Numerical Approximations 수치근사

Diffusion Process, Heat Conduction and Heat Transfer  확산과정, 열전도및 열전달

Diffusion Process  확산과정

내부 점성 전단(즉, 고체 경계로부터 떨어진 곳에서의 전단응력)과 유체 분율의 확산, 유체 밀도, 유체 에너지밀도, 난류에너지 그리고 난류 소산들은 모두 유사한 방식으로FLOW-3D에서 처리된다. 각 과정에서의 확산계수는 동적 점도µ에 비례하며 이는 FLOW-3D에 포함된 난류 모델과 사용자에 의해 포함된 다른 모델의 결과로 공간및 시간에 대해 변할 수 있다.  이 변화를 고려하기 위해 모든 확산 과정들은 더 통상적인 Laplacian 형태 보다 유속의 발산으로 공식화 된다.

확산과정을 위해 사용된 외재적 차분 기법은 상당히 간단하다. 점도와 확산된 양은 전시간 단계의 배열로부터 평가된다. 이는Stability Considerations에서 토론된 안정성 요구로 연결된다. 이러한 제약은 점성모멘텀 확산항의 내재적 처리가 선호되는 어떤 경우들에는 상당히 심각하다(Implicit Viscous Stress참조). 스칼라양 확산의 공간 차분 또한 상당히 단순하다. 망 셀 표면을 통과하는 유속량은 확산계수와 셀 표면적율의 평균곱에 면의 양 편에 있는 셀 중심 양들의 1차 차분을 곱하여 평가된다.

점성 응력의 공간 차분은 필연적으로 벡터 성격으로 인해 더 복잡하다. 간단히, 지역전단율을 얻기 위해 1차차분을 속도성분에 적용하고 점도와 셀 표면적율의 평균 곱을 곱한다. 그후 이 결과는 순수 점성응력을 근사화하도록 차분화된다.  모든 양들은 이 계산에서 외재적으로 평가된다.

Heat Conduction and Heat Transfer  열전도와 열전달

열전도및 열전달 항들은 유체 에너지 밀도 방정식(10.21)및 고체 온도 방정식(10.38) 둘 다에서 나타난다. 이항들은FLOW-3D에의해 유사하게 처리되고 관련된 시간단계 안정성 제약을 없애기 위해 선택할 수 있는 두가지 내재적 공식을 포함한다. 이 근사는 이 열과정과 관련된 시간 규모와 유체유동 자체, 특히 정상및 준정상 상태에서의 시간규모의 큰 차이 때문에 포함되어있다(Implicit Viscous Stress를 보라).

사용된 방법을보여주기위해 식(10.21)의 재공식화된 상사형

  (10.369)

을 고려하며, 여기서

  • TDIF는 유체내 열전도를 나타내고,
  • HADT는 유체와 인근 고체와의 열전달을 나타내며,
  • X는 식(10.21)의 나머지 항들을 보여준다.

지금 식(10.369)을 근사하기 위해FLOW-3D에 의해 사용된 차분관계를 고려한다. 통상적으로 에너지 유속량에 대해서  전진 시간차분및 1차공간차분을 이용하면, 아래와 같이 되며,

  (10.370)

여기서,

  • T는 유체온도를나타내고,
  • TW는 고체온도,
  • h 는 열전달계수,
  • WA는 경계면 면적,
  • A는 셀면 면적,
  • k는 평균열전도계수이며,
  • δ는 적절한 공간 증분이다.

식(10.370) 오른쪽 모든 항은 외재적 근사가 열유속량에 대해 사용되는 것을 뜻하는 “전” 시간 단계tn 에서 평가된다. 외재적 알고리즘은 시간-단계 크기 안정성 제약을 뜻한다(Stability Considerations참조). 외재적 근사는 같은 차분이 어느 셀 표면의 양쪽에서 사용되기 때문에 에너지를 보존한다.

Implicit Viscous Stress and Heat Flux Approximations  내재적 점성 응력및 열유속량근사

점성및 열확산에 대한 외재적 근사의 수치 안정성을 위해 필요한 최소 시간-단계 크기는 전체 망에 대해 추정되므로 이 시간-단계 크기 제약은 가끔 너무 심해서 효율적인 수치해석을 할 수가 없는게 확실하다, 이는 비록 변수들이 이 지역에서 변하지 않을 수있더라도 시간-단계 크기가 가장 작은 셀에서의 안정성 한계에 의해 조절되는 아주 찌그러진 망에서의 경우일 수도 있다.
두 개의 내재적 솔버가 이 문제를 완화시키기 위해 개발되었다. 첫번째는 모멘텀 방정식에서의 내재적 항들을 위한 Jacobi 반복법이다. 둘째는ADI방식에 근거한다.

이 방식들을 설명하기 위해 앞에서의 모멘텀및 연속 방정식(10.315), (10.316), (10.317) 및 (10.352)들로부터 면적및 체적분율 생략하고 2차원 데카르트 형상을 가정함으로써 단순화 할 것이다. 일정한 점도를 가지는 비압축성 유체에 대해 유동방정식은 다음과 같이 균일(단순화하기 위해)한 격자에서 차분화된다.

   (10.371)

    (10.372)

여기서,

  • i j는x 와 y방향에서의 셀 색인이고,
  • δx δy셀 간격이며,
  • FUX, FUY, FVX, 와 FVY는 Momentum Equation Approximations 에서 기술된 모멘텀 이류항들이다.
  • 벽 전단 응력은계수 wx wy,를 가지는   속도에 대해 선형으로 가정되고 fx fy 유체에 작용하는 모든 다른 힘을 포함한다.

상첨자n을가진 항들은 시간tn에서의 해를 이용하여 명시적으로 계산된다. 상첨자n + 1는 내재적으로 시간tn+1 = tn + δt에서 평가되는 항들을 표기한다.  식(10.371) 와 (10.372)은 서로 결합되어 있고 이웃 셀들에서의 변수로 연결되어 있으므로 한 반복법이 모든0 < i < Nx + 1, 0 < j < Ny + 1에 대해ui,j, vi,j pi,j해를 얻기 위해 이용되어야 한다.

두 반복 순환이Jacobi반복법에서 정의된다: 모멘텀 방적식에서의 점성항을 위한 하나와 연속방정식의 압력을 위한 다른 하나이다. 두번째 반복 순환은Pressure Solution Algorithm에서 기술된 것과 유사하다. 완전한 압력 수렴은 점성 반복 후에야 이루어진다. 다른 말로 각 점성 반복은 일반적으로 많은 압력반복을 필요로 한다(주어진 시간단계에서 모든 점성반복에 대한 평균압력 반복수는 진단 출력에서 계산된다).각 점성반복kv + 1에서 모멘텀방정식은 대각 내재적항ui,j vi,j들에 대해 해석된다(kv = 1에 대해서는 전시간 단계로부터의 해석이 이용된다):

  (10.373)

여기서u* v*는 식(10.371)의 모든 외재적 항들을 포함한다.
식(10.373)으로부터kv + 1단계의 속도를 식(10.372)으로 치환하면 압력방정식을 얻게된다. Pressure Solution Algorithm에서 기술된 표준SOR 방식과 유사하게 각 유한 체적내에서 발산이0이 되는 조건을 만족시키도록 압력이 조절된다.

  (10.374)
여기서,

  • S는 식(10.372)의 좌측이고,
  • ω는 입력변수OMEGA에의해 정의되는 완화인자이며,
  • kp는 압력 반복수이다.

압력과 속도성분들의 상응하는 조절은Dx Dy가 식에 존재한다는 점에서 식(10.356)에서 주어진 것들과는 다르다:
  (10.375)

  (10.376)

주어진 점성 반복kv에대해 압력 반복이 왼료되면 다음 점성 반복kv + 1 에 대해 수렴된 해가 식(10.373)을 풀도록 사용된다.
해는 점성과 압력반복 둘다가 수렴될 때 수렴이된다. 압력반복EPSI을위한 수렴 기준은 외재적 점성 알고리즘에 대한 경우와 같다. EPSI는 일반적으로 시간-단계의 크기의 함수이다. EPSI의 추가 승수EPSADJ가 수렴을 더 작게 하거나(EPSADJ < 1.0) 느슨하게(EPSADJ > 1.0)하는 데 이용될 수 있다. EPSADJ의 디폴트 값은 1.0이다.

연속적 감속완화(SUR) 또는 Jacobi 점성 반복은 연속 반복 사이의 정규화된 속도의 변화가0.01× EPSI를 넘지 않을 때 수렴되었다고 여겨진다. 추가 승수EPSVIS는 수렴을 더 완화하거나 작게하는 데 이용될  수 있다. EPSVIS의 디폴트 값은 1.0이다.
감속 완화인자 OMEGVS는 점성 반복의 수렴을 증진시키기 위해 식 (10.373)에서 사용된다. SUR반복법에 대한OMEGVS의 디폴트 값은 0.9이다. 이 방법은IMPVIS=1일 때 활성화된다.

선 내재적(ADI)점성 솔버에서 모멘텀과 압력방정식은 같은 반복내에서 함께 해석된다; 압력과 속도 반복간의 구별이 없다. 반복k+1에서 전의 반복k로부터 속도를 이용하여δp를 평가하기 위해 격자를    한번 통과한다:

  (10.377)
여기서 분모는 식(10.376)으로부터 평가되고 Dx Dy는 식(10.373)에서 정의된다. 식(10.377)의ω는 1.0으로 디폴트된다. 1보다 큰 값을 사용하는 것은 권장되지 않는다.

그때 모멘텀방정식은 3중 대각행렬 솔버를 이용하여 식(10.377)으로부터의 가장 최근 압력을 이용하여 해석된다. 우선, y-미분을 평가하기 위해k– th단계의 속도성분을 이용하여 x-방향에서 한 통과가 이루어진다:

  (10.378)

식(10.378)은 상첨자k + 1를 가지는 항들에 대해 풀어진다.  x-방향 미분을평가하기위해.  x-방향 통과 후에 얻어진 속도성분들을 이용하여y-방향으로 한 통과를 한다. 이때z-방향에서의 통과가 3차원 문제에서 더해진다.  또한 가속완화가 이 방법에서 사용되나 수치적 잡음을 최소화하기 위해 OMEGVS는 현재 1.0으로 디폴트가 된다.

반복과정을 위한 첫 추측으로 시간단계n에서의 속도들이 이용된다. 해법은 연속방정식의 잔여가 격자 내 모든 곳에서EPSI보다 작아지고 정규화된 모멘텀방정식 잔여가1.0-8 × EPSVIS보다 작을 때 수렴된다. EPSVIS는 디폴트값 1.0을 가지는 입력변수이다. 모멘텀방정식 잔여(x-방향에서)는 와  식(10.378)의 우측항의 계수 중의 최대값에 의해 정규화된다.

ADI반복법은IMPVIS = 2를 지정함으로써 활성화된다. 점성 저항이 우세한 힘일 경우SUR방법보다 더 빨리 수렴하고 더 정확한 해를 준다. 이는 모사가 점성 안정 한계보다   몇 차 정도 큰 시간 단계에서 진행할 때 반응고 금속, 폴리머 그리고 비결정 물질같은 아주 높은 점도 유동에 적용된다.

SUR방식은 압력에 의해 구동되는 유동에서ADI솔버보다 더 효율적인데 이 경우 점성응력이 압력에 부수적이고 시간단계 크기가 단지 점성 안정 한계보다 한 두차 정도 크기가 크다.

ADI반복법은 유체및 물체상에서 동시에 해석되는 열에너지 방정식의 해를 얻는데 이용된다. 이 반복 알고리즘에서 이용되는 상향 완화 과정은 수렴율을 증가시킨다. 상향 완화의 정도는 최적 수렴을 위해 지정된 디폴트 값을 가지는 OMEGHT에 의해 조절된다. 온도에 의해 정규화된 에너지방정식의 최대 잔여가EPSIHT = 1.0e-04 × EPSHTC보다 작을때 반복은 수렴되었다고 간주된다. EPSHTC의 디폴트값은 1.0이다.

열및 점성 해의 수렴기준은 자동적으로 계산 중에 지정되며 시간 단계마다 변할 수 있다.
난류 모델들은 내재적으로 처리되지 않는 다른 종류의 확산과정을 포함하므로 내재적 점성 선택은 난류모델들과 함께 사용될 수 없다.

내재적해석 방법은 열전도및 전달 과정에 의해 δt에 강제되는 제약을 없앨 수 있다. 그러나 다음의 언급은 내재적및 외재적 근사의 차이를 인식하는 데 유용할 수 있다. 수치적으로 안정된 일시적 외재적 해를 확실케 하는 최대 시간-단계 크기는 열파동이 공간에서 한 개 이상의 셀을 전파하지 않는 시간 주기로 설명될 수 있다. 더 큰 시간-단계가 내재적 알고리즘에서 사용될 때 이 파동들은 한 시간 단계에 더 멀리까지 전파될 수가있다. 이 기간 동안에 대 여섯개의 열파동들이 유동내 같은 위치를 통과하므로 이 위치에서의 유체 에너지및 온도는 이 같은 기간 동안에 복잡한 과도적 거동을 겪을 수 있다. 그러나 에너지방정식에서의 순간적 편미분은 한시간-단계에서 실질적으로 선형 에너지변화를 가정하는 1차 차분기법으로 근사화 되어있다. 그러므로 내재적기법에서의 큰 시간-단계를 사용하는 것은 해를 평준화(또는 확산화)하고 순간해의 정확도의 확실한 손실로 나타난다. FLOW-3D에서 내재적 해를 위한 시간 단계의 크기는 반드시 내재적 해의 정확성 및 효율을 유지하도록 자동적으로 조절된다. 시간 단계의 크기는 반복수IDTHT를 넘지 않도록 조절된다(디폴트는 20이다).