Numerical Approximations 수치근사

Scalar Advection 스칼라 이류

압축성 연속방정식(10.1), 유체분율 방정식(10.19), 내부에너지 방정식(10.21), 그리고 난류에너지 와 소산 방정식 (10.270) 와(10.275) 이 모든 식들은 벡터형태에서 공통적 형태를 지니는데,

  (10.362)

이는 확산과 소스 기여를 포함할 수 있는 우측 항RHS를 가지는 양Φ에 대한 스칼라 이류 방정식이다. 다섯개 모든 방정식은 망의 셀중심에 위치한 같은 이류양Φ를 가지는 유한 차분 알고리즘에 의해 표현된다. 밑에 기술된 대로 경계면을 뚜렷하게 하기위한 알고리즘이 특정 유체 형태의 양들에 대한 유속량 항∇ · (uAΦ)에 대해 이용된다.

밀도, 에너지, 유체분율 그리고 난류 이송방정식과 별도로FLOW-3D는 임의의 스칼라 양들에 대해 식(10.362)와 유사한 추가의 보존방정식을 가진다.이 양들은 유동에서의 피동적 오염물의 진화를 기술하거나 이송방정식을 필요로 하는 새 물리적 모델, 예를들면, 화학 반응 과 시간의존 유변학모델을 개발하는데 이용될 수 있다.

각기 다른 유체와 관련된 모든 이류 양들은 이류된 유체의 양δF에 비례한다는 것이 중요하다(Time Advancement of Fluid Configuration를보라). 2 유체 문제에서의 난류와 임의의 스칼라양들은 이들이 두 유체경계면을 지나서 연속적으로 분포되어 있다고 가정하고 있기 때문에 이 범주에 속하지 않는다.

Time Advancement of Fluid Configuration시간 증가에따른 유체형상

유체분율F의 스칼라 이류는 식(10.362)에의해 지배된다. 식(10.362)이 한 계산셀 상에서 적분될 때 한 셀에서의F의 변화는 셀 면들을 통과하는F유속량의 합으로 치환된다. 그러나 유체경계의 뚜렷한 선명도를 보존하기 위해 특별한 주의를 기울여야 한다. 여기에서 사용된 방법은 공여-수용 유속량 형태를 사용한다. 이의 본질적 개념은 근사적 경계형상을 설정하고 유속량을 계산하는데 이 형상을 사용하기 위해 유속량 경계의 상류및 하류에서F의 정보를 사용한다는 것이다.

여기서 사용되고 있는 Volume-of-Fluid (VOF) 기법에서 사용되기 위해 개발된 기본 방식은 시간 단계δt기간 동안에 셀면을 통하여 x방향으로 유속되어질F의 양을 고려함으로써 이해될 수있다[HN81]. 단위 단면적당 이 면을 통과하는 체적 유속은L = uAxδt이며 여기서u는 면에 수직한 속도이고Ax는 유동에 열려있는 면적이다. u 의 부호는 공여 와 수용 셀을 결정한다, 즉 각기 체적을 잃거나 얻는 셀들 예를 들면, u가 양수이면 상류 또는 좌측의 셀은 공여셀이고 하류나 우측의 셀은 수용셀이다. 한 시간 단계에 셀면을 통과하는 F의 유속량은 δF와 막히지 않은 단면적(δy, δz)의 곱으로 정의되며, 여기서

   (10.363)

이며,  여기에서

  (10.364)

이다. 단일 첨자는 수용(A) 또는 공여(D) 셀을 표기한다. 이중 첨자AD는 밑에 설명되 듯이 유동방향에 상대적인 경계면의 향배에 따른 A또는D 중의 하나를 뜻한다. FDMFD의 최대값이며 공여셀 상류의 이웃 셀에서의F값이다.

간단히 식 (10.363)의MIN기능은 주어져야 될 것보다 더 많은 F 유속량이 발생하는 것을 방지하며MAX기능은 유속되어야 할 공간(1-F)의 양이 실제 이용가능 공간 양을 능가하면  추가F유속량CF을 고려한다. 밑의 일련의 그림은 식(10.363)의 도식 설명을 제공한다. 공여및 수용 셀들은 수직 셀 표면을 통과하는 유속량에 대해 그림 (a) 에서 정의된다. AD = D일때 유속량은 일반 공여셀 값,

  (10.365)

이며,   여기서 공여셀에서의F값은 유체에 노출된 가능한 유동면적 부분을 정의하는데 이용된다(하기 그림(b)참조). 수치 안정성으로 인해  |L|이V δx보다 작아야하므로 이 경우에 공여셀을 비우는 것이 불가능하다.

그림 10.14 F 이류에 사용된 자유표면 형태의 예제. 공여-수용 배열이 점선이 이류되는 전체 체적의 좌측경계를 가리키는 곳(a)에서 보여진다. (b-d)에서 보여지는 음영 지역은 실제로 이류된F의 양이다.

AD = A 일때 수용셀 내의F값은F가 이동하는 유동면적의 부분을 정의하는 데 이용된다. 위 그림(c)에서 공여 셀내의 모든F 유체는 점선과 유속 경계사이의 모든 것이 수용셀로 이동하므로 유속화된다. 이는 식(10.363)에서의MIN테스트의 예제이다. 위의 그림(d) 에서는FA|L|양 보다 더 많은 유체F가 유속되어야 하므로 이는MAX테스트의 예이다.

수용 또는 공여셀이 사용되는 지의 여부는 평균 표면의 향배에 달려있다. 표면이 자체에 수직한 방향으로 이류될 때 수용셀이 이용된다(셀표식 NF에 의해 정의되는 것같이); 그렇지 않으면 공여셀 값이 사용된다. 그러나 수용셀의F가 없거나 공여셀의 상류셀이 비어 있으면 수용셀F값은 표면의 방향에 상관없이 유속량을 결정하기 위해 사용된다. 이는 임의의 유체F가 하류의 빈 셀에 들어가기 전에 공여셀이 거의 가득차 있어야 한다는 것을 뜻한다.

표면의 방향성에 대해 테스트하는 이유는 수용 셀이 항상 유속량을 계산하는데 이용되면 표면파의 부정확한 고 경사도가 발생하기 때문이다. 예를 들면, 양의 x방향으로 움직이는 작은파를 가지는 수평표면을 고려해 보자.  F의 하류(수용) 값에 의거한 유속량은 결국 계단 형태의 불연속성을 가지는 고 경사도의 파를 이루게 된다. 사실상 수용셀 방식은F의 역 확산(즉, 음의 계수를 가지는 확산같은 이송)을 소개하므로 수치적으로 불안정하다. 그러나 불안정성은 유속량 정의에 이용되는MIN 과 MAX테스트때문에 무제한의 값으로 증가하지는 않는다. 반면에 표면이 자체에 수직하게 이류하면F의 단계함수 형태를 유지하기 위한 급격한 경사도는 정확히 원하는 바이다.

일단 유속량이 위의 방식에 의해 계산이 되면 공여셀에서 차감되고 수용셀에서 추가되는 F유체의 양을 얻기 위해 이는 유속 경계 면적에 의해 곱하여 진다. 이런 식으로F에 의해 정의된 유체의 양이 보존된다. 이류과정이 망 내의 모든 셀 경계에서 반복될 때 결과적F값은 식(10.19)을 만족시키는 시간 전진의 값에 상응하며 뚜렷한 경계면을 그럼에도 유지한다.

실제에서 유체운동이 표면의 반복된 뭉침과 파괴를 일으킬 만큼 과격하고 특히 이런 과정이 한 셀보다 작은 크기의 규모로 발생한다면 경계면의 선명도는시간이 지나면서 다소 악화된다. 특별한 경우에 대한 다중의 테스트가 경계면 추적능력을 더 향상시키기 위해 상기에서 기술된 기본F-이류의 루틴에 포함되어 있다. 또한 자유표면 문제에서 내부유체 지역에서의 부분적 공간(즉 1보다작은F값)을 폐쇄할 수 있는 방식이 추가되어 있다. 이런 지역들은 가끔 유체표면이 다른 표면과 또는 고상물체와 부딪힐 때 나타난다. 이 폐쇄방식은 또한 유체가 물체에 부딪힐 때 압력의 급격한 증감의 완화를 돕는다. 입력 표식(IFPK)은 이 선택을 활성화 또는 비활성화 시키는데 이용 되는데 이는 단지 공간의 압축성이 없는, RCSQV = 0.0, 자유표면 문제에서만 이용될 수 있다. 유체가 붕괴하는 극단적인 경우에 자유표면을 보존하기 위해 추가로 경계면 선명화가 더해질 필요가 있을 수 있다. 이 변수IFPK 가 보통 약간 더 뾰죽한 자유표면을 발생시키므로 일반적으로는 권장되지 않지만, 이 선택을 하는데 역시 이용된다.

Other Scalar Advection   다른 스칼라 이류

F이류를 위해 이용된 알고리즘은 압축 유동의ρ ρI로 확장된다. 경계면 위치, 그러므로 유속이 될 각 유체의 양은 위에 기술된 바와 같이 결정된다. 이 때 ρ (또는 ρI)의 유속량은 쉽게

  (10.366)

나 동등하게

   (10.367)

로 계산되며, 여기서Φ1 와 Φ2는 2 유체및η = δF/|L|와 연관되어 있다. 양쪽 모두의 유체에 분포되어있는2 유체 문제에서의 난류량에 대해, 유속량은 단순히Φ|L|와 같다. Second-Order Monotonicity Preserving Method에서 기술된 2차 단조 보존 이류방식은 또한 유체분율, F, 밀도, r, 및/또는 에너지, I ,의 이류에도 적용될 수 있다.

Determining Surface Normals and Cell Flags  표면 법선 및 셀 표식의 결정

자유표면 경계조건및F함수의 이류의 응용에서 표면에 근사적 법선방향을 지정하는 것이 필요하다. 한 표면 셀에서의 근사 법선은 표면의 내부로 수직한 방향에 가장 가까운 이웃 셀을 확인하는 정수값(NF배열에 지정되는)에 의해 기록된다. 이 방향은 빈 이웃셀로부터 멀어지는 방향을 가리켜야 한다. 표면셀이 하나 이상의 빈 이웃을 가지면 이 때 선택된 방향은 반대편 이웃 셀에서 가장 큰F값을 가지는 방향이다. 표면장력이 요구되면 더 정확한 표면 법선을 계산하는 것이 필요하다. 이를 위해 경계는 방향에 의존하는 단일 함수X(y,z), 또는Y (x,z), 또는 Z(x,y)로써 지역적으로 나타내질 수 있다. 예를들면, 근사 법선이z방향을 가리키면 그 때 경계는Z(x,y)에 의해 표시되고 다섯개 열(i, j), (i ± 1, j) 그리고 (i, j ± 1)에 대해 Z값을 계산한다. 이 양들로부터 δZ/δx δZ/δy및 표면장력을 위한 이의 2차미분에 대한 유한 차분근사가 계산될 수있다.

k의 단계에서 Zi,j 대해 사용된 근사는 세개의 셀 열 상에서의 합이며,

   (10.368)

여기서δz에의 한 ‘*’ 상첨자는 이 양이 표시된 k-단계에 대해δz이거나 0이라는 것을 뜻한다. 예를들면, δzk*−1에 대해 다섯 열 중에 어느 하나에서k-1 와 k단계 사이의 유동면적이 0일 경우에 0의 값 이 이용된다. 이 조치는 물체 및 배플 근처에서 합리적인 표면 구배와 곡률 값을 얻는데 필요하다.

Surface Location within a Cell   셀내 표면의 위치

일단 내부 법선방향이 결정되면 표면위치는 세 셀 열에서 적절한 높이까지 확장되는 이 좌표 방향에 수직한 평평한 표면에 의해 정의된다. 실제로는 미분계산에서 사용된 것으로부터 다소 수정된 열의 높이를 사용하는 것이 필요하다. 내부법선 방향의 이웃셀의 중심으로부터 측정되는 높이는 표면셀 유체에 이웃 셀 유체 높이의 반을 더한 것과 같다. 이 조치는 이웃셀이 거의 비어있더라도 표면이 이웃셀 중심보다 높게 위치하는 것을 확실하게 해준다.

Cleanup of Misty Fluid Regions   분무형 유체지역의 제거

어떤 응용에서는 해의 좋은 정확도를 얻기 위해 부드러운 자유표면 형태를 유지하는 것이 중요하다. 예를들면, 제대로 해결이되지 못하거나 들쑥날쑥한 자유표면은 표면장력의 평가시 수치적 ”잡음”을 일으킬 수 있다. 교대로 이는 더 들쑥날쑥한 자유표면 형태를 초래할 수 있다. 이런 변동은 궁극적으로 작은 양의 유체가 여러 개의 인접 셀들에 분포되는 “분무”형 유체지역의 형성으로 나타날 수있다. 이런 지역에서 자유표면이 만족스럽게 해결되지 않으므로 표면장력 해의 정확도는 급격히 악화된다.

“분무”지역이 수치해석의 질을 저하시킬 수있는 또 다른 예는 과도한 튀김과 자유표면의 부서짐이 있는 유동에서 발생한다. 이 모든 지역내의 작은 유체방울들의 움직임을 기술하려는 시도는 비효율적일 수있고 아마 불 필요할 것이다.

이런 상황을 방지하기 위해 인위적으로 “분무”형 유체지역(즉, 유체분포를 제거함으로써)을 정화하는 방편이FLOW-3D에서 주어진다. 이 수정은 변수FCLEAN에 의해 조절된다. 한 셀내의 유체는 그 안에서 그리고 그 모든 이웃셀에서의F값이FCLEAN밑으로 떨어지면 폐기된다. 일반적인FCLEAN값은 0과1사이이다. 현저한 경계를 갖는 2유체 문제에서 이과정은 해의 대칭성을 유지하기 위해 두 유체에 다 적용된다.

이 제거 알고리즘의 사용은 단지 유동이 주로 표면에서의 조건에 의해 조정되는 극심한 자유표면 변형이 있는 유동에 대해 권장된다. 일반적으로 이의 적용은 전체 유동체적에서 단지 작은 에러(1%보다 작은)를 유발하며 정확하고 효과적인 해를 준다.

Bookkeeping Adjustments  부기조절

상기방식으로 결정된 새 F값은 가끔 약간 0보다작거나 약간 1보다 큰 값을 갖는다. 그러므로 스칼라 이류계산을 마친 후에 0보다 작은F값을 0으로 그리고 1보다 큰F값을 1로 되돌리기위해 망을 통하여 한 경로를 다시 한다.

F 의 추가조절은 값이 0이나 1에 가까울 때 이루어진다. 한 셀이εF보다작거나1 − εF 여기서εF = 10−6 보다 큰 F값을 가지면 이 때F는각기 0이나 1로 재지정된다. F가 0으로 재지정될 때 모든 인접한 꽉 차있는 셀들은 표면 셀들이 된다.

Cleanup of Misty Fluid Regions에서 된 조절을 포함하여 전체유체체적을  허용된 범위로 유지하기 위해F 의 다양한 조절을 통해  제거및 추가된 전체 유체 체적은, 절대량일 뿐만아니라 모사시 영역을 통과한  전체 유체 1의 체적의 백분율인, cumulative volume error으로 기록된다. 이는 해 요약 파일의 긴 프린트에서 VCHGT로 뿐만 아니라flsgrf파일에서General History 데이터 카탈로그에 쓰여진다. 전체 유체 체적VL또한 인쇄된다. 일반적으로 축적 체적 에러는 전체 유체 1 체적의 1퍼센트보다 작아야한다.

전체 에러에 추가로 축적 체적 에러는 모든 셀에서 계산되고 공간양으로flsgrf파일에서 기록된다. 모사기간 동안에 이 체적은 조건이 허락할 때, 즉F값이 허용된 범위 안에 있고 셀의 상태(비어있던가, 표면이던가, 가득차 있던가)가 이 결과로 변하지 않으면 유체에 추가(이 체적이 음이면 제거)될 수있다. 이는 전반적 유체 체적 보존을 향상시키는 데 도움이 된다.