Can you imagine a computational fluid dynamics program that simulates the behavior of different materials separated by well-defined interfaces that are subject to arbitrarily large deformations? Can you also imagine this program capturing shock waves and tracking rarefactions, slip surfaces, and other non-linear hydrodynamic phenomena?

라그랑주 입자

잘 정의된 인터페이스로 구분하여 수시로 큰 변형이 발생하는 다양한 물질의 거동을 시뮬레이션 하는 전산 유체 역학 프로그램을 상상할 수 있습니까?  또한 이 프로그램이 충격파 및 저밀도 추적, 미끄럼 표면 등의 비선형 유체 역학 현상을 추적하는 것을 상상할 수 있습니까?

Developing such a program would be a daunting task. You may be surprised to learn that such a program was operating in 1955, long before computer graphics or mechanical pen plotters were available, and even before high-level programming languages like Fortran were popular. Fortran, or Formula Translation System, was proposed by IBM in 1954. The program having these amazing capabilities was a Particle-In-Cell (PIC) method originated by Francis H. Harlow of the Los Alamos National Laboratory (Harlow, F.H., “A Machine Calculation Method for Hydrodynamic Problems,” Los Alamos Scientific Laboratory report LAMS-1956, Nov. 1955).

그런 프로그램의 개발은 벅찬 작업입니다.  이러한 프로그램이 1955 년에 가동하고 있었다고 하니 놀랄지도 모릅니다.  컴퓨터 그래픽이나 기계식 펜 플로터가 실용화되기 훨씬 이전의 일이며, Fortran과 같은 고수준 프로그래밍 언어조차도 아직 일반화되어 있지 않았던 무렵입니다.  Fortran, 즉 Formula Translation System은 1954 년 IBM에 의해 제안되었습니다.  이러한 놀라운 기능을 가진 프로그램은 PIC (Particle-In-Cell) 법으로 로스 알 라모스 국립 연구소 (Los Alamos National Laboratory)의 Francis H. Harlow 씨에 의해 고안되었다 (FH Harlow “A Machine Calculation Method for Hydrodynamic Problems “Los Alamos Scientific Laboratory report LAMS-1956, Nov 1955).

Central to the PIC method is the concept of a Lagrangian particle defined by a location (x,y,z). A particle is said to be Lagrangian when it moves as though it is an element of fluid. The particle may be thought of as the location of the center of mass of the fluid element. In addition to a location, Lagrangian particles are sometimes assigned one or more property values. In the PIC method, for instance, particles have specified masses and a label indicating what material they belong to.

PIC는 메소드 중심부는, 위치 (x, y, z)에 의해 정의된 라그랑 입자의 개념입니다. 파티클은 유체의 요소인 것처럼 움직일 때 “라그랑” 이라고 합니다. 이 입자는 유체 요소의 질량 중심의 위치로 간주 할 수습니다. 위치 외에, 라그랑 입자는 종종 하나 이상의 속성 값을 할당합니다. PIC는 방법에서, 예를 들면, 입자는 특정 질량과 그들이 속한 어떤 소재를 나타내는 라벨을 지정하고 있습니다.

While the underlying computational scheme used in the PIC method employs a fixed Eulerian grid, Lagrangian particles are used to move mass, momentum, and energy through this grid in a way that preserves the identities of the different materials. There are no connections between particles so they are free to move and follow the dynamics of a flow regardless of its complexity, Figure 1. Lagrangian particles are, in fact, the key feature in the PIC method that allows it to track large fluid deformations.

PIC 법에서 사용되는 기본 계산 방식은 고정 오일러 격자를 채용하고 있습니다 만,이 격자를 통과하는 질량, 운동량, 에너지의 이동은 라그랑주 입자가 사용 된 다양한 물질의 독자성이 유지되고 있습니다.  입자 사이의 연결은 없기 때문에 입자는 자유롭게 움직이고 복잡한 여부에 관계없이 흐름의 역학을 따르십시오 (그림 1).  실제로 라그랑주 입자는 유체의 대폭적인 변형을 추적 할 수있는 PIC 법의 중요한 기능입니다.

Why, then, isn’t the PIC method more widely used for continuum fluid mechanics? For example, there are no commercial CFD programs based on this method. It could be argued that the PIC method is best for compressible flows, while most commercial applications deal with incompressible-fluid situations.

그런데도 왜 PIC 법은 연속 유체 역학에 더 널리 사용되지 않는 이유는 무엇입니까?  예를 들어,이 기술을 기반으로 하는 상용 CFD 프로그램은 없습니다.  PIC 법은 압축성 흐름에 최적인 반면 대부분의 상용 응용 프로그램에서는 비압축성 유체의 상황을 취급하고 있다는 것을 말할 수 있을지도 모릅니다.

Two additional reasons why the PIC method is not more wisely used are associated with the discreteness of Lagrangian particles. It is these discrete properties and their consequences that are the subject of this note. One obvious property is that finite changes in numerical values may occur because of changes in the number of particles. The other property is less obvious and is associated with a fundamental characteristic of fluids that generally makes it difficult to track a fluid element simply by tracking its center of mass (a discrete) location.

PIC 법이 더 현명하게 사용되지 않은 이유가 그 밖에도 2 개가 더 있지만, 그들은 라그랑주 입자의 이산과 관련되어 있습니다.  이러한 이산화 특성 및 그 결과야말로 이 책의 주제입니다.  분명한 특성 중 하나는 입자의 수의 변화에 따라 숫자의 유한 변화가 발생할 수있는 것입니다.  또 하나의 특성은 그다지 명확하지 않고, 유체의 기본적인 특성과 관련되어 있습니다.  이 특성에 따라 질량 중심 (이산화) 위치를 추적하는 것만으로는 유체 요소를 추적하기가 어려워지는 것입니다.

The Discrete Problem

In the PIC method particles have finite masses. This means that when a particle moves from one control volume of the fixed Eulerian grid into another it causes discrete changes to be recorded in the mass, momentum, and energy of the cells losing and gaining the particle. Such changes introduce fluctuations in the computed values of all fluid dynamic quantities. The magnitude of the fluctuations is inversely proportional to the square root of the average number of particles in a grid cell.

이산화 문제

PIC 법에서 입자는 유한의 질량을 가지고 있습니다.  즉, 고정 오일러 격자 컨트롤 볼륨 사이를 입자가 이동할 때 입자가 감소하는 셀과 증가하는 셀의 질량, 운동량, 에너지 이산 변화가 기록된다는 것입니다.  이러한 변화로 인해 유체 역학의 모든 양의 계산 값에 변동이 발생합니다.  변화의 크기는 격자 셀의 평균 입자 수의 제곱근에 반비례합니다.

Experience has shown that the PIC method works best with at least 16 particles per cell (i.e., a 4 by 4 array in two dimensions or 64 particles per cell in three dimensions). A smaller number of particles could be used when larger fluctuations could be tolerated (or when computing resources did not allow for a larger number, a frequent situation in the early days of CFD).

경험에서 PIC 법은 셀 당 입자 수를 16 개 이상 (2 차원의 경우는 4 × 4 배열, 3 차원의 경우 셀 당 64 개의 입자) 인 경우에 최적으로 작동하는 것으로 알려져 있습니다.  더 큰 변동을 허용 할 경우 (또는 CFD의 초기에 많았던 상황으로 컴퓨팅 자원의 문제로 인해 큰 수치를 사용할 수 없는 경우)는 사용하는 입자 수는 더 적게해도 괜찮습니다.

Experience also showed that better results were obtained when the initial placement of particles was not regular, but staggered. It is easy to see why this is so. Suppose the particles are arranged in a regular 4 x 4 array in x-y space. If the flow is only in the x direction then a column of four particles will pass from one cell to another at the same time, which would result in a very large change in the cell values. If the particles are staggered in space, however, it is more likely that only one particle at a time will cross a cell boundary, causing the minimum discrete change in cell values.

입자의 초기 위치가 일정하지 않고 불규칙하면 좋은 결과를 얻을 수도 있으며, 경험을 통해 알고 있습니다.  그 이유는 쉽게 확인할 수 있습니다.  입자가 일정한 4 × 4 배열에서 xy 공간에 나란히 있다고가정합니다.  흐름이 x 방향 만의 경우 4 개의 입자로 이루어진 열이 셀에서 셀에 동시에 이동하는 셀의 값이 크게 변화하는 결과가 됩니다.  그러나 공간에 입자가 불규칙하게 배치되어 있는 경우는 셀의 경계를 통과하는 입자는 1 회에 1 개만이 될 가능성이 높기 때문에 셀의 값의 이산 변화는 최소화됩니다 .

In more recent times another approach has been used to reduce the effect of discrete changes as particles move from cell to cell. This is the “smooth particle hydrodynamics” method in which particles have finite volumes that can overlap more than one grid cell at a time. As a particle approaches a cell boundary its volume continuously sweeps from one cell to the next.

최근 들어 입자가 셀에서 셀로 이동할 때 이산 변화의 영향을 완화하기 위해 다른 방법이 사용되어 왔습니다.  이것은 “부드러운 입자 유체 역학”법이며, 입자는 동시에 여러 개의 격자 셀과 겹칠 수 있는 유한 체적을가집니다.  입자가 셀 경계에 접근하면 그 부피는 원래의 셀에서 옆의 셀에 연속 스윕합니다.

The Element Distortion Problem

A more difficult problem associated with Lagrangian particles is that fluid elements rarely retain simple, convex shapes. Most often a fluid element will find itself subjected to shearing, expanding, or contracting flow processes that quickly draw it out into a long ribbon-like shape. To visualize this, you might try introducing small volumes of smoke into a strong light (e.g., from a slide projector) and see how rapidly they deform into thin curtains of smoke.

요소의 왜곡 문제

라그랑주 입자에 관련된 더 어려운 문제는 유체 요소가 간단한 볼록 형상을 유지하는 경우가 거의 없다는 것입니다.  종종 유체 요소는 전단, 팽창, 수축 등 유동 과정을 받고, 긴 리본 모양의 형상으로 늘어납니다.  이를 시각화하려면 소량의 연기에 강한 빛 (슬라이드 프로젝터 등)을 조사하여 연기가 얇은 커튼 모양으로 변형되는 속도를 확인하는 등의 방법이 있습니다.

This type of deformation means that material in a fluid element will not remain localized, and a Lagrangian particle following its center of mass will no longer be a good representation of the element. In a computational method element distortion can lead to a variety of problems. One of the most common problems is that particles will not retain a uniform distribution, but will tend to bunch up in some places and move apart in others.

이 유형의 변형은 유체 요소의 물질이 국소화된 상태로는되지 않고, 질량의 중심에 따라 라그랑주 입자는 요소를 충분히 표현할 수 없게 되는 것을 의미합니다.  계산법은 요소의 왜곡이 다양한 문제를 초래할 수 있습니다.  가장 일반적인 문제 중 하나는 입자가 균일 한 분포를 유지하는 것이 아니라 위치에 따라 1 개소에 정리하거나 흩어 지거나하는 경향이 있다는 것입니다.

A simple example of these processes occurs at stagnation point. Figure 2 shows what happens to a regular array of particles in a liquid jet when it strikes a wall and flows to either side of a stagnation point that is at the center of impact. The particles bunch together in a direction normal to the wall while at the same time move further apart along the wall.

이러한 과정의 간단한 예는 정체 지점에서 발생합니다.  그림 2는 액체 제트가 벽에 충돌, 충격의 중심에 있는 정체 점의 양쪽에 흐를 때, 규칙적인 입자 배열에 무슨 일이 일어나는지를 보여줍니다.  입자가 벽에 수직 방향으로 정렬하여 동시에 벽을 따라 바깥쪽으로 멀리 갈 수 있도록 이동합니다.

If the particles in the initial distribution are staggered these deformation processes are greatly reduced. See Figure 3. Unfortunately, staggering cannot completely eliminate this problem. In other circumstances, at a separation point or in regions of strong shear, particle staggering is not sufficient to keep particles evenly distributed.

초기 분포의 입자가 불규칙한 경우, 이러한 변형 과정은 크게 감소합니다.  그림 3을 참조하십시오.  공교롭게도 불규칙한 분포에서는이 문제를 완전히 배제 할 수 없습니다.  박리 점과 전단력이 강한 영역과 같은 다른 상황에서 입자를 불규칙해도 입자의 균일 한 분포를 유지하기에 충분하지 않습니다.

Numerical techniques can be used to add particles in expanding regions or eliminate them in regions of convergence. Or continuous repartitioning methods can be used to relocate particles for more even coverage. However, these operations introduce local smoothing that is effectively equivalent to an Eulerian computational method and throws away one of the best features of particles, namely that of their identity.

팽창 영역에 입자를 추가하거나 컨버전스 영역에서 입자를 제거하는 데에 많은 기술을 사용할 수 있습니다.  또한 continuous repartitioning methods을 사용하여보다 균일하게 입자를 재배치 할 수 있습니다.  그러나 이러한 작업은 오일러 계산법과 사실상 동등하게 국소적으로 부드럽게 해 입자의 가장 뛰어난 특징 중 하나 인 독자성이 없어집니다.

Other Considerations

Flow separation regions cause difficulties not only because of the difficulty of maintaining a uniform particle distribution but also because of the curvature of the flow near a separation point.

기타주의 사항

흐름의 분리 영역이 문제의 원인이 되는 이유는 입자의 균일 한 분포를 유지하기 어려울뿐만 아니라 박리 점 근처의 흐름 곡선이 있는 것입니다.

To understand why flow curvature can be a problem, consider the rigid-body rotation of a fluid. Lagrangian particles placed in such a flow should move in circles about the axis of rotation. In practice this rarely happens because most particle implementations advance the location of a particle using a linear expression of velocity. For instance, the x-location of a particle at time-step n+1 would be computed as xn+1=xn+dtU, where dt is the time-step size and U is the x-component of the flow velocity at the location of the particle.

흐름의 곡선이 왜 문제가 되는지를 이해하기 위해 유체의 강체 회전에 대해 생각합니다.  이러한 흐름 속에 배치된 라그랑주 입자는 회전축을 중심으로 원형을 그리며 움직입니다.  사실, 이런 일은 거의 일어나지 않습니다.  입자를 도입 할 때 종종 속도의 1 차식을 사용하여 입자의 위치를 전진시키기 때문입니다.  예를 들어, 시간 단계 n + 1의 입자의 x 위치는 xn + 1 = xn + dtU 계산됩니다.  여기서 dt는 시간 단계 크기, U는 입자의 위치에서의 흐름 속도의 x 성분입니다.

This expression, which is linear in the velocity, moves the particle in a direction tangent to the circle. Consequently, when the particle is moved along the tangent it moves to a slightly larger radius. After a sufficient number of time steps, particles will appear as though they are being thrown outward, a kind of numerical centrifugal effect.

이 수식은 속도의 1 차식이며, 원형의 접선 방향으로 입자를 이동합니다.  그 결과, 입자는 접선을 따라 이동 된 때 약간 큰 반경으로 이동합니다.  충분한 시간 단계 후, 입자는 외부에 던져진 것처럼 보입니다.  이것은 수치적 원심 효과의 일종입니다.

The only way to correct for this type of behavior is to sense when the flow has curvature and to use a second-order, quadratic expression to compute new particle positions.

이 유형의 행동의 유일한 해결 방법은 흐름 곡선이 있을 때 감지하여 2 차 식을 사용하여 입자의 새로운 위치를 계산하는 것입니다.

Diffusion processes are easy to include in particle methods using a type of random walk, or Monte Carlo model. One technique is to imagine a particle to be a point source for material that is diffusing outward. For a short time, dt, the diffusion can be represented as having a Gaussian distribution (i.e., having the solution to the diffusion equation for a point source). Since the particle cannot be subdivided, the distribution is instead treated as a probability distribution. The particle is then moved in the time interval dt to its most probable location. A random number generator is used to select a location in this probability distribution. The idea is that if enough trials are made the number of times the particle reaches a given position is proportional to the Gaussian distribution.

확산 과정은 랜덤 워크의 일종인 몬테카를로 모델을 사용하여 입자법에 쉽게 포함 할 수 있습니다.  하나의 방법은 입자가 바깥쪽으로 확산하는 물질의 점 원인이라고 가정하는 것입니다.  짧은 시간 (dt) 확산 가우스 분포를 가지고있음 (포인트 소스의 확산 방정식의 해를 가지고)으로 표시 할 수 있습니다.  입자를 세분화 할 수 없기 때문에 이 분포 대신에 확률 분포로 처리됩니다.  그 후, 입자는 dt는 시간 간격으로 가장 확률이 높은 위치로 이동됩니다.  이 확률 분포는 난수 생성기를 사용하여 위치가 선택됩니다.  이것은 충분한 시도를 실시하면, 입자가 주어진 위치 도달 횟수는 가우스 분포에 비례한다는 생각입니다.

When particles are used as flow markers they make particularly nice graphic displays. A good example can be found in the Marker-and-Cell (MAC) method for free surface hydrodynamics (Harlow, F.H., Shannon, J.P., and Welch, J.E., “Liquid Waves by Computer,” Science 149, 1092 (1965)). In this method Lagrangian particles do not carry mass but are simply used as markers to define grid regions occupied by fluid. Results produced by the MAC method have appeared in many publications to illustrate the impressive things that can be done with computational fluid dynamics.

입자 흐름 마커로서 사용하면 특히 뛰어난 그래픽으로 표시됩니다.  자유 표면 유체 역학의 MAC (Marker-and-Cell) 법은, 좋은 예입니다 (FH Harlow, JP Shannon 및 JE Welch “Liquid Waves by Computer”Science 149,1092 (1965)).  이 방법은 라그랑주 입자는 질량 없이 단순히 유체로 채워져 있는 격자 영역을 정의하는 마커로 사용됩니다.  MAC 법에서 얻어진 결과는 많은 출판물에 등장하고 전산 유체 역학에서 실현할 수있는 좋은 것을 설명하기 위해 사용되어 왔습니다.

Figure 4 shows a MAC-like computation of the flow of liquid originating from the collapse of a circular column (shown in outline to the left) and splashing over a cylindrical dyke. The small finger of marker particles at the top of the splash appears especially realistic. As it happens, this computation was performed using a Volume-of-Fluid (VOF) method in which Lagrangian particles had no computational role. The particles in the picture were only included in the computation to make the graphical display.

그림 4는 실린더 (왼쪽 가장자리 부분)이 무너지는 것으로부터 시작하여 원통형의 볼록한 부분에 있어서는 물보라를 올리는 액체의 흐름을 MAC과 같이 계산 한 경우를 보여줍니다.  비말 상단의 마커 입자의 작은 손가락 모양의 부분이 특히 리얼하게 보입니다.  우연히 이 계산은 VOF (Volume-of-Fluid) 법을 사용하여 수행됩니다. 라그랑주 입자는 계산상 역할은하지 않았습니다.  그림 속의 입자는 그래픽 표시 목적으로만 계산에 포함되었습니다.

This example shows that what seems to be a strong argument for the accuracy of discrete particles, that is, their ability to capture local details, is mostly a visual effect in this case since the dynamics was computed from purely cell-averaged quantities.

이 예는 이산화 된 입자가 정확한지 강력한 근거라고 생각되는 것, 즉 국소적인 내용을 파악하는 능력이 사건은 주로 시각 효과임을 보여줍니다.  이것은 순수한 셀 평균 금액에서 역학 계산 된 것입니다.

Lagrangian particles are an extremely useful computational tool, especially when they are used to track small amounts of material whose dispersion is to be minimized. When particles are used as a discrete model for a continuous medium, however, it must be remembered that they have some limitations. In this sense, particles are no different than any other discrete computational method. Some of the issues that should be considered when using Lagrangian particles have been, we hope, discreetly presented in this note.

라그랑주 입자는 특히 분산을 최소화해야 합니다. 소량의 물질을 추적 할 때 매우 유용한 계산 도구입니다.  그러나 연속 매체의 이산 모델로 입자를 사용하는 경우 몇 가지 제한 사항이 있음을 기억해야합니다.  이러한 의미에서, 입자는 다른 이산 계산법과 아무런 차이가 없습니다.  라그랑주 입자를 사용할 때 주의가 필요한 문제의 일부를이 책에서 조금이라도 보여줄 수 있으면 다행입니다.