Turbulence Models 난류모델

난류란 안정화시키려는 점성력이 불충분할 때 발생하는 불안정하고 혼란한 운동이다. 높은Reynolds수에서 유동 내에서 발생하는 자연적 불안정성은 감쇠되지 않고 여러 크기의 와류를 생성으로 나타난다. 이 거동은 쉽게 수도꼭지에서 나오는 유동에서 또는 자유표면상에서 보이는 줄무늬 같이 빨리 움직이는 흐름에서 볼 수 있다. 매일 출퇴근시 자동차 주변에서 회전하는 잘 보이지 않는 난류 와류도 있다. 난류는 또한 공업 과정에서 중요하다: 고압 주조충진시 거의 모든 중간 내지 대규모의 유동 과정이 그렇듯이 확실히 난류가 발생한다.

간단히 말하면 난류는 우리 주변 모든 곳에 있고 유동모델 수치해석에서 무시될 수 없다. 이상적으로 질량 과 모멘텀방정식을 이용하여 난류 변동의 모든 면을 모사할수있을 것이다. 이는 이런 상세내용을 다 포착하기 위한 격자 해상도가 존재할 때만 가능하다. 그러나 이는 컴퓨터 메모리와 진행 시간제약으로 인해 일반적으로 가능하지 않다. 그러므로 우리는 평균 유동특성에서의 난류효과를 기술하는 단순화된 모델링에 의존한다.

FLOW-3D에서 6가지의 난류모델이 이용 가능하다: the Prandtl mixing length 모델, the one-equation, the two equation k ε, RNG,  k ω 모델들, 그리고  large eddy simulation, LES, 모델이 그것이다. 그러나 우리의 공식화 과정은 방법의 영향을 포함하고 부력과 관련된 난류 생성(또는 붕괴)을 일반화 했다는 점에서 다른 공식화 과정과 다르다. 후자의 일반화는 예를 들면 비관성 가속과 연관된 부력효과를 포함한다.

 

Turbulence Transport Models / 난류이송모델

방정식 난류 이송모델은 유동내의 난류속도 변동과 연관된 비운동에너지(난류운동에너지)의 이송방정식으로 이루어지고

   (10.268)

여기서u, v, w는 혼돈된 난류 변동과 연관된 유체속도의x−, y−, z성분이다. 이는 다음 난류강도에 해당하며

여기서K는 식(10.269)에서 정의된 질량가중 평균 운동에너지이고 ∀는 영역내 전체체적을 나타낸다.

    (10.269)

kT에대한 이송방정식은 난류 운동 에너지의 대류와확산, 전단과 부력효과에 의한 난류에너지의 생성, 난류 와류내의 점성손실에 의한 확산 과 소멸을 포함한다. 부력생성은 유동내의 불균일한 밀도가 존재할 경우에만 발생하며 중력과 비관성 가속도의 효과를 포함한다. 이송방정식은:

+ DiffkT εT                        (10.270)

여기서VF , Ax, Ay, 와 AzFLOW-3D의FAVORTM함수이고, PT 는 난류운동에너지 생산이다:

   (10.271)

where:여기서

  •  CSPRO 는 난류변수이며 디폴트값은 1.0이고,
  • R ξMass Continuity Equation section에서 이미 기술되어 있고 원통좌표계(사용된다면)와 연결되어 있다. 부력 생성항은

   (10.272)

여기서

  • µ는 분자동적점성
  • ρ는 유체밀도
  • P는압력이고
  • CRHO는 디폴트가 0인 또 다른 난류변수이나 열부력 유동문제에서는 약 2.5로 선택되어야 한다. 확산항은

   (10.273)

 

여기서υkkT의 확산계수이며 난류점도의 지역 값에 의거하여 계산된다. 사용자 정의 변수RMTKE는 난류 확산계수(이의 디폴트값은 1.0이다)를 계산하기 위해 사용되는 점도의 승수이다.

1방정식에서의 난류에너지소산율εT은 난류운동에너지kT와 관련되어있다:

   (10.274)

여기서

  • CNU는 변수(디폴트로 0.09),
  • kT는 난류운동에너지
  • TLEN는 난류 길이규모

이는 혼합길이에 근거한 공식과 일치한다. 이 경우에 디폴트로FLOW-3D는 가장 작은 영역크기의 7%로TLEN값을 선택한다; 그러나, 이 값은 대신에 유동의 특성 길이인 수리 직경[ShojaeeFardB07]의 7% 의 값을 취하는것으로 권장된다. 파이프 유동에서 수리직경은 파이프의 내경에 해당한다. 흐름의 유동에서는 흐름의 깊이이다.

더 정교하고 널리쓰이는 모델은 난류에너지kT와 난류 소산εT, 소위 말하는k ε모델[HN67]의 두 이송방정식으로 구성되어서 식(10.274) 의 필요성(유입경계나 거의 소산εT가 거의 0인 유동지역을 제외하고) 이 없다. k ε모델은 많은 유동형태에 대해 적합한 근사를 제공하는 것으로 알려져 있다[Rod80]. 추가의 이송방정식이 난류 소산εT에 대해  해석된다:

   (10.275)

여기서CDIS1, CDIS2, 와CDIS3는 모두 무차원인 사용자 조절 가능 변수들이며k ε모델에 대한 디폴트 값은 각기1.44, 1.92 및 0.2이다. 대부분의 유동영역에서 식(10.275) 은 식(10.274)를 치환하므로 영역전체에서의TLEN의 사용자 지정 값에 대한 필요성이 줄어든다.

소산의 확산Diffε,은 다음과같다:

   (10.276)

또 다른 난류모델은Renormalization-Group (RNG) 방법 [YO86] [YS92]에의거한다. 이 접근은 통계학적 방법을 난류운동 에너지나 이의 소산율같은 난류량들에 대해 평균된 방정식의 유도에 적용한다.

RNG모델은k ε모델 방정식과 유사한 방정식을 사용한다. 그러나 표준k ε모델에서 경험적으로 인용된 방정식상수들은 RNG에서는 외재적으로 유도된다. 일반적으로RNG모델은 표준k ε모델보다 더 넓게 응용된다. 특히RNG모델은 저강도의 난류유동과 강한 전단지역을 가지는 유동을 더 정확히 기술하는것으로 알려져있다. 또한 RMTKE, CDIS1 그리고 CNU의 디폴트 값은k ε모델에서 사용된 값과 다르다; 이들은 각기1.39, 1.42 와 0.085이다. CDIS2는 난류운동 에너지(kT )와 난류생산(PT )항으로부터 계산된다.

모든 난류이송모델에서 운동학적 난류점도는

νT = CNU                                                                              (10.277)

로부터 계산되며

여기서 νT 는 난류 운동학점도이다.

2방정식k ε 와 RNG 모델 둘다 에서의 하나의 특이한 수치적 장애점은 밑에 논의되는 εT값을 제한해야 한다는 것이다. 식(10.275)은 거의 0에가까운εT의 값을 생성할 수 있으며 물리적으로는 이런 경우에 마땅히   0에 접근해야 하지만 수치문제 때문에 그렇지 않을 경우 식(10.275)에서 비물리적으로 큰νT값을 발생시킬 것이다. 이 문제를 해결하기위해εT값을 TLEN이maximum turbulent length scale인 곳보다 작지 않도록 제한해야한다. 이는 사용자에 의해 정의되거나 난류길이 규모가 자동적으로 제한될 수 있다. 이에 대한 추가 논의는 다음절에서 보여진다.

위의 각 모델은 복잡한 수준에 따라 다양한 일련의 장점들을 제공한다. kω방정식 모델도 예외가 아니다. 어떤 특정한 유동에서 이는 특히 벽경계 가까이에서나 제트나 항적같은 유선방향 압력구배를 가지는 유동에서kε 또는 RNG 모델보다 탁월하다. FLOW-3D사용자는 응용시에 가끔 이런 유동 상태를 만나게 되므로 이 난류 모델의 우수한 특성으로부터 혜택을 볼 수가 있다.

변수ω ε/k [Kol42]는 1/시간의 차원을 갖는다. k ω [Wil98]

   (10.279)

와 같이 공식화 되며, 여기서

   (10.280)

With

                          (10.281)

여기서

          (10.282)

확산항을 위한RMTKE는 1/2이다.

   (10.283)

For ω transport we have: ω이송에서:

+ CDIS3 · GT) + Diffω βωT2                    (10.283)

where α = 13/25, RMDTKE = 1/2 and  이며
with β0 = 9/125 and β = β0fβ (10.284)

           (10.285)

where:여기서

      (10.286)

ij and Sij are the mean-rotation and mean-strain-rate tensors respectively and the buoyancy term is the same as Eq. (10.272).

ij Sij는 각기 평균-회전과 평균 변형율 텐서이며 부력항은 식(10.272)와 같다.

참고로k ω모델에서ε = β*ωk νT = k/ω이다.

어느 난류 모델이라도 이의 주목적은 평균 유동량에 대한 난류 변동의 영향을 추정하기 위한 방편을 제공하는 것이다. 이 영향은 보통 평균 질량, 모멘텀 그리고 에너지이송 방정식 (10.1), (10.9) 및 (10.21)의 추가 확산 항에 의해서 표현된다. 난류는 모멘텀의 확산을 증강시키므로 이는 유효하게 점도를 증가시킨다. 동적 점성계수가 나타나는 모든 곳에서 이는 분자및 난류 점도의 합이라고 가정한다.

µ = ρ(ν + νT)                                                                             (10.287)

엄격히 말해서 이는 항상 옳지는 않지만 높은 난류 수준에서는, 즉 난류점도가 분자점도보다 훨씬 클 때는 좋은 근사치이다. 낮은 난류 수준에서는 k ε모델이 추가 수정 없이는 부정확하다.

 

Turbulent Scales / 난류 규모

난류 시간및 길이규모는 난류 운동에너지및 소산

   (10.288)

LT = CNU

으로부터 형성될 수 있다.

εT뿐만 아니라 난류점도의 식에서kTT항은 난류시간 규모로 치환된다.

FLOW-3D에서TLEN은 1 방정식 모델에서의 실제 난류 길이 규모 그리고 2방정식 모델에서는 길이 규모의 최대값의 추정을 나타내는 사용자 정의된 변수이다. 추가로 이 최대 난류길이 규모는 모사중에 자동적으로 시간과 공간의 함수로 계산될 수 있다.

동적계산이 선택되면 모델은 한정된 난류의 시간과 길이 규모를 계산한다. 한정된 난류시간 규모는

    (10.289)

   (10.290)

 

이 제한은 낮은 한도에서는 Kolmogorov규모[Pop00]에 그리고 높은 한도에서는 급격한 뒤틀림 이론에 기인한다[KL93], [Dur96].

k ω의 경우에:

   (10.291)

그리고 제약은 유사하게 적용된다.

 

Prandtl Mixing Length Model   Prandtl혼합길이모델

가장 간단한 모델인Prandtl mixing length 모델은 높은 전단지역, 예를들면 고체벽 가까이에서의 난류 혼합과정에 의해 유체점도가 증강된다고 가정된다. 그러나 이는 완전히 발달한 거의 정상상태 유동에서만 단지 적합하다. 더 일반적으로 더 잘 난류강도의 시간 및 공간 분포를 모방하기 위해 몇몇의 이송과정(즉, 대류와 확산)를 고려하는 것이 필요하다. Prandtl mixing length 모델은 난류생성과 소산이 유동내 모든 곳에서 균형을 이룬다고 가정한다:

PT + GT = εT                                                                                                                       (10.292)

where, as above,여기서, 위에서와같이,

  • PT GT는 각기 전단과 부력효과에의한 난류생성이며
  • εT는 난류소산,
  • PT GT는위와같이정의된다. 다른말로 이류, 확산 그리고 시간에대한 난류에너지의 변화율은 무시된다. 또한 난류소산은

   (10.293)

로 쓰여질 수 있다

where CNU is a parameter (0.09 by default). 여기서 CNU 는 변수(디폴트는 0.09)

Combining Eqs. (10.292) and (10.293), kT is computed in terms of TLEN and the local shear rates and pressure/density gradients. Then kT and TLEN can be used to compute the turbulent kinematic viscosity νT from

식(10.292) 와 (10.293)을 결합하면 kT는TLEN과 지역 전단율및 압력/밀도 구배의 항으로 계산된다. 이때에kT 와TLEN는 난류 동적점성도 νT

              (10.294)

로부터 계산하는데 사용될 수 있다.

이 과정은 원래의Prandtl mixing length 모델 [Rod80]의 일반화인 결과를 보여주고있다. 이러한 제한적인 과정 때문에 이 모델은 1 또는 2방정식 난류 이송모델 보다 덜 유효하다.

Large Eddy Simulation Model / 와류모사 모델

난류의 큰와류 모사(LES) 모델은 기상 모델링 노력으로부터 생겨났다. 기본 개념은 계산격자에 의해 해결될 수 있는 모든 기본 난류구조를 직접 계산하고 단지 너무 작아 해결될 수 없는 양상들만 근사화하는 것이다[Sma63]. LES모델을 이용할 때 모델은 본질적으로 3차원이고 시간 종속적이라는 점을 명심하는게 중요하다. 더구나 변동들이 유입경계면에서 초기화 및/또는 입력되어야 한다. 이는 더 많은 노력을 필요로하고 컴퓨터 계산은 그렇지 않은 경우에 필요한 것보다 더 미세한 망의 사용으로 인해 심화될수있지만LES결과는 가끔Reynolds평균에 의한 모델(즉, 이전에 언급된 모델들)에 의해 주어지는 것보다 더 많은 정보를 제공한다. 예를들면, LES모델들이 커다란 건물 주변의 난류 유동의 계산에 사용될 때 평균 바람 응력뿐만 아니라 난류 유동에 따른 힘의 변동의 크기및 표준편차의 추정을 얻을 수 있다.

LES모델에서 너무 작아서 계산할 수 없는 난류의 효과는 길이 규모와 그 규모에서의 속도변동 정도의 곱에 비례하는 와류점도에 의해 나타내진다. 더 큰 규모에서[Sma63]는 격자셀 치수의 기하학적 평균을 사용하며,        (10.295)

속도변동을 L의 크기에 평균전단 응력을 곱한 값으로 비율한다. 이런 양들은 LES동와류 점도로 결합된다

.              (10.296)

여기서c는 일반적으로 0.1과 0.2사이의 값을 가지며 eij 는 변형율 텐서성분을 표기한다.

이 운동학적 와류점도는 난류 이송모델(식(10.287))들에서 적용된 것과 똑 같은 방식으로 FLOW-3D내에서 이용되고 있는 동적 점도에 편입된다.

µ = ρ(ν + νT)                                                                             (10.297)

 

Turbulence Boundary Conditions / 난류경계조건

식(10.268) 와 (10.275)은FLOW-3D에서 사용되는 2 방정식 난류모델을 구성한다. 이 방정식들을 위한 경계조건들은 부분적으로 면적 분율을 이용하여 반영되어 있다. 예를들면 모든 이류 및 확산 유속항들은 자동적으로 개폐 면적 분율이 사라지는 고체벽에서 0이다. 자유표면에서는 표면을 통과하는 속도구배가 사라지므로 접선방향 응력은 0이다. 유입경계에서 사용자는 직접적으로 난류 운동에너지 및 소산을 지정할 수 있다. 난류 운동에너지의 값이 지정되고 소산은 지정이 안된다면, 소산의 값은 자동적으로TLEN의 값으로부터 정해질 것이다.

또한 벽경계에서의 접선응력 유동이 없으므로0이다. 그러나kT εT이송방정식에 접선 벽전단 응력에 인한 기여가 있다. 이 응력들은 층류 바닥층에서 발생하며 분자 점도와 지역속도 구배에 비례한다. 이와 같이 벽전단응력의 기여를 생산 항PT에 포함시킬 수 있다.  불행히도 이 접근이 항상 잘 작동하지는 않는다. 경계근처에서kT εT 의 값을 제대로 제한하지 못한다. 그래서 좀더 표준적인 절차(즉, 참고 [Rod80])를  따르는 데 kT εT 는 벽경계에 인접한 망위치에서 지정된다.

FAVORTM 방식은 임의의 각도를 가지는 하나의 망  셀을 통과하는 벽 경계를 고려하므로 kT εT 를 위한 적절한 경계 값의 계산은 단순한 셀 가장자리 평가 이상으로 일반화되어 있다.

FLOW-3D에서 고체벽에 의해 하나 또는 그 이상의 면들이 완전히 막히거나 부분적으로 막힌 각 망 셀에서 kT εT 의 값들이 주어진다. kT εT 의 경계값을 결정하기위해 일상적인 절차는 난류 전단 생산과 소산과정 사이의 지역 평형 및 벽법칙 속도분포를 가정한다.

난류점도의 정의 식(10.290)와 결합되어 이는 값

       (10.298)

where u* is the local shear velocity determined from the equation 이 되며, 여기서u*는 식

         (10.299)

으로부터 결정되는 지역 전단속도이며, u 는 벽에 인접하여 계산된 속도의 평행성분이다. 벽으로부터 계산된 속도의 수직거리는 d로 표기되고κ는von Karman상수이다.

FAVORTM 방식은 셀내의 벽의 위치를 정확하게 표시하지 못하므로 u, u* a와 d를 찾기 위해 근사적방법이 소개되어야한다. 이를 위해 셀에서 수직한 벽의 방향을 결정하면, 이 때 u는 셀 중심 속도의 벽에 평행한 성분으로 계산될 수 있다. 벽으로부터의 평균거리, d는 벽에 수직한 방향에서의 셀 두께의 반으로 추정된다. 즉 삼중항(δx, δy, δz)은 벡터로 간주되며 이 벡터의 벽의 법선 과의 내적은 수직방향의 셀의 폭으로 정의된다. 마지막으로u*u d의 항으로 식(10.298)으로부터 반복적으로 구해진다. 벽표면에 질량소스가 존재하면 u와 질량의 유효법선 주입속도의 곱에 해당하는 항을 u*에 더한다. 일단 이 값들이 계산되면, 식(10.297)이 원하는 경계조건을 나타내는 kT εT의 셀 중심 값을 지정하기 위해 이용된다.