유체-구조 상호작용과 열응력 전개모델

유체 구조 상호작용(FSI) 과 열응력 전개모델(TSE) 은 같은 접근법을 사용한다. 즉, FLOW-3D 내에서 완전히 결합된 고체역학과 유체유동을 해석한다. 전자는 고체 성분내 탄성응력을 해석하나 후자는 응고된 유체 지역 내에서 해석한다.

이 모델에서 사용된 접근법은 FLOW-3D 내의 다른 모델과 다르다. 유체와 열전달 계산에 사용되는 원래 구조화된 유한차분법 망은 이 모델에서는 사용되지 않는다. 대신에 고체와 일치되며 함께 변하는 비구조적인 유한 요소(FE) 격자가 사용된다. 이는 고체역학 방정식을 해석할 때 FE 망을 사용하는 것이 불일치하는 유한차분 격자를 사용하는 것보다 훨씬 정확하고 편하기 때문이다.

표준 FLOW-3D 망이 고체성분(FSI에 대해)이나 고상화된 유체지역(TSE에 대해) 새 유한요소(FE) 망을 생성하는데 이용된다. 대부분의 고체지역에서 표준6면 망은 변경없이 (6면체가 선택되면) 표준 망은 5개의 4면체로 분리되어(4면체가 선택되면) 사용된다. 고체지역의 경계에서 가장 가까운 절점들은 표면 법선 방향을 따라 고체 지역의 표면으로 이동된다.

6면체 선택에서 인접한 절점들은 제거되거나 이웃과 합쳐질 수 있다. 밑의 그림은 단순화된 이 과정의 2차원 예제를 보여준다. 그러므로 FE 망의 생성은 완전히 자동적이고 사용자로부터 추가 정보를 필요로하지 않는다. 경계면으로부터떨어진 요소들은 항상 8 절점을 가진다. 고체표면 가까이의 절점들의 합병 때문에 표면상 요소들은 7, 6, 5 심지어4결점도 가질 수 있다.

Tetrahedron 의 선택에서 생성된 모든 요소들은 4 절점을 가질 것이므로 비록 요소크기가 경계에 인접하여 변할지라도 고체지역 전체를 통해 더 균일한 알고리즘을 가질것이다.

Fluid-Structure Interaction Thermal Stress Evolution in Solidified Fluid Regions 모델 참조 절에서 유한요소격자의 해상도를 어떻게 조절하는 지에대한 논의가있다.

 

Equation of Motion and Stress 운동과 응력 방정식

FSI 와 TSE 모델들은 고체지역(TSE모델을위한 고상화된 유체)과 그리고FSI모델을 위한 고체 성분에 대한 표준 운동방정식을 해석한다:

                                                (10.137)

여기서

  • ρ 는 물질밀도
  • t 는 시간
  • x 는 물질내 점의 좌표
  • σ 는 Cauchy 응력텐서이며
  • b 는 체적력벡터이다.

Cauchy 응력텐서는 물질 내의 응력 상태의 척도이다. 탄성고체에서 열 및 다른 내부 응력뿐만 아니라 물질의 변형에도 관련되어 있다. 변형은 물질이 겪는 물리적 형상변화의 양이며 또한 텐서이다.

이 작업에 사용된 접근법은 작은 점진적 변형에 근거한다. 즉 한 단계에서 다음까지 변형 증분이 계산된다.

                                                  E                                 (10.138)

여기서 E 는 변형 증분이며 아래 첨자 i j 는 데카르트  좌표계 방향(x,y,z) 을 뜻하며 eix, y, z 방향에서의 단위 법선벡터를 가리킨다.  δx 는 변위 벡터를 뜻하며 다음과 같다:

δx = xn+1 xn (10.139)

여기서

  • xn 은 이전 시간 사이클에서의 물질내 임의 점의 위치이며
  • xn+1 은 현 시간 사이클에서의 물질내 같은 점의 위치이다.

현 시간 단계에서의 Cauchy 응력텐서 σn+1는 각 시간단계 증분에 대한 선형Hook 모델로부터 계산된다:

                                                                  .                                                  (10.140)

여기 다시 nn+1 위 첨자들은 전과 현재의 시간 사이클을 나타낸다. K G 는 각각 전단 과 체적탄성계수, tr(E) 는 변형 텐서 E 의 트레이스 라고 불리며 대각 성분합이다. 체적 탄성 계수 K 는 등방성 수축이나 팽창에 대한 물질 저항을 기술하는 사용자 정의 계수이다. 전단 탄성 계수 G 는 전단에 대한 물질의 저항을 뜻한다.

전단 과 체적 탄성계수, K G, 는 사용자가 직접 지정하거나 Young 계수(E)와 Poisson비(ν)를 지정함으로써 얻어질수있다. 이 모델은 4개의 탄성 물성중에 어느 두개가 알려지면 작동한다. 이들의 관계는:

(10.142)

 

Finite Element Method (FEM) / 유한 요소법

식 (10.137) 은 각 시간 단계마다  해석되는 3차원 미분방정식으로구성 되어있는데 여기서 미지수는 xn+1 (σn+1 xn+1와 식 (10.138) 에서 σ 의 이전 시간 단계들의 값으로부터 직접 계산된다.)이다. 유한요소법(FEM)은 식 (10.137)을 해석하기 위해 가중 잔류법을 사용한다. 식 (10.137의 가중 잔류 식은:

  (10.143)

여기서, Ψ 는 가중함수, Ω 는 영역을 표시한다. 식에서 미분 차수를 최소화하기 위해 다음 항등식이 이용된다:

                                                                                                                (10.144)

Eq. (10.144), Eq. (10.143) then becomes:  식(10.144)을이용하여 식 (10.143)는 다음이 된다:

 

  (10.145)

Green 정리로부터 식 (10.145) 의 우측 마지막 항은 표면적분으로 전환된다:

 (10.146)

여기서 n 은 영역 Ω 의 표면 외부로 향하는 법선벡터이다. 은 고체지역 경계면의 미소 부분면적이다. 상첨자 n−1, n, 그리고 n+1 는 각 변수의 시간 단계를 뜻한다. 우측의 마지막 항은 영역의 경계면에서만 0이 아니다. 가중함수 Ψ 는 일련의 기저함수로 이루어져 있는데 이는 이들에 상응하는 절점근처에서만 0이아니고 모든 다른 절점에서는0이다. 그러므로,

  (10.147)

 

Here: 여기서

  •  nnodes 는 망내 존재하는 모든 절점의 수.
  •  x 는 실제 좌표상 위치이며
  • ψi 는 절점번호 i 의 인근에서 정의된 지역 기저함수이다. 기저함수는 연속적이며 이들의 1차 미분은 존재하지만 연속적이 아니다.

요소의 개념은 기저함수 φi에 대한 이해를 도와준다. 한 요소 는 꼭지점들이 절점에 해당하는 영역내의 작은 체적이다. 위의 그림은 표준6면 요소의8 절점을 보여준다. 4면요소는 그림이 유사하나 단지(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) 그리고 (0,0,1)에서의 꼭지점을 가지는4 절점이 있다. 이 절점들에 상응하는 기저함수 ψi 는 이 공간 안에서 모두 0이 아니다. 현재 요소의 일부가 아닌 절점에 대한 기저함수들은 모두 0이다.

그러므로 식 (10.147)를 고려하여 식 (10.146) 이 다시 쓰여질 때 결과:

 

는 일련의 항들인데 이중에 일부만이 한 특정 요소 내에서0이 아니다. 이때에 식 (10.148) 이 요소 하나 하나에 대해 조립된다. 식 (10.148) 에서 ψk 는 절점 k 에 의해 공유되는 요소 내에서만 0이 아니므로 식 (10.148) 은 사실상 각 절점에 대해 하나씩인 일련의 n절점 수 방정식들의 집합이다. 더구나 3개의 직교방향이 있으므로 전체 3×n 절점 스칼라방정식이 존재한다.

개별적 기저 함수들, ψk, 은 각 요소에 대해 반복된다. 각 요소 내에서 이 기저함수들은 요소의 향배에 상관없이 각 요소(ξ,η,ζ)의 계산좌표를 이용하여 계산된다.  6면요소에 대해 이들은:

  (10.149)

4면요소에대해 이들은:

  (10.150)

 

X   (10.151)

 

여기서 아래 첨자는 지역(즉, 요소-단계) 절점을 뜻한다. 각 기저함수는 이의 지역 절점에서는1이고 모든 다른 절점에서는0이라는 것에 주목한다. 기저함수는 가중 잔류방정식을 위한 가중함수로 뿐만 아니라 위치와  변위를 나타내는데 이용된다:

여기서:

  • 실제영역내의 점의이며 위치이고,
  • xk 는 각 전체 절점k에 저장된 위치의 값이며,
  • φk 는 절점k에서의 기저함수이다.

비록 식 (10.151)은 영역 내 한점에 대해 일반적 형태로 쓰여졌지만 지역요소 내의 절점들만 고려하는 개별 요소내에서도 사용될 수있다. 이는 이 요소 외부의 모든 절점에서의 φk 값이 0으로 정의 되었기 때문이다.

식 (10.151)을 이용하여 식 (10.148)는 3×nnodes 미지수를 가지는 일련의 3×nnodes 스칼라 방정식으로 쓰여질 수 있다: 각 절점에서 위치 xk 의 3좌표. 적분은 수치적으로 Gaussian 구적법을 이용하여 해석되고 이로 인한 선형방정식 시스템은 반복적으로 유체에서의 결합된 모멘텀과 연속방정식을 해석하는데 이용된 솔버와 유사한 일반 최소잔류(GMRES) 솔버를 이용하여 해석된다.

 

Boundary Conditions on Solid Regions / 고체지역 상의 경계조건

유체-구조 상호작용과 응력전개모델은 자동적으로 고체요소의 각 면에서의 경계조건을 결정한다.

이러한 면들이 유체지역과 접촉하면 지역 유체압력이 식 (10.148) 의 견인 성분 (n · σn+1) 을 결정한다. 그러므로,

                                                                                          n · σn+1 = −npfluid                                                                                                               (10.152)

음의 표시는 고체 응력의 관례에서 압축이 음으로 나타나므로 존재한다.

경계면이(유체) 영역경계와 인접할 때 경계형태는고체에 적용되는 조건을 결정한다. 벽경계에 인접하면 고체지역은 고정된다; 즉, 절점은 경계에 고정되어 움직일 수 없다. 대칭경계에서 절점은 경계를 따라 자유로이 미끄러질 수는 있으나 침투하거나 떨어질 수는 없다. 다른경계에서는 인접한 경계 셀 에서의 압력이 식(10.152)에 따라 견인 성분을 계산하는 데 이용된다.

FSI 요소는 디폴트 결합(결합없음) 이 선택될 때 한 FSI 요소가 다른 요소(표준 또는 FSI) 와 접촉하는 모든 곳에서 경계면은 항상 고정되어 있다고 가정된다; 즉, 경계면상의 절점은 모사 동안에 움직이지 않는다.

두 인접한 요소사이에 부분 결합이 선택되면 접촉하고있는 이 두 요소 사이 경계를 통해 응력의 전달이 있다. 수직 압축응력은 완전히 전달 되지만 수직 인장응력은 아니며(즉 부분적으로  결합된 요소들은 자유로이 분리될 수 있다) 사용자가 지정한 마찰계수에 따라 접선방향의 힘만 부분적으로 전달된다.

두 인접 요소사이에 완전 결합이 선택되면 두 요소의 망은 이들이 접하고 있는 곳에서 실제로 융합되어 항상 두 요소 사이에 응력의 완전한 전달이 이루어진다.

고상화된 유체지역이 다른 요소(표준 또는 FSI)와 접촉하고 있으면 이 지역은 자유로이 떨어져서 틈을 형성할 수 있다. 틈새의 가스의 열전달 물성이 제공되면(가스 전도도및/또는 복사율), 열전달 계수가 자동적으로 틈에서 계산된다(더 넓은 틈은 열전달을 감소시킬 것이다). 인근 요소(FSI 또는 비-FSI)가 구속으로 지정되고 고상화 유체 지역이 한 요소로 밀리면 요소에의 간섭을 방지하기 위해 제지력이 이 지역에 적용된다. 그렇지않고 요소가 비구속 요소이면 이때는 단지 최소의 힘이 고상화지역의 위치를  유지하기 위해 적용된다. 이는 모래사형의 열응력 발달을 모사하는데유용하다.

추가로 고상화 유체 지역이 인접 FSI 요소와 접촉할 때 이 둘 사이의 결합은 두 FSI 요소의 결합과 마찬가지로 될 수 있다. 이 경우 TSE 지역과 FSI 요소 사이의 경계를 통해 부분적인 응력의 전달이 있다: 수직압축 응력은 전달되나(간섭이 발생할 수 없다) 수직인장 응력은 아니고 지정된 마찰계수에 따라 접선방향의 응력은 부분적으로 전달된다.