Numerical solution schemes are often referred to as being explicit or implicit. When a direct computation of the dependent variables can be made in terms of known quantities, the computation is said to be explicit. When the dependent variables are defined by coupled sets of equations, and either a matrix or iterative technique is needed to obtain the solution, the numerical method is said to be implicit.

수치 해법은 종종 외연적이거나 내재적이라고합니다. 종속 변수의 직접 계산이 알려진 양과 관련하여 이루어질 수있는 경우, 계산은 외연적이라고합니다. 종속 변수가 연결된 방정식 세트에 의해 정의되고 솔루션을 얻기 위해 행렬 또는 반복 기술이 필요하면 수치 방법은 내재적이라고합니다.

In computational fluid dynamics, the governing equations are nonlinear, and the number of unknown variables is typically very large. Under these conditions implicitly formulated equations are almost always solved using iterative techniques.

전산 유체 역학에서 지배 방정식은 비선형이며 미지 변수의 수는 대개 매우 큽니다. 이러한 조건에서 내재적으로 공식화 된 방정식은 거의 모든 경우 반복 기법을 사용하여 해결됩니다

Iterations are used to advance a solution through a sequence of steps from a starting state to a final, converged state. This is true whether the solution sought is either one step in a transient problem or a final steady-state result. In either case, the iteration steps resemble a time-like process. Of course, the iteration steps usually do not correspond to a realistic time-dependent behavior. In fact, it is this aspect of an implicit method that makes it attractive for steady-state computations, because the number of iterations required for a solution is often much smaller than the number of time steps needed for an accurate transient that asymptotically approaches steady conditions.

반복은 시작 상태에서 최종 수렴 상태로 일련의 단계를 통해 솔루션을 향상시키는 데 사용됩니다. 추구하는 솔루션이 일시적인 문제의 한 단계이거나 최종 정상 상태 결과 중 하나인지 여부에 상관없이 사실입니다. 두 경우 모두 반복 단계는 시간과 비슷한 프로세스와 유사합니다. 물론 반복 단계는 대개 실제 시간 의존적 인 동작과 일치하지 않습니다. 실제로, 솔루션에 필요한 반복 횟수가 점진적으로 정상 조건에 접근하는 정확한 과도 상태에 필요한 시간 단계 수보다 훨씬 적기 때문에 정상 상태 계산에 매력을주는 것은 암시 적 방법의이 측면입니다 .

On the other hand, it is also this “distorted transient” feature that leads to the question, “What are the consequences of using an implicit versus an explicit solution method for a time-dependent problem?” The answer to this question has two parts. The first part has to do with numerical stability and the second part with numerical accuracy.

반면에 “시간 의존적 문제에 대해 내재적 솔루션 대 외연적인 솔루션 방법을 사용했을 때의 결과는 무엇입니까?”라는 질문에 이르는 “왜곡 된 일시적인”기능이기도합니다.이 질문에 대한 대답은 두 부분으로 나뉩니다 . 첫 번째 부분은 수치 안정성과 관련이 있으며 두 번째 부분은 수치 정확도와 관련이 있습니다.

The Stability Issue

The principal reason for using implicit solution methods, which are more complex to program and require more computational effort in each solution step, is to allow for large time-step sizes. A simple qualitative model will help to illustrate how this works. Let Q be a quantity whose value Qn+1 we want to compute at time t=(n+1)dt, in terms of its value at time t=ndt, i.e., Qn+1=Qn+dtS, where S is the rate of change in Q.

implicit 해법은 더 복잡한 프로그래밍을 요하고 각 계산 단계에서 더 많은 계산량이 필요하지만이를 사용하는 가장 큰 이유는 큰 크기의 시간 단계를 설정 할 수 있다는 점에 있습니다. 여기에서는 간단한 정성 모델을 이용하여 그 구조를 설명합니다. Q를있는 양으로, 시간 t = ndt의 Q 값에 대해 시간 t = (n + 1) dt의 값 Qn + 1을 계산합니다. 즉 Qn + 1 = Qn + dtS로 S를 Q의 변화율합니다.

In an explicit numerical method S would be evaluated in terms of known quantities at the previous time step n. An implicit method, in contrast, would evaluate some or all of the terms in S in terms of unknown quantities at the new time step n+1. Since new quantities appear on both the left and right side of the Q-equation, it is said to be an implicit definition of the new n+1 values. Usually a matrix or iterative solution must be used to compute the new quantities.

explicit 수치 법에서는 S는 이전 시간 단계 n에서 알려진 양에 대해 평가됩니다. 이에 대해 implicit 해법은 S의 일부 또는 모든 항목이 새로운 시간 단계 n + 1에서 알 수없는 양에 대해 평가됩니다. Q 식의 우변과 좌변 모두에 새로운 양이 출현하는 새로운 n + 1 값의 implicit 정의라고 할 수 있습니다. 일반적으로 이러한 새로운 양을 계산하기 위해 행렬 분해 또는 반복 계산 솔루션이 필요합니다.

Numerical stability has to do with the behavior of the solution as the time-step dt is increased. If the solution remains well behaved for arbitrarily large values of the time step, the method is said to be unconditionally stable. This situation never occurs with explicit methods, which are always conditionally stable. It is easy to see this by dividing the Q-equation by dt and then letting dt approach infinity. In this limit there are no n+1 terms remaining in the equation so no solution exists for Qn+1, indicating that there must be some limit on the size of the time step for there to be a solution.

수치 안정성은 시간 단계 dt를 증가 시켰을 때의 솔루션의 행동에 관련합니다. 어떤 큰 값을 설정 한 시간 단계에 대해서도 해석이 양호한 거동을 나타내는 것이라면, 그 해법은 무조건 안정되어 있다고 말할 수 있습니다. 이 상황은 explicit 해법은 볼 수없고, 항상 조건으로 안정적입니다. Q 식을 dt로 나눈하여 dt가 무한대에 가까워 지도록 하면이를 쉽게 확인할 수 있습니다. 이 제한 내에서 식에 남아있는 n + 1 항은 일절없고, Qn + 1에 존재하는 솔루션도 없습니다. 즉, 솔루션을 얻으려면 시간 단계의 크기에 어떤 제한을 줄 필요가있는 것으로 나타납니다.

In an implicit formulation, a solution for the unknowns at new time step n+1 may be obtained for any size time step. Of course, the solution for very large times may not be realistic unless the implicit formulation has been carefully constructed.

implicit 공식화는 새로운 시간 단계 n + 1에서 알 수없는 수량에 대한 해답은 어떤 시간 단계도 요청할 수 있습니다. 당연히 큰 시간 단계에서 얻어진 해는 implicit 공식화을 신중하게 한 경우를 제외하고 현실적이지 않을 수 있습니다.

A typical iterative solution for Qn+1 is constructed by computing the k+1 iterate in terms of the kth iterate value, where the first iterate is taken to be equal to Qn. The equation for Qk+1 is often a Newton’s approximation (or similar approximation) having the form Qk+1=Qk+A(Qn-Qk+dtSk). In this expression A is a relaxation factor, and Sk is an approximation to S evaluated in terms of the kth iterate. If A is chosen properly, successive iterates will eventually converge to Qn+1.

Qn + 1을 요구하는 전형적인 반복 계산을 세우려면 k 번째 반복 값에서 k + 1 번째 반복을 계산합니다. 여기서 첫 번째 반복이 Qn와 동일한 것으로합니다. Qk + 1 식은 종종 Qk + 1 = Qk + A (Qn-Qk + dtSk) 형식의 뉴턴 근사 (또는 유사한 근사법)입니다. 이 식에서, A는 완화 계수, Sk는 k 번째 반복에 대해 평가 된 S의 근사치입니다. A를 적절하게 선택하면 이후의 반복으로 결국 Qn + 1에 수렴합니다.

The relaxation coefficient A must have the form A=1/(1+Cdt) in order to insure the proper limits at small and large values of dt. That is, at very small time-step sizes the explicit equation is recovered, while at very large time-step sizes the equation has a limiting value independent of dt. The quantity C must be a positive coefficient characterizing all the terms in the original equation (i.e., in S) that have been approximated implicitly. For example, if Q is a velocity component governed by a momentum equation with implicit viscous terms, then C would be proportional to the kinematic viscosity divided by the square of the grid size.

dt가 작은 값과 큰 값의 경우에 적절한 제한을 갖도록 완화 계수 A는 A = 1 / (1 + Cdt) 형식을 취할 필요가 있습니다. 즉, 매우 작은 크기의 시간 단계에서 explicit 방정식은 회복되지만 매우 큰 크기의 타임 단계에서는 식은 dt에 의존하지 않는 제한된 값이 주어집니다. 양 C는 원래 식에서 음으로 근사 된 모든 항목 (즉, S 내)의 특성을 정의하는 양의 계수입니다. 예를 들어, Q가 implicitly 인 점성 항을 따른 운동량 방정식에 의해 지배되는 속도 성분 일 때, C는 동점도를 격자 크기의 제곱으로 나눈 값에 비례합니다.

The Accuracy Issue

When dt is sufficiently small only one iteration is necessary for convergence, which leads to Qn+1=Qn+dt/(1+Cdt)Sn. This shows that the implicit formulation adds a smaller change to Q in one time step than would occur in an explicit method because of the under-relaxation factor A=1/(1+Cdt) that multiplies the time step.

dt가 충분히 작은 경우 수렴은 단일 반복 계산만을 요하고 Qn + 1 = Qn + dt / (1 + Cdt) Sn입니다. 이것은 시간 단계에 곱 부족 완화 계수 A = 1 / (1 + Cdt)에 의해 양으로 해법보다 implicit 공식화 것이 하나의 타임 단계 기준 Q에 의해 작은 변화가 적용 표시됩니다.

As a general rule, it can be shown that the condition Cdt≤1 is very nearly equivalent to the stability condition for an explicit approximation. Another general rule is that the time-step sizes for explicit stability and accuracy are usually equivalent. Thus, when Cdt>1, an explicit method would be unstable, but implicit methods simply under-relax more to maintain the stability of the iterative solution. It is this increased damping, with the increase in time-step size, which produces inaccuracies in transient behavior.

원칙적으로 조건 Cdt≤1은 explicit 근사에 대한 안정 조건과 거의 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 또한 또 다른 원칙적으로 양으로 해법의 안정성과 정확도를 얻기위한 시간 단계 크기는 일반적으로 동일합니다. 따라서 Cdt> 1 일 때, explicit 해법은 불안정 해지고 있지만, implicit 해법은 반복 계산에 의한 해석의 안정성을 유지하기 위해 단순히 부족 완화 계수가 작고 조정됩니다. 이 시간 단계 크기의 증가에 따라 증가하는 감쇠가 비정상 행동의 부정확성을 제공합니다.

For an implicit method to have minimal under-relaxation (i.e., little damping), a time-step size much smaller than the stable, explicit value would have to be used. In fact, according to the above analysis, at the explicit stability limit Cdt=1 the implicit approximation still has a significant under-relaxation factor of A=1/2. To reduce this under-relaxation damping the time-step size would have to be much smaller than the explicit stability limit, but this makes little sense since an implicit method is not required.

implicit 해법 최소의 부족 완화 (즉, 작은 감쇠)가 주어진다는 안정된 explicit 해법 값보다 크기가 훨씬 작은 시간 단계를 사용해야합니다. 사실, 위의 분석을 통해 explicit 해법의 안정성 한계 Cdt = 1에서 implicit 근사 아직 A = 1 / 2라는 큰 부족 완화 계수를 가지고 있습니다. 이 부족 완화 감쇠를 줄이려는 explicit 해법의 안정성 한계보다 훨씬 작은 크기의 시간 단계가 필요하지만 implicit 해법은 요구되지 않기 때문에 거의 의미가 없습니다.

A Physical Example

An elementary physical problem involving the propagation of a pressure wave can be used to illustrate the differences between implicit and explicit methods. Imagine an increase in pressure is applied to one end of an organ pipe that is closed at the opposite end. We know that a pressure wave will move down the pipe and be reflected at the closed end. Given enough time, pressure waves will travel back and forth in the pipe many times before the pressure distribution settles down to the constant value applied at the open end.

압력 파의 전파를 수반하는 간단한 물리 현상 문제를 사용하여 implicit 해법과 explicit 해법의 차이를 보여줍니다. 개방 단부에서 압력이 가해지고 반대쪽은 함구쪽에 있기 오르간 파이프를 예로 들어 있습니다. 압력 파가 파이프를 통과하여 함구 단에서 반사하는 것을 알 수 있습니다. 충분한 시간이 주어지면 압력 파가 파이프 내를 여러 번 왕복하고 결국 압력 분포는 개구부에 가해지는 정치에 안정됩니다.

If only steady-state results are wanted, then an implicit solution scheme with lots of damping of the pressure waves should be used so that steady conditions will be reached as quickly as possible. In this case the damping incorporated in the implicit iteration method (i.e., the under-relaxation) is highly desirable.

정상 상태의 결과만을 요구하는 경우는 압력 파의 감쇠가 많은 implicit 해법 구성표를 사용하여 가능한 한 빨리 정상 상태에 도달하게합니다. 이 경우, implicit 반복 계산법에 내장 된 감쇠 (즉, 부족 완화)은 강하게 요구하는 것입니다.

If, instead, the transient pressure waves are to be investigated, then we want the least amount of numerical damping so that many wave reflections can be accurately followed. This situation is best treated with an explicit solution method.

반면 비정상 압력 파를 조사하는 경우는 많은 파도 반사를 정확하게 추적 할 수 있도록 수치적 감쇠를 최소화하는 것이 바람직합니다. 이 상황은 explicit 해법으로 푸는 것이 최선입니다.

Explicit methods require a time-step size that limits the advance of the pressure step to less than one computational cell per time step. However, this restriction is related to accuracy because most difference equations involve quantities from neighboring cells only. A pressure wave that propagates further than one cell in one time step would then be moving into regions that have no defined influence on the pressure. Not only is this physically unrealistic, it also leads to numerical instability.

Explicit 해법은 압력 단계의 진행을 시간 단계 당 1 계산 셀 미만으로 제한하는 크기의 시간 단계를 필요로합니다. 그러나 대부분의 차분 방정식은 인접 셀에서만 양을 고려하기 위해이 제한 정도에 관련합니다. 하나의 시간 단계에서 1 셀 이상을 전파하는 압력 파 압력에 정의 된 영향이 전혀없는 영역에 유입합니다. 이것은 물리적으로 비현실적 일뿐만 아니라 숫자 불안정으로 이어집니다.

Implicit methods, on the other hand, couple all the cells together through an iterative solution that allows pressure signals to be transmitted through a grid. The price for this communication between distantly located cells is a damping or smoothing of the pressure waves introduced by the under-relaxation needed to solve the coupled equations.

반면 Implicit 해법은 반복 계산법을 통해 모든 셀이 결합 된 것으로, 압력 신호가 격자 내를 전파합니다. 이렇게 떨어진 거리에있는 셀 사이의 상호 작용의 대가는 결합 방정식을 푸는 데 필요한 부족 해져서 발생하는 압력 파의 감쇠 또는 평활화(smoothing )입니다.

The choice of whether an implicit versus explicit method should be used ultimately depends on the goal of the computation. When time accuracy is important, explicit methods produce greater accuracy with less computational effort than implicit methods. For this reason, FLOW-3D uses explicit techniques whenever possible, but implicit options are available when they are needed.

implicit 해법과 explicit 해법 중 어느 것을 사용할 것인지 여부는 결국 계산의 목표에 따릅니다. 시간 정확도를 중시하는 경우는 explicit 해법이, implicit 해법에 비해 적은 계산량으로보다 정확한 답을 얻을 수 있습니다. 이러한 이유로 FLOW-3D는 적용 가능한 문제는 가능한 explicit 해법을 사용하지만 필요에 따라 implicit 해법 옵션을 사용할 수 있습니다.