General Moving Objects Model / 일반이동체모델

일반이동체(GMO)는 동적으로 유체 유동과 결합되거나 사용자가 기술한 물리적 운동의 형태를 가지는 강체이다.

이는 6개의 자유도 운동을 할 수 있고 또 고정축이나 점에 대해 회전할 수 있다. GMO 모델은 사용자가 한 문제에서 여러 개의 이동체를 가질 수 있도록 하며 각 이동체는 개별적으로 정의된 운동을 할 수가 있다. GMO 요소들은 혼합된 운동을 할 수가 있으며, 즉 좌표방향과 일치하거나 다른 방향으로 기술된 병진 및/또는 회전속도를 가질 수 있다. 각 이동체에서 정의된 물체에 고정된 기준계 (“물체계”)와 공간기준계(“공간계”) 가 사용된다.

각 시간 단계에서 압력과 전단응력에 의한 수리력과 토크가 계산되고 운동방정식이 수리력, 중력, 스프링, 계류선 인장력과 제어력과 토크를 고려하는 결합운동하에있는 이동체에 대해 해석된다. 비관성력과 토크 또한 공간좌표계가 비관성이면 고려된다. 면적과 체적비율은 갱신된 물체의 위치및 방향에따라 각 시간 단계에서 재 계산된다.

소스항은 배수한 유체에 대한 이동체의 영향을 참작하기 위해 연속방정식과 VOF 이송방정식에 추가된다. 이동체 경계의 접선속도는 모멘텀방정식의 전단 응력 항들에 도입된다. 유체유동과 GMO 운동을 결합하기 위한 두 가지 수치 선택이있다:

외재적 과 내재적 방법. 전자는 각시간 단계에서의 유체와 GMO 운동을 전단계로부터의 힘과 속도를 이용하여 계산한다. 후자는 이를 반복적으로 계산한다. 외재적 방법은 단지 무거운 물체 (즉, 물체의 밀도가 유체밀도 보다 무거운)와 작은 부가질량의 문제에 잘 작동한다. 그러나 내재적방법은 모든 문제에 잘 작동하며 권장되는 수치방법이다.
GMO 모델은 또한 강체의 충돌을 모사하는 기능을 포함한다. 충돌은 순간적이라고 가정된다.

이들은 두 강체(둘 중의 하나가 이동해야하는)간에 그리고 강체들과 계산영역의 벽/ 경계간에 발생할수 있다. 충돌 모델은 두 부분으로 되어있다: 충돌감지와 충돌 통합. 각 시간 단계에서, 일단 충돌이 감지되면 한 세트의 충돌 방정식이 결합된다. Stronge 반발계수의 값에 따라 충돌은 완전탄성, 부분탄성 또는 완전 소성일 수 있다. 또한 접점에서의 마찰이 충돌시에 허용될 수있다. 충돌하는점촉점에서 두 물체 사이에 상대적인 미끄러짐이 발생할 수 있고 미끄러짐의 속도와 방향은 충돌과정에서 변할 수 있다.

미끄러짐이 충돌이 끝나기 전에 정지하면 두 물체는 즉시 미끄러짐이 재개 되던지 분리될 때까지 계속 붙어있다. 미끄러짐, 구름 그리고 한 물체가 다른 물체 상에 정지하는것 같은 이동체 사이의 연속적인 접촉은 미세-충돌이라고 불리는 일련의 급속하고 작은 진폭을가지는 충돌을 통해 모델링된다.

GMO 모델은 직교좌표계나 원통좌표계 둘 다 에서 잘 작동하며FLOW-3D의 대부분 물리적 그리고 수치적 방법과 호환성이 있다. 상세한 내용에 대해 http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp의 사용자 위치에 있는 See Flow Science Technical Notes #75 와 #76 를 참조한다.

Equations of Motion for Rigid Body / 강체운동 방정식

계산상 편리성을 위해 물체시스템(x, y, z) 이 시간 t=0에서 공간계의 축과 평행한 각 이동체에 대해 지정된다. 이동체가 6자유도를가지면 물체계의 원점은 물체 질량중심G에 지정된다. 물체계는 이동체에 고정되어 있고 이동체와  같은  병진과  회전운동을 갖는다. 공간계(x, y, z) 와 물체계(x’, y’, z’) 사이의  좌표 변환은

xs = [R] · xb + xG                                                                                                                (10.153)

이며,

여기서

  • xs xb 는 각기 공간계와 물체계에서의 위치벡터,
  • xG 는 공간계 질량중심의 위치벡터,
  • [R] 은 직교좌표 변환텐서,

   (10.154)

여기서

  • RijRjk = δik이고
  • δik 는크로네커 δ 표식이다.

역 행열과 전치 행열이 같다는 것은 [R] 의 성질이다. 공간계와 물체계 사이의 변환은

As = [R] · Ab                                                                                                                     (10.155)

where: 여기서

  • As Ab 는 각각 공간계와 물체계에서의 A 의표현이다.
  • [R] 은 다음을 해석함으로써 계산되며,

  (10.156)

여기서

  (10.157)

x, Ωy 와 Ωz 는 각기 공간계에 대한 물체의 각속도의 x, y그리고 z 성분이다.

기구학에 의하면 강체의 일반운동은 병진 운동과 회전운동으로 나누어질 수있다. 강체상의 한점의 속도는 강체 상의 임의의 한점에서의 속도에 그 점에서의 회전에의한 속도를 더한 값이다. 물체질량 중심을 6자유도를 가지는 물체의 기준점으로 선택하는 것이 편리하다. P 를 물체상의 임의의 점이라고 표식하면, 속도는 질량중심 속도 VG 와 강체의 각속도 ω 에 의해 다음과 같이 주어지며,

VP = VG + ω × rP/G                                                                                                                                                                                                                               (10.158)

여기서 rP/G G 로부터 P. 까지의 거리벡터이다. 식 (10.158) 의 우측 첫항은 질량중심의 병진운동을 나타내고 둘째 항은 질량중심에 대한 회전을 뜻한다. ω 는 이동체의 물성이고 기준점의 선택에 무관하다. 두 별도의 운동을 지배하는 운동방정식은 각각

   (10.159)

    (10.160)

respectively, where:이며, 여기서

  • F 는 전체힘
  • m 은 강체질량
  • TGG 에대한 전체 토크
  • [J] 는 물체계의 관성 모멘트 텐서(“관성텐서”),

(10.161)

요소 J11, J22 J33 들은 관성 모멘트이며, 다른 요소들은 상승모멘트이다.

 (10.161)

  (10.162)

x, yz좌표가 물체의 주축과 일치하면 상승모멘트는 사라진다. 계산을 단순화하기 위해 식(10.159) 와 (10.160) 각기 공간계 및 물체계에서 해석된다. 전체 힘과 전체 토크는 수리력, 중력, 스프링, 비관성 및 제어력과 토크를 포함한다.

물체의 운동이 고정점에 대해 발생하면 이는 3자유도를 갖는다. 물체계를 이 고정점에 위치한 원점으로 지정하는 것이 편리하다. 위에서 기술된 바와 같이 물체계의 좌표 축들은t=0 에서의 공간계의 좌표 축들과  평행하다.  C 가 고정점이고 xC 가 공간계에서의 위치벡터라고 하면 공간계와 물체계 사이의 좌표변환은 xGxC 로 치환하는 식 (10.153) 을 이용하여 실행된다.

강체상의 임의의 점 P 에대해 이 운동은 고정점에 관한 3차원 회전이고 속도는다음과 같으며,

VP = ω × rP/C                                                                                                                      (10.164)

여기서

  • rP/C C 로부터 P. 까지의 거리벡터를 표시하며
  • ωC 에관해 [J] 를 가지는 물체계에서 식 (10.160) 을 해석함으로써 얻어진다.

고정축에 대한 회전은 평면 운동이며 단지 1자유도를 갖는다. 이 경우 회전축은 공간죄표축 중의 하나에 평행하여야 한다. 물체계는 회전축과 일치하는 세축 중의 하나로 지정되며 나머지 두 축은 공간계의 축과 평행하다. 물체계 원점의 세좌표 중 둘은 회전축의 나머지 두좌표와 일치하며 세 째 좌표는 0이다. 예를들면, 회전축이 y 축에평행하고 회전축의 x z 좌표가 각기 x0 z0, 라면 이때 물체계(x, y, z)는 회전축과 일치하는 y축을 가지고 xz는 각기 x z 에 평행하며 물체계 원점은 (x0, 0, z0)으로 지정된다. 회전체의 각속도는 한 0이 아닌 성분을 가지며 식 (10.160) 의 상응하는 성분을 해석함으로써 얻어지거나,

T = ˙                                                                                  (10.165)

여기서 T, J ω˙ 는 전체 토크, 관성모멘트 그리고 물체계의 고정된축에 대한 각 가속도이다. 식(10.164)은 회전축에 대한 임의점을 나타내는 C 를 가지는 강체상의 점 P 의 속도를 계산하는 데 이용된다.

Source Terms in Conservation Equations / 보존방정식내의 소스항들

FAVORTM 방법에 의거한 연속방정식의 일반 형태는

   (10.166)

여기서

  • Sm 는 유체의 실제질량 소스항
  • Vf A 는 각기 체적과 면적 비율

정지하고 있는 물체 문제와는 대조적으로 Vf A 는이동물체 문제에서 시간에 따라 변하므로 유체유동에 대한 이영향이 고려되어야한다. 식(10.166)은 아래 같이 다시 쓰여질 수 있다.

 (10.167)

  (10.168)

정지물체 문제에대한 연속방정식과 비교할 때  는 추가 체적소스항과 같다. 유한체적법 사용시 이 소스항은 단지 이동체 경계의 둘레 망 셀에서만 존재한다. 이 항

  (10.169)

를 이용하여 계산되며,

where: 여기서

  • Vcell 는 한 망 셀의 체적
  • Sobj , n Vobj 는 각기 표면적,단위 법선 벡터 그리고 망 셀 내 존재하는 이동체의 이동속도이다.

이동물체 경계 주변 모든 셀상의 유체질량의 순수 생성은 0에 가까우므로 식 (10.169) 은 좋은 질량보존 성질을 가진다. 이는 또한 시간에 있어서 정확하고 계산하는데 큰 어려움이 없다.

유사한 항들이 에너지와 스칼라 이송 같은 보존형태로 풀어지는다른 양들의 이송방정식에서도 나타난다.

비보존 형태의 모멘텀 방정식이 FLOW-3D 에서 사용된다는 점을 주목한다. 이는 연속방정식을 모멘텀 방정식의 보존형태로부터 차감함으로써 얻어진다. VF 의 시간변화에 의한 항은 서로 상쇄되므로 비보존형태의 모멘텀방정식은 정지물체 문제에서와 같은 형식을 갖는다.

이동체의 0이 아닌 법선속도는 식(10.9)의 유체내 전단응력항의 계산에서 고려된다.

Dynamic Equations for Rigid-Body Collision강체충돌의 동력학방정식

Coulomb’s Law of Friction  Coulomb 마찰법칙

물체 B 가 물체 B’ 와 충돌하고 이들의 접점(또는 충돌점)은 각기 물체 B 상에서는 C 로 그리고 물체 B’상에서는 C’ 이라고 가정한다. 충돌기준계(충돌 시스템)는 접촉점에서 원점을가지며 n1, n2, n3 는 세 좌표축의 단위벡터를 뜻한다. n3는 접촉하는 두 물체의 접점에서의 공통 접선평면에 법선 방향을 따르며 물체 B’ 로부터 물체 B 방향을 가리킨다. ~v 는 점 C’에대한 C에서의 상대속도를 나타내고 p~ 는 물체 B 에대한 충격력이다. 벡터 형태로 그들은 아래와 같다.

  (10.170)

여기서 밑의 색인은 n1, n2, 및 n3 에 상응하는 성분을 나타낸다. 지금 우리는 단순히 하기위해 수직방향 n3 n 으로 수직충격 p3p 로 표시한다. Coulomb 의 마찰법칙은

  (10.171)

  (10.172)

로 쓰여진다.

(10.172) 은 또한 다음과 같이 쓰여진다.

dp1 = −µcosϕ dp, dp2 = −µsinϕdp, if v12 + v22 > 0 (10.173)

여기서 ϕ n에대해 n1으로부터 측정된 미끄러짐 방향의 각도이다.

 

Stronge’s Energetic Coefficient of Restitution. Stronge 의 에너지 반발계수

일반적으로 이해되듯이 충돌과정은 압축과 반발단계로 나누어진다. Stronge 가설은 반발동안의 수직 충격에의한 일을 압축 동안의 일과의 비율로 연결하는 것이다. Stronge 의 에너지 반발계수 e 는 다음과 같이 정의되며,

  (10.174)

여기서

  • W3는 수직충격에 의한 일의양
  • pc 는 충돌시 최대로 압축에 도달할 때의 수직 충격이며
  • pf 는 전체 충돌 충격량이다.

(10.174), 에서 제곱근안의 분자는 반발 동안에 수직 충격에의한 일의 양으로 항상 양이수이며 분모는 압축동안에 하여진 일의양으로 항상 음이다. e 값은 0과 1사이이다. W3는 다음에 의해 계산된다.

  (10.175)

두물체 B B’ 가 질량 M M’를 가지고 이들의 질량중심이 각기 G G’에 있다고 가정한다. 충돌계에서 접점에서의 상대속도는 운동방정식을 만족하며,

  (10.176)

여기서 Einstein 의 합의 관례가 사용된다. 그리고

  (10.177)

여기에서 mB,ij1 mB ,ij1 는 각기 물체 B 와 B’에 대한 항들이다. 이 두물체가 6자유도를 가지면 mB,ij1 와  의 식은

6DOF)   (10.178)

6DOF)   (10.179)

where: 여기서

  • δij 는 크로네커델터
  • εijk 는 순열텐서
  • Jkl−1 와 는 각기 충돌계에서의 두 물체에 대한 질량 중심의 역 관성텐서 요소이다.
  • ri ri는 각기 두 물체의 질량중심에서부터 충돌점까지의 거리벡터 성분들이다.

고정축과 고정점 운동에 대한 mij1 의 식은http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp 의 사용자 위치에 있는 Flow Science Technical Note #76 에서 찾을 수 있다.

 

Dynamic Equations in Terms of Normal Impulse 수직 충격에 관한 동역학식

충돌하는 두 물체가 초기에 접점에서 미끄러질 때 편심 충돌이고 초기 미끄러짐 속도가 충분히 작으면 마찰 때문에 정지할 수도 있다. 그 후에 이들은 접점에서 고착되거나(미끄럼 고착이라고 불리는) 두 물체의 관성물성과 마찰계수에 따라 이들이 분리될 때까지 새 방향으로 즉시 미끄러지기 시작할 것이다(미끄러짐 역전). 정지 발생 전의 미끄러짐은 미끄러짐의 1단계라고 불리며 미끄러짐이 역전될 때는 2단계 미끄러짐이라고 불린다. 마찰이 미끄러짐을 정지시키지 못하거나 충돌에 마찰이 없으면 충돌시에 단지 첫 단계만이 존재한다.

v1 = scosϕ       ,       v2 = ssinϕ                                                               (10.180)

충돌시 두 물체가 미끄러질 때 접선속도 성분들은 다음과 같고,

여기서 s 는 미끄러짐 속도이며,

  (10.181)

ϕ 는 충돌시 변화하는 미끄러짐 방향이다. 식 (10.173) 의Coulomb마찰식을 식(10.176)로 넣으면 미끄러짐 1단계에 대한 수직충격력 p 의 운동 방정식은 다음과 같다.

  (10.182)

  (10.183)

  (10.184)

물체가 완전히 미끄러우면 (µ =0), 식 (10.182) 부터 (10.184) 은 독립적이고 그렇지 않다면 이들은 결합되어 있다.  s ϕ 를 지배하는 방정식은 다음과 같다.

  (10.185)

  (10.186)

 

미끄러짐-고착에서 v1 = v2 = 0이고 dv1/dp = dv2/dp = 0이다. 접선속도 0은 일정빙향 ϕ¯ − π 을 따르는 접선 마찰력에 의해 동반된다.

  (10.187)

n1 n2 방향으로의 접선력의 미분충격 성분은

  (10.188)

를 만족하며
여기서 µ¯ 는 고착계수

  (10.189)

이며,

and µ < µ¯                  . Equations of motion are thus  µ < µ¯이다.  운동방정식은 그러므로 다음과같다.

  (10.190)

 

미끄러짐의 2단계, 또는 미끄러짐 반전에서 운동방정식(10.182) – (10.184) 은 아직 유효하다. 그러나 충돌시 미끄러짐 방향이 바뀌는1단계와는 달리 2단계에서의 미끄러짐은 일정방향 ϕ를 따른다. 이는 ϕ 에대한 식(10.186) 으로부터 h(µ,ϕ) = 0 를 해석함으로써 얻어진다. 다수의 ϕ 해가 있을 수 있다. 미끄러짐 방향은 (10.185)식 에서 정의된 ds/dp = g(µ,ϕ) > 0 를 만족하는 유일한 해를  갖는다.

마찰이 미끄러짐을 정지시키면 마찰계수 µ 와 고착계수 µ¯ 의 비교가 그 후에 미끄러짐이 고착될지 또는 미끄러짐의 역전이 발생할 지를 결정한다. µ < µ¯ 이면 미끄러짐 고착이 발생한다. 그렇지 않으면 미끄러짐 역전은 즉시 발생한다.

충돌 모사에 대한 동역학 방정식과 수치 방법에 대한 상세 내용을 위해 http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp의 사용자 위치 상에 Flow Science Technical Notes #75 and #76 를 참조하라.

 

Mooring Line Model / 계류선 모델

계류선 모델은 기술된 또는 결합된 운동을 하는 이동체가 유연한 계류선을 통해 고정된 닻에 또는 다른 이동 또는 정지된 물체에 연결되는 것을 가능하게 해준다. 다수의 계류선들을 한 모사에서 사용할 수 있으며 이들의 이동체에 연결은 임의적이다. 계류선은 팽팽하거나 느슨할 수 있고 부분적으로 해저/강하상에 놓여 있을 수 있다. 모델은 계류선에 작용하는 중력, 부력, 유체항력 및 인장력을 고려한다. 이 모델은 선과 선과 연결된 이동 물체의 동력학적 상호작용에 대한 완전한3차원 동역학을 수치적으로 계산한다.

이 모델은 계류선이 일정한 직경과 물질분포를 가지는 원통형이라고 가정한다. 그러나 각 선은 각기 고유의 길이, 직경, 질량밀도 그리고 물리적 물성을 가질 수 있다. 모델은 계류운동을 계산하기 위해 유한구간 접근을 이용한다. 하기 그림에서 보이듯이 계류선은 구간중심에 위치한 질량입자들에 의해 표현되는 이산 구간들의 일정 수로 균일하게 나누어진다. 각 구간들의 동역학식은

  (10.191)

여기서

  • mp 는 구간 질량
  • vp 는 구간 질량중심 속도
  • G 는 중력
  • B 는부력
  • T1 T2 는 구간 양끝의 인장력
  • Dn Dt 는 각기 구간 접선과 법선방향의 유체항력이다. 이들은 2차항력법칙을 이용하여 평가된다:
Dn = −CD,nρfAnvr,n |vr| (10.192)
Dt = −CD,tρfAtvr,t |vr| (10.193)

여기서

  • CD,n CD,t 는 각기 구간 접선과 법선방향의 항력계수이다.
  • vr 는 유체유동에 상대적인 구간 질량중심 속도이고,
  • vr,n vr,t 는 각기 구간 접선과 법선방향의 vr 의 성분이며,
  • An At 는 각기 구간 접선과 법선방향의 단면적이다.
  • ρf is fluid density. ρf 는 유체밀도이다.

그림 10.5 계류선의 이산구간과 구간의 질량입자 표현

구간에 적용된 힘은 대략적으로 밑의 그림에 있다. 유체유동 계산의 각 시간단계에서 식(10.191) 은 보조- 시간단계 알고리즘을 이용하여 vp 에대해 외재적으로 적분된다: 시간 단계는 수치적 안정성을 확실히하며 방정식을 적분할 수있도록 보조 시간 단계들로나누어진다. 구간의 질량중심 위치는 보조시간 단계들에 걸쳐vp를 적분함으로써 계산된다.  순간적인 계류선 형태는 갱신된 모든 구간의 질량 중심의 위치에 의해 결정된다.

초기조건에서 계류선은 정적 평형상태에 있다고 가정된다. 이 형태는 평형상태에 빨리 도달할 수 있도록 높은 인위적 항력으로 치환된 Dn Dt 를 가지는 식 (10.191) 의 수치 적분에 의해 계산된다. 계류선 형태의 첫 추정 값은 양 쪽의 두 점을 연결하는 직선이다.

Fig. 10.6: Forces applied on a segment of mooring line

계류선들은 완전히 또는 부분적으로 계산 영역의 외부에 위치하도록 허용된다. 계류선은 영역의 심해에 닻으로 고정되어 있을 때, 수직(세로) 크기에 따라, 선의 하부는 유동 계산이 없는 영역 바닥 하부에 위치할 수 있다. 이 경우 계류선의 하부가 있는 영역하부에는 균일한 유속이 존재한다고 가정되고 이에 상응하는 항력은 균일한 심해유속에 근거하여 계산된다.

계류선들과 선에 의해 묶여진 이동체와의 상호작용은 데이터 교환에 의해 이루어진다: 이동체는 계류선 고착점들의 순간 위치를 제공하고 계류선 모델은 이동체에 작용하는 인장력을 알려준다.

이 모델에는 제약이 있는데 계류선의 굽힘 경직성은 고려하지 않는다. 계류선 망이 모사될 때 자유 절점은 허용되지 않는다.