shown here is that the stability of a simple finite-difference approximation to Eq. 1 can be determined from an examination of the truncations errors resulting from a Taylor series expansion of a the difference equation. Not only does this process reveal that there are two basic types of instability, but we shall be able to make a direct comparison between the heuristic method and the von Neumann type of Fourier analysis carried out in Computational Stability. This comparison provides a useful rule-of-thumb for which truncation error terms to keep and which to eliminate from the Taylor expansion in order to evaluate the difference equation’s stability.

여기에서는 차분 방정식의 테일러 급수 전개로 인한 절단 오차를 조사하는 것으로, 식 1에 대한 간단한 유한 차분 근사의 안정성을 판단 할 수있는 것을 나타냅니다. 이 프로세스는 불안정성은 기본적으로 두 가지 유형이 있다는 것을 밝혀 질뿐만 아니라 휴리스틱 기법과 “계산 안정성”에서 이용한 von Neumann 유형의 푸리에 분석을 직접 비교할 수 있게 되는 것 있습니다. 이러한 비교를 통해 차이 방정식의 안정성을 평가하는데 테일러 전개로 인한 절단 오차 중 유지해야 할 항목과 배제 할 부분을 결정하는 데 유용한 경험규칙을 얻을 수 있습니다.

The simple, explicit finite-difference equation approximating Eq. 1 discussed in Computational Stability is

다음 수식은 “계산 안정성”에서 설명한 식 1을 근사하는 간결하고 양적인 유한 차분 방정식입니다.

(2) $\displaystyle \frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\delta t}=-\frac{c}{2\delta x}\left( u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n} \right)+\frac{\nu }{\delta {{x}^{2}}}\left( u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n} \right)$

where, e.g., u_jⁿ denotes u(jδx,nδt). This is called a forward-in-time approximation that allows all j location values to be computed at time step n+1, provided all the j values at step n are known. In other words, the difference equation requires one initial condition to start things off, just as the original partial differential equation also requires a single initial condition because it only involves a single time derivative.

여기서, u j n은 u (jδx, nδt)을 나타냅니다. 이것은 시간의 전진 차분 근사라는 것으로, 시간 단계 n의 공간 내의 위치 j 값이 모두 알려진이면 단계 n + 1의 모든 j 값을 계산할 수 있습니다. 즉, 원래의 미분 방정식에서 1 개의 초기 조건이 필요할뿐만 아니라 하나의 시간 미분만을 포함하기 때문에 차분 방정식에서 계산을 시작함에있어서 초기 조건이 하나 필요합니다.

It may be observed that difference equation, Eq. 2, has the property that each space and time location (jδx,nδt) will affect points at time step n+1 at locations j-1, j and j+1. That is, point (jδx,nδt) has a region of influence at later time bounded by lines having slopes ±δx/δt in x-t space. These are similar to characteristic lines along which signals can propagate. For example, the original equation, Eq. 1, has a characteristic line with slope c along which a disturbance advects. In the discrete equation, however, the characteristic lines are not physical characteristics but computational ones defining the region where the difference equation changes data values resulting from a change in value at a particular point.

차분 방정식 2는 공간 위치 및 시간 위치 (jδx, nδt)마다 타임 단계 n + 1의 위치 j-1, j, j + 1의 각 점에 영향을주는 특성을 볼 수 있습니다. 즉, 점 (jδx, nδt)는 현재보다 먼저있는 시간에서, xt 공간에서 기울기 ± δx / δt를 가진 선이 경계가되는 영향 영역을 가지고 있습니다. 이것은 신호의 전달을 나타내는 특성 곡선과 비슷합니다. 예를 들어, 원래 식 1은 교란의 이류를 나타내는 기울기 c의 특성 선을 가지고 있습니다. 그러나 이산 방정식의 특성 선은 물리적 특성을 나타내는 것이 아니라 특정 시점의 값의 변화에 따라 차이 방정식의 데이터 값이 변화하는 영역을 정의하는 계산의 특성을 나타냅니다.

We saw in the Computational Stability article that a Fourier series technique could be used to determine a set of three stability conditions for the difference equation, Eq.2. Here we shall see what can be learned from looking at the truncation errors associated with the approximating equation, Eq. 2.

” 계산 안정성”에서는 푸리에 급수에 의한 방법을 이용하여 차등 방정식 2에 대한 3 개의 안정 조건을 이끌어 낼 것을 알 수있었습니다. 이 책에서는 근사 식 2에 관련된 중단 오차를 조사함으로써 얻은 정보에 대해 설명합니다.

Truncation Error Evaluation

Assume that each term in Eq. 2 is a continuous and differentiable function of x and t. Then, for example, “u_j+1,n would be u(x^j+δx,tⁿ) and can be expanded about the point (x_j,tⁿ) in a Taylor series in powers of δx. Carrying out the expansion in δx and δt for all the terms in Eq.2 yields,

식 2 절은 x 및 t의 연속 미분 가능한 함수로 간주합니다. 그러면 예를 들어, u j + 1, n, n은 u (x j + δx, t n)이되고, 점 (x j, t n)의 주위에 δx의 거듭 제곱에서 테일러 급수 전개를 할 수 있습니다. 식 2의 모든 사항에 대해 δx 및 δt로 확장하면 다음 식을 얻습니다.

(3) $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x}-\nu \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}=-\frac{1}{2}\delta t\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{t}^{2}}}+O\left( \delta {{x}^{2}},\delta {{t}^{2}} \right).$

All second and higher order terms in δx and δt have been lumped into the order symbol O(δx² ,δt²). This is a consistent approximation because it reduces to the original partial differential equation, Eq. 1, when δx and δt tend to zero.

2 차 이상의 δx 및 δt 절은 주문 기호를 사용하여 O (δx 2, δt 2)라고 기술되어 있습니다. δx 및 δt가 제로에 접근 할 때, 원래의 편미분 방정식 1로 귀착하기 때문에 이것은 일관성 있는 근사치라고 할 수 있습니다.

Comparison of Fourier and Truncation Error Analysis

In the article Computational Stability a typical Fourier mode of the form

“계산 안정성”에서는 다음과 같은 형식의 전형적인 푸리에 모드

$\displaystyle P_{j}^{n}\propto {{r}^{n}}{{e}^{{ikxj}}}$

was substituted into the difference equation, Eq.2, to obtain an equation for r,

이를 차등 방정식 2에 대입하면 r을 구하는 식을 얻었습니다.

(4) $\displaystyle r=1-\left( \frac{ic\delta t}{\delta x} \right)\sin \left( k\delta x \right)-\left( \frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}} \right)\left[ 1-\cos \left( k\delta x \right) \right].$

Computational stability of the difference equation requires that the magnitude of r remain less than or equal to 1.0.

차분 방정식의 계산 안정성을 실현하려면 r의 절대 값을 1.0 이하로하는 것이 필요합니다.

If we insert a Fourier mode of the form exp(i(kx+wt)) into the truncated Eq. 3, it will be seen that the result is the same as Eq. 4 with r=exp(iwδt) and then expanded in powers of wδt, plus the sine and cosine expanded in powers of kδx. This confirms that the two results are the same, as they should be to O(δx²,δt²) retained in Eq. 3.

exp (i (kx + wt)) 형식의 푸리에 모드를 계산을 중단 한 식 3에 대입하면 r = exp (iwδt)되고, wδt의 거듭 제곱에서 전개되고 더 sin과 cos는 kδx의 거듭 제곱 전개되고 식 4와 같은 결과를 얻을 수 있는 것을 알 수 있습니다. 식 3에서 개최 된 O (δx 2, δt 2)와 같이 두 결과는 동일하다고 확정됩니다.

However, the comparison also indicates that to keep the basic form of r in Eq. 4, with its real and imaginary parts, we must keep at least the first non-zero terms from the sine and cosine when they are expanded in powers of kδx. The first non-zero term in the imaginary contribution to r comes from sin(kδx) and is proportion to kδx, which corresponds to the first derivative with respect to x in Eq.3. The first non-zero term in the real part of r (other than 1) comes from cos(kδx) and is proportional to (kδx)², which corresponds to the second derivative with respect to x in Eq. 3.

그러나 이 비교에서는 식 4의 실수 부와 허수 부로 구성된 r의 기본 형식을 유지하려면 kδx의 제곱으로 전개 된 때 적어도 sin과 cos의 첫 번째 non-zero 항을 유지 해야한다고 표시됩니다. r의 허수 부분의 첫 번째 non-zero 항은 sin (kδx)로부터 유도 된 것으로, kδx에 비례합니다. 이것은 식 3의 x에 대한 1 차 도함수에 대응합니다. r의 실수 부 최초의 non-zero 항 (1 제외)은 cos (kδx)로부터 유도 된 것으로, (kδx) 2에 비례합니다. 이것은 식 3의 x에 관한 2 차 도함수에 대응합니다.

These observations lead to the rule-of-thumb that for the truncated equation to reproduce the lowest order real and imaginary parts of the amplification factor r, it is necessary to retain the lowest order even and odd derivatives with respect to each independent variable in the truncation error. In Eq. 3 there is only one first order term proportional to δt and it is a second derivative with respect to t. There are no first order terms proportional to δx.

이러한 점에서 계산을 끊은 식으로 진폭 계수 r의 최소 차수의 실수 부와 허수 부를 재현하려면 중단 오차에서 각 독립 변수에 대해 최소 차수의 짝수와 홀수 함수 (도함수) 을 유지해야한다는 경험식을 지도합니다. 식 3에서 δt에 비례하는 1 차 항은 하나만에서 t에 대한 2 차 도함수입니다. δx에 비례하는 1 차 항은 없습니다.

Examining the Truncated Equation for Stability

Using the above rule-of-thumb, the truncated equation is,

위의 경험식을 사용하면 계산을 중단 한 식은 다음과 같이됩니다.

(5) $\displaystyle \frac{\delta t}{2}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{t}^{2}}}+\frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x}-\nu \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}=0$

The first important thing to note is that this is not identical to the original partial differential equation, Eq. 1. The claim made here is that Eq. 5 is a better approximation of the finite-difference equation than Eq. 1 and because of this we can obtain information about the stability properties of the difference equation. This, in fact, is the case.

여기에서 먼저주의해야 할 점은이 표현은 원래 편미분 방정식 1과 동일하지 않다는 것입니다. 여기에서 증명하고 싶은 것은, 식 5 식 1보다 유한 차분 방정식을 양호하게 근사 할 식이며, 따라서 차이 방정식의 안정성을 나타내는 특성에 대한 정보를 얻을 수 있다는 점입니다. 바로 이것이 증명됩니다.

Recall that the difference equation propagated information into a region of influence bounded by lines whose slopes are dx/dt=±δx/δt. Similarly, the truncated Eq. 5 has a hyperbolic (i.e., wave) character because of the second space and second time derivatives, and the effective wave speeds are ±(2ν/δt)^½. If the difference equation is to have any hope of approximating the truncated equation then its region of influence must at least encompass the region of influence of the truncated equation, which leads to the condition

전술 한 바와 같이 차등 방정식은 기울기 dx / dt = ± δx / δt를 가진 선이 경계가되는 영향 영역에 정보가 전달됩니다. 마찬가지로 계산을 중단 한 식 5는 공간에 대한 2 차 도함수 및 시간에 대한 2 차 도함수에 의해 쌍곡선 (즉, 파동)의 특성을 가지고 유효한 파동 속도는 ± (2ν / δt ) ½입니다. 차분 방정식으로 계산을 중단 한 식을 근사하려면 그 영향 영역이 적어도 계산을 끊은 식의 영향 영역을 포함하고 있어야합니다. 그러면 다음의 조건이 도출됩니다.

(6) $\displaystyle \frac{2\nu }{\delta t}\le {{\left( \frac{\delta x}{\delta t} \right)}^{2}}$ or $\displaystyle \frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}}\le 1.$

Courant, Friedrichs and Lewy [2] used a similar region of influence condition, now called the Courant condition, which restricts the distance a wave travels in one time increment to less than one space increment. A violation of the Courant condition leads to an oscillating and exponentially growing instability. Condition Eq. 6 is precisely one of the stability conditions found from Fourier analysis in Computational Stability.

Courant, Friedrichs 및 Lewy [2]는 유사한 영향 영역에 관한 조건을 사용했습니다. 현재 이것은 “쿨랑 조건”이라고 불리며 하나의 시간 증분 사이에 파도가 전파하는 거리가 하나의 공간 증분 미만으로 제한된다는 것입니다. 쿨랑 조건이 충족되지 않은 경우, 부호의 빈번한 반전이나 기하 급수적 인 증가를 수반 불안정성이 생깁니다. 조건식 6은 바로 ‘ 계산 안정성 “푸리에 분석에서 도출 한 안정 조건의 하나입니다.

A similar Courant-type condition can be inferred from the two first order derivative terms (the advective terms) in the truncated Eq. 5, which propagate information with speed c,

계산을 중단 한 식 5의 2 개의 1 차 도함수 항 (이류 항)에서 다음과 같은 유사한 쿨랑 유형 조건을 추측 할 수 있습니다. 여기에서 정보는 속도 c로 전달합니다.

(7) $\displaystyle \frac{c\delta t}{\delta x}\le 1.$

This stability condition, also identified in Computational Stability, likewise leads to an oscillating and growing instability when violated.

이 안정 조건도 “계산 안정성”로 표시 한 것으로, 충족되지 않을 때뿐만 아니라 부호의 반전이나 증가를 수반 불안정성이 생깁니다.

To uncover a third stability condition we must first rewrite the truncated equation by converting the δt term to have space instead of time derivatives, but in a way that still maintains the first order of the expansion. This is done by differentiating Eq. 3 by t and neglecting all first and higher order terms,

세 번째 안정 조건을 도출 먼저, δt 항을 변환하여 계산을 중단 한 식을 다시 작성합니다. 이 때 배포 1 차 항이 유지되도록 시간 도함수 대신 공간 도함수를 갖도록 변환합니다. 이것은 식 3을 t로 미분 1 차 이상의 항을 무시합니다.

(8) $\displaystyle \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{t}^{2}}}+c\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}-\nu \frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}^{2}}}\frac{\partial u}{\partial t}=O\left( \delta t \right)$

Next replace the first time derivative of u by t in this equation using Eq. 1 to obtain

그런 식 1을 이용하여이 식 u / t 시간의 1 차 도함수를 대체하여 다음의 식을 얻는다.

(9) $\displaystyle \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{t}^{2}}}={{c}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}-2c\nu \frac{{{\partial }^{3}}u}{\partial {{x}^{3}}}+{{\nu }^{2}}\frac{{{\partial }^{4}}u}{\partial {{x}^{4}}}+O\left( \delta t \right)$

Finally, rewrite the truncated Eq.5 using this result for the δt term

마지막으로,이 결과를 이용하여 δt 사항에 대해 계산을 중단 한 식 5를 다시 작성합니다.

(10) $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x}=\left( \nu -\frac{{{c}^{2}}\delta t}{2} \right)\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+c\nu \delta t\frac{{{\partial }^{3}}u}{\partial {{x}^{3}}}-\frac{{{\nu }^{2}}\delta t}{2}\frac{{{\partial }^{4}}u}{\partial {{x}^{4}}}.$

This result is identical to what would have been obtained by Taylor expanding the original finite-difference equation about the point x=jδx and t=(n+½)δt (and would probably have been easier).

마지막으로 얻어진 수식은 원래 유한 차분 방정식을 점 x = jδx 및 t = (n + ½) δt의 주위에 테일러 전개하고 (아마도 더 쉽게) 제공하는 것과 같은 식입니다.

According to our rule-of-thumb the last two terms on the right side proportional to δt can be dropped because they involve higher order derivatives than what is in the first δt term on the right side, which leaves,

위의 경험칙에서 δt에 비례 우변의 마지막 두 절은 우변의 첫 번째 δt 항에 포함 된 것보다 고차 도함수를 포함하기 때문에 폐기합니다.

(11) $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x}=\left( \nu -\frac{{{c}^{2}}\delta t}{2} \right)\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}.$

This is an alternative form for the truncated equation that retains only the lowest order (first) truncation errors and only those that contain the lowest even and odd derivatives with respect to each independent variable.

이것은 계산을 끊은 식의 대체 형식으로 최소 차수 (1 차)의 중단 오차와 각 독립 변수에 대해 최소의 짝수와 홀수 함수 (도함수)을 포함 것만을 보유하고 있습니다.

Equation 11 is nearly the same as the original Eq. 1, except for a modified diffusion coefficient. The significant thing here is that the diffusion coefficient can be negative. As long as the diffusion coefficient is positive solutions of Eq. 11 exhibit exponentially damped behavior, but with a negative coefficient solutions have an exponentially growing character, i.e., a computational instability! Thus, a further condition for computational stability is that the diffusion coefficient remains positive,

식 11는 변형 된 확산 계수를 제외하고는 원래의 식 1과 거의 동일합니다. 여기서 중요한 것은, 확산 계수는 마이너스가 될 가능성이있는 것입니다. 확산 계수가 양수로 한 식 11의 해는 기하 급수적으로 감쇠 거동을 나타내지 만 계수가 음수 솔루션은 기하 급수적으로 증가하는 특성을 보인다, 즉 계산의 불안정성이 생깁니다 . 따라서 계산 안정성을 구현하기위한 또 하나의 조건으로 확산 계수가 정의되는 것을 결정합니다.

(12) $\displaystyle \frac{{{c}^{2}}\delta t}{2}\le \nu$

In this case the instability is a pure growing one without the oscillations in sign associated with the two earlier region-of-influence conditions. If instability is encountered, knowing whether it is exhibiting an oscillation in sign or not will identify it as either a region-of-influence violation or a negative diffusion coefficient. Having this knowledge makes it easier to find a remedy for the instability.

이 케이스의 불안정성은 전술의 영향 영역에 관한 두 가지 조건에 관련한 부호 반전을 수반하는 것이 아니라 단순히 증가하는 특성입니다. 불안정성이 보여진다 부호의 빈번한 반전을 수반 여부를 파악하여 영향 영역에 관한 조건 또는 음의 확산 계수에 관한 조건 중이 충족되지 않았는지 확인 할 수 있습니다. 이러한 정보를 파악할 수 있으면 불안정을 해소하는 방법을 쉽게 찾을 수 있습니다.

Application to Two-Dimensional Fluid Flow

A two-dimensional example (x,z) of water flowing under a laboratory scale sluice gate offers a test for examining a computational instability arising from non-linearity in the governing equations. The physical problem consists of water held behind a gate with an elevation of 0.9ft. Downstream (right) of the gate there is a water pool of depth 0.14 ft. Gravity is 32.2 ft/s² in the negative z direction (down). At time t=0 the gate is raised up a distance of 0.125ft and water surges out into the pool. Figure 1 shows the resulting flow obtained with a Navier-Stokes solver [3] at t=0.35s. The solver used for this example has been optimized to automatically eliminate instabilities so none are apparent in this case, but it is possible to force the program to use non-optimum settings.

실험실 규모의 수문 아래를 통과하는 2 차원 (x, z)의 흐름의 예는 지배 방정식의 비선형 성으로 인한 계산 불안정성을 조사 테스트합니다. 이 물리 현상 문제는 0.9 피트 높이까지 물을 막아서있는 수문이 있습니다. 수문 하류 측 (오른쪽)의 수심은 0.14 피트입니다. 중력이 -z 방향 (아래쪽)에 32.2 피트 / s 2입니다. 시간 t = 0에 수문은 0.125 피트 상승하고 물이 하류로 흘러갑니다. 그림 1은 나비에 스톡스 솔버[3]을 이용하여 얻은 t = 0.35s의 흐름을 나타냅니다. 이 예에서 사용 된 솔버는 불안정성을 자동으로 제거하도록 최적화되어 있기 때문에이 경우에는 불안정성은 볼 수 없습니다. 그러나 프로그램에 최적화되지 않은 설정을 강제로 실행할 수 있습니다.

Figure 1 (left). Flow under a sluice gate. No unstable behavior is observed.
Figure 2 (right). Flow instability developing when computed with small time step and no viscosity.

To demonstrate some unstable behavior we first examine a heuristic analysis performed on the vertical velocity equation used in the simulation. Focus is on the effective diffusion coefficients for the z direction velocity w, while all other truncation errors are ignored,

불안정한 거동을 실례로 설명하기 위해 먼저 시뮬레이션에 사용 된 수직 속도 식에 대해 수행 한 휴리스틱 분석을 고찰합니다. 여기에서 z 방향 속도 w에 대한 효과적인 확산 계수에 초점을 맞추고 있으며, 다른 모든 중단 오차는 무시합니다.

(13) $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+w\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial }{\partial z}\left( \frac{p}{\rho } \right)+g=\left( \nu +\frac{\alpha u\delta x}{2}-\frac{{{u}^{3}}\delta t}{2}-\frac{\delta {{x}^{2}}}{4}\frac{\partial u}{\partial x} \right)\frac{{{\partial }^{2}}w}{\partial {{x}^{2}}}+\left( \nu +\frac{\alpha w\delta z}{2}-\frac{{{w}^{2}}\delta t}{2}-\frac{\delta {{z}^{2}}}{2}\frac{\partial w}{\partial z} \right)\frac{{{\partial }^{2}}w}{\partial {{z}^{2}}}$

The diffusion of w in the x and z directions are expressed by the two terms on the right side of Eq. 13, where ν is the fluid viscosity and α is a parameter that modifies the numerical approximation of the term describing the u advection of w, i.e., the second term on the left side of the above equation. When α=0 the finite-difference advection approximation is said to be centered about the location of w, but when α=1 an upstream or “donor cell” approximation is used.

x 및 z 방향의 w의 확산은 식 13의 우변의 두 항으로 표현되어 있습니다. 여기서, v는 유체 점성, α는 w의 u 이류를 나타내는 항 (식 13의 좌변의 제 2 항)의 수치 근사를 수정하는 매개 변수입니다. α = 0 일 때, 이류의 유한 차분 근사 w의 위치를 중심으로 한 근사하지만, α = 1 일 때, 상류 측 또는 “도나세루」에 의한 근사를 사용합니다.

The first thing to notice is that if ν=0 and a centered difference approximation is also used (α=0) then the lowest order term in the two effective viscosity coefficients are proportional to δt and are negative. This clearly leads to unstable behavior, and is a well known property of the central difference approximation. Adding enough viscosity to keep the diffusion coefficient positive is also an established procedure to gain stability, but at the possible cost of introducing too much diffusion. The upstream difference option, α=1, is a reasonable compromise; provided the condition wδt<δx is maintained, the diffusion coefficients are positive (provided the δx² and δz² terms are small) and the simulation will be stable.

먼저 주의해야 할 점은 ν = 0이고 중심 차분 근사를 사용하는 경우 (α = 0), 2 개의 유효 점성 계수의 최소 차수의 항은 δt에 비례하고, 부가됩니다. 이것은 분명 불안정한 거동을 이끌 것으로, 중심 차분 근사의 잘 알려진 특성입니다. 확산 계수를 양수 유지하기 위해 충분한 점성을 추가 수법도 안정성을 얻는 데에서 확립 된 방법이지만, 확산이 커질 위험성도 있습니다. 상류 측에서 차분 옵션 α = 1은 합리적인 타협이다. 조건 wδt <δx이 충족되는 한, 확산 계수는 양이며 (δx 2 및 δz 2 항이 작은 경우) 시뮬레이션도 안정됩니다.

If the δx² and δz² terms in the diffusion coefficients are not small there is a possibility of unstable behavior. To demonstrate this we set the viscosity to zero and reduce the amount of upstream differencing by setting α=0.05. To keep the negative δt term less than the a term a very small time step δt=0.00025 is used. With these settings the resulting simulation is shown in Fig. 2. An instability in the z velocity has developed just upstream of the sluice gate, which is shown close up in Fig. 3 (where color indicates the z velocity magnitude).

확산 계수의 δx 2 및 δz 2 항이 작지 않은 경우 불안정한 거동이 발생할 수 있습니다. 이를 설명하기 위해 점성을 0으로 설정하고 상류의 차이 량을 α = 0.05로 줄입니다. 부정적인 δt 항이 a 항보다 작아 지도록 매우 작은 시간 단계 δt = 0.00025을 사용합니다. 이러한 설정에서 실행 된 시뮬레이션을 그림 2에 나타냅니다. 수문 상류 측에서 z 속도의 불안정성이 발생하고 있습니다. 그림 3은 그 확대도를 나타냅니다 (색상은 z 속도의 크기를 나타낸다).

This instability is a result of a negative x-direction diffusion coefficient, which is coming from the δx² term. A negative value results from the fact that the flow upstream of the gate is compressing in the z direction, but expanding in the x direction, which means that the x derivative of u in the δx² term is positive in this region resulting in a net negative diffusion coefficient.

이 불안정은 δx 2 항에 의하여 부정되었다 x 방향의 확산 계수에 기인합니다. 수문 상류의 흐름은 z 방향으로 압축하고 있습니다 만, x 방향으로 팽창하고 있기 때문에 음수입니다. 즉,이 영역에서는 δx 2 항의 u의 x 방향 도함수는 긍정적이고 순으로 부정적인 확산 계수입니다.

A check on this conclusion can be made by adding in a little viscosity ν=0.0093 to compensate for the negative δx² term. Figure 4 shows that this change does, indeed, stabilize the flow.

이 결론을 확인하려면 부정적인 δx 2 항을 보정하기 위해 약간 점성을 추가합니다 (ν = 0.0093). 그림 4는이 작은 변화에 의해 흐름이 확실히 안정된 것을 알 수 있습니다.

This example demonstrates that truncation error terms arising from non-linear terms in the original equation influence the computational stability of the difference equation. This type of instability cannot be found by a von Neumann type Fourier analysis. Perhaps most important of all is that when troublesome truncation errors are found to exist this knowledge can be used to alter the finite difference equations to eliminate those errors.

이 예에서는 원래의 방정식의 비선형 항으로 인해 중단 오차 항은 차분 방정식의 계산 안정성에 영향을 미치는 것으로 나타했습니다. 이 유형의 불안정은 von Neumann 유형의 푸리에 분석에서 찾을 수 없습니다. 가장 중요한 것은 문제가 될 수있는 중단 오차가 존재하는 것으로 판명 될 때이 지식을 이용하여 유한 차분 방정식을 수정하여 이러한 오차를 제거 할 수 있습니다.

Figure 3 (left). Close up of locally unstable flow caused by negative δx2 term. Color indicates z velocity.
Figure 4 (right). Same as Fig. 3 with a small amount of viscosity added to compensate for negative δx2 term.

Summary

To summarize, it has been shown that all the stability conditions associated with a linear finite-difference equation, Eq.2, can be identified using a heuristic truncation error approach. This approach not only identifies the instabilities, it also indicates what can be done to eliminate them. For instance, for a region-of-influence violation only a reduction in the time-step increment will solve the problem, but if there is a negative diffusion coefficient then adding more diffusion to compensate for the errors is one way to regain stability. Knowing the origin of a negative diffusion error may also suggest how the original finite-difference equation might be modified to avoid this problem.

이 책에서는 선형 유한 차분 방정식Eq.2에 관련된 모든 안정 조건을 중단 오차에 대한 경험적 접근에 의해 특정 할 수 있는지를 보여주었습니다. 이 방법은 불안정성을 특정 할 수있을 뿐만 아니라 그것을 제거하는 방법을 보여줍니다. 예를 들어, 영향 영역에 대한 조건이 충족되지 않을 경우 시간 단계를 줄일 수 밖에 없어 문제를 해결할 수 없지만, 음의 확산 계수가 존재하는 경우는 확산을 확대하고 오차를 보정하여 안정성을 되찾는 방법 도 있습니다. 음의 확산 오차의 원인을 아는 것은이 문제를 해결 할 수 있도록 원래의 유한 차분 방정식을 어떻게 해결 하는가하는 방법을 알려 줄 수 있습니다.

The most significant aspect of the heuristic approach is that it is not limited to linear equations with constant coefficients, as was shown in connection with the example of flow under a sluice gate. No special assumptions were necessary to form the approximating truncated equation. The goal was simply to reverse the procedure of writing a difference equation to approximate a partial differential equation, and instead to write a partial differential equation that approximates the difference equation. A simple rule-of-thumb was described for constructing the truncated equation. This approximating equation was then used to check for region-of-influence violations and for possible negative diffusion coefficients both features that lead to unstable solutions.

휴리스틱 접근법의 가장 중요한 특징은 상수 계수를 따른 선형 방정식에 한정되지 않는다는 점입니다. 이것은 수문 아래를 통과하는 흐름의 예에서 나타났습니다. 계산을 끊은 식의 근사 식을 세우는 데 특별한 가정이 필요하지 않았습니다. 편미분 방정식을 근사하는 차분 방정식을 설명하는 것이 아니라 차분 방정식을 근사하는 편미분 방정식을 기술한다는 단순히 역순를 할 목적이었습니다. 계산을 중단 한 식을 세우기위한 간단한 경험칙에 대해서도 설명했습니다. 이 근사 식을 사용하여 솔루션의 불안정으로 이어질 영향 영역에 대한 조건이 충족되어 있는지, 또한 음의 확산 계수가 존재하는지의 두 관점을 확인했습니다.

Several additional examples involving compressible and incompressible fluid dynamics simulations can be found in the original heuristic stability paper [1], which further show how the heuristic approach can be applied to real, practical, non-linear problems.

안정성에 관한 경험적 분석에 대해 기술 된 참고 문헌 [1]에는 압축 흐름 및 비 압축 흐름을 따른 몇 가지 유체 역학 시뮬레이션 예가 나와 있습니다. 또 경험적 접근을 실제 비선형 문제에 적용하는 방법에 대해 자세히 나와 있습니다.

References

C.W. Hirt, Heuristic Stability Theory for Finite-Difference Equations, J. Comp. Phys., 2, 339 (1968).
R. Courant, K.O. Friedricks and H. Lewy, Math. Ann. 100, 32 (1928).
The commercial software package FLOW-3D from Flow Science, Inc., Santa Fe, NM, USA.

계산 안정성

Computational Stability/계산 안정성

It is a fact of life that numerical approximations to differential equations may exhibit unstable behavior. That is, computational results may include exponentially growing and sometimes oscillating features that bear no relation to the solution of the original differential equation. This type of behavior is referred to as a computational instability.

미분 방정식의 수치 근사에서 불안정한 거동을 보이는 것은 드문 일이 아니다. 즉, 계산 결과에서 기하 급수적으로 증가하고 때로는 부호가 자주 반전하는 등 원래의 미분 방정식의 솔루션과 아무런 관련이없는 특성을 볼 수 있습니다. 이러한 동작을 “계산 불안정성”이라고합니다.

It is important to distinguish computational instability from physical instabilities, which may occur in some physical problems. In practice, the distinction between these types of unstable behavior is not always obvious. Certainly when a computed solution has features that change sign with each step of the finite-difference increments (in time or space) the instability is probably associated with the numerical approximation. On the one hand, changes in sign during time advancement can often be cured by decreasing the size of the time increment. On the other hand, changes in sign with space increments might indicate a lack of computational resolution, which a reduction in the size of the space increments might eliminate.

어떤 물리적인 문제가 발생할 수 있는 물리적 불안정성으로 부터 게산 불안정성을 구별하는 것이 중요합니다. 그러나 실제로는 이러한 불안정한 거동의 차이는 항상 명확하지 않습니다. 계산된 솔루션에서 유한 차등 (시간 또는 공간) 증분 단계마다 부호가 반전하는 특성이 나타나는 경우 이 불안정은 틀림없이 수치 근사에 의한 것으로 생각됩니다. 한편으로는, 시간 진행에 따른 부호 반전은 종종 시간 증가를 작게하여 해결할 수 있습니다. 반면 공간 증가에 따른 부호 반전은 계산 해상도의 부족을 나타낼 수 있습니다. 이것도 공간 증가를 작게하여 문제를 제거 할 수 있는 경우가 있습니다.

In general, it would be desirable to have a means of predicting when computational as opposed to physical instabilities can occur. Unfortunately, no general method has yet been devised. There are, however, some analysis techniques that often provide enough guidance to avoid the majority of frequently encountered computational instabilities. Some of these techniques will be described in this introductory article.

일반적으로 물리적이 아니라, 계산에 의한 불안정성이 생기는 것을 예측 할 수 있는 방법이 바람직 할 것입니다. 불행하게도 그러한 일반적인 방법은 아직 고안되어 있지 않습니다. 그러나 자주 발생하는 계산 불안정성을 많이하지 않도록 하는데 충분한 지침이되는 분석 방법은 여러 가지가 있습니다. 기본 개념을 나타내는 문서에서는 이러한 방법 중 일부에 대해 설명합니다.

A Simple Example of Computational Instability

The following simple example provides a useful introduction to the subject of computational stability. Consider the simple rate equation,

여기에서는 계산 안정성의 기본 개념을 설명하기에 적합한 간단한 예를 보여줍니다. 다음과 같은 간단한 반응 속도 식을 생각합니다.

(1) $\displaystyle \frac{\delta Q}{dt}=-AQ,$

where Q=Q₀ at t=0. The exact solution of this equation is an exponential decay Q=Q0exp(-At).

For a numerical approximation, suppose time is discretized into equal steps of size δt and that t=n δt, where n is an integer. Numerically computed values of Q will the denoted by a lower case q to distinguish them from the exact solution and an exponent n will be used to denote the time step, so that qn is the approximation to Q(n δt). A finite-difference approximation to Eq.1 can be written as,

여기서 Q = Q 0, t = 0으로하면이 식의 정확한 솔루션은 지수 적 감쇠 Q = Q 0 exp (-At)입니다.

수치 근사치를 얻기 위해 일정한 단계 크기 δt 시간을 이산화 t = n δt합니다 (n은 정수). 수치적으로 계산 된 Q 값은 정확한 솔루션과 구별하기 위해 소문자 q로 나타내며 지수 n을 사용하여 시간 단계를 나타냅니다. 그러면 Q (n δt)의 근사치는 q n입니다. 식 1의 유한 차분 근사는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

(2) $\displaystyle {{q}^{n+1}}-{{q}^{n}}=-A\delta t{{q}^{n}},$

where q₀=Q_0.Because of its simplicity there is an exact solution to Eq.2,

여기서, q 0 = Q 0하면 매우 간결하게 식 2의 정확한 솔루션을 얻을 수 있습니다.

(3) $\displaystyle {{q}^{n}}={{\left( 1-A\delta t \right)}^{n}}{{q}_{0}}$

Now the interesting thing is to observe how the values of qn evolve with n as the value of Aδt is changed. The values depend on the magnitude of the bracket (1-Aδt), which is raised to the power of n, Fig. 1.

여기서 주목해야 할 것은 Aδt 값이 변화함에 따라 값 q n이 n에 따라 어떻게 변화 해 나갈 것인가 하는 점입니다. 값은 n 승되는 괄호 (1-Aδt) 값의 크기에 따라 달라집니다 (그림 1).

Figure 1. Equation 3 for the first few values of n. Series 1 for Aδt=0.5, Series 2 for Aδt=1.5, Series 3 for Aδt=2.5 and Series 4 for exact values from Eq.1.

When Aδt is greater than 2.0, the bracket is negative and has a magnitude that is greater than 1.0, so qn changes sign alternately with increasing n and its magnitude is rapidly growing. This is a clear case of computational instability in which the numerical results provide no useful information about the evolution of q. In contrast, if the value of Aδt is less than 1.0, the bracket is positive and has a magnitude less than 1.0. In this case the evolution of qn is a decent approximation of the exponential decay in the exact solution, in which the values lie a little below the exact values. Intermediate values of Aδt (between 1.0 and 2.0) result in qn values that decay, but do so with an oscillation in sign each time step. Based on these observations we can say that the finite-difference approximation Eq. 2 is a stable and reasonable approximation to the exact equation provide the time step δt is limited by the “stability condition” Aδt<1.0.

Aδt가 2.0보다 큰 경우 괄호 안에 음수가되고, 그 절대 값은 1.0보다 커집니다. 따라서 n이 증가 할 때마다 q n의 부호는 반전 값은 크게 증가하고 있습니다. 이것은 계산 결과를 봐도 q가 어떻게 변화 해 나갈 것인가를 파악할 수없는 계산 불안정성이 보이는 전형적인 케이스입니다. 이에 대해 Aδt 값이 1.0보다 작을 때, 괄호 안은 정되고, 그 절대 값은 1.0보다 작아집니다. 이 경우 q n의 변화는 근사치가 정확한 값을 약간 밑도는 엄격 해의 지수 적 감쇠의 우수한 근사치입니다. Aδt에 중간 값 (1.0과 2.0 사이)을 대입하면 q n 값은 감소하지만, 시간 단계마다 부호가 반전됩니다. 이러한 점에서 유한 차분 근사 식 2는 시간 단계 δt가 “안정 조건”Aδt <1.0에 의해 엄격하게 제한 될 때 식에 안정적이고 합리적인 근사치를 나타내는 것을 알 수 있습니다.

Linear Stability Analysis of von Neumann

One of the 20th century’s most famous mathematicians, John von Neumann played an important role in the development of the modern computer. So it may be no surprise that he also pioneered analytical techniques for studying the properties of finite-difference equations. His approach to evaluating the computational stability of a difference equation employs a Fourier series method and is best described in References 1 and 2.

20 세기의 가장 유명한 수학자의 한사람 인 John von Neumann은 현대 컴퓨터의 기초를 세운 업적들로 알려져 있습니다 만, 유한 차분 방정식의 특성을 조사하기위한 분석 기법도 개발하고 있습니다 . 그 방법은 차분 방정식의 계산 안정성을 평가하기 위해 푸리에 급수를 이용한 접근 방식을 취하며, 참고 문헌 1 및 2 에 대한 세부 사항을 설명하고 있습니다.

The approach von Neumann used is based on two assumptions. First, that the difference equation can be linearized with respect to a small perturbation in the solution. Second, that there exists a set of overlapping regions in each of which the coefficients of terms in the difference equation for the perturbation can be considered locally constant. When these conditions are satisfied a Fourier series can be used in each region to compute the local behavior of the perturbation.

von Neumann의 접근 방식은 두 가지 가정에 근거하고 있습니다. 차분 방정식은 솔루션에 포함 된 작은 섭동에 대해 선형화 할 수있는, 그리고 섭동에 대한 차분 방정식의 항의 계수를 국소적으로 상수로 간주 될 수 겹치는 영역이 존재하는 것입니다. 이러한 조건이 충족 될 때, 각 영역에서 푸리에 급수를 이용하여 섭동의 국소 적 거동을 계산할 수 있습니다.

The solution for the perturbation Pjn, at discrete location j and time step n, is sought as a sum of Fourier terms having the form

시간 단계 n과 공간의 이산 위치 j의 섭동 P j n은 다음의 형식을 취해 푸리에 항의 합으로 구해집니다.

(4) $\displaystyle P_{j}^{n}\propto {{r}^{n}}{{e}^{ikx}},$

where xj is the location of the jth finite-difference point, k is the wave number of the mode and r is a time amplitude. Because of the linear nature of the difference equation, it is only necessary to consider the behavior of a typical mode. Substitution of the typical mode into the linearized difference equation leads to an algebraic equation for the time amplitude r that must be satisfied if there is to be solution of the form postulated. A full solution for the perturbation could then be constructed from a sum of Fourier modes over a range of wave numbers.

여기서 xj는 j 번째의 유한 차분 점의 위치, k는 모드의 주파수, r은 시간 진폭입니다. 차분 방정식의 선형 특성에 따라 전형적인 형태의 거동을 고찰하기 만하면 됩니다. 전형적인 모드를 선형화 된 차분 방정식에 대입하여 추정 된 형식의 솔루션을 얻기 위해 충족되어야 시간 진폭 r의 대수 방정식을 얻습니다. 그러면 범위의 주파수에 걸쳐 푸리에 모드의 합에서 섭동의 전체 솔루션을 얻을 수 있습니다.

Numerical stability implies that as time increases (i.e., with increasing n) the magnitude of each mode must not grow unboundedly, and this means that the magnitude of r must be less than or equal to unity.

수치적으로 안정되어 있다는 것은 시간이 진행하는 (즉 n이 증가)에 따라 각 모드의 크기가 제한없이 증가하고 안되어, 그것은 r 값의 크기가 1 이하 이어야한다는 것을 의미합니다.

An Example of Linear Stability Analysis

An example will make von Neumann’s technique clear. For illustration purposes an advection-diffusion equation is a good test case,

von Neumann의 방법을 명확하게 하기 위해, 예를 이용하여 설명합니다. 여기에서는 테스트 케이스에 적합 이류 확산 방정식을 예로 들어 있습니다.

(5) $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}},$

which describes the convection and diffusion of a function u(x,t). The convection velocity c and diffusion coefficient ν are constant. Solutions of this equation are known to be well-behaved (i.e., physically stable).

이것은 함수 u (x, t)의 대류와 확산을 나타내는 식입니다. 대류 속도 c와 확산 계수 ν는 정수입니다. 이 방정식의 해는 양호한 거동을 나타내는 것을 알 수 있습니다 (즉, 물리적으로 안정되어있다).

A simple finite-difference approximation using constant time steps δt and spatial steps δx for ujn= u(jδx,nδt) is

상수 인 타임 단계 δt 및 공간 단계 δx를 사용하여 u j n = u (jδx, nδt) 한 다음 간단한 유한 차분 근사 식을 얻습니다.

(6) $\displaystyle \frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\delta t}=-\frac{c}{2\delta x}\left( u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n} \right)+\frac{\nu }{\delta {{x}^{2}}}\left( u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n} \right)$

Inserting von Neumann’s mode Eq. 4 to this equation, with xj=jδx, and solving for r gives

이 식은 von Neumann 모드 식 4를 대입하고 xj = jδx로 r에 대해 해결합니다.

(7) $\displaystyle r=1-\left( \frac{ic\delta t}{\delta x} \right)\sin \left( k\delta x \right)-\left( \frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}} \right)\left[ 1-\cos \left( k\delta x \right) \right].$

Because this involves real and imaginary terms the square of the magnitude of r is given by the sum of the squares of the real and imaginary parts,

이 식에는 실수 항과 허수 부분이 포함되어 있으며, r의 절대 값의 제곱은 실수 부와 허수 부를 각각 제곱 한 합계에서 구할 수 있습니다.

(8) $\displaystyle {{r}^{2}}={{\left( 1-\frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}}\left( 1-\cos \left( k\delta x \right) \right) \right)}^{2}}+{{\left( \frac{c\delta t}{\delta x}\sin \left( k\delta x \right) \right)}^{2}}.$

From this result, limits on ν, c, and δt can be determined that ensure that r remains less than or equal to 1.0 the requirement for not having an unbounded solution of the form Eq. 4.

In general, the extreme values for r occur when the sine and cosine factors are at their extreme values of 0.0, 1.0 or -1.0. For instance, if kδx=0 then r=1 and this mode will be neutrally stable, neither increasing nor decreasing with increasing values of n (i.e., rn=1). When kδx=π the value of r2 is (1-4νδt/δx2)2 and this implies the stability condition

따라서 식 4 형식으로 답을 비 묶여 있어서는 안된다는 요구 사항, 즉 r이 1.0 이하로하는 조건을 만족하는 ν, c δt에 대한 제한이 결정됩니다.

기본적으로, r이 극값이되는 것은, sin과 cos의 인수가 각각의 극치 인 0.0,1.0 또는 -1.0 때입니다. 예를 들어, kδx = 0 일 때 r = 1입니다. 이 모드는 중립 안정이며, n의 증가에 따른 값의 증가 / 감소되지 않습니다 (즉, r n = 1). kδx = π 일 때 r 2 값은 (1-4νδt / δx 2) 2이며 다음의 안정 조건이 도출됩니다.

(9) $\displaystyle \frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}}\le 1.$

And finally, when kδx=π/2 the stability condition r2

또한 kδx = π / 2의 경우 안정적인 조건 r 2 <1은 다음과 같이됩니다.

(10) $\displaystyle {{r}^{2}}={{\left( 1-\frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{c\delta t}{\delta x} \right)}^{2}}\le 1.$

Since the left side of the inequality is a sum of squares, neither term can exceed 1 without the left side exceeding 1.0, thus we have two conditions for stability solutions

부등식의 좌변은 제곱의 합이기 때문에 어느 부분이 1을 초과하면 왼쪽이 1.0을 초과하게되어, 안정적인 솔루션을 얻기위한 두 가지 조건이 인도됩니다.

(11) $\displaystyle \frac{c\delta t}{\delta x}\le 1$ and $\displaystyle \frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}}\le 2.$

The first condition is a new stability condition, but the second condition has already been made more restrictive in Eq. 9. In addition to these conditions, Eq. 10 admits of one more condition that can be evaluated by expanding the first term and rearranging the inequality,

첫 번째 조건은 새로운 안정 조건이지만, 두 번째 조건은 더 까다로운 것이 이미 식 9로 표시되어 있습니다. 이러한 조건 이외에 식 (10)의 제 1 항을 전개하고 불평등을 정렬하여 구해지는 또 하나의 조건이 부여됩니다.

(12) $\displaystyle \frac{{{c}^{2}}\delta dt}{2\nu }\le 2-\frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}}.$

The minimum value on the right side, according to Eq. 9, is 1.0, which finally leads to a condition for the minimum size of diffusion ν. In total, there are three stability conditions to be satisfied,

식 9에서 우변의 최소값은 1.0입니다. 따라서 확산 계수 ν의 최소 크기에 대한 조건이 부여됩니다. 마지막으로, 충족되어야 할 3 가지 안정 조건이 인도됩니다.

(13) $\displaystyle \nu \ge \frac{{{c}^{2}}\delta t}{2},$ $\displaystyle \frac{c\delta t}{\delta x}\le 1,$ $\displaystyle \frac{2\nu \delta t}{\delta {{x}^{2}}}\le 1.$

When these three conditions are satisfied no Fourier modes will grow as n increases and so no unbounded instability develops. The first condition, in particular, is interesting because it says there will be unstable solutions for any non-zero time step unless there is a sufficient amount of diffusion. In contrast, the remaining conditions are simply restrictions on the maximum time step size.

이러한 세 가지 조건이 충족 될 때 n이 증가함에 따라 푸리에 모드가 증가하는 것은 아니라 제한없는 불안정성이 발생하지 않습니다. 특히 첫 번째 조건은 충분히 확산되지 않는 한 0이 아닌 임의 시간 단계에 해가 불안정해질 수를 나타내고 있다는 점에서 매우 흥미 롭다고 할 수 있습니다. 반면 나머지 두 조건은 최대 시간 단계에 대한 단순한 제한에 지나지 않습니다.

At this point it’s worthwhile observing that a violation of the first condition in Eq. 13 leads to a solution with purely exponential growth, while violation of either of the second two conditions exhibits a growth that not only grows exponentially, but also changes sign with each increment in time. The reason for this behavior and other useful information about finite-difference equations is explained in the second CFD-101 article on stability, Heuristic Analysis.

여기서, 식 (13)의 첫 번째 조건이 충족되지 않은 경우 해석은 기하 급수적으로 증가 할뿐입니다 만, 나머지 2 개의 조건의 어느 한쪽이라도 충족되지 않은 경우에는 지수 함수 적인 증가뿐만 아니라 시간 증분마다 부호가 반전하는 것에 주목하십시오. 이 동작을 가져다 원인 및 유한 차분 방정식에 관한 기타 유용한 정보는 안정성을 설명하는 “CFD-101″의 다음 문서 “휴리스틱 분석”을 참조하십시오.

In summary, the von Neumann type of Fourier analysis of finite-difference equations is quite useful provided the equation(s) are linear and have constant coefficients within a set of overlapping regions. For more general situations other methods must be sought to analyze computational stability.

이처럼 대상 유한 차분 방정식이 선형이며, 겹치는 영역 세트에서 상수 계수가 사용되는 경우에는 von Neumann 유형의 푸리에 분석이 매우 유용하다고 할 수 있습니다. 보다 일반적인 상황에 대해 계산 안정성을 분석하는 경우에는 다른 방법을 고려해야합니다.

End Note

Readers who may be a bit rusty with exponentials and imaginary numbers may find the following set of identities useful for performing a von Neumann type analysis:

지수와 허수에 관한 노트로 von Neumann 유형의 분석을 수행하는 데 도움이되는 항등식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \sin \theta =\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i},$ $\displaystyle \cos \theta =\frac{{{e}^{i\theta }}+{{e}^{-i\theta }}}{2}$

$\displaystyle \sin \theta =2\sin \left( \frac{\theta }{2} \right)\cos \left( \frac{\theta }{2} \right),$ $\displaystyle \cos \theta ={{\cos }^{2}}\left( \frac{\theta }{2} \right)-{{\sin }^{2}}\left( \frac{\theta }{2} \right)$

$\displaystyle {{\sin }^{2}}\left( \frac{\theta }{2} \right)=\frac{1-\cos \theta }{2},$ $\displaystyle {{\cos }^{2}}\left( \frac{\theta }{2} \right)=\frac{1+\cos \theta }{2}$

References

B.G. O’Brien, M.A. Hyman and S. Kaplan, “A Study of the Numerical Solution of Partial Differential Equations,” J. Math. Phys. 29, 223 (1951).
J. von Neumann, Collected Works, IV, Macmillan Co., New York, NY (1963).

비압축성 가정

The Incompressibility Assumption / 비 압축성 가정

All materials, whether gas, liquid or solid exhibit some change in volume when subjected to a compressive stress. The degree of compressibility is measured by a bulk modulus of elasticity, E, defined as either E=δp/ (δρ/ρ ), or E=δp/(-δV/V), where δp is a change in pressure and δρ or δV is the corresponding change in density or specific volume. Since δp/δρ =c², where c is the adiabatic speed of sound, another expression for E is E =ρc². In liquids and solids E is typically a large number so that density and volume changes are generally very small unless exceptionally large pressures are applied.

기체, 액체, 고체에 관계없이 모든 물질은 압축 응력에 따라 부피가 어느 정도 변화합니다. 압축의 정도는 E = δp / (δρ / ρ) 또는 E = δp / (- δV / V)로 정의되는 체적 탄성 계수 E에 의해 측정됩니다. 여기서 δp는 압력의 변화, δρ과 δV는 밀도와 비 체적의 대응하는 변화입니다. δp / δρ = c 2 (c 단열 음속)이기 때문에 E를 나타내는 또 다른 표현은 E = ρc 2입니다. 액체 및 고체, E는 일반적으로 큰 수치이며, 예외적으로 큰 압력이 가해지지 않는 한 밀도와 부피의 변화는 일반적으로 무시할 수 있습니다.

If an incompressible assumption is made in which densities are assumed to remain constant, it is important to know under what conditions that assumption is likely to be valid. There are, in fact, two conditions that must be satisfied before compressibility effects can be ignored. Let us define “incompressibility” as a good approximation when the ratio δ ρ/ρ is much smaller than unity. To determine the conditions for this approximation we must estimate the magnitude of changes in density.

밀도가 일정하게 유지된다는 가정으로 비압축성 가설을 세울 경우, 그 가설이 어떤 조건에서 활성화 될지를 아는 것이 중요합니다. 실제로 두 가지 조건이 충족되면 압축성 효과를 무시할 수 있습니다. 여기에서는 “비압축성”을 δρ/ρ의 비율이 1보다 훨씬 작은 경우 비교적 정확한 근사로 정의합니다. 이 근사 조건을 결정하기 위해서는 밀도의 변화의 크기를 추정해야합니다.

Steady Flow / 정상 흐름

In steady flow, the maximum change in pressure can be estimated from Bernoulli’s relation to be δp=ρu². Combining this with the above relations for the bulk modulus, we see that the corresponding change in density is δρ/ρ = u²/c².

정상 흐름에서 압력의 가장 큰 변화는 베르누이의 관계식에서 δp = ρu 2로 추정 할 수 있습니다. 이것을 위의 체적 탄성 계수의 관계식과 결합하면 해당 밀도의 변화는 δρ / ρ = u 2 / c 2임을 알 수 있습니다.

Thus, the assumption of incompressibility requires that fluid speed be small compared to the speed of sound,

따라서 비압축성 가정에서는 유체 속도가 음속에 비해 작은 것이 필요합니다.

(1) $\displaystyle u\ll c.$

Unsteady Flow / 비정상 흐름

In unsteady flow another condition must also be satisfied. If a significant change in velocity, u, occurs over a time interval t and distance l, then momentum considerations (for an inviscid fluid) require a corresponding pressure change of order δp = ρul/t . Since changes in density are related to changes in pressure through the square of the sound speed, δp=c²δρ , this relation becomes δρ/ρ = (u/c)l/(ct).

비정상 흐름은 또 다른 조건도 충족해야합니다. 시간 간격 t 거리 l에서 속도 u에 현저한 변화가 발생한 경우 (비 점성 유체의) 운동량 생각에는 δp = ρul / t 다음 대응하는 압력 변화가 필요합니다. 밀도의 변화는 음속의 2 승을 통해 압력의 변화와 상관하기 위해 (δp=c²δρ)이 관계식은 δρ/ρ = (u/c)l/(ct)입니다.

Comparing with expression (1), we see that the factor multiplying (u/c) must also be much less than one.

식 (1)과 비교하면 (u/c)에 거는 계수도 1보다 크게 줄여야한다 것을 알 수 있습니다.

(2) $\displaystyle 1\gg ct.$

Physically, this condition says that the distance traveled by a sound wave in the time interval t must be much larger than the distance l, so that the propagation of pressure signals in the fluid can be considered nearly instantaneous compared to the time interval over which the flow changes significantly.

물리적으로,이 조건은 음파가 시간 t 사이에 이동하는 거리는 거리 l보다 훨씬 커야한다는 것을 보여줍니다. 이것은 유체의 압력 신호 전파가 흐름이 크게 변화하는 시간 간격과 비교하여 거의 순간적이라고 생각할 수 있도록하기 위해서입니다.

Incompressible Example / 비 압축성의 예

An example of why both conditions are required can be found in the collapse of a vapor bubble. During the collapse process the surrounding liquid can be treated as an incompressible fluid because the collapse velocity is much less than the speed of sound. However, at the instant the bubble vanishes, all the fluid momentum rushing toward the point of collapse must be stopped. If this really happened instantaneously, the collapse pressure would be enormous, i.e., much larger than what is actually observed. Since a sound signal requires time to travel out from the collapse point to signal incoming fluid that it must stop, Condition Two is violated (i.e., l > ct ). An accurate numerical model of the collapse process, one capable of predicting the correct pressure transients, requires the addition of a bulk compressibility in the liquid.

두 조건이 필요한 이유의 예는 증기 거품의 붕괴에서 살펴볼 수 있습니다. 붕괴 속도는 음속보다 훨씬 작기 때문에 붕괴 과정에서 주위의 액체는 비압축성 유체로 처리 할 수 있습니다. 그러나 기포가 소멸하는 순간에 붕괴 지점으로 향하는 유체 운동을 중지해야합니다. 이것이 정말 순식간에 발생하면 붕괴 압력은 매우 많고 실제로 관찰되는 압력보다 훨씬 커집니다. 음성 신호가 붕괴 점에서 나와 진행해 오는 유체를 중지하도록 지시 할 때까지 시간이 걸리기 때문에 조건 (i.e., l > ct )에 위배됩니다. 붕괴 과정의 정확한 수치 모델, 즉 압력의 과도 현상을 정확하게 예측할 수있는 모델은 액체의 부피 압축성을 추가해야합니다.

경계 조건 – 유출

Boundary Conditions – Outflow

In many simulations, fluid must flow out one or more boundaries of the computational region. But what constitutes a good boundary condition at such “outflow” boundaries?

경계 조건 – 유출

많은 시뮬레이션에서 유체는 계산 영역의 하나 이상의 경계에서 유출해야 합니다. 그러나 그러한 ‘유출’ 경계에서 좋은 경계 조건은 어떤 것이 있을까요?

In compressible flows, when the flow speed at the outflow boundary is supersonic, it makes little difference how the boundary conditions are specified since flow disturbances can’t propagate upstream. However, in low speed and incompressible flows disturbances introduced at an outflow boundary can affect the entire computational region.

압축성 흐름은 유출 경계에서 유속이 초음속일때 흐름의 교란이 상류로 전파 될 수 없기 때문에 경계 조건의 지정 방법에 따라 차이가 생기는 경우는 거의 없습니다. 그러나 느린 비압축성 흐름의 경우는 유출 경계에서 발생하는 동요는 계산 영역 전체에 영향을 미칠 수 있습니다.

Continuative Approximation

The simplest and most commonly used outflow condition is that of a “continuative” boundary. Continuative boundary conditions consist of zero normal derivatives at the boundary for all quantities. The zero-derivative condition is intended to represent a smooth continuation of the flow through the boundary.

연속 근사

가장 간단하고 가장 일반적으로 사용되는 유출 조건은 “연속”경계 조건입니다. 연속 경계 조건은 모든 유량의 경계에서 제로 법선 미분으로 구성되어 있습니다. 제로 미분 조건은 경계를 통과하고 매끄럽게 연속 흐름을 표현하는 것을 목적으로 하고 있습니다.

It must be stressed that the continuative boundary condition has no physical basis; it is a mathematical statement that may or may not provide the desired flow behavior. In particular, if flow enters the computational region across such a boundary, then the computations may be wrong because nothing has been specified about flow conditions existing outside the boundary.

여기에서 연속 경계 조건은 물리적 근거가 없는 것을 강조해야합니다. 이것은 수학적 이론이며 실제로 바람직한 흐름을 얻을 수 있을지 여부는 확실하지 않습니다. 특히 흐름이 이러한 경계를 통과하여 계산 영역에 들어갔을 경우 경계의 외부에 존재하는 흐름 조건에 관해서는 아무것도 지정되어 있지 않기 때문에 잘못된 계산이 될 수 있습니다.

Improved Continuative Approximation

FLOW-3D uses a special enhancement to continuative boundaries to improve their behavior. If flow attempts to enter the computational region across this type of boundary it must do so by starting from a condition of rest. This practice helps to reduce inflow and often results in a reasonable approximation of a smooth outflow condition. Nevertheless, a continuative boundary condition must always be viewed with suspicion.

연속 근사 개선

FLOW-3D는 특수 강화 방법을 사용하여 연속 경계의 거동을 개선하고 있습니다. 이 유형의 경계를 통과하여 계산 영역에 들어 가려고하는 흐름은 먼저 정지 조건에서 시작해야합니다. 이에 따라 유입이 감소하고 부드러운 유출의 조건을 합리적으로 근사 할 수있는 경우가 많습니다. 그럼에도 불구하고, 연속 경계 조건은 항상 의심의 눈으로 볼 필요가 있습니다.

Other Approximations

For limited classes of problems, better outflow boundary conditions do exist. For example, special boundary treatments have been devised for wave propagation problems that try to determine the speed and direction of waves approaching the boundary and then set boundary conditions so that they continue through the boundary with a minimum of reflection. A useful example of this type of treatment, sometimes called a radiation boundary condition, is described by I. Orlanski, Jour. Comp. Phys. 21, 251 (1976).

기타 근사

문제의 종류는 한정되지만 좀 더 나은 유출 경계 조건도 존재합니다. 예를 들어, 파동 전파 문제에 대해 특별한 경계 처리가 고안되어 있습니다. 이것은 경계에 접근하는 파도의 속도와 방향을 확인하고 최소한의 반사 경계를 통과하여 연속적이도록 경계 조건을 설정하려고하는 것입니다. 이 유형의 처리가 유익한 예는 방사 경계 조건이라는 것도 있지만, I. Orlanski 씨의 Jour. Comp. Phys. 21,251 (1976)에 설명되어 있습니다.

As a general rule, a physically meaningful boundary condition, such as a specified pressure condition, should be used at outflow boundaries whenever possible. When a continuative condition must be used it should be placed as far from the main flow region as is practical so that any adverse influence on the main flow will be minimal.

원칙적으로 유출 경계는 가능한 한 지정된 압력 조건과 같은 물리적으로 유의 한 경계 조건을 사용하십시오. 연속 조건을 사용할 필요가 있는 경우, 실용성이 손상되지 않을 정도로 흐름의 주요 영역에서 최대한 멀리 배치하고, 주류에 대한 악영향을 최소화 할 수 있도록 해야합니다.

난류 모델링

Turbulence Modeling

The majority of flows in nature are turbulent. This raises the question, is it necessary to represent turbulence in computational models of flow processes? Unfortunately, there is no simple answer to this question, and the modeler must exercise some engineering judgment. The following remarks cover some things to consider when faced with this question.

난류 모델링

자연에서의 흐름은 대부분은 난류입니다. 이것은 유동의 수치해석 모델에서 난류를 표현할 필요가 있는가? 에 대한 의문이 생깁니다. 불행히도이 질문에 대한 답은 모델링을 할 경우 엔지니어가 공학적인 판단을 내려야합니다. 다음에 이 질문에 직면했을 때 고려해야 할 몇 가지를 설명합니다.

Definitions and Orders of Magnitude

The possibility that turbulence may occur is generally measured by the flow Reynolds number:

난류가 발생할 가능성은 일반적으로 흐름의 레이놀즈 수에 의해 측정됩니다.

where ρ is fluid density and μ is the dynamic viscosity of the fluid. The parameters L and U are a characteristic length and speed for the flow. Obviously, the choice of L and U are somewhat arbitrary, and there may not be single values that characterize all the important features of an entire flow field. The important point to remember is that Re is meant to measure the relative importance of fluid inertia to viscous forces. When viscous forces are negligible the Reynolds number is large.

여기서 ρ는 유체 밀도이고 μ는 유체의 동적 점도입니다. 매개 변수 L과 U는 흐름의 특성 길이와 속도입니다. 분명히 L과 U의 선택은 다소 임의적이며, 전체 유동장의 모든 중요한 특징을 특징 짓는 단일 값이 없을 수도 있습니다. 기억해야 할 중요한 점은 Re가 점성력에 대한 유체 관성의 상대적 중요성을 측정한다는 것입니다. 점성력을 무시할 수있는 경우 레이놀즈 수가 큽니다.

A good choice for L and U is usually one that characterizes the region showing the strongest shear flow, that is, where viscous forces would be expected to have the most influence.

L과 U에 대한 좋은 선택은 일반적으로 가장 강한 전단 흐름을 나타내는 영역, 즉 점성 힘이 가장 큰 영향을 미칠 것으로 예상되는 영역을 특징 짓는 것입니다.

Roughly speaking, a Reynolds number well above 1000 is probably turbulent, while a Reynolds number below 100 is not. The actual value of a critical Reynolds number that separates laminar and turbulent flow can vary widely depending on the nature of the surfaces bounding the flow and the magnitude of perturbations in the flow.

대략적으로 말하면, 1000을 훨씬 넘는 레이놀즈 수는 아마도 난류 일 수 있지만 100 미만의 레이놀즈 수는 그렇지 않습니다. 층류와 난류를 분리하는 임계 레이놀즈 수의 실제 값은 유동을 경계하는 표면의 특성과 유동의 섭동의 크기에 따라 크게 달라질 수 있습니다.

In a fully turbulent flow a range of scales exist for fluctuating velocities that are often characterized as collections of different eddy structures. If L is a characteristic macroscopic length scale and l is the diameter of the smallest turbulent eddies, defined as the scale on which viscous effects are dominant, then the ratio of these scales can be shown to be of order L/l≈Re^3/4. This relation follows from the assumption that, in steady-state, the smallest eddies must dissipate turbulent energy by converting it into heat.

완전 난류 흐름에서는 다양한 와류 구조의 집합으로 특징 지어지는 변동 속도에 대해 다양한 스케일이 존재합니다. L이 거시적 길이 특성 척도이고, l을 점성 효과가 우세한 척도로 정의되는 가장 작은 난류 소용돌이의 직경인 경우, 이러한 척도의 비율은L/l≈Re^3/4 정도인 것으로 표시 될 수 있습니다. 이 관계는 정상 상태에서 가장 작은 소용돌이가 난류 에너지를 열로 변환하여 발산해야한다는 가정에서 비롯됩니다.

Turbulence Models

From the above relation for the range of scales it is easy to see that even for a modest Reynolds number, say Re=10⁴, the range spans three orders of magnitude, L/l=10³. In this case, the number of control volumes needed to resolve all the eddies in a three-dimensional computation would be greater than 10⁹. Numbers of this size are well beyond current computational capabilities. For this reason, considerable effort has been devoted to the construction of approximate models for turbulence.

난류 모델

스케일의 범위에 대한 위의 관계를 보면 적당한 레이놀즈 수 (예 : Re = 10⁴ )에서도 범위가 세 자릿수인 L/l=10³에 걸쳐 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이 경우 3 차원 계산에서 모든 소용돌이를 해결하는데 필요한 제어 볼륨의 수는 10⁹보다 커집니다.이 크기의 수는 현재 계산 능력을 훨씬 뛰어 넘습니다. 이러한 이유로 난류에 대한 대략적인 모델을 구성하는 데 상당한 노력을 기울였습니다.

We cannot describe turbulence modeling in any detail in this short article. Instead, we will simply make some basic observations about the types of models available. Be forewarned, however, that no models exist for general use. Every model must be employed with discretion and its results cautiously treated.

이 짧은 기사에서는 난류 모델링에 대해 구체적으로 설명 할 수 없습니다. 대신 사용 가능한 모델의 유형에 대한 몇 가지 기본적인 설명만 합니다. 그러므로 일반 모델은 존재하지 않는 것을 미리 양해 바랍니다. 어떤 모델도 신중하게 선택하고 결과를 주의 깊게 처리해야 합니다.

The original turbulence modeler was Osborne Reynolds. Anyone interested in this subject should read his groundbreaking work (Phil. Trans. Royal Soc. London, Series A, Vol.186, p.123, 1895). Reynolds’s insights and approach were both fundamental and practical.

난류를 처음으로 모델링 한 인물은 Osborne Reynolds 입니다. 이 건에 관심이있는 분은 Reynolds 의 획기적인 저서 (Phil. Trans. Royal Soc. London, Series A, Vol.186, p.123,1895)를 참조하십시오. Reynolds 의 통찰력과 접근 방식은 기본이며 동시에 실용적인 것입니다.

The Pseudo-Fluid Approximation

In a fully turbulent flow it is sometimes possible to define an effective turbulent viscosity, μ_eff, that roughly approximates the turbulent mixing processes contributing to a diffusion of momentum (and other properties). Thinking of a turbulent flow as a pseudo-fluid having increased viscosity leads to the observation that the effective Reynolds number for a turbulent flow is generally less than 100:

의사 유체 근사

완전 난류 흐름에서는 운동량 (및 기타 특성)의 확산에 기여하는 난류 혼합 공정에 대략적으로 근접하는 효과적인 난류 점도 μ_eff를 정의 할 수 있습니다. 난류 흐름을 점도가 증가 된 유사 유체로 생각하면 난류 흐름에 대한 유효 레이놀즈 수가 일반적으로 100 미만이라는 관찰이 가능합니다.

This observation is particularly useful because it suggests a simple way to approximate some turbulent flows. In particular, when the details of the turbulence are not important, but the general mixing behavior associated with the turbulence is, it is often possible to use an effective turbulent (eddy) viscosity in place of the molecular viscosity. The effective viscosity can often be expressed as

이 관찰 결과는 몇 가지 난류를 근사하는 간단한 방법을 제시하고 있기 때문에 특히 유용합니다. 특히 난류 대한 자세한 내용은 중요하지 난류와 관련된 일반적인 혼합 거동이 중요한 경우에는 분자 점성 대신 사용 난류 (소용돌이) 점성을 사용할 수있는 경우가 있습니다. 유효 점성은 다음의 식으로 나타낼 수 있습니다.

where α is a number between 0.02 and 0.04. This expression works well for the turbulence associated with plane and cylindrical jets entering a stagnant fluid. The effective Reynolds number associated with this model is Re=1/α, a number between 25 and 50.

α는 0.02에서 0.04 사이의 숫자입니다. 이 수식은 정체 유체에 들어가는 평면 제트 및 원통형 분류 관련 난류에 대하여 효과가 있습니다. 이 모델에 대한 사용 레이놀즈 수는 Re = 1 / α 25에서 50 사이의 숫자입니다.

While this model is often adequate for predicting the gross features of a turbulent flow, it may not be suitable for predicting local details. For example, it would predict a parabolic flow (i.e., laminar) profile in a pipe instead of the measured logarithmic profile.

이 모델은 종종 난류의 전반적인 특징을 예측하는데는 적합하지만, 로컬 세부 사항을 예측하는 데는 적합하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 측정된 대수 프로필 대신 파이프의 포물선 흐름 (층류 등)의 프로파일을 예측합니다.

Local Viscosity Model

The next level of complexity beyond a constant eddy viscosity is to compute an effective viscosity that is a function of local conditions. This is the basis of Prandtl’s mixing-length hypothesis where it is assumed that the viscosity is proportional to the local rate of shear. The proportionality constant has the dimensions of a length squared. The square root of this constant is referred to as the “mixing length.”

This model offers an improvement over a simple constant viscosity. For example, it predicts the logarithmic velocity profile in a pipe. However, it is not used much because it doesn’t account for important transport effects.

국소 점성 모델

일정한 소용돌이 점성보다 복잡한 것은 국소적 조건의 함수인 유효 점성을 계산하는 것입니다. 이것은 점성이 국소적 전단 속도에 비례한다고 가정된다는 프란틀 혼합 길이 가설(Prandtl’s mixing-length hypothesis )의 기초가됩니다. 비례 상수의 차원은 길이의 제곱입니다. 이 상수의 제곱근은 “혼합 장”이라고합니다.

이 모델은 간단한 일정한 점성 개선을 제공합니다. 예를 들어, 파이프의 대수 속도 프로파일을 예측할 수 있습니다. 그러나 중요한 수송 효과를 지원하지 않기 때문에 그다지 많이 사용되지 않습니다.

Turbulence Transport Models

For practical engineering purposes the most successful computational models have two or more transport equations. A minimum of two equations is desirable because it takes two quantities to characterize the length and time scales of turbulent processes. The use of transport equations to describe these variables allows turbulence creation and destruction processes to have localized rates. For instance, a region of strong shear at the corners of a building may generate strong eddies, while little turbulence is generated in the building’s wake region. The strong mixing observed in the wakes of buildings (or automobiles and airplanes) is caused by the advection of upstream generated eddies into the wake. Without transport mechanisms, turbulence would have to instantly adjust to local conditions, implying unrealistically large creation and destruction rates.

난류 수송 모델

실용 공학의 목적인 가장 뛰어난 수치 모델에는 2 개 이상의 수송 방정식이 있습니다. 난류 과정의 길이와 시간의 스케일을 특징으로는 2 개 분량이 필요하므로 최소한 2 개의 방정식이있는 것이 바람직 할 것입니다. 수송 방정식을 사용하여 이러한 변수를 표현하면 난류의 생성 속도와 파괴율을 국소적으로 할 수 있습니다. 예를 들어, 건물의 모서리의 전단력이 강한 영역에서 강력한 소용돌이가 생성 된 건축물의 후류 영역에서 난류는 거의 생성되지 않습니다. 건축물 (또는 자동차 나 비행기)의 후류에서 관찰되는 강력한 혼합은 상류에서 생성된 소용돌이 후류의 이류에 의해 발생합니다. 수송 메커니즘이 없는 경우, 난류는 국소적 조건에 즉시 적응해야하므로 생성 속도와 파괴율이 비현실적인 크기입니다.

Nearly all transport models invoke one or more gradient assumptions in which a correlation between two fluctuating quantities is approximated by an expression proportional to the gradient of one of the terms. This captures the diffusion-like character of turbulent mixing associated with many small eddy structures, but such approximations can lead to errors when there is significant transport by large eddy structures.

거의 모든 수송 모델에서 하나 이상의 경사 가정을 이루어 두 변동하는 양의 상관 관계가 하나의 항 기울기에 비례하는 식으로 근사됩니다. 이를 통해 다수의 작은 소용돌이 구조와 관련된 난류 혼합 확산적인 특징을 파악할 수 있지만, 큰 소용돌이 구조에 의해 상당한 전송이 존재하는 경우, 이러한 근사 오류가 발생할 수 있습니다.

Large Eddy Simulation

Most models of turbulence are designed to approximate a smoothed out or time-averaged effect of turbulence. An exception is the Large Eddy Simulation model (or Subgrid Scale model). The idea behind this model is that computations should be directly capable of modeling all the fluctuating details of a turbulent flow except for those too small to be resolved by the grid. The unresolved eddies are then treated by approximating their effect using a local eddy viscosity. Generally, this eddy viscosity is made proportional to the local grid size and some measure of the local flow velocity, such as the magnitude of the rate of strain.

Large Eddy 시뮬레이션

난류의 대부분의 모델은 매끄럽게 또는 시간 평균된 난류의 효과를 근사하도록 설계되어 있습니다. 예외는 큰 에디 시뮬레이션 모델 (또는 서브 그리드 스케일 모델)입니다. 이 모델의 배경에는 너무 작은 격자에 의해 해결할 수 없는 것을 제외하고는 난류의 모든 변동 내용은 계산에 의해 직접 모델링 할 수 있어야 한다는 생각이 있습니다. 미해결 소용돌이는 로컬 점성을 사용하여 효과를 근사하여 처리됩니다. 일반적으로이 소용돌이 점성은 국소적인 격자 크기 및 어떤 국소적인 흐름의 속도 측정 (변형 속도의 크기 등)에 비례합니다.

대부분의 난류 모델은 난류의 평활화 또는 시간 평균 효과에 근접하도록 설계되었습니다. 예외는 Large Eddy Simulation 모델 (또는 Subgrid Scale 모델)입니다. 이 모델의 이면에있는 아이디어는 계산이 격자에 의해 해결 되기에는 너무 작은 것을 제외하고, 난류 흐름의 모든 변동 세부 사항을 직접 모델링 할 수 있어야 한다는 것입니다. 해결되지 않은 소용돌이는 로컬 소용돌이 점도를 사용하여 효과를 근사화하여 처리됩니다. 일반적으로, 이 와류 점도는 로컬 격자 크기와 변형률의 크기와 같은 로컬 유속 측정치에 비례하여 만들어집니다.

Such an approach might be expected to give good results if the unresolved scales are small enough, for example, in the viscous sub-range. Unfortunately, this is still an uncomfortably small size. When these models are used with a minimum scale size that is above the viscous sub-range, they are then referred to as Coherent Structure Capturing models.

이러한 접근 방식은 미해결 스케일이 충분히 작은 경우, 예를 들어 점성이 작은 영역에 있는 경우에 좋은 결과를 얻을 수 있을 것으로 기대됩니다. 불행히도 아직은 여전히 불편한 작은 크기 입니다. 이러한 모델을 점성 작은 영역보다 높은 최소 스케일 사이즈로 사용하는 경우는 CSC (Coherent Structure Capturing) 모델이라고합니다.

The advantage of these more realistic models is that they provide information not only about the average effects of turbulence but also about the magnitude of fluctuations. But, this advantage is also a disadvantage, because averages must actually be computed over many fluctuations, and some means must be provided to introduce meaningful fluctuations at the start of a computation and at boundaries where flow enters the computational region.

이보다 현실적인 모델의 장점은 난류의 평균 효과에 대한 정보뿐만 아니라 변동의 크기에 대한 정보도 제공 될 것입니다. 그러나 이와같은 장점은 단점도 있습니다. 평균적으로 실제로 다수의 변동에 대해 계산해야 하며, 계산의 시작 및 흐름이 계산 영역에 들어가는 경계에서 상당한 변화를 도입하기위한 수단을 제공 할 필요가 있기 때문입니다.

Turbulence from an Engineering Perspective

We have seen that it is probably not reasonable to attempt to compute all the details of a turbulent flow. Furthermore, from the perspective of most applications, it’s not likely that we would be interested in the local details of individual fluctuations. The question then is how should we deal with turbulence, when should we employ a turbulence model, and how complex should that model be?

공학적 관점에서의 난류

지금까지 난류의 모든 세부 사항을 계산하려고하는 것은 아마도 합리적이지 않다는 것을 확인했습니다. 또한 많은 적용례의 관점에서 개별 변동의 국소적인 세부 사항이 관심의 대상이 될 수는 없을 것입니다. 거기서 생기는 의문은 난류를 어떻게 처리해야 할지 난류 모델을 언제 선택할지 그 모델이 얼마나 복잡할지에 있다는 것입니다.

Experimental observations suggest that many flows become independent of Reynolds number once a certain minimum value is exceeded. If this were not so, wind tunnels, wave tanks, and other experimental tools would not be as useful as they are. One of the principal effects of a Reynolds number change is to relocate flow separation points. In laboratory experiments this fact sometimes requires the use of trip wires or other devices to induce separation at desired locations. A similar treatment may be used in a numerical simulation.

실험적 관찰에 따르면 특정 최소값이 초과되면 많은 흐름이 레이놀즈 수와 무관하게됩니다. 그렇지 않다면 풍동, 파도 탱크 및 기타 실험 도구는 그다지 유용하지 않을 것입니다. 레이놀즈 수 변경의 주요 효과 중 하나는 흐름 분리 지점을 재배치하는 것입니다. 실험실 실험에서이 사실은 때때로 원하는 위치에서 분리를 유도하기 위해 트립 와이어 또는 기타 장치를 사용해야합니다. 유사한 처리가 수치 시뮬레이션에서 사용될 수 있습니다.

Most often a simulation is done to determine the dominant flow patterns that develop in some specified situation. These patterns consist of the mean flow and the largest eddy structures containing the majority of the kinetic energy of the flow. The details of how this energy is removed from the larger eddies and dissipated into heat by the smallest eddies may not be important. In such cases the dissipation mechanisms inherent in numerical methods may alone be sufficient to produce reasonable results. In other cases it is possible to supply additional dissipation with a simple turbulence model such as a constant eddy viscosity or a mixing length assumption.

대부분의 경우 특정 상황에서 발생하는 지배적 인 흐름 패턴을 결정하기 위해 시뮬레이션이 수행됩니다. 이러한 패턴은 평균 흐름과 흐름의 대부분의 운동 에너지를 포함하는 가장 큰 소용돌이 구조로 구성됩니다. 이 에너지가 더 큰 소용돌이에서 제거되고 가장 작은 소용돌이에 의해 열로 소산되는 방법에 대한 세부 사항은 중요하지 않을 수 있습니다. 그러한 경우 수치 적 방법에 내재 된 소산 메커니즘만으로도 합리적인 결과를 얻을 수 있습니다. 다른 경우에는 일정한 소용돌이 점도 또는 혼합 길이 가정과 같은 간단한 난류 모델을 사용하여 추가 소산을 제공 할 수 있습니다.

Turbulence transport equations require more CPU resources and should only be used when there are strong, localized sources of turbulence and when that turbulence is likely to be advected into other important regions of the flow. When there is reason to seriously question the results of a computation, it is always desirable to seek experimental confirmation.

An excellent introduction to fluid turbulence can be found in the book Elementary Mechanics of Fluids by Hunter Rouse, Dover Publications, Inc., New York (1978).

난류 전송 방정식은 더 많은 CPU 리소스를 필요로하며 강력하고 국부 화 된 난기류 소스가 있고 그 난류가 흐름의 다른 중요한 영역으로 전파 될 가능성이있는 경우에만 사용해야합니다. 계산 결과에 매우 의문이 생길 경우는 실험에 의해 확인하는 것이 좋습니다.

유체 난류에 대한 훌륭한 소개는 Hunter Rouse, Dover Publications, Inc., New York (1978)의 책 Elementary Mechanics of Fluids에서 찾을 수 있습니다.

Free Surface Fluid Flow | 자유 표면 유체 흐름

Free Surface Fluid Flow

유체 흐름 문제는 복잡한 기하학적 구조의 자유 표면과 관련되는 경우가 많으며 대부분 매우 일시적입니다. 수력학의 예로는 배수로, 강, 교각 주변, 홍수 범람, 수문, 잠금 장치 및 다수의 기타 구조물의 흐름이 있습니다. 이러한 유형의 흐름을 계산적으로 모델링 하는 능력은 이러한 계산이 정확하고 합리적인 계산 자원으로 수행될 수 있다면 매력적입니다. 유용하게 사용하려면 시뮬레이션은 물리적 모델을 사용하는 것보다 훨씬 빠르고 저렴해야 합니다.

Fluid flow problems often involve free surfaces in complex geometry and in many cases are highly transient. Examples in hydraulics are flows over spillways, in rivers, around bridge pilings, flood overflows, flows in sluices, locks, and a host of other structures. A capability to computationally model these types of flows is attractive if such computations can be done accurately and with reasonable computational resources. To be useful, simulations should be much faster and less expensive than using physical models.

많은 컴퓨터 프로그램은 유체의 역학을 설명하는 편미분 방정식을 풀 수 있습니다. 시뮬레이션에 자유 표면을 포함 할 수있는 프로그램은 많지 않습니다. 그 이유는 Free Surface 경계 문제로 잘 알려진 수학적인 문제입니다. 자유 경계 문제는 다루기 어려운 표면이 이동함에 따라 계산 영역이 변화하는 한편, 그 표면 이동 자체가 계산에 의해 결정된다는 점에 있습니다. 계산 영역의 변화는 그 크기와 모양의 변화뿐만 아니라, 경우에 따라서는 영역의 결합과 분리(즉, 자유 표면의 발생과 소멸)을 포함합니다.

Many computer programs can solve the partial differential equations describing the dynamics of fluids. Not many programs are capable of including free surfaces in their simulations. The difficulty is a classical mathematical one often referred to as the free-boundary problem. A free boundary poses the difficulty that on the one hand the solution region changes when its surface moves, and on the other hand, the motion of the surface is in turn determined by the solution. Changes in the solution region include not only changes in size and shape, but in some cases, may also include the coalescence and break up of regions (i.e., the loss and gain of free surfaces).

이 책에서는 모든 자유 표면을 고려한 유체흐름 현상을 수치 해석용으로 모델링하는 방법에 대해 설명합니다. 이 기술은 VOF (Volume-of-Fluid) 법에 근거한 것으로, 특히 자유 표면 흐름에 적합한 다양한 기능을 제공합니다. 이 책에서는 VOF 법이 자유 표면과 그 발생과 소멸을 해석하는데 가장 자연스럽고 매우 효율적인 방법을 제시합니다.

In this note a computational modeling technique for fluid flows with arbitrary free surfaces is discussed. The technique is based on the Volume-of-Fluid (VOF) technique. This technique has many unique properties that make it especially applicable to flows having free surfaces. The goal of this discussion is to show why the VOF approach offers a natural way to capture free surfaces and their evolution with great efficiency.

VOF 법의 특징을 잘 보여주기 위해 간단하지만 매우 중요한 유동 현상에 관한 문제를 다룹니다. 여기에서는 계단 낙차형상의 낙하류를 예로 들어 있습니다. 개념적으로 간단한 흐름인 동시에 결과의 타당성을 확인하기위한 좋은 실험 데이터도 제공되어 있습니다 (N. Rajaratnam and MR Chamani “Energy Loss at Drops”J. Hydraulic Res. Vol. 33 p.373,1995 참조).

A good recommendation for the VOF method is to demonstrate its capabilities on a simple hydraulic flow problem, one that is far from trivial. The example selected is of flow over a step. This flow has conceptual simplicity and good experimental data available for validation (see N. Rajaratnam and M.R. Chamani, “Energy Loss at Drops,” J. Hydraulic Res. Vol. 33, p.373, 1995).

Prototype Hydraulic Flow with Free Surfaces

그림 1a는 정상 상태에 도달 한 후 흐름의 문제를 보여줍니다. 계단 낙차형상 상부로부터의 월류(액체 또는 스냅 시트)에는 상하 모두의 자유 표면이 있습니다. 월류의 아래쪽에는 월류와 계단 가공면 사이에 웅덩이가 형성되어 있으며, 하류에서는 액체는 평평한 정상 표면에서 오른쪽으로 흐르고 있습니다. 엄밀히 말하면, 웅덩이 영역의 흐름 상태는 정상입니다. 이것은 충돌하는 액체에 의해 풀에 난류 혼합이 발생하고 있기 때문입니다. 그러나 평균적인 구성이 존재하고 그것은 실험에서도 보고됩니다.

Figure 1a shows the flow problem after it has reached a steady-state condition. The overflow (sheet of liquid or nappe) leaving the top of the step has both an upper and lower free surface. At the bottom of the overflow a pool has formed between the overflow and the face of the step, while downstream, liquid is flowing to the right with a flat, steady surface. Strictly speaking, the flow conditions in the pool region are not steady because turbulent mixing is generated in the pool by the impinging fluid. There is, however, an average configuration and that is what is reported in the experiments.

실용적인 목적 유동 흐름은 항상 2 차원입니다. 즉, 그림 1a에서 수직 방향에서는 큰 변화는 없습니다. 현실에서는 웅덩이 위쪽으로 공간을 만들기 위해서는 대기에 여유공간이 필요하고, 그게 없으면 닫힐 것입니다.

For all practical purposes the flow is two-dimensional, that is, it does not have any significant variation in the direction normal to the illustration in Fig. 1a. In actuality, to have an air space above the pool there must be some opening to the atmosphere otherwise it would close up.

계단 낙차형상 상단의 유속은 중요합니다. 즉, 이것은 표면파와 같거나 그 이상의 속도이기 때문에 하류에서의 교란이 영역을 관통하고 상류 흐름 (계단 낙차형상의 왼쪽)에 영향을 줄 수 없습니다. 따라서 이 영역에서의 흐름은 예외적으로 원활하고 정상입니다.

The flow speed at the top of the step is critical, that is, it has a speed equal to or greater than the speed of surface waves, so that no disturbances from downstream can penetrate through this region to affect flow upstream (to the left of the step), which is why the flow is exceptionally smooth and steady in that region.

이 문제는 수치 시뮬레이션과 비교할 수 있는 기하 형상 기능이 많이 있습니다. 예를 들어, 계단 낙차형상의 전후 흐름의 높이, 월류가 바닥에 충돌 할 때의 각도, 월류 아래에 형성되는 웅덩이의 깊이 등입니다. 또한 실용화를 위한 중요한 비교 항목으로는, 계단 낙차형상을 통해 떨어지는 낙하 류에 의해 손실되는 에너지의 양 (운동 에너지와 위치 에너지의 합)가 있습니다.

There are many geometric features in this problem that can be compared with a numerical simulation; such as flow heights before and after the step, the angle of the overflow stream when it strikes the bottom and the depth of the pool formed under the overflow. Additionally, an important comparison for practical applications is the amount of energy (i.e., kinetic plus potential) lost by the flow in passing over the step.

Simulation of Prototype Problem

그림 1a는 시뮬레이션의 결과입니다. 이 예에서는 실험에 사용된 모든 기하 형상 및 물질의 특성이 시뮬레이션에 사용되었습니다. 실험실 테스트에서 사용한 계단 낙차형상의 높이가 62cm에서 액체는 보통의 물 (밀도 = 1.0gm / cc 어떻게 점성 = 0.01dynes / cm)입니다. 계산 영역에 들어가는 물의 깊이는 15.5cm에서 속도가 임계에 가까운 123.0cm/s 였습니다. 물론, 중력은 수직 방향으로 크기는 g = -980cm / s^2입니다.

Figure 1a is from a simulation. For this example all of the geometric and material properties used in the experiments were used in the simulation. The height of the step used in the laboratory test is 62cm and the fluid is ordinary water (density=1.0 gm/cc and dynamic viscosity=0.01dynes/cm). The depth of water entering the computational region was 15.5cm and was given a near critical velocity of 123.0cm/s. Of course, gravity was in the vertical direction with magnitude g=-980cm/s^2.

Figure 1a. Simulation of flow over a step. Figure 1b. Grid used in simulation.

월류 왼쪽에 있는 웅덩이에 난류가 발생 할 것으로 예상 되었기 때문에, 시뮬레이션에서는 난류 모델 (the Renormalization Group, 즉 RNG 모델)을 사용했습니다. 그 후, 난류 모델을 사용하지 않고 한 시뮬레이션에서도 비슷한 결과를 얻을 수 있었지만, 이것은 그다지 놀라운 일이 아닙니다. 흐름의 중요한 요소의 대부분은 매끄러운 (즉 난류가 아닌) 유입, 유출, 월류 때문입니다.

Because some turbulence was expected to develop in the pool to the left of the overflow, a turbulence model (the Renormalization Group or RNG model) was used in the simulation. Subsequent simulations without a turbulence model produced very similar results, which is not too surprising since most of the important elements of the flow are smooth (i.e., non-turbulent) inflow, overflow and outflow streams.

그림 1b 시뮬레이션 영역은 폭 170cm, 높이 100cm에 가로 80 개, 세로 60 개, 총 4800 개의 셀로 구성되는 같은 크기의 사각형 셀의 격자로 세분화되어 있습니다. 이 격자는 유체 역학의 지배 미분 방정식 (나비에 – 스토크스 방정식)의 유한 차분 근사의 기초로 사용됩니다. 격자 셀의 수와 크기는 흐름 속에서 예측되는 최소의 특성을 파악하는 목적으로 선택되었습니다. 결과를보고 어떤 조정이 필요하다고 생각되는 경우는 숫자를 쉽게 늘리거나 줄일 수 있습니다. 사실, 해상도를 바꾸어 시뮬레이션을 반복하여 계산이 그러한 변화에 영향을 많이 들어 있지 않은지 확인하는 것이 좋습니다.

The simulation region shown in Fig. 1b is 170cm wide and 100cm high and has been subdivided into a grid of equal sized rectangular cells consisting of 80 cells in the horizontal direction and 60 cells in the vertical direction, for a total of 4800 cells. This grid is used as the basis for finite-difference approximations of the governing differential equations of fluid dynamics (the Navier-Stokes equations). The number and size of the grid cells was chosen with the goal of capturing the smallest expected features of the flow. The number can be easily increased or decreased if the results seem to warrant some adjustment. In fact, it is often a good idea to repeat a simulation with a change of resolution to make sure that the solution is not too sensitive to such changes.

왼쪽의 경계는 지정된 속도 경계입니다 (유체의 높이도 지정). 오른쪽의 경계는 유출 경계에서 모든 유량이 경계에 수직 제로 기울기이며, 균일 한 유출이 촉진됩니다. 상하 경계는 단단한 벽으로 세 번째 방향의 경계는 대칭면 (점성 저항 제로의 벽)으로 처리되었습니다. 계단 낙차형상의 표면도 자유-미끄럼(free slip) 경계로 처리되었습니다.

The left boundary was a specified velocity boundary (also with a specified fluid height). The right boundary was an outflow boundary where all flow quantities have a zero gradient normal to the boundary to encourage a uniform outflow. The top and bottom boundaries are rigid walls, while in the third direction the boundaries were treated as planes of symmetry (i.e., walls with zero viscous drag). The surface of the step was also treated as a free-slip boundary.

초기 조건은 예측되는 흐름의 배열을 대략적으로 근사하도록 설정할 수 있었지만, 흐름의 구성은 계산하고 싶은 것 중 하나이기 때문에 유체가 어떻게 분포되는지를 모르는 경우에는 간단한 방법이 필요합니다. 이 예제에서는 비정상 흐름 시뮬레이터를 사용했기 때문에 그림 1a의 계단 낙차형상에 유체의 블록만 있고 왼쪽 경계의 같은 수평 속도와 높이가 할당된 간단한 초기 조건을 정의할 수 있습니다. 시뮬레이션은 이후 정상 흐름으로 발전하고 있지만, 이것은 약 8.0 초 후에 발생합니다. 시뮬레이션은 정상 상태에 도달 한 것을 보장하기 위해, 10.0 초의 시간까지 실행되었습니다. 그림 2는 중간 시간을 두 보여줍니다. 도 2b는 0.2 초, 그림 2c는 0.5 초 시점에서 그림 2d는 마지막 10.0 초 시점을 보여줍니다.

Initial conditions could have been set to roughly approximate the expected flow arrangement, but since the flow configuration is one of the things that one would like to compute, especially for situations where one doesn’t know what the distribution of fluid is likely to be, a simpler approach is needed. Because a transient flow simulator was used for this example a simple initial condition could be defined that consisted of just a block of fluid on top of the step, Fig. 1a with the same horizontal velocity and height assigned to the left boundary. The simulation then followed the development of the steady flow, which occurs after about 8.0s. The simulation was run out to a time of 10.0s to assure that steady conditions had been reached. Figure 2 shows two intermediate times; 2.b at 0.2s and 2.c at 0.5s plus the final time in 2.d at 10.0s.

Figures 2a-2d. Simulation times of 0.0, 0.2, 0.5 and 10.0s.

처음에는 단일 결합하고 있는 자유 표면이었던 것이 액체가 바닥에 충돌한 후 2 개의 독립적인 자유 표면 (상하 스냅 표면)으로 변화하는 것에 주목하십시오. 아래 경계의 충격점의 좌우로 흐름이 분리되도 문제는 없습니다. 이에 대해서는 다음 섹션에서 자세히 설명합니다.

It should be noted that what starts as a single, connected free surface changes to two independent free surfaces (upper and lower nappe surfaces) after the fluid strikes the bottom. No difficulties are experienced with this separation of the flow into portions flowing to the left and right of the impact point on the bottom boundary. This will be discussed at further length in the next section.

실험과 시뮬레이션의 비교는 다음 표와 같으며 매우 잘 일치하고 있습니다.

Comparisons between experiment and simulation are given in the following table and are in excellent agreement.

Comparison Table	Experimental Results	Simulation Results
Outflow Height/Step Height	0.094	0.094
Pool Height/Step Height	0.41	0.41
Angle of Nappe at Bottom	57°	59°
Energy Loss/Initial Energy	0.29	0.296

이러한 결과를 고려하면이 같은 정밀도를 달성하려면 상당한 계산시간이 필요할 것으로 생각될지도 모릅니다. 그러나 실제로는 Pentium 4, 3.20GHz의 데스크톱 컴퓨터의 총 CPU 시간은 단 88 초였습니다. 계산시간이 너무 짧은 것은 설명이 필요하며, 이것은 다음 섹션의 목적입니다.

In view of these results it might be expected that a considerable amount of computational time would be required to achieve such accuracy. In fact, the total cpu time on a desktop Pentium 4, 3.20GHz computer was only 88s. Such a short computational time requires explanation and that is the purpose of the following sections.

Why the VOF Technique Works Well / VOF 법이 적합한 이유

VOF 법의 구조와 그것이 매우 효율적인 방법인 이유를 이해하기 위해 다양한 계산법 중에서도 특히 VOF 법에 대한 몇 가지 기본 개념을 나타냅니다.

There are a few general concepts about computational methods and the VOF technique in particular that can be used to gain an understanding of how and why VOF works so efficiently.

Basic Theory

모든 수치해석 방법에서 흐름의 문제를 단순하게 산술 계산하도록 유한의 수치 세트로 단순화해야합니다. 연속 유체를 이산화된 수치 세트에 근사하기 위해서 일반적으로 사용되는 것이 유체가 차지하는 공간을 격자로 분할하는 방법입니다. 이 격자는 일반적으로 다수의 작은 직사각형의 블록(요소)로 구성됩니다. 이러한 각 요소에 대해 평균화 처리를 실시함으로써 그 요소의 유체의 압력, 밀도, 속도 및 온도의 대표 값을 얻을 수 있습니다.

All numerical methods must use some simplification to reduce a fluid flow problem to a finite set of numerical values that can then be manipulated using elementary arithmetical operations. A typical procedure for approximating a continuous fluid by a discrete set of numerical values is to subdivide the space occupied by the fluid into a grid consisting of a set of small, often rectangular “bricks.” Within each element an averaging process is applied to obtain representative element values for the fluid’s pressure, density, velocity and temperature.

간단한 수식을 사용해, 어느 시간에 걸친 각 요소 값과 인접한 요소의 상호 작용을 근사할 수 있습니다. 예를 들어, 요소의 밀도는 그 요소와 인접 요소 사이에서 (질량 보존에 의한) 질량 유량이 교환된 경우에만 변경됩니다. 요소 사이에서 질량이 교환되는 물질의 속도는 운동량 보존 법칙에 의해 계산되며 일반적으로 나비에-스토크스 방정식으로 표현됩니다. 나비에-스토크스 방정식은 인접한 요소 사이에 작용하는 압력과 점성 응력을 이용하여 요소에서 변화하는 유체 속도를 근사합니다.

Simple equations can be devised to approximate how each element’s values interact with neighboring elements over time. For instance, the density of an element can only change when there is a net flow of mass exchanged between an element and its neighbors (i.e., conservation of mass). The material velocity that carries mass between elements is computed from the conservation of momentum principal, usually expressed in the form of the Navier-Stokes equations, which uses the pressures and viscous stresses acting between neighboring elements to approximate the changing fluid velocities in the elements.

이러한 요소와 인접 요소 사이의 상호 작용에 따른 아이디어는 편미분 방정식 근방의 양의 변화에 의해 생기는 작은 변화의 효과를 평가하는 것과 본질적으로 동일합니다. 공학계의 교과서에서 파생된 작은 컨트롤 볼륨을 사용하여 그 크기를 무한대까지 작게 한 근사치의 극한으로 편미분 방정식이 유도됩니다. 수치 시뮬레이션에서도 같은 방식을 취하고 있지만, 요소 수가 너무 많으면 추적이 어렵게 되어 컨트롤 볼륨의 크기를 최대한 작게 만들 수 없습니다. 실제 시뮬레이션 현상을 해결하는데 충분하고 계산 시간을 최소한으로 억제 할 수 있는 요소수를 설정하는 것이 목표입니다.

This idea of an element interacting with its neighbors is essentially what is meant by a partial differential equation; that is, evaluating the effects of small changes caused by the variation in quantities nearby. Partial differential equations are typically derived in engineering text books as the limit of approximations made with small control volumes whose sizes are then reduced to infinitesimal values. In a numerical simulation the same thing is done except that the control volume sizes cannot be taken to the limit because that would require too many elements to keep track of. In practice, the goal is to use enough elements to resolve the phenomena of interest, and no more, so that computing times are kept to a minimum.

요소에 사용되는 연산은 기본적으로 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기만 포함된 간단한 것입니다. 예를 들어, 요소의 질량의 변화는 일정한 시간 간격에 걸쳐 요소의 측면에서 유입 및 유출된 질량의 가산 및 감산에서 구할 수 있습니다. 그러나 시뮬레이션에서는 이러한 연산을 수천, 때로는 수백만 요소에 대해 매우 짧은 시간 간격에 대해 반복 계산해야합니다. 따라서 이러한 반복 계산의 고속 처리는 컴퓨터가 적합합니다.

Arithmetical operations associated with an element generally involve only simple addition, subtraction, multiplication and division. For instance, the change of mass in an element involves the addition and subtraction of mass entering and leaving through the faces of the element over a fixed interval of time. A simulation requires that these operations be done for thousands or even millions of elements as well as repeated for many small time intervals. Computers are ideal for performing these types of repetitive operations very rapidly.

자유 표면을 수반하는 유체 운동의 시뮬레이션에서는 형상이 변화하는 계산 영역을 다루어야합니다. 이 복잡성에 대응할 수있는 분석 방법이 아래에서 설명하는 VOF 법입니다.

Simulating fluid motion with free surfaces introduces the complexity of having to deal with solution regions whose shapes are changing. A convenient way to deal with this is to use the Volume of Fluid (VOF) technique described next.

The VOF Concept

VOF 법은 각 격자 셀의 체적 중 액체가 차지하는 비율, 즉 체적 점유율을 기록한다는 생각에 근거합니다. 일반적으로 부피 점유율은 F로 표시됩니다. F는 부피 점유율이기 때문에 값이 취할 수있는 범위는 0.0 ~ 1.0입니다.

The VOF technique is based on the idea of recording in each grid cell the fractional portion of the cell volume that is occupied by liquid. Typically the fractional volume is represented by the quantity F. Because it is a fractional volume, F must have a value between 0.0 and 1.0.

액체 내부의 영역에서는 F 값은 1.0이 액체의 외부, 즉 (공기 등) 기체 영역에서 F 값은 0입니다. F 값이 0.0과 1.0 사이에서 변화하는 장소가 자유 표면이 존재하는 위치입니다. 즉 0.0보다 크고 1.0보다 작은 F 값을 가지는 요소는 반드시 표면을 가지고 있습니다.

In interior regions of liquid the value of F would be 1.0, while outside of the liquid, in regions of gas (air for example), the value of F is zero. The location of a free surface is where F changes from 0.0 to 1.0. Thus, any element having an F value lying between 0.0 and 1.0 must contain a surface.

여기서 유의해야 할 것은 VOF 법에서 자유 표면을 직접적으로 정의하는 것이 아니라 벌크 유체의 위치를 정의한다는 점입니다. 이렇게하면 계산상의 어려움을 초래하지 않고 유체 영역을 결합 또는 분할 할 수 있습니다. 자유 표면은 단순히 유체의 체적 점유율이 1.0과 0.0 사이에서 변화하는 장소로 정의됩니다. 이것은 자유 표면을 수반하는 거의 모든 문제에 적용 할 수 VOF 법의 뛰어난 특징이기도합니다.

It is important to emphasize that the VOF technique does not directly define a free surface, but rather defines the location of bulk fluid. It is for this reason that fluid regions can coalesce or break up without causing computational difficulties. Free surfaces are simply a consequence of where the fluid volume fraction passes from 1.0 to 0.0. This is a very desirable feature that makes the VOF technique applicable to just about any kind of free surface problem.

또한 격자의 각 요소에 단일 수치 (F)를 할당하여 유체의 위치를 기록 할 수 있는 점도 VOF 법의 중요한 특징입니다. 이것은 평균값을 기준으로 압력과 속도 등 다른 모든 유체 물성의 기록과 완전히 일치합니다.

Another important feature of the VOF technique is that it records the location of fluid by assigning a single numerical value (F) to each grid element. This is completely consistent with the recording of all other fluid properties in an element such as pressure and velocity components by their average values.

Some Details of the VOF Technique

Figure 3. Surface in 1D column of elements.

정확도를 위해 요소 내에 자유 표면을 배치하는 방법을 갖는 것이 바람직합니다. 인접 요소의 F 값을 고려하면 이를 쉽게 할 수 있습니다. 예를 들어, 열의 일부에 액체가 충전되어있는 1 차원 요소를 상상하십시오 (그림 3). 액체의 표면은 열 중앙 영역의 요소에 있습니다. 이것을 표면 요소라고합니다. 여기에서는 표면 요소를 제외하고 F 값은 0.0 또는 1.0이어야한다고 가정하고 있기 때문에 이를 사용하여 표면의 정확한 위치를 파악할 수 있습니다. 우선, 표면이 표면 또는 바닥을 확인하는 테스트를 실시합니다. 표면요소에 대해 액체가 없을 경우에는 표면으로 간주합니다. 위의 요소에 액체가 들어있는 경우는 물론, 그 표면은 바닥입니다. 윗면에 관해서는 정확한 위치는 표면 요소의 아래쪽에서 위쪽으로 요소의 세로 크기를 F 배 한 거리에있는로 계산합니다. 바닥도 마찬가지로 표면 요소의 상단에서 아래로, 요소의 세로 크기를 F 배 한 거리에 있습니다. 이 방법에 의한 요소의 표면 위치의 특정은 요소 내의 액체의 부피 점유율로 F를 정의한 후에 합니다.

For accuracy purposes it is desirable to have a way to locate a free surface within an element. Considering the F values in neighboring elements can easily do this. For example, imagine a one-dimensional column of elements in which a portion of the column is filled with liquid, Fig. 3. The liquid surface is in an element in the central region of the column, which will be referred to as the surface element. Because we assume the values of F must be either 0.0 or 1.0, except in the surface element, we can use this to locate the exact position of the surface. First a test is made to see if the surface is a top or bottom surface. If the element above the surface element is empty of liquid, the surface must be a top surface. It the element above is full of liquid then, of course, the surface is a bottom surface. For a top surface we compute its exact location as lying above the bottom edge of the surface element by a distance equal to F times the vertical size of the element. A bottom surface is similarly located a distance equal to F times the vertical size of the element below the top edge of the surface element. Locating the surface within an element in this way follows from the definition of F as a fractional volume of liquid in the element.

1 차원 열의 표면 위치 계산은 간단하고 정확하며 계산이 거의 필요없습니다. 그러나 2 차원 및 3 차원의 경우 하나의 표면 셀에 연속적인 표면 방향이 존재할 가능성이 있기 때문에 위치 계산은 조금 복잡해집니다. 그럼에도 불구하고 이를 취급하는 것은 어렵지 않습니다. 그림 4의 이차원의 예는 표면의 위치를 계산할 뿐만 아니라 경사와 곡률도 이해할 수 있는 쉬운 방법을 보여줍니다.

Calculating surface locations in one-dimensional columns is simple, accurate and requires very little arithmetic. In two and three dimensional situations, however, computing a location is a little more complicated because there is a continuous range of surface orientations possible within a surface cell. Nevertheless, dealing with this is not difficult. A two-dimensional example, Fig. 4, will illustrate a simple way to not only compute the location of the surface, but also to get a good idea of its slope and curvature.

Figure 4. Surface in 2D grid of elements.

1 차원의 경우처럼 먼저 인근 요소를 테스트하여 표면의 대략적인 방향을 찾아야합니다. 그림 4는 바깥 쪽의 법선이 상승 방향에 가장 가깝게 됩니다. 이것은 그 방향 밖의 값의 차이가 다른 방향보다 크기 때문입니다. 그럼 거의 수직으로 있는 요소 열에서 표면의 국소적인 높이가 계산됩니다. 그림 4의 2 차원의 경우에는 이러한 높이가 화살표로 표시되어 있습니다. 마지막으로, 표면 요소를 포함하는 컬럼의 높이에 따라 그 요소의 표면의 위치를 확인합니다. 다른 2 개의 높이를 사용하면 국소적인 표면 경사와 표면 곡률을 계산할 수 있습니다.

As in the one-dimensional case, it is first necessary to find the approximate orientation of the surface by testing the neighboring elements. In Fig. 4 the outward normal would be closest to the upward direction because the difference in neighboring values in that direction is larger than in any other direction. Next, local heights of the surface are computed in element columns that lie in the approximate normal direction. For the two-dimensional case in Fig. 4 these heights are indicated by arrows. Finally, the height in the column containing the surface element gives the location of the surface in that element, while the other two heights can be used to compute the local surface slope and surface curvature.

3 차원에서도 동일한 절차를 사용하지만, 표면 요소의 주위에 있는 9개의 열에 대해 열 높이를 요구해야합니다. 필요한 계산은 조금 더 걸리지만, 주된 내용은 열의 간단한 덧셈과 경사와 곡률을 추구하는 열의 높이의 합과 차이가 있습니다. 이 토론을 토대로, 이제 자유 표면을 정의하는 데 필요한 모든 정보를 빠르고 쉽게 평가하기 위해 부분 유체 체적을 사용하는 방법을 알아야합니다.

In three-dimensions the same procedure is used although column heights must be evaluated for nine columns around the surface element. Although a little more computation is needed, it consists primarily of simple summations in the columns and then sums and differences of column heights for evaluating the slope and curvature. Based on this discussion, the reader should now see how the fractional fluid volume can be used to quickly and easily evaluate all the information needed to define free surfaces.

다루어야 할 문제가 앞으로 2 개 남아 있습니다. 하나는 그림 1 및 2와 같은 시뮬레이션은 유체가 존재하는 영역에는 유체 역학만으로 해결합니다. 이것은 VOF 법의 계산 효율이 높은 또 하나의 이유입니다. 계단 형상의 낙하류의 문제로 유체가 차지하는 영역은 계산 격자의 오픈 공간의 절반 이하입니다. 액체를 둘러싼 기체의 흐름을 계산할 필요가 있다면 필요한 계산 시간이 크게 늘어납니다. 그러나 액체만으로 계산을 할 경우 자유 표면 경계 조건을 지정해야합니다. 이 조건은 접선 응력의 소실과 기체의 압력에 동일한 표준 압력을 표면에 추가하는 것입니다.

There are two remaining issues to deal with. One issue is that a simulation like that in Figs. 1 and 2 is only solving for the fluid dynamics in regions where there is fluid. This is another reason for the computational efficiency of the VOF method. The region occupied by fluid in the flow over a step problem is much less than half of the open region in the computational grid. If it were necessary to also solve for the flow of gas surrounding the liquid, then considerably more computational time would be required. In order to perform solutions only in the liquid, however, it is necessary to specify boundary conditions at free surfaces. These conditions are the vanishing of the tangential stress and application of a normal pressure at the surface that equals the pressure of the gas.

두 번째 문제는 자유 표면이 유체와 함께 움직일 때의 움직임과 변형을 유체 점유율 변수 F를 구함으로써 계산해야 한다는 것입니다. 변수 F는 불연속 (주로 0.0 또는 1.0)이기 때문에 계산 격자를 이동할 때 이 불연속성이 유지되도록주의해야합니다. VOF 법은이 목적으로 특수 이류(advection) 알고리즘이 사용되고 있습니다.

A second issue is that movement and deformation of a free surface must be computed by solving for the fraction of fluid variable, F, as it moves with the fluid. Because the variable F is discontinuous (i.e., primarily 0.0 or 1.0) some care must be taken to maintain this discontinuity as it moves through a computational grid. In the VOF method, special advection algorithms are used for this purpose.

Illustration of Free-Surface Tracking by VOF Technique

그림 6a는 이것의 적합 여부를 보여줍니다. 유체의 체적 점유율은 격자 요소마다 균일하게 분류되고 그 요소의 값을 나타냅니다. 자유 표면은 거의 모든 곳에서 선명하게 정의되어 있습니다. 스냅의 가장 낮은 가장 좁은 부분에만 선명한 유체 분포의 손실을 확인할 수 있습니다 (그림 5b). 이것은 예상대로입니다. 이 영역에서는 스냅의 두께는 3 가지 요소보다 작고, 따라서 부분 충전된 표면 요소에 연결된 작은 F 값이 어떤 중심 요소 (값 1.0)에 혼입하기 때문입니다. 계산 목적으로 이 것은 별로 문제가 되지 않습니다. 이 시뮬레이션 방법은 액체 내부의 요소는 순수한 액체 성분과 같은 방식으로 처리되기 때문입니다.

Figure 6a is an illustration of how well this works; the fluid volume fraction is colored uniformly in each grid element to represent its value in that element. The free surface is sharply defined nearly everywhere. Only in the lowest and narrowest part of the nappe is there any noticeable loss of a sharp fluid fraction distribution, Fig. 5b. This was expected because in this region the nappe is less than three elements in thickness and this allows some of the smaller F values associated with partially filled surface elements to mix in with the central element, which should have a value of 1.0. For computational purposes this doesn’t really matter because the simulation method treats elements interior to the liquid as though they are pure liquid elements.

그림 5b에 나타내는 영역에서는 실제 실험에서 난류 및 공기 혼입이 관찰된 것도 지적해 두지 않으면 안됩니다. 따라서 유체 점유율의 값을 1보다 조금 작게 보이는 것이 다소 현실적입니다. 이것은 전혀 의외라는 것은 없습니다. 난류와 공기 유입을 담당하는 풀의 액체 제트의 교점은 난류와 공기 유입의 원인이 되지만, 유체 점유율 값(fluid fraction values )은 액체 내부에 “유입” 원인이 되기 때문에 실수가 아닙니다.

It should also be pointed out that in the region shown in Fig. 5b turbulence and air entrainment are observed in actual experiments. Thus, the appearance of fluid fraction values a little less than unity is somewhat realistic. This is not entirely accidental because the intersection of jet of liquid with a pool, which is responsible for turbulence and air entrainment, is also responsible for the “entrainment” of fluid fraction values into the interior of the liquid.

Figure 5a (left): Fluid fraction values in elements, showing sharpness of surface definition. Figure 5b (right): Close up of fluid fraction values where the overflow hits bottom.

Summary

처음에는 컴퓨터가 단순히 반복적인 산술 연산을 수행하고, 복잡하고 시간에 의존적인 유체 역학 문제에 대해, 현실적인 시뮬레이션을 할 수 있다는 것이 다소 마술처럼 보일 수 있습니다. 이 논의의 목적은 비교적 기본적인 절차로 이를 수행하는 접근법을 설명하는 것입니다.

간단하지만 사소한 유압 흐름 예제를 사용하여 계산된 시뮬레이션이 물리적인 측정 결과와 매우 일치하는 세부 결과를 생성 할 수 있음이 입증되었습니다. VOF (Volume of Fluid) 기술을 기반으로 한 시뮬레이션은 정확하고, 매우 효율적인 것이 추가로 입증되었습니다.

분명하게, 수력 발전소에서 사용되는 것과 같은 복잡한 유압 구조와 관련된 실제 예는 유용한 결과를 얻기 위해서는 이 예에서 사용되는 몇 초 이상의 많은 계산 시간을 소비해야합니다. 그럼에도 불구하고 이러한 결과는 합리적인 시간 (사람과 컴퓨터 모두)에서 수행 될 수 있으며, 실제 실험에서는 거의 불가능한 세부 사항들을 포함합니다. 또한, 지오메트리, 유동 조건 또는 유체 특성의 거의 모든 종류의 변화의 영향을 쉽게 테스트 할 수있는 능력은 시뮬레이션을 사용하는 또 다른 강력한 이유입니다. 기술의 발전에 따라 hydraulic flow 시뮬레이션을 위한 현재 소프트웨어 및 하드웨어는 기존의 물리적 모델링에 비해 상당한 비용 이점을 제공합니다.

At first it may seem somewhat magical that a computer can simply perform repeated arithmetic operations on arrays of numbers and produce a realistic simulation of a complex, time-dependent, fluid dynamics problem. It was the purpose of this discussion to explain an approach that does this with relatively elementary procedures.

Using a simple, but non-trivial, hydraulic flow example it has been demonstrated that computational simulations can produce detailed results in excellent agreement with physical measurements. It has been further demonstrated that the simulation, which was based on the Volume of Fluid (VOF) technique, uses simple approximation methods that are both accurate and efficient.

Clearly, real world examples involving complex hydraulic structures such as those used in hydroelectric power stations, must consume more than the few seconds of computational time used in our example to obtain useful results. Nevertheless, those results can be generated in reasonable times (both man and computer) and contain a richness of detail rarely possible in physical experiments. For examples visit our water and environmental application pages. In addition, the ability to easily test the influence of just about any kind of change in geometry, flow condition or fluid property is another powerful reason to employ simulations. Current software and hardware for hydraulic flow simulations offer a significant cost advantage over traditional physical modeling.

Postscript

The first detailed description of the VOF method was in 1981 by C.W. Hirt and B.D. Nichols, J. Comp. Phys., 39, p.201. All simulations appearing in this article were performed with the commercial software package FLOW-3D developed by Flow Science, Inc. This program uses an enhanced variant of the VOF concept called TruVOF.

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Wave Energy Devices

Modeling Wave Energy Devices

최근에, 웨이브 에너지와 같은 재생 자원을 사용하여 낮은 환경 부하로 에너지를 생성하는 새로운 기술 개발에 대한 관심이 전 세계적으로 기하 급수적으로 증가하고 있다. 바다에서 (조류, 파도 등) 전기를 생성할 수 있는 파력 에너지 장치는 특히 중요한데 FLOW-3D 를 이용하여 정확하게 모델링 할 수 있습니다.

Multi-Flap, Bottom-Hinged Wave Energy Converter

Oscillating flap은 바다의 파도에서 에너지를 추출하고 기계적 에너지로 변환합니다. Arm oscillates는 피봇 조인트에 장착되어 물결에 진자처럼 동요합니다. Flaps은 멀티 Flap 파력 에너지 변환기를 생성하는 배열로 구성될 수 있습니다. 아래 왼쪽은 3개의 flap 배열로 구성된 CFD 시뮬레이션 입니다. 모든 flap은 15m(폭) x 10m(높이) x 2m(두께)로 하단부가 경첩형태로 고정되어 있습니다.

Array는 30m 깊이에서 10초의 주파수와 4m 진폭파에서 동작합니다. 시뮬레이션은 하나의 flap이 다른 flap에 중요한 영향을 주는 복잡한 유속 iso-surface를 보여줍니다. 3개의 flap이 비슷한 동적 움직임을 시작하는 동안 곧 flap의 상호 작용 효과 단계에서 그들의 모션을 렌더링 합니다. 유사한 flap 에너지 변환기는 오른쪽에 표시 됩니다.

이 시뮬레이션에서, 플랩은 가장 낮은 지점에서 물에 완전히 잠깁니다. 이러한 에너지 변환기는 Surface Piercing flap energy converters 라고 합니다. 이러한 시뮬레이션의 예제 모두는 Minerva Dynamics에 의해 제공되었습니다.

Oscillating Water Column

Oscillating water column은 부분적으로 물이 차고, 빠지는 것이 반복되는 구조를 가집니다. 이것은 수면(water line) 아래 바다쪽으로 열리고, 파열의 꼭대기의 공기 column에 닫혀진 구조입니다. 파도가 순차적으로 air column을 압축과 해제를 하는 중 상승 및 하강하는 water column을 발생합니다. 이 갇혀진 공기는 일반적으로 공기 흐름 방향에 상관없이 회전 할 수 있는 터빈을 경유해 대기로부터 유동을 만들게 됩니다. 이러한 터빈의 회전은 전기를 생성하는 데 사용됩니다.

상단의 CFD simulation은 진동하는 water column을 보여줍니다. water column 의 상승과 하강구조가 발생하는hollow구조가 물리적인 부분을 강조하기 위하여 FLOW-3D로 모델링 되었습니다. 이 시뮬레이션은 파형 생성에 대한 다른 선택을 제외하고는 유사한 결과를 보여줍니다. 왼쪽의 시뮬레이션은 wave type 경계 조건을 사용하는 반면, 오른쪽 경계조건은 순차적인 파형을 생산하기 위해 Moving Objects model을 이용하였습니다. Hollow 구조에서의 압력 그래프는 각각의 시뮬레이션에서 보여집니다. 결국 터빈은 회전 운동으로 설정되는 압력에 기초하기 때문에, 챔버 내에 생성되는 압력 얼마나 아는 것이 중요합니다.

Wave Energy Animations

Wave Run-up

중요한 해양 구조물 근처에서의 쓰나미 파도의 충격이나 강한 폭풍 해일의 경우에, 다가오는 파의 패턴의 특성을 정확하게 이해하기 위해서는 파형 런업(run-up)의 상세한 3D 해석이 필요합니다. FLOW-3D는 높은 정밀도의 홍수 및 최대 수심 맵을 얻기 위해 사용되어져 왔습니다.

Visualization of wave patterns and run-ups on a GBS using FLOW-3D. The wave was a regular wave of 5.5 m wave height and 8.4 sec period. The scale was 1:40. Courtesy Oceanic Consulting.

Modeling Wave Generation

FLOW-3D의 표면파 생성 모델은 모든 주기성 비선형 파를 생성할 수 있는 푸리에 급수을 기반으로 만들어 집니다. 쓰나미 파도는 단독파(solitary wave) 모델을 사용하여 시뮬레이션 할 수 있습니다. 넓은 바다에서 실제적인 파도 조건은 임의 무작위 파형 발생기(random wave generator)를 통해 생성 가능 합니다. 그리고 주기적 파형(periodic wave profile)은 정상 파형 패턴 접근 속도를 유체의 초기 조건을 정의하는데 사용될 수 있습니다.

Sloshing & Slamming

가속도 및 LNG 선 등의 글로벌 항해 선박 안에서 발생하는 내부 슬로싱으로 인해 발생하는 하중은 선박의 안전 설계에 매우 중요한 요소입니다. 선박들은 파 슬로싱 같은 중요한 내부 강제력을 경험할 수 있습니다. 여기에서 화물칸 탱크는 컨테이너 시스템에서 추가적인 하중을 경험하게 됩니다. FLOW-3D의 비 관성 기준 프레임 모델(Non-Inertial Reference Frame model )은 복잡한 운동 파라미터를 정확하게 용기 내의 액체의 움직임을 추적할 수 있도록 사용되어 집니다.

FLOW-3D’s TruVOF 접근 방식은“Green water” (hull over-topping 과 wave spray로 인해 선체를 덮은 물) 뿐 아니라 Slamming analysis같은 현상들에게 적절한 답을 줄 수 있습니다.

FLOW-3D accurately predicts liquid cargo and propellant motion in fuel tanks. Simulation courtesy of Bureau Veritas.

Water Catastrophic Events Flash Floods

Flash Floods

갑작스러운 홍수는 짧은 시간동안 급류같은 위험한 흐름으로 병합할 수있는 호우로 될 수 있습니다. 유동 특성은 자유 표면 제어 뿐 아니라, 지표층의 다공도와 포화 상태에 따라 달라지고, 3차원 적으로 복잡한 지형에 밀접하게 관련이 있습니다. 이러한 모든 역학들은 FLOW-3D의 장점들과 일치합니다. 특히:

FLOW-3D의 porosity 모델은 포화 또는 비포화된 토양을 통한 물의 배출정도를 예측합니다.
그 강수 모델은 지표층 빗물의 시공간적인 축적을 정확히 포착합니다.
FLOW-3D‘s Volume of Fluid (TruVOF) approach to free-surface flow dynamics captures transient waves and run-ups
An advanced sediment and deposition model ties in seamlessly to these simulations when needed

강수 이벤트가 일어나는 동안 표면층에 서서히 표면층은 포화상태에 도달합니다. 지표수는 영역의 왼쪽에서 저수지에 인접한 부분으로 강한 유출과 중앙 계곡으로 급류가 빠르게 형성됩니다.

FLOW-3D/MP Features List

FLOW-3D/MP Features

FLOW-3D/MP v6.1 은 FLOW-3D v11.1 솔버에 기초하여 물리 모델, 특징 및 그래픽 사용자 인터페이스가 동일합니다. FLOW-3D v11.1의 새로운 기능은 아래 파란색으로 표시되어 있으며 FLOW-3D/MP v6.1 에서 사용할 수 있습니다. 새로운 개발 기능에 대한 자세한 설명은 FLOW-3D v11.1에서 새로운 기능을 참조하십시오.

Meshing & Geometry

Structured finite difference/control volume meshes for fluid and thermal solutions
Finite element meshes in Cartesian and cylindrical coordinates for structural analysis
Multi-Block gridding with nested, linked, partially overlapping and conforming mesh blocks
Fractional areas/volumes (FAVOR™) for efficient & accurate geometry definition
Mesh quality checking
Basic Solids Modeler
Import CAD data
Import/export finite element meshes via Exodus-II file format
Grid & geometry independence
Cartesian or cylindrical coordinates

Flow Type Options

Internal, external & free-surface flows
3D, 2D & 1D problems
Transient flows
Inviscid, viscous laminar & turbulent flows
Hybrid shallow water/3D flows
Non-inertial reference frame motion
Multiple scalar species
Two-phase flows
Heat transfer with phase change
Saturated & unsaturated porous media

Physical Modeling Options

Fluid structure interaction
Thermally-induced stresses
Plastic deformation of solids
Granular flow
Moisture drying
Solid solute dissolution
Sediment transport and scour
Cavitation (potential, passive tracking, active tracking)
Phase change (liquid-vapor, liquid-solid)
Surface tension
Thermocapillary effects
Wall adhesion
Wall roughness
Vapor & gas bubbles
Solidification & melting
Mass/momentum/energy sources
Shear, density & temperature-dependent viscosity
Thixotropic viscosity
Visco-elastic-plastic fluids
Elastic membranes & walls
Evaporation residue
Electro-mechanical effects
Dielectric phenomena
Electro-osmosis
Electrostatic particles
Joule heating
Air entrainment
Molecular & turbulent diffusion
Temperature-dependent material properties
Spray cooling

Flow Definition Options

General boundary conditions
- Symmetry
- Rigid and flexible walls
- Continuative
- Periodic
- Specified pressure
- Specified velocity
- Outflow
- Grid overlay
- Hydrostatic pressure
- Volume flow rate
- Non-linear periodic and solitary surface waves
- Rating curve and natural hydraulics
- Wave absorbing layer
Restart from previous simulation
Continuation of a simulation
Overlay boundary conditions
Change mesh and modeling options
Change model parameters

Thermal Modeling Options

Natural convection
Forced convection
Conduction in fluid & solid
Fluid-solid heat transfer
Distributed energy sources/sinks in fluids and solids
Radiation
Viscous heating
Orthotropic thermal conductivity
Thermally-induced stresses

Turbulence Models

RNG model
Two-equation k-epsilon model
Two-equation k-omega model
Large eddy simulation

Metal Casting Models

Thermal stress & deformations
Iron solidification
Sand core blowing
Sand core drying
Permeable molds
Solidification & melting
Solidification shrinkage with interdendritic feeding
Micro & macro porosity
Binary alloy segregation
Thermal die cycling
Surface oxide defects
Cavitation potential
Lost-foam casting
Semi-solid material
Core gas generation
Back pressure & vents
Shot sleeves
PQ² diagram
Squeeze pins
Filters
Air entrainment
Temperature-dependent material properties
Cooling channels
Fluid/wall contact time

Numerical Modeling Options

TruVOF Volume-of-Fluid (VOF) method for fluid interfaces
First and second order advection
Sharp and diffuse interface tracking
Implicit & explicit numerical methods
GMRES, point and line relaxation pressure solvers
User-defined variables, subroutines & output
Utilities for runtime interaction during execution

Fluid Modeling Options

One incompressible fluid – confined or with free surfaces
Two incompressible fluids – miscible or with sharp interfaces
Compressible fluid – subsonic, transonic, supersonic
Stratified fluid
Acoustic phenomena
Mass particles with variable density or diameter

Shallow Flow Models

General topography
Raster data interface
Subcomponent-specific surface roughness
Wind shear
Ground roughness effects
Laminar & turbulent flow
Sediment transport and scour
Surface tension
Heat transfer
Wetting & drying

Advanced Physical Models

General Moving Object model with 6 DOF–prescribed and fully-coupled motion
Rotating/spinning objects
Collision model
Tethered moving objects (springs, ropes, mooring lines)
Flexing membranes and walls
Porosity
Finite element based elastic-plastic deformation
Finite element based thermal stress evolution due to thermal changes in a solidifying fluid
Combusting solid components

Chemistry Models

Stiff equation solver for chemical rate equations
Stationary or advected species

Porous Media Models

Saturated and unsaturated flow
Variable porosity
Directional porosity
General flow losses (linear & quadratic)
Capillary pressure
Heat transfer in porous media
Van Genunchten model for unsaturated flow

Discrete Particle Models

Massless marker particles
Mass particles of variable size/mass
Linear & quadratic fluid-dynamic drag
Monte-Carlo diffusion
Particle-Fluid momentum coupling
Coefficient of restitution or sticky particles
Point or volumetric particle sources
Charged particles
Probe particles

Two-Phase & Two-Component Models

Liquid/liquid & gas/liquid interfaces
Variable density mixtures
Compressible fluid with a dispersed incompressible component
Drift flux
Two-component, vapor/non-condensable gases
Phase transformations for gas-liquid & liquid-solid
Adiabatic bubbles
Bubbles with phase change
Continuum fluid with discrete particles
Scalar transport
Homogeneous bubbles
Super-cooling

Coupling with Other Programs

Geometry input from Stereolithography (STL) files – binary or ASCII
Direct interfaces with EnSight^®, FieldView^® & Tecplot^® visualization software
Finite element solution import/export via Exodus-II file format
PLOT3D output
Neutral file output
Extensive customization possibilities
Solid Properties Materials Database

Data Processing Options

State-of-the-art post-processing tool, FlowSight™
Batch post-processing
Report generation
Automatic or custom results analysis
High-quality OpenGL-based graphics
Color or B/W vector, contour, 3D surface & particle plots
Moving and stationary probes
Measurement baffles
Arbitrary sampling volumes
Force & moment output
Animation output
PostScript, JPEG & Bitmap output
Streamlines
Flow tracers

User Conveniences

Active simulation control (based on measurement of probes)
Mesh generators
Mesh quality checking
Tabular time-dependent input using external files
Automatic time-step control for accuracy & stability
Automatic convergence control
Mentor help to optimize efficiency
Change simulation parameters while solver runs
Launch and manage multiple simulations
Automatic simulation termination based on user-defined criteria
Run simulation on remote servers using remote solving

Multi-Processor Computing

FLOW-3D Features

The features in blue are newly-released in FLOW-3D v12.0.

Meshing & Geometry

Structured finite difference/control volume meshes for fluid and thermal solutions
Finite element meshes in Cartesian and cylindrical coordinates for structural analysis
Multi-Block gridding with nested, linked, partially overlapping and conforming mesh blocks
Conforming meshes extended to arbitrary shapes
Fractional areas/volumes (FAVOR™) for efficient & accurate geometry definition
Closing gaps in geometry
Mesh quality checking
Basic Solids Modeler
Import CAD data
Import/export finite element meshes via Exodus-II file format
Grid & geometry independence
Cartesian or cylindrical coordinates

Flow Type Options

Internal, external & free-surface flows
3D, 2D & 1D problems
Transient flows
Inviscid, viscous laminar & turbulent flows
Hybrid shallow water/3D flows
Non-inertial reference frame motion
Multiple scalar species
Two-phase flows
Heat transfer with phase change
Saturated & unsaturated porous media

Physical Modeling Options

Fluid structure interaction
Thermally-induced stresses
Plastic deformation of solids
Granular flow
Moisture drying
Solid solute dissolution
Sediment transport and scour
Sludge settling
Cavitation (potential, passive tracking, active tracking)
Phase change (liquid-vapor, liquid-solid)
Surface tension
Thermocapillary effects
Wall adhesion
Wall roughness
Vapor & gas bubbles
Solidification & melting
Mass/momentum/energy sources
Shear, density & temperature-dependent viscosity
Thixotropic viscosity
Visco-elastic-plastic fluids
Elastic membranes & walls
Evaporation residue
Electro-mechanical effects
Dielectric phenomena
Electro-osmosis
Electrostatic particles
Joule heating
Air entrainment
Molecular & turbulent diffusion
Temperature-dependent material properties
Spray cooling

Flow Definition Options

General boundary conditions
- Symmetry
- Rigid and flexible walls
- Continuative
- Periodic
- Specified pressure
- Specified velocity
- Outflow
- Outflow pressure
- Outflow boundaries with wave absorbing layers
- Grid overlay
- Hydrostatic pressure
- Volume flow rate
- Non-linear periodic and solitary surface waves
- Rating curve and natural hydraulics
- Wave absorbing layer
Restart from previous simulation
Continuation of a simulation
Overlay boundary conditions
Change mesh and modeling options
Change model parameters

Thermal Modeling Options

Natural convection
Forced convection
Conduction in fluid & solid
Fluid-solid heat transfer
Distributed energy sources/sinks in fluids and solids
Radiation
Viscous heating
Orthotropic thermal conductivity
Thermally-induced stresses

Numerical Modeling Options

TruVOF Volume-of-Fluid (VOF) method for fluid interfaces
Steady state accelerator for free-surface flows
First and second order advection
Sharp and diffuse interface tracking
Implicit & explicit numerical methods
Immersed boundary method
GMRES, point and line relaxation pressure solvers
User-defined variables, subroutines & output
Utilities for runtime interaction during execution

Fluid Modeling Options

One incompressible fluid – confined or with free surfaces
Two incompressible fluids – miscible or with sharp interfaces
Compressible fluid – subsonic, transonic, supersonic
Stratified fluid
Acoustic phenomena
Mass particles with variable density or diameter

Shallow Flow Models

General topography
Raster data interface
Subcomponent-specific surface roughness
Wind shear
Ground roughness effects
Manning’s roughness
Laminar & turbulent flow
Sediment transport and scour
Surface tension
Heat transfer
Wetting & drying

Turbulence Models

RNG model
Two-equation k-epsilon model
Two-equation k-omega model
Large eddy simulation

Advanced Physical Models

General Moving Object model with 6 DOF–prescribed and fully-coupled motion
Rotating/spinning objects
Collision model
Tethered moving objects (springs, ropes, breaking mooring lines)
Flexing membranes and walls
Porosity
Finite element based elastic-plastic deformation
Finite element based thermal stress evolution due to thermal changes in a solidifying fluid
Combusting solid components

Chemistry Models

Stiff equation solver for chemical rate equations
Stationary or advected species

Porous Media Models

Saturated and unsaturated flow
Variable porosity
Directional porosity
General flow losses (linear & quadratic)
Capillary pressure
Heat transfer in porous media
Van Genunchten model for unsaturated flow

Discrete Particle Models

Massless marker particles
Multi-species material particles of variable size and mass
Solid, fluid, gas particles
Void particles tracking collapsed void regions
Non-linear fluid-dynamic drag
Added mass effects
Monte-Carlo diffusion
Particle-fluid momentum coupling
Coefficient of restitution or sticky particles
Point or volumetric particle sources
Initial particle blocks
Heat transfer with fluid
Evaporation and condensation
Solidification and melting
Coulomb and dielectric forces
Probe particles

Two-Phase & Two-Component Models

Liquid/liquid & gas/liquid interfaces
Variable density mixtures
Compressible fluid with a dispersed incompressible component
Drift flux with dynamic droplet size
Two-component, vapor/non-condensable gases
Phase transformations for gas-liquid & liquid-solid
Adiabatic bubbles
Bubbles with phase change
Continuum fluid with discrete particles
Scalar transport
Homogeneous bubbles
Super-cooling
Two-field temperature

Coupling with Other Programs

Geometry input from Stereolithography (STL) files – binary or ASCII
Direct interfaces with EnSight^®, FieldView^® & Tecplot^® visualization software
Finite element solution import/export via Exodus-II file format
PLOT3D output
Neutral file output
Extensive customization possibilities
Solid Properties Materials Database

Data Processing Options

State-of-the-art post-processing tool, FlowSight™
Batch post-processing
Report generation
Automatic or custom results analysis
High-quality OpenGL-based graphics
Color or B/W vector, contour, 3D surface & particle plots
Moving and stationary probes
Visualization of non-inertial reference frame motion
Measurement baffles
Arbitrary sampling volumes
Force & moment output
Animation output
PostScript, JPEG & Bitmap output
Streamlines
Flow tracers

User Conveniences

Active simulation control (based on measurement of probes)
Mesh generators
Mesh quality checking
Tabular time-dependent input using external files
Automatic time-step control for accuracy & stability
Automatic convergence control
Mentor help to optimize efficiency
Units on all variables
Custom units
Component transformations
Moving particle sources
Change simulation parameters while solver runs
Launch and manage multiple simulations
Automatic simulation termination based on user-defined criteria
Run simulation on remote servers using remote solving
Copy boundary conditions to other mesh blocks

Multi-Processor Computing

Shared memory computers
Distributed memory clusters

FlowSight

Particle visualization
Velocity vector fields
Streamlines & pathlines
Iso-surfaces
2D, 3D and arbitrary clips
Volume render
Probe data
History data
Vortex cores
Link multiple results
Multiple data views
Non-inertial reference frame
Spline clip

제품 소개 요청

제품에 대한 기술시연 및 데모는 다음 링크에서 신청 가능하십니다.

FLOW-3D 기술시연/데모 요청

산업 분야별 해석 사례

주조분야

Gravity Pour 중력 주조
High Pressure Die Casting 고압 다이캐스팅
Tilt Casting 경동 주조
Centrifugal Casting 원심 주조
Investment Casting 정밀 주조
Vacuum Casting 진공 주조
Continuous Casting 연속 주조
Lost Foam Casting 소실 모형 주조
Fill and Defects Tracking 용탕 주입 및 결함 추적
Solidification and Shrinkage 응고 및 수축 해석
Thermal Stress Evolution and Deformation 열응력 및 변형 해석

물 및 환경 응용 분야

Wastewater Treatment and Recovery 폐수 처리 및 복구
Pump Stations 펌프장
Dams, Weirs, Spillways 댐, 위어, 여수로
River Hydraulics 강 유역
Inundation & Flooding 침수 및 범람
Open Channel Flow 개수로 흐름
Sediment and Scour 퇴적 및 세굴(쇄굴)
Plumes, Hydraulic Zones of Influence 기둥, 수리 영향 구역
Coastal and Critical Infrastructure Wave Run-Up 연안 및 핵심 인프라 웨이브 런업

에너지 분야

Fuel/cargo sloshing in oceangoing containers 해양 컨테이너 용 연료 /화물 슬로싱
Offshore platform wave effects 근해 플랫폼 파 영향
Separation devices undergoing 6 DOF motion 6 자유도 운동을 하는 분리 장치
Wave energy converters 파동 에너지 변환기

미세유체

Continuous-Flow 연속 흐름
Droplet, Digital 물방울, 디지털
Molecular Biology 분자 생물학
Opto-Microfluidics 광 마이크로 유체
Cell Behavior 세포 행동
Fuel Cells 연료 전지들

용접 제조

Laser Welding 레이저 용접
Laser Metal Deposition 레이저 금속 증착
Additive Manufacturing 첨가제 제조
Multi-Layer Build 다중 레이어 빌드
Polymer 3D Printing 폴리머 3D 프린팅

코팅 분야

Curtain Coating 커튼 코팅
Dip Coating 딥 코팅
Gravure Printing 그라비아 코팅
Roll Coating 롤 코팅
Slide Coating 슬라이드 코팅
Slot Coating 슬롯 코팅
Contact Insights 접촉면 분석

연안 / 해양분야

Breakwater Structures 방파제 구조물
Offshore Structures 항만 연안 구조물
Ship Hydrodynamics 선박 유체 역학
Sloshing & Slamming 슬로싱 & 슬래밍
Tsunamis 쓰나미 해석

생명공학 분야

Active Mixing 액티브 믹싱
Chemical Reactions 화학 반응
Dissolution 용해
Drug Delivery 약물 전달
Drug Particles 마약 입자
Microdispensers 마이크로 디스펜서
Passive Mixing 패시브 믹싱
Piezo Driven Pumps 피에조 구동 펌프

자동차 분야

Fuel Tanks 연료 탱크
Early Fuel Shut-Off 초기 연료 차단
Gear Interaction 기어 상호 작용
Filters 필터
Degas Bottles 병의 가스제거

Tag: Wave

The Stability Issue

The Accuracy Issue

A Physical Example

Selecting a Convergence Criteria

Selecting a Self-Correcting Numerical Method

Shock Wave Discontinuities/충격파의 불연속성

Viscosity Dissipation/점성 소산

Artificial Viscosity/인공 점성

Numerical Viscosity/수치 점성

Numerical Approximations/수치 근사

What FLOW-3D Does

The Model System

Application to the Navier-Stokes Equation

Compressible Fluids

Viscous Stresses / 점성 응력

Surface Tension

Bulk Elasticity / 체적 탄성

Concluding Remarks

Heuristic Analysis Methods

Linear Equation Example

Truncation Error Evaluation

Comparison of Fourier and Truncation Error Analysis

Examining the Truncated Equation for Stability

Application to Two-Dimensional Fluid Flow

Summary

References

A Simple Example of Computational Instability

Linear Stability Analysis of von Neumann

An Example of Linear Stability Analysis

End Note

References

Steady Flow / 정상 흐름

Unsteady Flow / 비정상 흐름

Incompressible Example / 비 압축성의 예

경계 조건 – 유출

Continuative Approximation

연속 근사

Improved Continuative Approximation

연속 근사 개선

Other Approximations

기타 근사

난류 모델링

Definitions and Orders of Magnitude

Turbulence Models

난류 모델

The Pseudo-Fluid Approximation

의사 유체 근사

Local Viscosity Model

국소 점성 모델

Turbulence Transport Models

난류 수송 모델

Large Eddy Simulation

Large Eddy 시뮬레이션

Turbulence from an Engineering Perspective

공학적 관점에서의 난류

Free Surface Fluid Flow

Prototype Hydraulic Flow with Free Surfaces

Simulation of Prototype Problem

Why the VOF Technique Works Well / VOF 법이 적합한 이유

Basic Theory

The VOF Concept

Some Details of the VOF Technique

Illustration of Free-Surface Tracking by VOF Technique

Summary

Postscript

Multi-Flap, Bottom-Hinged Wave Energy Converter

Oscillating Water Column

Wave Energy Animations

Modeling Wave Generation

Meshing & Geometry

Flow Type Options

Physical Modeling Options

Flow Definition Options

Thermal Modeling Options

Numerical Modeling Options

Fluid Modeling Options

Shallow Flow Models

Turbulence Models

Advanced Physical Models