토양, 파쇄 암석, 스펀지와 종이들은 모두 다공매질의 예이다. 다공매질은 유체가 흐를 수 있는 연결된 간극 공간을 가지는 고형물질을 뜻한다. 미세규모에서 빈 공간내의 속도와 압력은 아주 불규칙하나 거시적 관점에서는 체적 평균된 근사법은 유동을 상당히 잘 나타낸다 

물질의 전반적 크기에 상대적인 공간의 크기로 물질을 다공질로 모델링할 지에 또는 각개의 공간으로 모사할지에대한 적합성을 판단한다. 예를들면, 종이 장은 아주 얇지만 종이 공간의 크기는 훨씬 작다. 종이를 통한 평균유동이 관심이라면 종이를 다공도같은 체적 평균된 미세물성을 가지는 다공 매질로 간주하는 것이 적절할 것이다. 그러나 종이 내의 작은지역에서의 등방성 섬유 분포에 의한 심지 거동이 관심이라면 섬유가 모사에서 나타나야 한다. 계산 셀내 체적에 분포한 많은 기공을 평균하는 개념이 타당하기 위해 공간의 크기는 유한체적보다 훨씬 작아야한다.

그림 10.9 좌: 다공 모델은 예를 들면 사암과 꽉 차있는 가루같이 기공의 크기가 유한체적의 크기보다 훨씬 작을 때 유효하다. 우: 이산모델(모델되는 각 고체)은 기공의 크기가 유한적 크기와 같은 정도이고 기공내에 상세한 유동에 관심이 있을 때 유효하다. 예를 들면 섬유직물 내의 미세유동

Governing Equations in Porous Media 다공매질내 지배방정시

다공매질의 다공도는 공간체적의 전체 체적에 대한 비율로 정의된다. FLOW-3D 명기에서 다공도는 체적비율 Vf와  같다.

                                                                                            Porosity ≡ Vf                                                                                                                    (10.212)

금속 폼 필터 같은 재질은 거의 완전히 열려있고 1.0 에 접근하는 다공도를 가질 수 있다. 아주 잘 패킹된 구의 다공도는 패킹 배열에 따라 25% 에서 47%이다.

다공 물질을 연속체 모델을하고 각 유한체적을 평균함으로써 통상적인 보존방정식이 얻어진다. 질량보존은 식 (10.213)에 의해 표현된다.

   (10.213)

여기서 U 는 미세유동속도이다. 다공질 내 모멘텀방정식은 1856년에 다공질 내를 통과하는 한 방향으로의 유량은 적용된 압력에 비례하는 것에 주목한 프랑스 엔지니어 Henry Darcy의 관찰에 근거하여 얻어질 수 있다. 이 관계식은 다음으로 표현되며

   (10.214)

여기서 계수 K 는 재질 특유 또는 내재적 투과도이다. K 는 일반적으로 유체에 무관하고 길이의 제곱인 차원을 갖는다. 식 (10.214) 은 Darcy 법칙으로 불려진다. 일반 재질들에 대한 K 의 값은 자갈들에 대해 10-7 ∼ 10-9 m2 이고 진흙에 대해10-13 ∼ 10-16 m2 이다. 투과도 값이 작을수록 유동 저항이 크다. 이 저항은 다공매질 모델링에서 항력으로 불린다. 다공질내의 유동저항은 속도에 비례하는 항력항으로 Navier-Stokes 방정식에 나타난다.

                                                                                                 b = FdU                                                                                  (10.215)

여기서 Fd 는 다공매질 항력 계수이다.

투과도 K 는 다음에 따라 항력계수 Fd 의 항으로 표현된다.

   (10.216)

FLOW-3D 에서 이용 가능한 다양한 형태의 항력모델을 논하기 전에 다공 매질 내에는 두 가지 유동 종류-포화 와 불포화가 존재한다는 것에 주목한다. 포화유동은 가스와 액체의 경계면 구별이 상대적으로 뚜렷한 유동이다. 불포화유동은 가스와 액체의 경계면이 확산되어 서로 돌출되 있거나 갇혀진 가스 지역이 존재하는 유동이다.

Drag Calculations in Saturated Flows포화유동내의 항력계산

투과도 K 는 유체 물성보다 형상인자에 의해 결정되기 때문에 입자크기나 섬유직경 같은 형상 변수로부터 K 를 유도하는 것이 가능하다. Carman-Kozeny 방정식(10.217) 은 수력반경 이론으로부터 유도되고 다음으로 표시되며

   (10.217)

여기서 D 는 입자나 섬유의 직경이고 180은 Carman-Kozeny 상수라고 불린다. 식 (10.217) 은 다공매질이 거의 유사한 크기의 구형태로 되어있을 때 좋은 결과를 준다. 어떤 연구자들은 Carman-Kozeny 상수가 다공 및 섬유 형상비에 의존한다는 것을 발견하였다.

Darcian Saturated Drag  Darcian / 포화 항력

식(10.216) 으로부터 FLOW-3D 에서 사용된 항력계수는 투과도 K 의 항으로표현되며:

   (10.218)

식(10.216) 으로부터 FLOW-3D 에서 사용된 항력계수는 투과도 K 의 항으로표현되며:

항력계수는 또한 다음으로쓰여진다:

Fd = a                                                                                    (10.219)

Re                                                                             (10.220)

여기서 일정한 항력계수를 원할때는 a 는 양의 상수이다. 식 (10.218) 와 (10.219) 는 다음에서 계산되는 다공 Reynolds 수가 1보다 작을 경우에는 유효하다. 이는 보통 저속유동이나 작은 다공크기를가지는 매질에  맞는다.

Forchheimer Saturated Drag  Forchheimer 포화 항력

다공매질이 거친 입자나 섬유로 되어 있다면 미세 속도는 상당할 것이며 이로 인한 유동 손실은 속도의 1차함수에 비례할 뿐만 아니라 오히려 속도의 제곱에 비례할 수가 있다. 이는 일반적으로 ReP > 10일 경우이다. Forchheimer 방정식에서 압력손실은 다음과 같다.

                                                                 (10.221)

여기서 K2는 비 Darcian 또는 관성투과도이다.

선형(Darcian) 과 2차 유동 손실(non-Darcian)방정식은 Fd에대해 한 식으로 결합될 수있고

   (10.222)

여기서 a b 는 상수이다. 이들은 실험 데이터에의해 정의될 수있다. 실험식이 없을 경우 다음과같이 추정되며:

a = α/D2, b = β/D

여기서

  • 상수 α 는 보통 180이며,
  • β 는 1.8~4.0(부드러움에서 거친)의 범위에있는 조도 인자 이다.

변수 a는 비물리적인 유동을 방지하기 위해 각 다공요소에 대해 지정되어야한다. b의 정의는 선택적이다: 디폴트는0이다.

Capillary Pressure 모세관압력

포화 다공 매질 내에서 유체/가스 경계면에서의 표면장력의 효과는 유체가 다공매질에 상대적으로 강하게 습윤 또는 비습윤이면 중요할 수있다. 이 모세관압은 재질 내의 작은 기포들에 존재하는 높은 표면의 곡률 때문에 발생한다. 재질이 유체에 의해 습윤되면 (즉, 정적 접촉각이 90도보다 작으면)다공 매질내로의 유체의 심지효과와 흡수가 발생한다. 유체와 다공매질이 비습윤이면 반대현상이 발생하고 외부압이 유체를 매질 내로 밀도록 작용되어야 한다. 다공 매질에 대한 습윤 또는 비습윤의 역학은 모세관압력에 의해 정의된다.

모세관 압력값은 평균 기포직경, 적셔지는 유체의 표면장력 그리고 다공매질에 대한 정적 접촉각에 의존하며 해당식을 이용하여 추정될 수 있으며,

   (10.223)

식 (10.223) 에 의한 모세관압은 유체/가스 경계면 (유체 분율이1보다작고 0보다 큰 셀) 에 적용된다.

 

Unsaturated Flow in Porous Media / 다공매질내 불 포화유동

불포화 다공매질모델은 다공 매질 전체를 통해 어느 정도 서로 섞이는 2상 유동(보통 액체와가스)을 모사하도록 설계되어 있다. 그러므로, 유체분율(포화와 유사한, 액체에 의해 점유된 다공 공간의 지역 체적율)이 변하게 된다. FLOW-3D 에서 Volume-of-Fluid technique (VOF) 기법은 이 유체분율 F 를 추적하는데 이용된다.

단상보다 2상이 존재할 때 다공물질내 더 큰 유동 저항이 있으므로 항력은 포화함수이다. 이는 작은 길이 규모에서의 더 큰 표면장력 효과 때문에 변위시키기에 힘든 많은 작은 기포들에 기인한다.

 

Drag Calculations in Unsaturated Flows / 불포화유동에서의 항력계산

불포화유동에대한 두 항력 모델이 FLOW-3D 에포함되어있다. 가장 간단한 항력모델은 불포화 유동을 위한 “멱-법칙” 이며,

   (10.224)

로부터 계산되며,

여기서

  • F 는 유한체적내의 유체분율
  • FCMN 는 비환원 포화이며
  • FCMX 는 다공매질 내의최대 포화한계이다.

이 포화 한계는 더 이상의 액체가 재질로 제거되거나 추가될 수없을 때 각각에 대한 액체의 체적율을 뜻한다. FCMN FCMX 는 특정 매질의 개방된 기포체적에 상대적으로 계산 된다.

불포화 다공매질내 또다른 항력 모델의 정의는

   (10.226)

이며 where PEXP is a user-defined constant. 여기서 PEXP 는 사용자-정의된 상수이다.

유체가없는 지역에서 FCMN 가 지정되지 않으면 F 는 최소값10-6 로 제한된다. FFCMN 에 가까울 때 식 (10.226) 으로부터 발생하는 큰 항력의 발생을 방지하기 위해  FCMN 보다 큰 초기 F 값을 지정하거나 약간의 F 확산을 지정한다. 그렇지 않으면 유체는 FFCMN 로 다가가는 지역에 유체가 들어가지 못하게 될 수도있다.

 

Capillary Pressure in Unsaturated Flows / 불포화 유동에서의 모세관압

모세관 압은 또한 지역포화의 함수이다. 포화값이 낮은 매질 지역에서 곡률이 아주 높아서 매우 높은 모세관 압을 가지는 다수의 경계면이 있다. 역으로, 포화지역에서는 자유표면이 별로없고 모세관압은0에 가깝다.

FLOW-3D 에서 두 개의 계산되어야 할 모세관압 곡선이있다: 하나는 제질이 배수를 할때(즉, 포화가 감소하고)이고 다른 하나는 재질이 충진될 때(즉 포화가 증가할 때). 모세관압과 포화의 관계는 전진하는 유동(충진곡선)과 물러가는 유동(배수곡선)에대해 밑의 도식에서 보여진다.

배수곡선은 다음으로 정의되며,

   (10.227)

여기서

  • PBUB 는 포화조건 F = FCPMX 에서의 최대 모세관압이며
  • S 는 포화이다.

기포 발생압력 PBUB 은 다음으로 정의된다.

   (10.228)

충진곡선은 다음으로 정의된다.

PCAP,FILL = PBUB(SPexp − 1)   (10.229)

충진과 배수곡선은 항상 등거리로 기포 발생 압력 값에의해 분리되어있다.

Transition between Draining and Filling Curves / 배수와 충진 곡선사이의 전이

재질의 한 일부지역이 충진에서 배수(또는역으로)로 전환될떼 때 모세관압은 두 곡선사이의 주사곡선을 따른다. 이 주사곡선의 경사는 배수곡선의 지역 구배에 주사곡선이 목표곡선과 만날 때까지 목표 곡선(배수 또는 충진중의 하나)과 지역의 계산된 압력 차이의 10배를 더하여 계산된다.

모사가 단지 한 지역의 충진이나 배수만을 포함한다고 예측되면 이때는 단지 적절한 모세관압 대 포화곡선을 지정하는 것이 필요하다. 그러나 배수와 충진의 전이가 교대로 일어나면 그때는 두 곡선이 고려되어야 하고 수치적으로 이 과정사이에 전이가 발생하도록 어떤 방법이 주어져야 한다. 실험적으로 이 전이는 “주사”곡선을 따라 발생하는것으로 관찰된다. 이 곡선은 충진이나 배수 곡선의 구배보다 큰 구배를 가져야하며 그렇지 않으면 이 전이가 발생할 수가없다. 이를 위한 지침을위한 실험적 데이터가 없으므로 인위적으로 주사곡선의 구배를 지정해야 한다. 현재 F 값에서의 배수곡선의 구배에 상응하는 값에 포화 값 변화의 0.1에 의해 나누어진 (?)  포화F에서의 충진과 배수 곡선압력의  차이로 계산되는 추가 구배를  더해 사용한다.

사용자가 이용가능한 서부루틴 pcapcl 에서 PCAP 의 평가가 이루어질 때 시간단계 n + 1 에서의 첫 모세관압 추정은 주사곡선을 따르는 변화를 가정하여 전시간 단계로부터 얻어지며,

   (10.230)

여기서 dPCAP/dF 는 현 포화상태에서의 주사곡선의 구배이다. 새 값은 다음 같은 충진과배수 곡선 값 PCAP,FILL PCAP,DRAIN 에 대해 검사된다.

   (10.231)

 

Solidification Drag Model / 고체항력모델

유동성에 대한 응고의 영향은 둘 중에 하나로 참작될 수있다: 응고된 유체의 증강된 점도를 사용하거나 항력을 사용하여.

점도에 의거한 접근은 응고상이 변형 가능하고 그리고 예를 들면 이중롤 연속주조 과정 또는 비결정성 합금에서와 같이 아직 움직일 수 있을 때 유용하다. 유체 점도보다 더 높은 상수의 유한 점도가 응고 유체에 지정되고 액상/고상 혼합물 점도는 액체와 고상 점도의 고상율 가중평균으로 계산된다.

항력에 의거한 유동모델은 다공매질 항력 개념을 이용하여 구성된다. 상변화에 따른 체적 변화를 무시하고 고체물질은 계산 망에 상대적으로 정지되어 있다고 가정하면 우리는 고상화 과정(즉, 유동속도가 0인 상태)을 지역 고상율의 함수인 항력계수를 사용함으로써 근사화 할 수있다

재질이 고상일 경우 항력은 실질적으로 무한하다. 머시 상태로 이루어진 중간 단계에서는 항력은 중간값을 가진다고 가정한다.  FLOW-3D 에서 항력계수는 아래 식이며,

   (10.232)

여기서 Fs 는 지역 고상율이다. Fs = FSCR 일 경우, 항력계수 Fd 는 실질적으로 무한하다. FSCR 은 머시 구성 내의 모든 유동이 정지하는 임계 고상율 값을 표시하는 사용자 정의된 상수이다. TSDRG 는 사용자 정의 상수이다. 그 값은 머시 지역의 미세구조에 의존하는데, 이의 모델링은 FLOW-3D 내의 응고 모델의 영역 외에 있다. TSDRG 의 실질적 선택은 특정 응용에 달려 있을 것이며 일반적으로 실험 데이터와의 확인을 필요로 한다. TSDRG 의 값이 0이 되면 이 때는 이 머시 지역의 유체에 항력이 작용하지 않는다.

식 (10.214) 와 (10.232) 에 의해 주어진 머시 지역 내의 액상 유동에 대한 Darcy 형태의 항력모델은 낮거나 높은 고상율에서의 추가 유동효과를 포함하기 위해 개선될 수 있다. 낮은 고상율 값, Fs < FSCO값에서 고상결정은 분산되어 있고 간섭성 고상구조를 형성하지 않고 액체 내에 자유로이 부유할 수 있다.[BAAmericanFoundrymensSociety+96]. 이때에 고체/액체 혼합물은 고상율에 의존하는다음 혼합점도를 가지는 단일 유체로 근사될   수있으며,

   (10.233)

여기서 µ0 는 액상의 분자점도이다. 이 범위의 고상율을 가지는 항력계수 Fd 는 0이다. 응고가 계속되고 고상율이 간섭점 FSCO에 도달하면 고화된 상은 강체구조를 형성하는 것으로 가정된다. 이 경우 유체점도는 Fs = FSCO 인 식 (10.233) 에 의해 주어지는 값으로 되고 식 (10.232) 으로부터 주어지는 항력계수가 적용된다. 이는 고상율이 임계고상율인 FSCR 를 지날 때까지 계속되며 이점을 지나서는 유동이 정지한다.

FSCO 와 FSCR 둘다 사용자 정의된 상수이다. 모델에서 다음으로 가정된다.

0.0 ≤ FSCO < FSCR ≤ 1.0                                                              (10.234)

추가로 고상은 연속주조 과정에서 일어나듯이 균일한 선형속도(시간 의존일 수도 있는)로 이동할 수 있다 더 자세한 내용은 Model Reference 절의 Moving Solid Phase 을 참조한다.

다른 모델들이 항력계수가 계산될 수있는 서부르틴 drgcl 를 그리고 유체점도가 계산되는 mucal 을 변경하여 FLOW-3D 내로 포함될 수있다.

식 (10.232) 와 (10.233) 에서 기술된 응고화 항력 및 유효 점도의 개념은 머시지역이 액상의 유동이 있는 고상화 지역안에 있다는 존재한다는 중요한 가정에 근거한다. 이 가정은 순수금속같이 동결범위가없는 재질에는 해당이 안된다. 이경우 작은 임의의 동결범위가 0.1~1.0도 정도로 주어지면 모델의 정확도에 도움이된다.