제한된 유체구조 상호작용(FSI) 기능이 탄성막과 벽모델을 이용하여 FLOW-3D 에서 가능하다. 이 모델에서 탄성막이나 탄성벽의 변형은 인접 유체유동에 영향을 미치고 교대로 유체 압력은 변형에 작용한다. 이런 상호작용이 완전히 결합된 방식으로 FLOW-3D 내에 기술되어 있다.

이 모델의 주요한 한계는 변형이 작다, 즉 각 막이나 탄 성벽은 그 휨이 크기에 비해 아주 작다고 가정된 것이다. 이는 대신에 모델을 유용하게 단순화를 가능케 한다. 박막과 탄성벽의 형상은 계산시 시간에 따라 변하지 않는다고 가정되고 한편 유체유동에 대한 이 변형의 효과는 유체구조 경계면 상에 분포된 체적 소스나 싱크로 기술된다. 압력이 막표면에 균일하게 작용한다는 추가 가정 하에 더 나은 계산 효율을 위해 구조해석 알고리즘보다 오히려 수치해가 박막의 변형을 결정하는데 이용된다.

Elastic Membrane 타성막

FLOW-3D 에서 탄성 막은 외력의 작용하에 작은 탄성 변형을 겪는 직각 또는 원형의 얇은 판이다. 이의 두께와 재질은 균일하다고 가정된다. 이의 모서리들은 단순히 지지되어 있거나 고정되 있을 수 있다. 단순 지지 모서리는 휨과 순수모멘트가 0인 모서리이다. 그러나 고정 모서리는 휨과 1차 미분값은 0이나 힘 모멘트는 일반적으로 0이 아니다. 어느 경우던지 이 모델은 막이 모서리를 따라서 다 같은 조건을 가지는것을 필요로 한다. 망 격자 내에 막의 위치는 제한이 없으나 막의 표면은 x, y, 또는 z 축에 수직이어야 한다.

이 모델은 막에 작용하는 두 외력을 고려한다: 수리력과 작동기 힘. 수리력은 막의 양편에 작용하는 압력을 적분하여 얻어진다. 그런 후에 전체 막 위에 균일하게 분포된 힘으로 전환된다.

작동기 힘은 마이크로-펌프 유동, 잉크젯 방울 형성같은 많은 응용에 존재한다. 한 예는 막에 부착된 압전 작동기이다. 전압이 가해지면 압전작동기는 막표면에 수직한 방향으로 힘을 가하는데 이것이 소위 작동기 힘이라고 불린다. 사용자는 작동기 힘을 사인파나 구간선형 인 시간의 함수로 지정할 수 있다. 이 모델에서 작동기는 항상 막의 한편 중심에 위치한다고 가정되고 작동기의 막과 접촉하는 면적의 형상(반드시 크기일 필요는 없지만)은 막의 형상과 같다. 다른 말로 막과 작동기는 직각 또는 원형이어야하고 같은 대칭축을 가져야한다. 작동기 자체가 보통 막보다 낮은 강직성을 가지므로 작동기의 힘은 항상 접촉 면적상에 균일하게 작용한다고 가정된다. 접촉 면적이 없으면 작동기 힘은 막의 중심에 작용하는 집중된 힘으로 처리된다.

더 나은 계산효과를 위해 더 나은 계산 효율을 위해 구조해석 알고리즘보다 오히려 해석해가 휨의 계산에 이용된다. 임의의 시간과 점에서 막은 수리력, 작동기 힘 그리고 막의 강성의 균형에 의해 정의되는 평형을 이루고 있다고 가정된다. 해석해는 작은 변형을 가지는 박판의 평형방정식을 해석함으로써 얻어진다.

(120){\nabla ^2}{\nabla ^2}w = \frac{f}{D}

여기서

  • w 는 휨
  • f 는 막의 단위 면적당 순수외력
  • D 는 굴곡 강성

(121)D = \frac{E{h^3}}{12\,(1 - {\nu ^2})}

여기서

  • E 는 영의 탄성계수
  • ν 는 포아송 비이며
  • h 는 막두께이다.
  • z 축에 수직인 표면을 가지는 직사각형의 막을 고려한다. 데카르트 좌표에서 시스템 식 (10.120) 은 다음과 같이 표현된다.

(122)\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^4}}} + 2\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {y^4}}} = \frac{f}{D}

편리하도록 좌표 원점을 막중심에 잡는다. a b 를 x 와 y 의 각기 방향에서의 막의 길이라고하자. 단순지지 모서리에 대한 막의 경계조건은

(123)\begin{gathered}
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{{\partial ^2}w}{\partial {x^2}} = 0 \quad \text{    for    } \quad x =  \pm \frac{a}{2} \\
  \\
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad  \frac{{\partial ^2}w}{\partial {y^2}} = 0 \quad \text{    for    } \quad y =  \pm \frac{b}{2} \\
  \end{gathered}

막이 고정된 모서리를 가진다면 막에대한 경계조건은

(124)\begin{gathered}
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{\partial w}{\partial x} = 0 \quad \text{    for    } \quad x =  \pm \frac{a}{2} \\
  \\
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad  \frac{\partial w}{\partial y} = 0 \quad \text{    for    } \quad y =  \pm \frac{b}{2} \\
  \end{gathered}

이다.

막에 대해 식 (10.120) 을 원점이 막의 중심에 위치한 원통좌표계로 쓰는 것이 편리하다,

(125)\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left\{ {r\frac{d}{{dr}}\left[ {\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{dw}}{{dr}}} \right)} \right]} \right\} = \frac{f}{D}

막의 반경이 a 일 때 단순 지지된 모서리에 대한 경계조건은

(126)w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {r^2}}} = 0 \quad \text{    for    } \quad r = a

이다.

고정 모서리에 대한 경계조건은

(127)w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{\partial w}{\partial r} = 0 \quad \text{    for    } \quad r = a

이다.

이 모델에서 사용되는 막의 휨에 대한 모든 해석해는 상기 식들을 만족한다. 일부 해석해는 Timoshenko (1959) 에서 찾을 수 있으나 다른 해들은 중첩 방식을 이용하여 Timoshenko 해로부터 얻어진다. 이런 해의 상세한 내용은 Flow Science Technical Note #79 를 참조하라.

유동에 대한 막의 운동효과를 고려하기위해 연속방정식이 우측에추가되는 체적 소스(또는싱크)항 S 로써 수정된다,

(128)\frac{{{V_f}}}{\rho }\frac{{\partial \rho }}{{\partial \,t}} + \frac{1}{\rho }\nabla  \cdot (\rho \,\vec uA) = S

계산 유효체적, 또는 망 셀에서,

(129)S = \frac{S_{\rm{mb}}}{V_{\rm{cell}}}\, {\vec V_{\rm{mb}}} \cdot \vec n

여기서 Vcell 는 셀 체적, Smb, ~n V~mb 는 망 셀에서의 각기 표면적, 단위 외부 법선 벡터와 막 표면의 속도이다. V~mb 는 처짐의 변화율로부터 얻어진다. VOF 함수의 이송방정식 또한 소스항 FS 를 이용하여 수정된다,

(130){V_f}\frac{\partial F}{\partial \,t} + \nabla  \cdot (F\vec u{A_f}) = FS

모멘텀, 에너지, 난류 그리고 스칼라들의 이송방정식은 변하지 않는데 그 이유는 FLOW-3D 에서 이 방정식들은 비보존 형태로 사용되기 때문이다. 이들이 연속방정식을 고려하여 보존형태로 유도될 때 막운동에 의한 소스항들이 상쇄된다.

Elastic Wall 탄성벽

FLOW-3D 에서 탄성벽은 임의 형상의 탄성물체이며, 그 표면 변형은 작고 수압에 비례한다. 즉,

(131)w =  - \frac{{(p - {p_{\rm{ref}})}}}{K}

여기서

  • w 는 표면 법선방향에서의 지역 휨
  • p 는 지역압력
  • pref 는기준압력
  • K 는 단위면적당 강성계수

이러한 종류의 탄성변형은 벽재질의 포아송비가 0이면 발생하며 이는 법선응력이 횡 변형을 일으키지 않는 것을 뜻한다. 포아송비가 0이 아니지만 작으면 탄성 벽 변형에 대한 좋은 근사법이다. 횡 변형 항이 무시되면 Hooke법칙은 다음과 같이 환원된다.

(132)\varepsilon  = \frac{\sigma }{E}

여기서

  • ε 는 변형
  • σ 는 수직응력
  • E 는 Young 탄성계수
  • 식(10.131) 에서 K 는 사용자-기술 변수이다. K 값을 정하기위해 한쪽은 고정되고 다른쪽은 수직력은 받는 평형에 있는 판을 고려한다. 포아송비는 무시할 만하고 수직응력은 표면상의 한 위치에서 σ 이다. 힘의 균형으로부터 판내의 수직응력은 그 위치를 통과하는 수직선상을 따라 같은 σ 이다. 판의 두께를 h 라하고 휨을 w 라고 표시한다. 변형은 이때 w/h 이고 식(10.132) 에서Hooke 의 법칙은 식 (10.131) 를 준다.

(133)w = \frac{\sigma }{{{E \mathord{\left/
{\vphantom {E h}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} h}}}

이 경우 이라는 것을 가리킨다. 일반적으로 K 는 다음으로 추정된다

(134)K = \frac{E}{L}

여기서L은 탄성벽의 두께에 비교될 만한 길이 규모이다. 또한 실험 측정이나 실제규모의 구조해석 같은 다른 방법으로 부터도 구해질 수 있다.

유체 유동에 대한 이 탄성벽 운동 효과는 벽표면에 체적 소스(또는 싱크)를 추가함으로써 기술된다. VOF 에대한 연속 및 이송방정식들은 탄성막에 대한 절에서 기술된 것과 같은 방식으로 수정된다.

Model Limitations

이 모델은 다른 형상, 크기, 방향 및 물리적 양을 가지는 다수의 탄성막과 탄성벽 물체를 허용한다.이는 대부분의 다른 FLOW-3D 모델들과 같이 사용될 수있다. 예를들면 막과 탄성벽을 통과하는 열전달이 포함될 수있다. 그러나 제약과 제한도 있다.

이 모델에서 탄성막과 탄성벽이 작은 휨을 가져야한다. 막에 대한 작은 휨은 휨이 막의 크기보다 작다는 것을 뜻한다. 한 탄성벽에서 그 변형은 계산 셀 크기와 비교하여 작아야한다. 이 가정은 변형되는 표면의 위치에 실제 차이를 무시하게끔 한다. 다른 말로 막과 변형하는 벽의 형태는 그들의 초기에 지정된 정의대로 계산하는 동안 고정된다. 위에 보여준 바와 같이 유체 운동에 대한 표면 변형의 효과는 변형하는 표면상에 유체 소스 분포를 통해 모델링된다. 계산 결과가 보여질 때, 변형은 의 등고선을 그림으로써 가시화될 수있다. 탄성막/벽은 동시에 다공체이거나 이동체일 수가 없음을 또한 주목한다. 이동체가 막이나 탄성벽과 충돌하면 후자는 충돌모사에서 고정된 강성체로 간주되어서 충격은 단지 이동체의 운동에만 영향을 줄 것이다.