Numerical Approximations 수치근사

Pressure Solution Algorithm 압력 해 알고리즘

질량보존의 수치 처리는 압축성과 비압축성에서 상당히 다르다. 그러나 어느 경우든지 적합한 질량 방정식은 셀내의 압력을 결정하고 속도를 갱신하는 알고리즘에 이르게한다. 압축 유동이나 제한적 압축 유동(내재적 압력 해법을 사용해야 하는)에서 연속방정식(10.6) 또는 (10.8)은 셀에서의 압력과 속도의 타원조건으로 직접 해석될 수있다.  압축유동에서는 연속방정식(10.1)이 포물선 방정식으로 즉, 시간에 대해 전진하는 알고리즘에 의해 해석된다. 이 때 압력은 상태방정식 밀도가 갱신되는 셀 밀도와 같게함으로써 결정된다.  이 경우 시간단계 크기가 음파 전달에관한 안정성을 확실하게할 만큼 충분히 작다면 속도는 갱신될 필요가 없다. 압축유동에 대해 내재적 선택을 사용하면 더 큰 시간단계를 허용하나 충격파나 저밀도 파형에는 덜 정확할 수 있다.

때때로 인위적 제한 압축성을 유체에 추가하는 것이 해에 상당한 에러를 일으키지 않고 수렴을 증진시킬 수 있다. FLOW-3D에서 이는IMP = 2(디폴트는 1)로 지정함으로써 자동적으로 이루어진다. 상세한 모델 내용을 위해 https://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp의 사용자 주소에서Flow Science Technical Note #55를 참조하라.

Incompressible SOR Method  비압축 SOR방식

식(10.315)으로부터 계산된 속도는 제한적 압축 연속 방정식(10.8)에 대한 다음의 이산화 근사식을 만족시켜야하며,

(10.352)

여기서XCi는 셀i의 중심의x위치이다. 원통좌표계에서는CYL = 1.0 및 Ri = XIM1/XCi 이며XIM1는 망내 마지막 실재 셀의 바깥 가장자리의 반경(x위치)이다. 데카르트 형상에서는 모든i 에 대해Ri = 1.0 이고CYL = 0.0이다. 항RSOR 은 셀내의 유체 체적 소스를 뜻한다. 압축성계수1/(ρc)2는 2유체 문제의 공식에 의해 계산된다.

 (10.353)

1유체 문제에서는 단지 두번째 항만 존재한다. 첨자l v는 각기 유체 1과 2를 뜻한다. 제한적 압축성은 두가지 목적, 물리적및 수치적, 으로 사용될 수 있다. 이 두 입력변수RCSQL = 1/(︀ρc2)︀ 와 RCSQV = 1/(︀ρc2)︀를 지정함으로써 유체의 제한적인 물리적 압축성을 모델할 수 있다. 또한 RCSQL 와 RCSQV를 적절히 지정함으로써 물체 경계상에서의 자유표면의 붕괴에 의해 종종 발생하는 수치적 압력 파동의 효과를 완화시킬 수 있다.

속도가 식 (10.352)을 만족시키기 위해 압력 그러므로 유체가 차지하고 있는 셀 내의 속도를 조절하는 것이 필요하다. 이는 둘 중 하나의 방식으로 행해진다. 가장 간단한 방법은 successive over-relaxation(연속가속완화) (SOR)반복 과정이다. 계산망을 망내의 첫번쩨 비 경계셀에서 시작하여 하나씩 쓸어나간다. 쓸림은 먼저i에 대해 시행되고 다음에j그리고 마지막으로k값에 대해서 되어진다. 계산은 단지 유체를 포함는 유체가 빈 이웃이 없는 셀들에 대해 실행된다.  셀(i, j, k)에서의 속도가 식(10.352)을 만족시키기 위해 필요한 압력변화는 아래와 같으며, 여기서 S는 식(10.352)의 좌측이다.

(10.354)

식(10.354)은 단순히S = 0를 이루기 위해 필요한p값을 생성하는 완화과정의Newton형태이다. 각 셀에서S를 평가하기 위해 사용된 속도 값은 반복과정에서 사용 가능한 가장 최신의 값이다.  식(10.354)으로부터의 결과를 이용하여 셀압력의 세 추정치는

(10.355)

이며, 셀의 면들에 위치한 속도들의 새 추정치는 다음 식과 같다.

      (10.355)

여기서 여기에 나타나는 속도들 또한 반복중에 가장 최신의 값들이다. 반복과정을 시작하기 위해 식(10.315)으로부터의 새 추정 속도들은 전 시간단계로부터 남아있는 압력값과 함께 이용된다. 물론 면적이0인 곳에서의 속도는 이 단계에 수정되지 않는다.

자유표면을 가지는 셀들에서, 즉 유체가있지만 하나 또는 더 많은 빈 이웃 셀들을 가지는 셀에서는 다른 과정이 이용된다. 이러한 셀들에서 요구되는 경계조건은 압력이 표면에서 지정된 값, 즉 표면에서의 ps 이다. 표면압력은 이웃한 void영역 압력, PR, 과 표면장력 압력, PS,의 합과 같도록 지정되며

(10.357)

여기서n은 인접한 빈 공간의 색인이다. PS의 평가는Surface Tension with Wall Adhesion에서 기술된다. 표면압력, ps 은 셀내의 정압분포를 가정하여 표면셀의 중심에서의 압력pi,j,k 으로 외삽하여 해석에 적용된다.정압변화는NF에의해 정의된 바와같은 표면에 수직한 방향에서의 순수가속도에 의존한다. 이 표면 셀 압력은 압력 반복동안에 변하지않으며 고정 경계값으로 취급된다. 이런 방법으로 셀내의 자유 표면의 실제 위치가 확실하게 고려된다.

고압, 단열 기포가 존재할 때[Hir92], [BC94] 수치 불안정성이 공간지역 압력의 외재적 근사로 인해 발생할 수 있다고 알려져 있다(단열 기포모델은Variable Pressure (Adiabatic) Void Region에서 기술되어 있다). 이러한 어려움을 없애기 위해FLOW-3D에 내재적 기포모델이 추가되어 있다. 이의 목적은 기포압력 변화가 한 사이클의 마지막에서 계산되도록 기대하고 이를 통상적인 압력-속도 반복과정에 포함하는 것이다. 내재적 기포 모델은 기포의 “강성도”가 너무 크지 않다면 잘 작동한다. 다른 말로, 강성 기포는 기대되고 그리고 실제압력 변화가 한시간 단계내에서 너무 다른 기포를 뜻한다. 이런 강성 기포들이 발생하면 해석은 매 사이클 마다 큰 압력변화와속도와 다른 양 들에서 이에 상응하는 커다란 변동을 가질 수 있다(상세 내용을 위해 Ref. [Hir92] 참조하라).

2 유체문제에서 모든 셀들은 유체로 가득 차 있다고 간주된다; 즉, 압력과 속도는 반복하는 동안에 모든 유체 셀 내에서 조절된다. 표면장력이 작용되면 압력PSi,j, 은 두 유체중에 하나에만 작용해서 표면장력으로 의한 경계면을 통과하는 압력에서의 불연속성이 유지된다.

완전한 반복은 식(10.354), (10.355) 및 (10.356)에따라 모든 유체가 가득찬 셀내의 압력및 속도를 조절하는 것으로 이루어져 있다. 반복시의 수렴은 모든 셀들이 어떤 일정 작은 수인EPSI ·VFi,j,k 보다 작은S값을 가질 때 이루어진다.

EPSI의 값은 자동적으로FLOW-3D에 의해 각 시간 사이클에서 시간 단계 크기의 함수로 계산된다. 이 알고리즘은 입력변수EPSADJ의 값이 양수이면 원용된다. 선택적으로 한 EPSI의 상수가 한 계산 과정에서 사용 가능하다.

어떤 경우에는 반복의 수렴이 식(10.355)에서의δp를 완화인자OMEGA로 곱함으로써 가속화될 수 있다.

OMEGA 는 1.7 또는 1.8이 최적값이다. 어떤경우에도 는 2.0이 넘어서는 안되는데 이는 이럴 경우 불안정한 반복이 발생하기 때문이다. 압축성유동에서OMEGA는 1.0으로 지정된다. 또한 시간 단계 크기가 상당히 대류 안정성 한계보다 작을 때 비압축성 유동에 대해OMEGA는 1.0으로 사용하는것이 권장된다. 이는 해에서의 잠재적 압력 잡음을 감소시킬 수 있다.

Incompressible Line Implicit SADI Method 비압축성 선 내재적 SADI 방식

앞에 언급된 압력을 계산하기 위한SOR반복법은 간단하고 많은 문제에서 잘 작동한다. 그러나SOR방식의 수렴이 상당히 느려지는 경우들이 있다. 예를들면, 한방향으로의 셀 크기가 다른 방향으로 보다 훨씬 큰 망은SOR압력 완화가 횡방향의 작은 셀크기에 의해 제한되므로 큰 셀방향으로 느린 수렴성을 보여줄 것이다.

이런 형태의 더딘 수렴에 대한 보완은 더 작은 셀크기의 방향에서 더 내재적인 해석 방식을 사용하는 것이다. 이런 목적으로 수정된Alternating-Direction-Implicit (SADI)방식이 개발되었다. SADI는 망 셀의 한 i, j, 또는 k열을 따라 압력에 대한 표준 3중 대각해법에 근거한다.   이 해법은 주기적 경계를 포함하는 모든 경계조건에 적용 가능하다.

주기적 경계가 원통좌표계에서 방위각의 방향에 사용될 때IADIY=1로 지정함으로써-단지 이 방향으로만- ADI압력 해법을 사용하는 것이 권장된다. 이는 가끔 발생할 수 있는 압력과 속도해에서의 수치 잡음을 제거하는데 도움이 될 것이다. 다른 방법으로는OMEGA= 1.0을 지정하여 상향 완화를 잠금으로써 잡음을 감소시키는데 도움이될 수 있다.

SADI방식이 z방향으로사용되면 반복은 모든 i j색인을 거치고 각(i, j)쌍에 대해k-색인 방향에서 압력에 대해 내재적으로 해석하는 것으로 이루어진다. 이웃 열들에서 필요한 압력 값들은 표준ADI에서는 반드시 항상 그렇게 실행되지는 않지만 최신의 반복값을 항상 취하는데 이는 수렴을 향상시킨다.

SADI방식은 방향의 어떤 조합으로도 사용될 수있다: 어느 하나 또는 둘 또는 셋 모두. 이는 더 비용이 드는 내재적 소해가 단지 전체 반복의 수렴을 향상시키는데 필요한 방향에서만으로 제한될 수 있다는 것을 뜻한다.

단지 한 또는 두 방향으로만 내재적으로 처리될 때 열간의 상향 완화는SOR상향 완화에서 사용되는 변수OMEGA에 의해 조절된다. 일반적으로SADI는 이 변수에 그렇게 민감하지 않으며 디폴트 값OMEGA=1.7은 보통 만족스럽다.  SADI 가 세 방향 모두에 사용될 때 이 경우 상향 완화가 최대값에서 고정되므로 변수OMEGA 는 영향을 미치지 않는다.

Compressible Solution Method 압축성 해 방식

압축성 유동에서 셀 압력은 연속방정식 밀도를 상태방정식으로부터 결정되는 밀도와 동일시함으로써 결정된다. 이 방정식에는 SOR 와 SADI 방식 둘 다 이용 가능하다. 두 알고리즘에서 식(10.354)에서 사용되는 반복 함수는 아래와 같이 정의된다.

  (10.358)

인자∇ · (uAΦ)는 시간n+1에서의 속도에 의거하여 셀의 압축및 팽창을 조절하며 여기서

 (10.359)

C1은 유체 1에서의 음속이다. 외재적 해석 방식에서 외재적 모멘텀 방정식으로부터의 속도는 이며, 이는 가 셀압력에 대한 반복에 독립적이라는 것에 주목한다. 상태 방정식밀도는

 (10.360)

로 정의된다.

상태방정식 밀도는 압축이나 팽창에 의한 시간 정도 n에서 n+1사이에 발생하는 에너지변화에 대해 조절되지 않는 것에 주목한다. 반복이 매시간 단계에서 되풀이 되므로 에너지를 갱신하지 않는데서 비롯되는 오차가 기껏해야 한시간 단계 쳐지고 시간단계 안정성을 이루는 목적을 위해서도 의미가 없다. 식(10.354)에서 사용된 양δS/δp은 각 사이클에서 한 번씩 평가되고 저장되는 항DSDPU = δDTi,j,k/δpi,j,k을 필요로 한다.

SADI 해법은 비압축성에서와 같이 진행한다. 반복함수는 아직 3중 대각 시스템(횡방향에서의p대한 최신의 반복값을 유지하며)으로 처리될 수 있다. 모든 셀에 대해 어느 경우에도 수렵에 도달한다.

  (10.361)

SOR해석 알고리즘에서 상태방정식에서의 밀도에 대한 압력의 의존도가 비선형(코드의 사용자 수정에 의해 가능)일 경우에 유용한 선택이 주어진다. 다음셀로 전진하기 전에 식(10.361)의 조건을 만족하기 위해 셀내의 압력을 변화시키도록내부 반복이 실행된다. 사용자는 내부 반복의 최대수(IITMX)와  완화인자 OMEGA를 지정해도 된다. IITMX > 1이면OMEGA = 1.0이 권장된다.

지정된 속도 및 지정된 압력경계 조건은 계산영역 내에 이용 가능한 반복법중에 어느 방법으로도 계산하기 어려운 균일한 압력변화를 형성할 수가 있다.  이런 경우에 전반적으로 균일한 압력조절을 주기 위해 추가 알고리즘이 압축 해 과정에 주어진다. 이 선택은 변수IPUN를 1로 지정함으로써 활성화된다. If IPUN = 0이면 균일 압력변화는 평가되지 않는다. 이 균일 압력조절은 셀들에 대해 Si,j,k와 셀 체적의 곱을 합하고 이 결과를δS/δp와 셀 체적의 곱의 셀들에 대한 합으로 나눔으로써 계산된다.

GMRES Pressure-Velocity Solvers GMRES 압력-속도 해법

새로운 압력-속도해법이FLOW-3D [AMS90], [BBC+94] [Saa96] 에서 실행되고 있다. GMRES는  일반화된 최소 잔류 방법을 뜻한다. GMRES솔버에 추가하여 또 새로운 선택적 알고리즘- 일반화된 짝 구배(GCG)알고리즘-이 새 GMRES솔버에서 점성항을 위해 실행되고 있다. 이 새 솔버는 많은 범주의 문제들에 대해 아주 정확하고 효과적이다. 좋은 수렴성, 대칭 및 속도성을 갖는다; 그러나SOR 이나 SADI방법보다 더 많은 메모리를 사용한다. GMRES 솔버는  과소 또는 상향 완화를 사용하지 않는다.

사용된 방법들에 대한 상세한 내용은http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp에 있는 사용자 주소상의 Flow  Science TN68에서 찾을 수 있다.