Momentum Equations / 운동량방정식

3좌표방향의 유체속도성분(u, v, w) 에대한 운동 방정식은 약간의 추가항을 가지는 Navier-Stokes 방정식이다.

          (10.9)

이 방정식들에서

  • (Gx, Gy, Gz) 는 물체가속도,
  • (fx, fy, fz) 는 점성가속도,
  • (bx, by, bz)는 다공매질이나 다공배플면을 지날때의 유동손실이고 마지막항은 형상요소에의해 표현되는 소스에서의 질량주입을 고려한다.

식(10.9) 의항 Uw = (uw,vw,ww) 은 소스성분의속도이며 General Moving Objects Model 에서의 질량소스에 대해서는 일반적으로 0이 아니다.

Us = (us,vs,ws) 는 소스자체에 상대적인 소스표 면에서유체의 속도이다.이는 다음과같이 각 유한체적에서 계산된다.

          (10.10)

여기서

  • dQ 는 질량유량
  • ρQ 는 유체소스밀도
  • dA 는 셀(cell) 내 소스 표면의 면적이며,
  • n 은 표면에서의 외부법선. 식(10.9) 에서 d = 0.0 일 때 소스는 정체압력 형태이다. d = 1.0이면 소스는 정압력 형태이다.

정체압력 소스에서 유체는 0의 속도로 영역 내로 진입한다고 가정된다. 결과적으로 유체를 소스로부터 밀어내기 위해 압력이 증가되어야 한다. 이런 소스는 로켓이나 바람이 빠지는 풍선의 하단에서나오는 유체를 모델링하도록 주어져 있다. 일반적으로 정체압력소스는 나오는 유체의 운동량이 로켓 엔진같이 소스 요소에서 생성될 때 같은 경우에 적용된다.

정압 소스에서 유체속도는 질량유량과 소스의 표면적으로부터 계산된다. 이 경우 소스로부터 유체를 밀어내기 위해 다른 추가 압력이 필요하지 않다. 이런 소스의 예제는 긴 일자형의 파이프로부터 나오는 유체이다. 이 경우 유체운동량은 소스로부터 먼곳에서 생성된다는 점에 주목한다. 이 두 질량 형태의 차이는 소스 요소 상에 작용하는 유체의 힘이 정확하게 계산되어야 할 때 중요하다. 이는 결합운동을하는 GMO components 같은 경우이다. 정압 또는 정체압력 물성은 음의 질량소스, 즉 싱크에는 적용되지 않는다는 점에 주목하라.

가변  동적점도 µ 에 대해 점도가속도는

          (10.11)

여기서

          (10.12)

 

Wall-Shear Stress / 벽전단응력

위의 식에서 wsx, wsy wsz 항들은 벽 전단응력이다. 이 항들이 생략되면 나머지 항들은 벽에서 사라지는 유동면적분율 (Ax, Ay, Az)를 가지므로 벽전단응력이 없다. 벽응력은 유동과 접한 부분의 면적에 0의 접선속도를 가정하여 모델링된다. 망과 이동 물체경계는 이들에서 0이 아닌 접선속도를 지정할 수 있으므로 예외이다. 이 경우 허용된 경계 운동은 표면에 평행한 경계의 강체의 병진운동이다. 난류유동에서는 벽법칙 속도 분포도가 벽근처에서 가정되는데 이는벽전 단응력 크기를 보정한다. 이의 더 자세한 내용은 Turbulence Models 에서 충분히 기술된다.

 

Viscosity Evaluation / 점도평가

동적점도 µ 는 1 또는 2유체문제에서 각 유체에 대해 일정 분자점도 값으로 주어진다. 혼합물을 포함하는 망 셀에서 점도는 상수들의 체적가중 평균으로 평가된다. 단일 유체 모델에서 유체는 두 성분인 각기 자체 밀도 및 점도로 되어있다. 이 경우 혼합 유체 점도는 두 상수의 체적가중 평균으로 평가된다. 더구나 유체점도는 부분 응고된 유체(Solidification참조)의 고상율의 함수일 수 있다.

난류선택이 사용되면 점도는 분자 및 난류값의 합이다. 비뉴튼 유체에서 점도는 변형율 및/또는 온도의 함수일 수 있다. “Carreau” 모델에 근거한 일반적 식이 변형율에 의존하는 점도에 대해 FLOW-3D 에서 사용된다.

          (10.13)

여기서

          (10.14)

          (10.15)

그리고

  • eij 는 데카르트 텐서 표시의 유체변형율
  • µ, µ0, λ00, λ0, λ1, λ2, n, a, b, 와 c 는 상수들
  • T*는 기준 온도
  • T 는 유체온도

식(10.13) 와 Eq. (10.15) 의 표현은 다음 상응하는 표에 의해 입력변수로 지정될 수 있다. T* 와 상수 b는 온도의 차원을 갖는다. 또한 온도의존 점도는 심지어 전단 의존이 없을 때 도 정의될 수 있다.

µ0 = MU1 a = MUTMP1 λ00 = MUC00 T* = TSTAR
µ= MUC3 b = MUTMP2 λ0 = MUC0 n = MUC2
c = MUTMP3 λ1 = MUC1
λ2 = MUC4

변형율 의존 점도에서, 주변수는  로 정의되는 변형율 크기이다.

같은 변수가 모사중에 Strain rate magnitude 로 출력된다. 또한 점도 µ가0이면 점성응력은 계산되지 않는다. 더구나 벽전단응력 평가는 입력 데이터 파일에서 사용자에 의해 기능이 꺼질 수있다.

점도는 별도의 서브루틴 (mucal)에서 평가되므로 사용자는 다른 비뉴튼과 온도 의존 점성 모델에 대해 사용자 정의하는 것을 상대적으로 쉽게 할 수 있다.

 

Baffle Flow Losses / 배플유동손실

다공 배플판을 통과시 유동손실은 다음 형태(즉, x-방향에서)를 갖는다

(KBAF1 · u + 0.5 · KBAF2 · u|u|)          (10.16)

여기서

  • KBAF1는 속도차원의 입력상수
  • KBAF2 는 무차원 입력상수
  • PBAF 는 배플다공
  • L 은 손실이 일어나는 길이
  • u 는 다공 배플 내의 미세유체속도

미세속도(umicroscopic) 와 체적속도(ubulk)를 구별하는 것이 중요하며, 이들의 관련식은 umicroscopic = PBAFubulk 이다. 미세속도는 유동 식 (10.1) 와 (10.9)에서 계산되며 2D 와 3D 그림으로 보여질 수있다.

길이 L 은 배플 어느 한 쪽에 위치한 압력값들 간의 거리에 상응하게 지정된다. 일정유속 u에대해 이 형태는 격자 간격에 상관없이 배플을지나면서 확실하게 고정압력저하 ∆p 를 발생시킨다.

p = ρ · (KBAF1 · u + 0.5 · KBAF2 · u|u|)                                                      (10.17)

y z 방향 손실은 상응하는 방향으로의 속도와 길이에서 유사하게 정의된다. KBAF1 와 KBAF2 가 0이면 유동손실 계산은 일어나지 않는다.

 

Non-Inertial Reference Frame Motion비관성기준계운동

예를들면 움직이는 용기 내 유체 슬로싱에 응용하기 위해서는 일반 비관성가속도 식을 가지는 운동방정식으로 수정하는 것이 유용하다. 변위 r 에서 속도 u 를 가지고 움직이는 유체요소의 이런 가속도식은 다음과 같다.

G = g − {+ Ω˙ × (r R) + × u + Ω × [Ω × (r R)]}                                        (10.18)

이 식에서, g 는 상수 중력 가속도이고,  관성기준계[Bat83]에  대한 망 좌표계 내 점  R 의 병진가속도이다.

Eq. (10.18) is easily derived from Eq. (10.31) in Reference [Bat83] by a translation of origins.

식 (10.18) 은 원점을 이동시켜 참고[Bat83] 에 있는 식 (10.31) 으로부터 쉽게 유도할 수 있다.

백터 R 을포함하는 것은 R 이 종종 물체의 질량중심으로 택해지는 강체에 적용하는데 유용하다. 이것이 선택되고 다른 외부의 힘이 시스템에 작용하지 않으면 그때에 U˙ 는 0이다. 가끔 물체 고정(망) 좌표의 원점은 중력중심이고 이 경우 R = 0 이다. 사용자는 상수의 중력가속도를 g 항 또는 U항을 통한 시간의존 병진가속도를 통하여 지정할 수 있다.

마지막 선택 또는 더 일반적인 가속도를 사용하기 위해 사용자는 이 목적을위해 보존된 서브루틴(motion)에서 U˙, Ω Ω˙ 의 양들을 지정하여야 한다. 더구나 이 양들은 격자좌표계(즉, 물체에 고정된 계)로 표현되어야 한다. 데카르트 또는 원통좌표계가 사용되던지에 상관없이 데카르트 좌표계로 지정되어야 한다. 원통좌표계에서 가속도는 자동적으로 적절한 지역성분으로 변환된다. 유체가 겪는 지역 가속도 성분은 자동적으로 프로그램에 의해 식 (10.18)을 통해 9개의 기준계 운동 성분으로부터 계산된다. 이는 완전한 일반 방정식이며 사용자가 아무런 조치를 할 필요가 없다.

특별한 경우에 사용자는 각 새로운 응용을 위해 서브루틴 motion 을 제공해야 한다. motion의 표준버전은 입력 데이터를 통해 제한된 수의 경우를 다룰 수 있다. 이는 임펄스를 포함한 가속도 성분의 조화편차(harmonic variations)와  표 지정을 포함한다.

비관성기준계의 또다른 특별한 경우는 FLOW-3D의 결합된 강체역학 모델에서 다루어진다. 이 모델은 계산기준계가 들어있는 강체의 운동을 위해 역학방정식을 해석한다. 이 모델의 사용은 입력변수를 통해 물체에 의해 또는 두 서브루틴 rbctrl rbenvr 의 수정에 의한 조절 및 환경 힘 과 토크의 지정을 포함한다. 자세한 설명을 원하면 Coupled Rigid Body Dynamics을 참고하라

See also:

  • Non-Inertial Reference Frame notation
  • Rigid Body Dynamics Algorithm for Non-Inertial Reference Frame Model
  • Non-Inertial Reference Frame Motion equations
  • Rigid Body Dynamics for Non-Inertial Reference Frame
  • Non-inertial reference frame application example: Centrifugal Casting
  • Gravity
  • Impulsive Motion of Non-inertial Reference Frame
  • Non-Inertial Reference Frame Motion
  • Smooth Tabular Motion