The mathematical formulation of fluid dynamics is based on a conservation of mass, momentum and energy. Because of this fact, there is a strong motivation to preserve these conservation properties when making numerical approximations. In practice, however, there are many situations where adherence to strict conservation principals is not a good idea. An understanding of those situations provides good insight into the subtleties of numerical approximation. Three examples will serve to illustrate this point.

보존해야하는지 여부

유체 역학에서는 질량, 운동량, 에너지 보존에 따라 수식을 세웁니다.  이러한 점에서 수치 근사를 할 때에도 이러한 보존 특성을 유지하려는 강한 욕구가 생깁니다.  그러나 실제 분석에서는 보존의 원칙을 엄격하게 준수하는 것이 반드시 좋은 생각이 아닌 상황이 많이 있습니다.  이러한 상황을 파악하는 것으로, 수치 근사에서 파악하기 어려운 부분까지 깊이 이해할 수 있게 됩니다.  여기에서는 세 가지 예제를 사용하여 이 논점을 나타냅니다.

Natural Convection

Consider a convective flow in a region that is subdivided into set of fixed control volumes (i.e., a grid). The flow of energy (temperature) through these volume elements must be computed. It is natural to want the energy leaving one volume to be equal to the energy entering a neighboring volume. This is an expression of thermal energy conservation.

In most natural convection problems the temperature differences driving a flow are small and the flow behaves as though it is nearly incompressible. Incompressibility means that the volume of fluid leaving a control volume must equal the volume entering that volume. Should excess volume enter a volume element, then excess energy will accumulate there as well, leading to a local increase in temperature (i.e., a numerical compression). Correspondingly, a loss of volume (expansion) results in a temperature reduction in the element.

Because it is numerically difficult to insure a strict balance of volume fluxes over a large number of control volumes, a numerical method that tries to conserve thermal energy typically exhibits results having a considerable amount of “thermal noise.” Often times the noise makes the computed results useless.

The solution to this computational problem is to abandon conservation and use a non-conservative approximation for temperature or energy convection. In particular, one should use an approximation that omits the compression/expansion terms that are supposed to be zero anyway.

자연 대류

고정 된 컨트롤 볼륨 세트에 분할 된 영역 (즉, 격자)에서의 대류를 생각합니다.  이러한 볼륨 요소를 통과하는 에너지 (열)의 흐름을 계산해야 합니다.  볼륨에서 나가는 에너지는 인접한 볼륨에 들어가는 에너지와 동일한 것으로 생각하는 것이 자연현상입니다.  이것이 열 에너지 보존 식입니다.

대부분의 자연 대류 문제는 흐름을 일으키고있고 온도차는 작고 흐름도 거의 비압축성 거동을 나타냅니다.  비압축성은 컨트롤 볼륨을 나가는 유체의 체적이 볼륨에 들어오는 체적과 동일한 것을 의미합니다.  볼륨 요소에 잉여의 부피가 들어온 경우 거기에 잉여 에너지도 누적하여 국소적인 온도 상승으로 이어집니다 (즉, 수치적인 압축).  반면 부피에 손실이 발생하면 (팽창) 요소의 온도가 떨어집니다.

매우 많은 컨트롤 볼륨에 걸쳐 체적 유량의 정확한 균형을 맞추는 것은 수치적으로는 어렵기 때문에, 열 에너지를 보존하려고 하는 수치법은 결과에 상당한 유량의 “열 잡음”이 포함 된 케이스가 많아집니다.  이 잡음이 발생하면 종종 쓸모없는 계산 결과 밖에 얻을 수 없습니다.

이 계산상의 문제를 해결하려면 보존을 포기하고 온도 또는 에너지의 대류에 비 보존 근사치를 사용합니다.  특히 어차피 제로가 되어야 압축 / 팽창 항은 제외되는 것과 같은 근사를 사용해야 합니다.

Hypersonic Flows

In hypersonic flow regimes the kinetic energy of the flow is generally much larger than its internal energy. When this happens, the use of numerical approximations that conserve mass, momentum and total energy can lead to substantial errors in fluid temperatures (sometimes even yielding negative values). This happens because the approximations for momentum always include some error, which is then magnified when used to compute the kinetic energy. When the kinetic energy is subtracted from the total energy, one of the conserved quantities that is computed, the resulting internal energy (or temperature) reflects this error. Since there is more kinetic energy than internal energy under hypersonic conditions, a small error in momentum may result in a large error in temperature.

The usual solution to this computational accuracy problem is to abandon the conservation of total energy and simply deal with internal energy directly.

극 초음속 흐름

극 초음속 흐름의 상태는 흐름의 운동 에너지는 기본적으로 내부 에너지보다 훨씬 큰 것입니다.  이러한 상황에서, 질량, 운동량, 총 에너지를 보존하는 수치 근사를 사용하여 유체 온도에 큰 오차가 발생할 수 있습니다 (경우에 따라서는 음의 값이 된다).  이것은 운동량의 근사치는 항상 어떤 차이가 발생할 수 있어서 운동 에너지를 계산할 때 그 오차는 확대됩니다.  계산 대상이 되는 보존량의 하나인 운동 에너지를 총 에너지에서 감산한 결과 내부 에너지 (또는 온도)에 오차가 반영됩니다.  극 초음속 조건에서 내부 에너지보다 운동 에너지가 많기 때문에 운동량의 작은 오차가 온도의 큰 차이로 이어질 수 있습니다.

이 계산 정확도 문제를 해결하려면 일반적으로 총 에너지의 보존을 포기하고 단지 내부 에너지를 직접 취급합니다.

Non-Uniform Grids

In non-uniform grids there is a potential problem with low-order numerical approximations, especially when used in conjunction with conservative formulations. A non-uniformity in the size of grid elements generally means a loss in numerical accuracy of one order. This arises from the fact that differences in fluxes on opposite sides of a control volume have errors that cancel in pairs when the grid is uniform, but don’t cancel when the sizes of elements change.

One consequence of this is that a first-order approximation for a conserved quantity on a uniform grid will be zeroth order accurate on a non-uniform grid. Zeroth order means that the approximation can never converge to the correct result even when the size of the control volumes approach zero — not a good idea.

To maintain the order of an approximation when changing from a uniform to non-uniform grid, it is necessary to abandon conservative formulations. Modified equation forms can be easily derived that preserve the conservation property in uniform grids, and retain the same order of accuracy when grid non-uniformities are introduced. FLOW-3D is an example of a program that uses all three of the above approaches to enhance its computational results.

균일 격자

non-uniform 격자는 특히 보존의 공식화와  병용하는 경우에, low-order 수치 근사의 잠재적인 문제를 안고 있습니다.  격자 요소의 크기가 불균일하면 일반적으로 숫자 정밀도의 차수가 하나 떨어지는 것을 의미합니다.  이것은 컨트롤 볼륨의 양쪽에 위치하는 플럭스의 차이는 균일한 격자에서 상쇄되는 오차를 가지고 있지만, 요소 크기가 균일하지 않은 경우는 상쇄되지 않을 수에서 발생합니다.

결과로 일어날 수 하나에 균일 격자의 보존 용량의 1 차 정밀 근사치가 고르지 격자에서 제로 다음 정도가 될 수 있습니다.  제로 다음 정확도는 컨트롤 볼륨의 크기가 제로에 가까워 졌을 경우에도 근사 올바른 결과로 수렴 할 수 없다는 것을 의미합니다.  이것은 원하는 것은 아닙니다.

균일 격자에서 균일 격자로 변경했을 때 근사 정밀도의 차수를 유지하려면 보존 제제를 포기하는 것이 필요합니다.  균일 격자에 보존 특성이 유지되고, 격자가 불균일하게 될 때 같은 차수의 정확도를 유지할 수 있도록 수정된 형식의 식을 용이하게 도출 할 수 있습니다.  FLOW-3D는 계산 결과를 향상시키기 위해 위의 세 가지 접근 방식을 적용한 프로그램 중의 하나입니다.