It is well known that explicit (e.g., forward in time) finite-difference approximations used to solve time-evolution equations are subject to limits on the size of the time increment. In this type of approximation it is assumed that the values of all dependent variables are advanced in time through a succession of small time intervals. Knowing the variable values at all steps, up to and including step n, they can then be used to estimate the rates-of-change of the variables. This makes it possible to estimate what the dependent variable values will be at step n+1, which corresponds to a small time δt later, tn+1=tn + δt.

시간 변화 방정식을 풀 때 사용하는 양(explicit )으로 (시간이 진행하는) 유한 차분 근사하지만, 시간 증분의 크기의 극한에 지배되는 것은 잘 알려져 있습니다.  이 유형의 근사치는 모든 종속 변수 값의 시간이 연속 짧은 시간 간격으로 진행하는 것으로 가정되고 있습니다.  단계 n까지의 모든 단계에서 변수 값을 알고 있으면 그들을 사용하여 변수의 변화율을 추정 할 수 있습니다.  그러면 단계 n + 1의 종속 변수의 값을 추정 할 수 있습니다.  이것은 δt이라는 짧은 시간이 경과 한 후 해당하며, t n + 1 = t n + δt입니다.

The need for small δt in this type of approximation arises because the rate-of-change of a dependent variable is usually evaluated in terms of differences between that variable and the values of its immediate neighbors in space. With an increasing time-step size, a variable would be expected to be influenced not just by its immediate neighbors, but by values located increasingly farther away. In this sense, then, there must be a limit on the size of time advancement δt to ensure accuracy. In practice, this limit is also necessary to ensure computational stability.

이 유형의 근사 작은 수치 δt가 필요하게 된 종속 변수의 변화율은 일반적으로 해당 변수와 공간에서 그 변수의 바로 옆에있는 변수 값의 차이를 기준으로 평가 되기 때문입니다.  시간 단계 크기가 증가하는 경우, 변수는 바로 옆의 변수뿐만 아니라 멀리 떨어진 장소에 있는 값의 영향을 받을 것으로 예상됩니다.  이러한 의미에서, 정확성을 보장하기 위해 시간 진행의 크기 δt 극한을 마련 할 필요가 있습니다.  실제로 이 극한 계산의 안정성을 확보하기 위해서도 필요합니다.

Implicit Versus Explicit Methods

While explicit finite-difference equations are simple to use, because they offer a straightforward prescription for advancing a solution in time, their requirement for limiting the time-step size δt to ensure computational stability can lead to long computation times. To overcome this limitation, it may be desirable to resort to an implicit finite-difference method that eliminates the troublesome time-step restriction. The basic idea is to include in the approximation of the rate-of-change of a variable the values of variables at the advanced time level n+1. Since the level n+1 value that one is trying to compute now depends on those same values, the difference equations are said to be implicit.

Explicit 유한 차분 방정식 해의 시간을 진행시키기 위한 지시가 알기 쉽기 때문에 쉽게 사용할 수 있지만, 시간 단계 크기 δt을 제한하고 계산을 안정시킬 필요가 있기 때문에 계산 시간이 길어질 수 있습니다.  이 한계를 극복하기 위해 지루한 시간 단계 제한이 불필요한 implicit 유한 차분 법을 사용하는 것이 바람직한 경우도 있습니다.  기본적인 아이디어는 변수의 변화율의 근사치에 진행 한 시간 레벨 n + 1의 변수 값을 포함하는 것입니다.  계산 대상이되는 레벨 n + 1의 값이 같은 값에 의존하게되기 때문에이 차이 방정식은 implicit로 말합니다.

Implicitness makes solving the equations for time evolution more difficult. It is often necessary, for example, to resort to an iterative solution process. Sometimes the iteration scheme may appear similar to an explicit time advancement (e.g., using sub-time steps), but if it works well it gives up the accuracy of an explicit method by rapidly damping transients to reach a converged solution at the advanced time step n+1 in a relatively small number of iterations.

Implicitness 은 시간 변화의 방정식을 푸는 것이 더 어렵습니다.  예를 들어, 자주 반복 적인 해법을 사용해야합니다.  반복적인 방법은 explicit 시간 진행 (서브 타임 단계를 사용)처럼 보일 수 있지만, 잘 작동하면 급속 과도 현상을 감쇠시켜 비교적 적은 반복 횟수에서 진행한 타임 스텝 n + 1의 컨버전스 솔루션에 이르기 때문에 explicit method 같은 정밀도는 기대할 수 없습니다.

Simple Test for Stability

There is a very simple technique that can be used to determine if an implicit finite-difference approximation is unconditionally stable. That is, if a time-step size no matter how large can be used without resulting in the type of nonsense results associated with a numerical instability. The procedure is to divide the difference equation by the largest power of δt appearing in the equation. Then take the limit of δt going to infinity. Most terms in the equation will vanish. If what remains contains no n+1 value of the variable whose solution is sought then there must be some limit on δt and the equation cannot be unconditionally stable.

implicit 유한 차분 근사는 무조건 안정 여부를 확인하는 데 사용할 수있는 매우 간단한 방법이 있습니다.  즉, 아무리 큰 시간 단계 크기를 사용하여도 수치적인 불안정 관련 무의미한 결과 여부를 테스트합니다.  절차는 차분 방정식을 방정식에 출현하는 최대의 δt의 제곱으로 나누는 것입니다.  그런 δt의 무한대로 가는 극한을 취합니다.  방정식의 대부분 항이 제로가 됩니다.  남은 식으로 해를 구할 변수의 n + 1이 아닌 값이 포함되어있는 경우, δt에 어떠한 극한이 방정식을 무조건 안정시킬 수 없습니다.

On the other hand, if the remainder after δt passed to infinity can be solved for the n+1 value of the variable this implies unconditional stability. Of course, the value determined from an infinite δt may not be realistic. For instance, a negative temperature may be the solution to an implicit difference equation in the limit of infinite δt, but it is not a good solution in that negative temperatures make no physical sense.

한편, δt가 무한하게 된 후 남은 식에서 변수의 n + 1 값을 구할 수 있다면, 이것은 무조건적인 안정성을 의미합니다.  물론 무한 δt에서 구해진 값은 현실적이지 않을 수 있습니다.  예를 들어, 음의 온도는 무한 δt의 극한에서 그늘 차분 방정식의 해가 될 수 있지만, 부정적인 온도는 물리적 이해되지 않기 때문에 좋은 해결책이 없습니다.

Limiting δt Example

As a simple example of the limiting δt test consider a one-dimensional heat equation:

δt 극한 테스트 간단한 예로 다음의 1 차원 열전도 방정식을 생각합니다.

A combined explicit/implicit difference approximation on a uniform grid of elements of length δx is:

길이 δx 요소의 균일 격자의 복합 explicit/implicit 차분 근사는 다음과 같습니다.

where θ weights the explicit and implicit mix: θ=0 providing a purely explicit approximation while θ=1 provides a fully implicit approximation. A value of θ=1/2 gives an approximation that is second order accurate in time and space.

θ는 explicit and implicit 의 혼합에 가중치 :  θ = 0 순전히 explicit 근사를 제공하고 θ = 1은 완전히 implicit 근사치를 제공합니다.  θ = 1 / 2의 값은 시간과 공간이 2 차 정밀 근사치를 제공합니다.

Time-step Limit Test

If δt goes to infinity the left-hand side of the equation vanishes. The right side gives an expression for Qn+1 only if θ is non-zero, i.e., only when there is some implicitness in the approximation. This tells us that a simple explicit approximation must have a limiting δt, and that it is not unconditionally stable. On the other hand, the implicit approximation always gives an answer for Qn+1 so it is unconditionally stable. But does it give a good answer?

δt가 무한하게 되면 방정식의 좌변이 제로가됩니다.  오른쪽은 θ가 제로가 아닌 경우, 즉 근사에 어떤 implicitness 요소가 있는 경우에만 Q n + 1 식을줍니다.  이 때문에 간단한 explicit 근사치는 극한의 δt가 필요하다는 것을 또한 이것이 무조건 안정하지 않는 것을 알 수 있습니다.  한편, implicit 근사는 Q n + 1의 답이 항상 필요하며 이것은 무조건 안정되어 있습니다.  그러나 이것으로 좋은 해결책을 얻을 수 있을까요?

In this simple case we can write an exact solution to the difference equation when the left-hand side is zero in terms of the boundary values Q₀ and Q_J, 0<j<J.

이 간단한 경우는 경계 값 Q 0 및 Q J 0 <j <J 대해 좌변이 0 인 경우 차등 방정식의 정확한 솔루션을 쓸 수 있습니다.

For any value of θ other than 1 it is possible for the last term to result in a negative value to Qn+1. When θ=1 negative values are not possible and the result, in fact, is the correct asymptotic answer, i.e., a linear temperature profile connecting the boundary values.

θ의 값이 1이 아닌 경우는 막내 항이 Q n + 1에 음수가 될 수 있습니다.  θ = 1 일 때 음수가 될 가능성이 아니라 실제 결과는 올바른 점근 해, 즉 경계 값을 결합하는 선형 온도 프로파일입니다.

The infinite δt limit is a simple trick that not only indicates unconditional stability or lack thereof, but can also give useful information about the quality of a solution at large time steps.

무한 δt 극한은 무조건적인 안정성 여부를 나타내는뿐만 아니라 큰 시간 단계에서 솔루션의 질에 대해 유용한 정보를 가져올 수있는 간단한 방법입니다.