Shallow Water Model / 천해모델

천해유동은 수평의 규모가 수직의 규모보다 훨씬 큰유동이다. 그 예로 바다, 하구, 큰 호수,계절적 홍수,액체 코딩, 윤활막, 그리고 자동차 앞유리의 물 등의 유동이 있다.

천해유동에서 유체의 수직가속도는 무시할 정도이고 깊이 평균 등가로 모든 유동방정식 변수들을 치환할 수 있는 3차원 유동에의 좋은 근사법이다[Ped87]. 이 때 3차원 운동방정식은 천해 유동식 또는 천해 유동모델이라 불리는 수평 방향에서의 2차원식으로 축소된다. 이 모델에서 유체의 자유표면은 파동현상을 표현 할 수 있다. 불균일 수평경계(예, 경사가 있는 해변)는 순수 수평유동으로부터 약간의 편차가 있을 수 있다. 이런 의미에서 깊이 평균된 근사는 어느 정도의 3차원효과를 포함한다. 참고[Kna78], [SG69]에서 천해 방정식과 이의 고차원 개선에 관한 훌륭한 논의가 있다.

FLOW-3D에서의 천해 유동모델은 얕은 방향이z-방향이고 중력은 음의z-방향이다. 깊이 평균이 방향에서의 3차원 모멘텀 방정식에 적용될 때 이는 압력에 대한 수압 관련식으로 간소화 된다.

p = p0 + ρg(η z)                                                                         (10.256)

유체밀도ρ, 수직 중력가속도g, z = 0로부터 측정된 수위 그리고 자유표면 상의 표면 장력 효과를 포함하는 자유표면에서의 외부압력p0의 항으로.

FLOW-3D에서 천해유동은 단지 유한체적의 한수직층 내에서만 존재할 수 있다(즉, z-방향의 실제 첫째 층 셀). 자유표면을 포함하는 한 요소내 압력은 다음으로 정의되며,

p = p0 + ρgH                                                                              (10.257)

여기서H는 격자 바닥으로부터 측정된 표면수위이다. 그러므로H는 유체깊이와 물체높이의 합이며,

H = FVFδz + (1 − VF)δz                                                                    (10.258)

 

여기서δz는z방향의 셀크기, F는 유체분율 그리고 VF 는 체적율(셀내의 열려진 체적량)이다.

FAVORTM기법에서 사용되는 체적/면적 폐색이 바닥 윤곽의 높이로써 설명될 수 있다. 이렇게 할때FLOW-3D에서 사용된 모든 근사가 유한 체적의 바닥에 확실한 폐색이 있게끔 하는 것이 단지 필요하다.

3차원 모멘텀방정식에 깊이 평균을 수평방향에서 적용하면 천해모델에 대한 모멘텀방정식을 얻으며,

   (10.259)

   (10.260)

여기서u v는 각기 깊이평균x y속도이다. 식(10.259) 와 (10.260)에서 만들어진 하나의 추가 가정은 수평방향의 점성확산은 수직방향의 확선에 비해 무시할 만하다는 것이다. 식 우측의 세번째항은 수직방향의 점성확산의 깊이평균 효과를 고려하는데 이는 자유표면에서의 바람에 의한 전단 응력과 저수지 바닥에서의 전단 응력의 합에 연관되어 있다. 여기서d는 수심; τs,x τs,y는 각x y방향에서의 유체표면에서의 바람 전단응력이다. τb,x τb,y 는 각기 바닥 전단 응력의x y방향성분이다. τs,x τs,y는 2차법칙을 따르며,

   (10.261)

   (10.262)

 

여기서

  • ρa는 공기밀도,
  • CD는 일반적으로 0.003에해당하는 풍항력계수
  • W10,x W10,y는 각기 수표면10M상에서의 바람의x y속도.

식(10.262)은 풍속이 유체의 속도보다 훨씬 큰 것을가정한다.

난류유동에서 천해유동모델은FLOW-3D에 있는 어떤 난류모델도 사용하지 않는다. 대신에 바닥에서의 전단응력을 계산하기 위해 2차법칙을 사용하며,

   (10.263)

여기서CD는 항력계수이다. CD는 디폴트 값이 0.0026인 사용자 정의된 값이거나 다음 식에 의해 계산되며,

   (10.264)

where κ = 0.4 is Von Karman constant, B=0.71, z0 = ks/30, ks is surface roughness.

여기서κ = 0.4는Von Karman상수이고, B=0.71, z0 = ks/30, ks는 표면조도이다.

For laminar flow, τb,x and τb,y are calculated as

층류유동에대해τb,x τb,y는 다음과같이 계산되며,

             (10.265)

 

여기서 kµ 는 수직방향에서의 부족한 속도 개요를 보상하기 위해 계획된 수직점도 승수이다. 수직방향에서 2차속도 프로필을 가지는 정상상태의 전단유동에서kµ의 이론적 값은 1.5이다.

식(10.259) 또는 (10.260)에서의 마지막 항은 지구의 자전에 의한Coriolis힘을 나타낸다. Coriolis힘은 바다, 하구 그리고 큰호수 같은 곳에서의 유동같은 지구물리적 유동에서 중요하다. 이항에서Ω는 지구 회전속도의 수직 성분이며,

Ω = Ωe sinϕ                                                                              (10.266)

where: 여기서

  • e = 7.29 × 10−5 rad/s는 지구의 각속도이며
  • ϕ는 일정한(즉, 유동영역내 평균) 위도이다. 북반구에서는 양의수이고 남반구에서는 음의수이다.

3차원 연속방정식을 깊이평균하고 식(10.258)을 이용하여 유체높이로 치환한 후x 와 y방향에대한 적합한 면적율을 고려하면 다음에 도달한다.

   (10.267)

이는 천해유동모델(식(10.19) 참조)에 필요한 제약인 z방향으로F의 이송이 없다고 가정하면, 정확하게 유동에 대한VOF 방법에서 하나의 수평층 유한체적을 가지는사용된F에 대한 방정식이다. 천해 유동 모델에 대한VOF 방법은 유체가 없는 지역으로 들어가던지 또는 전에 유체가있던지역으로부터 배수되는 것을 허용한다.

식(10.257), (10.259), (10.260) 와 (10.267)들은 외재적으로 해를 구할 수 있는데 이 경우 중력파동이 한 시간단계에 한 격자셀보다 더 움직이는 것을 방지하기 위해 시간단계의 크기에 대한 제약이 있다. 내재적 반복해석법 이용 가능하며 이는 이런 제약을 없앤다. 내재적 선택이 디폴트로 사용된다.

천해 유동모델은hybrid접근법에서 다중 블럭 망을 사용하여 완전 3차원 방정식해석과 결합될 수 있다. 한 주어진 망 블럭은 천해 또는 3차원 형태의 망 블럭이다. 어느 블럭들이나 서로의 공통 경계에서 서로 경계면을 가진다. 블럭들은 서로가 연결되어 있거나(겹치지않게) 또는 다른 블록 안에 완전히 포함되어 있다(완전히 겹치는).

천해형태의 망 블럭은 z-방향으로 바닥셀은 전체가 유체로 차있고 위의 셀은 유체나 형상이없는 적어도 두 셀을 가져야 한다. 유체는단지 셀의 가장 밑바닥에만 실재해야하므로 둘 이상의 셀을 사용하는 것의 의미가 없다. 그러므로z방향에서의 셀의 크기는 모사 기간 중에 모든 유체가 포함되도록 충분히 커야한다. 유체가 위층의 셀로 넘어가면 에러가 생성될 것이다. z방향셀의 두번째 셀들은 유체나 형상이 없도록 남겨져야 한다. 이는 모델이 밑에 층에서의 자유표면을 적절히 처리하게끔 해준다.