Dissolving Solid Solute Model / 용해 고상용질 모델

액체 내의 고상 용질의 용해는 여러 응용분야에서 관심이 있다. 용액을 이용한 채광으로부터 음식물 가공, 의학적 응용까지. 본 내용은 유체 내의 고상 용질의 용해와 소금물 내의 용질 추적 같은 모델을 기술한다.

고상용질의 용해는 유체의 밀도를 증가시키므로 유동에 영향을 미친다. 추가로 용질이 용해될 때 유체영역이 증가한다. 이 모델은 유체와 고체 경계면에서의 질량전달, 고상용질의 체적과 형태의 변화, 유체내 용해된 용질의 확산 및 대류, 그리고 마지막으로 유체밀도,점도,그리고 표면장력 계수 같은 기본 물리적 현상을 고려한다.

유체내 용해된 용질의 양은 질량 농도 C 로 표현된다. C 에대한 이송 방정식은

   (10.194)

이며

여기서 u 는 유체속도, D 는 유체내 용해된 용질의 확산계수이다. 유체/고체 경계면에서의 용질의 질량유속 Q 는 다음으로 정의되며

Q = κ(CSAT C)   (10.195)

여기서 κ 는 상수인 질량전달계수이고 CSAT 는 용질 포화농도이다. 혼합유체밀도 ρ 는 농도의 선형함수로 가정된다:

ρ = ρ0 + α · C   (10.196)

 

여기서 ρ0 는 순수 액체의 밀도이고 α 는 실험적으로 얻어진 상수이다. 따라서 유체체적은 또한 선형적으로 농도에 따라 변한다:

   (10.197)

혼합물 밀도계수는 용매분자가 더 큰 용질 분자에 의해 완전히 변위되었을 때 치환 용질(ρs 는 고상용질 밀도)의 1 − ρ0s 와 더 작은 용질분자가 용매의 분자 사이에 완전히 들어갔을 때의 간극 용질에대한 1 과의 사잇값을 취할 수 있다.

예를들면, 상온의 포화 해수(소금물)의 밀도는 민물의 밀도보다 약 26% 크지만 이의 체적은 단지 13% 증가하여 α = 0.5가 된다.

α = 1.0일 때 용해에 따른 혼합물의 체적에 변화가 없다는 것에 주목한다. 이 가정은 또한 다음이 성립하면 이 모델의 단순화로써 이용될 수 있다.

  • 용해율에의해 조절되는 경계면의 속도가 평균 유체 속도에 비해 작고;
  • 용질농도가 유체밀도에 비해 작다면

유동 방정식은

   (10.198)

P 는 유체압력, µ 는 점도 그리고 g 는 중력가속도이다. 소스항 S 는 유체와 용질사이 경계의 위치의 변화 및유체의 비체적(식(10.202)참조)의 증가를 참작한다.

물체 면적/체적 비율 표현 기법(FAVORTM) 은 고상 용질의 변화하는 형상을 표현하는 데 이용된다. 유동 영역내의 고상 용질의 존재 및 이것이 유체내 용해될 때의 체적과 형상의 변화를 참작하기위해 General Moving Objects Model 모델의 변형이 개발 되었다. 표준 GMO 모델은 유동 영역내에서 움직이는 강체의 운동을 기술하는 한편 용질모델은 그렇지않으면 정지되어 있을 용해성분의 고상용질 경계의 변화를 추적한다. 두 모델 다 고정 직교격자에서 변하는 형상을 표현하기 위해 시간에따라 변하는 면적과 체적율을 사용한다. 이 변수들은 성분의 경계위치의 변화를 반영하기 위해 매 시간단계에서 갱신된다. 압력과 속도 같은 유체 양들은 새로 열려진 셀내에서 초기화되어야 한다. 체적 소스와 싱크는 또한 유체와 고체에서의 연속성을 유지하기 위해 이동경계에서 계산된다.

증강된 모델에서 고상용질을 나타내는 형상성분은 형태 dissolving 의 한 성분으로 지정된다: 정지해 있지만 형상과 체적은 변한다. 이는 입력변수 IFOBDISS(nob)=1로 지명되는데 여기서 nob 은 성분 번호이다. 면적과 체적비율은 고상 용질의 점진적 용해를 반영하기 위해 매시간 단계에서 재 계산된다. 형상 성분을 나타내는 주요 변수는 셀 내 고상용질의 상대적(비율) 체적이며 이는 셀 내의 고상 체적의 전체 셀 체적대한 비율이다:

Vf,solute = Vsolute/Vcell 0 ≤ Vf,solute ≤ 1.0   (10.199)

셀 내의 공간 체적율, 또는 체적율은 이 때에

Vf = 1.0 − Vf,solute   (10.200)

이다.

셀 면에서의 면적비율 Af 는 면을 서로 공유하는 두 셀 내의 체적율로부터 계산된다: 계산 셀내의 고상용질 내용물의 변화율은 다음으로 정의된다:

   (10.201)

여기서

  • dA 는 셀내 고체 표면상의 젖은 면이며
  • ρs 는 고상 용질의 밀도이다.

경계면에서의 유체와 고체의 연속성 및 용질이 용해될 때 유체 체적 변화를 반영하는 연속방정식 (10.198) 의 싱크항 S 는:

   (10.202)

 

 

그림 10.7: 수치모델의 경계지역 개략도. 경계면 우측의 음영 면적은 시간에따라 형태와 체적이 변하는 고상용질을 나타내는 용질 성분에의해 점유되어있다. 용해된 용질은 얇은 점선에 의해 표시된 경계면에 인접한 체적안의 유체 내에 분산되어 있다.  굵은 점선은 셀내의 고체 용질체적을 나타낸다.

 

그림 10.7: 수치모델의 경계지역 개략도. 경계면 우측의 음영 면적은 시간에따라 형태와 체적이 변하는 고상용질을 나타내는 용질 성분에의해 점유되어있다. 용해된 용질은 얇은 점선에 의해 표시된 경계면에 인접한 체적안의 유체 내에 분산되어 있다.  굵은 점선은 셀내의 고체 용질체적을 나타낸다.

주어진 시간 증분내에 용해된 용질의 양 dm = QdAdt 은 경계면을 포함하는 망 셀의 체적과 같은 경계면에 인접한 유체체적상에 분산되어 있다(윗 그림의 얇은 점선 직사각형). 경계셀이 단지 부분적으로만 유체로 차 있다면 이때 용해된 용질의 부분은 한 인접 셀에 배분될 것이다. 용질농도의 이러한 평균은 해가 한 셀내의 경계면의 위치에 덜 의존하도록하며 각 체적이 한 개의 용질 농도값만 가지는 유한 체적 접근법과 유사하다.

고상용질의 용해율은 확산에의해 제한된다고가정되는데, 즉 용해된 용질은 더 많은 용해가 발생될 수있기 전에 경계면으로부터 확산되어나가야한다. 단위 면적당 한시간 증분 dt 동안에 용해된 용질의 체적은 Qdt√ 이다. 같은 기간 동안에 경계면으로부터 체적내로 확산되는 용질의 양은 대략 ρ Ddt(CSAT C)이다. 두 표현을 비교하는 것으로부터 유효 용질질량 전달계수를 얻는다:

 

일단 용해된 용질이 유한 체적내로 할당되면 확산과 대류를 통해 혼합물 내에 용질의 추가 재분배가 이루어질 수 있다.