Numerical Approximations 수치근사

Notation 표기

지배방정식을 수치적으로 해석하는데 이용되는 유한 차분망은 폭dxi, 깊이dyj그리고 높이dzk의 직교 셀들로 구성되어 있다. 활성화된 망 지역은 색인i로 명명된 x방향에서 IBAR셀, 색인j로 명명된 y방향 에서 JBAR셀, 그리고 색인k로명명된z방향 에서 KBAR셀을 갖는다. 이 지역은 망 경계조건을 지정하기 위해 사용되는 경계셀이나 가상 셀의 층에 의해 둘러싸여 있다. 이와 같이 전체망에서 통상 전체 셀의 수는 (IBAR + 2)(JBAR + 2)(KBAR + 2)이다. 그러나 주기적 또는 지정된 경계조건이 한 주어진 좌표 방향에서 주어지면 경계셀에 하나의 추가 층이 그 방향에서 사용된다. 이 사실은 차원 설정을 지정할 때만 명심되어야 한다. 전처리는 자동적으로 모든 경계조건을 만족시키는 데 필요한 경계 셀의 수를 초기화할 것이다. 하기 그림은 셀 표시 명명법의 도해이다.

그림 10.11 망 배열및 표식 관례

유체속도와 압력은 밑의 그림에서 보이는 전형적인 셀에서 보여준 바와같이 엇갈린 망위치에 위치한다: x방향에 수직한 셀 표면의 중심에서의 속도u와 면적 분율Ax , y방향에 수직한 셀 표면의 중심에서의 속도v와  면적 분율Ay  그리고z방향에 수직한 셀 표면의 중심에서의 속도w와  면적 분율Az 압력(p), 유체분율(F), 체적분율(VF ), 밀도(ρ), 내부에너지(I), 에너지(q),소산(D),  그리고 점도(µ)의 난류양은 셀 중심에 있다.

여기서 사용된 유한 차분표기는 분수 색인 값이 사용될 수없는 코드에서 사용되는 표기에 상응한다. 관례는 모든 분수 색인은 가장 가까운 정수로 귀결된다. 예를들면, 셀(i, j, k) 과 (i + 1, j, k) 사이의 셀면상에 위치한i + 1/2에서의u속도는 로 표기된다. 윗 첨자nn번째 시간단계 값을 뜻한다. 유사하게,

  (10.311)

ρ, I, q, D, µ 와 유사하게

  (10.312)

면적및 체적분율도 다음과같은 표기로 나타난다.

  (10.313)

자유표면이나 유체경계면이 존재할 때 비어 있거나, 표면이 있거나 또는 한 유체가 가득찬 이러한 셀들을 구별하는 것이 중요하다. 정의에 의해 표면 셀은 유체1을 가지고 적어도 한개의 비어 있거나 유체 2로 가득한 인접(i ± 1,j ± 1,k ± 1에서)셀을 가지는 셀이다. 1보다 작은 F값을 가지며 비어있는 인접 셀들이 없는 셀은 1유체 문제에서 가득찬 셀이라고 간주된다. 표식NFi,j,k는 셀을 분류하기 위해 그리고 표면 셀의 경우에 어느 인접셀이 표면에 내부로 향한 수직인 방향으로 놓여 있는지를 지정하기 위해 사용된다.

   (10.314)

NF는 유사하게 두 유체 사이의 표면의 방향을 표시하는데 사용된다.

Outline of Finite Difference Solution Method 유한차분 해석 해법의 개요

시간의 한 증분δt을 통해 해가 전진하는 기본 과정은 세단계로 구성되어 있다. :

1. 모멘텀 방정식(10.9)의 외재적 근사가 모든 이류, 압력 그리고 다른 가속도들에 대한 초기 조건이나 전시간 단계의 값을 이용하여 새로운 시간 단계에서의 속도에 대한 첫 근사를 계산하기 위해 사용된다.

2. 연속방정식(10.1), (10.5), 또는 (10.8)을 만족시키기 위해 내재적 선택이 사용되면 압력은 반복적으로 각 셀에서 조절되고 각 압력변화에 의해 유발된 속도의 변화는 단계(1)에서 계산된 속도에 추가된다. 한 셀내에 야기된 압력의 변화는 6개의 인접셀 내의 균형을 변동시키므로 반복이 필요하다.압축성 문제에 대한 상태방정식을 만족시키기 위해 외재적 계산에서 각 셀내에서 한 반복이 그래도 필요할 수도 있다.

3. 마지막으로, 자유표면이나 유체 경계면이 존재할 때 새 유체의 형상을 주기 위해 식(10.19)을 이용하여 갱신되어야 한다. 압축성 문제에서 밀도, 식(10.1)와 에너지, 식(10.21)은 이류, 확산 및 소스과정을 반영하기 위해 갱신되어야 한다.  난류량과 벽온도 또한 이 단계에서 갱신되어야 한다.

이와 같은 단계의 반복으로 요구되는 시간단계를 통해 해가 전진할 것이다. 물론 각각의 단계에 모든 망, 구조물, 자유수면 경계에서 적절한 경계조건이 부여되어야만 한다. 이러 단계와 경계조건의 상세 내용은 다음의 세부항목에서 주어진다.

Momentum Equation Approximations 모멘텀방정식 근사

식(10.9)의 유한 차분근사 일반적 형태는(분수 색인 관례를 기억하며) 다음과 같다.

  (10.315)

여기서 예를 들면, 다음과 같이

  (10.316)

   (10.317)

이류, 점성 그리고 가속도항들은 분명한 의미를 갖는다, 즉, FUX는x방향에서의u의 이류 유속량; VISX는x성분 점성가속도; BX는x방향에 수직한 배플에 대한 유동손실; WSHX는x방향에서의 점성벽 가속; 그리고Gx는x방향에서의 중력, 회전 그리고 일반 비관성가속을 포함한다.

First-Order Method 1차적 방법

가장 간단한FLOW-3D유한 차분근사는 시간및 공간 증분에 대해 1차적으로 정확하다. 이 경우 이류및 점성항은 모두 속도에 대해 전시간 단계(n) 값을 이용하여 평가된다. 벽전단응력은 하기에 기술된 바 와 같이 내재적으로 평가된다. 시간단계n+1 에서 압력은 일반적으로 사이클 초기에 알 수 없으므로 이 방정식은 직접n+1시간단계의 속도를 직접 평가할 수 없고 연속방정식과 결합되어야 한다. 한 해의 첫단계에서 이 방정식들에서의pn+1의 값은 새 속도를 위한 첫 추측을 얻기 위해pn로 대체된다. 외재적 근사에서는 식(10.315)에서 압력구배가 시간n에서 평가되므로p에 대한 추가 조정이 un+1의 평가에 영향을 미치지 않는다.

그림 10.13 U모멘텀에 대한 유한 차분근사에 사용된 x-z평면에서의 유한체적(점선)

식(10.315)에서의 다양한 가속도항에 대해 어느 특정한 근사도 수치적으로 안정된 알고리즘에 이르는 한 상대적으로 중요하지 않다. 그러나 불균일한 셀의 크기를 가지는 망에서의 근사에는 특별히 주의를 기울여야 한다. 이 문제는 다른 곳(즉 참고[HN81])에서 논의되고 있으나 가끔 간과되는 문제 때문에 여기서 반복된다. 데카르트좌표를 사용하는 원래의MAC방식 에서 사용된 근사과정을 고려하자 [HW65], [WHS+66].  또한 간단하게 하기 위해 모든 체적및 면적분율이 1이라고 가정한다. MAC방식에서 연속및 모멘텀방정식, 식(10.8)와 (10.9)은 우선 결합되어 이류 유속항들은 발산형식, 즉 uu대신에 ∇uu로)으로 쓰여질 수 있다. 이와 같이, 예를들면, FUX는uδu/δx라기보다δu2/δx일 것이다. MAC방식 에서 발산형태가 선호되는 이유는 차분근사에서의 모멘텀의 보존을 간단히 확실하게 해주기 때문이다. 이는 상기 그림에서 점선으로 표시된 것과 같이ui에대해 사용된 유한 체적의x-z단면을 고려함으로써 보여질 수있다. 발산 형태를 가지고Gauss정리를 이용하여 유한체적 내의FUX적분값을 체적 경계면에서의 유속량으로 전환될 수 있다. 이와 같이 한 유한 체적을 떠나는 유속량을 인접 유한체적이 받아들임으로써 이류 시의 보존이 확실하게된다.

이 개념은 균일한 망의 사용을 위해 개발된 원래의MAC방식에서는 잘 작동했다. 그러나 불행히도 불균일 망에서는 보존이 자동적으로 정확성을 의미하지는 않는다. 이를 보기 위해 상류 또는 공여-셀 차분근사가 FUX =  에 대해 사용된다고 가정하는데 이는 조건적 안정 알고리즘을 제공한다. 이 공여 셀 근사는 다음과 같다.

  (10.318)

 (10.319)

    (10.320)

식(10.318)의 정확도를 체크하기 위해FUX가 평가되는x-위치에 대한Taylor급수 전개를 하면 아래로 평가된다. (u-속도가 양이라고 가정하여)

  (10.321)

0차항에서의 계수는 셀 폭이 같지않은 한, δxi = δxi+1, 부정확하다. 다른 말로 변동 망은 보존차분 근사차이를 한 차수 감소시키며 이 경우에 부정확한 0차수 결과가된다. 차라리 공여셀보다 중앙 차분 근사가 사용되었더라면 결과는 균일 망에서와 같이2차가아니라 1차수에 정확하였을 것이다.

실제로 변동 망들이 항상 덜 정확하다는 것이 반드시 위의 해석에 기인하는 것은 아니다. 예를 들면 이들은 유동변수들이 급격히 변하는 지역에서 개선된 해상도를 가능하게 한다. 그럼에도 불구하고 변동 망 사용시에는 상당히 주의를 기울여야 한다. 예를 들면 근사 차수의 감소를 최소화하기 위해서는 셀 크기의 점진적 변화를 사용하는 것이 최선이다. 또한 변동 망에 적용될 때 공식적인 정확도를 잃지않기 위한 다른 근사를 구할만한 가치도 있다. 이점에서 이류항의 보존형태가 정확도를 잃는 이유는 유한 체적이ui의 위치에 대해 중심에 있지 않기 때문이라는 것에 주목한다. 유한 체적의 이동은식(10.321)에서 계산된 정확도의 직접적인 감소로 이어진다.

FLOW-3D에서 수정된 공여 셀 근사는 변동망에서 정확도를 유지하도록 개발되어 왔고 망이 균일할 때 보존차분 형태로 축소된다[HS85]. 이 방법은 비보존 형태의 이류 유속항 uu,을 근사하는데 이는 위에 언급된 보존적 근사의 원천적 어려움 때문에 필요하다. 이 근사에서 공여셀과 중앙 차분근사를 각 근사의 상대적 양을 조절하는한 변수를 갖는 하나의 식으로 결합하는 것이 또한 가능하다. FUX = 에 대한 이 근사의 일반적 형태는 다음과 같다.

  (10.322)

  (10.322)

(10.322)

망이 균일하면 이 근사는α = 0일때 공간적으로 2차 정확도를 가지는 중앙 차분으로 축소된다. α = 1이면 1차 정확도를가지는 공여셀 근사로 돌아온다. 어느 경우에나 이 방식은 변동망에서 정확한 0차 식으로 축소된다. 균일망에서는 이류 유속항 근사가 보존 근사형태∇uu로 환원되도록 보여질 수 있다.

식(10.322)에 있는 기본 개념은 하류값 보다 유속양이 들어오는 상류값을 가중하는 것이다. 가중 인자는 각기 상류방향과 하류방향에 대해 (1 + α) 와 (1 − α)이다. 1차 근사방식의 이 형태는 식 (10.315)에서 나타나는 모든 이류 유속항에 대해 사용된다. 모멘텀 방정식의 모든 가속도항은 표준 중앙차분에 의해 근사된다.

Second-Order Method 2차적 방법

위에서 기술된 근사는 시간증분δt의 1차멱수에 그리고 α ̸= 0이거나 망이 불균일하면 공간증분dx, dy dz의 1차 멱수에 비례하는 단절 오차를 가진다. 이러한 1차 근사의 장점은 단순하고 계산적 안정성을 유지하는게 쉽다는 것이다. 그러나 어떤 경우에는 너무 고비용이 소요되어 정확한 1차 정확 해석을 위한 필요한 망 해상도를 사용할 수 없다는 것이다. 이런 경우가 발생하면 이류나 점성 가속도들에 대해 2차 정확 근사를 사용하는 것이 유용할 수 있다.  모멘텀 방정식에 대해 두 가지의 선택적 2차 근사 방식이 입력데이터로 요청될 수 있다. 첫 방식의 본질은 이류와 점성 서브루틴을 두번 통과하는 것이다. 첫번째 통과시 공여셀 변수α = 1.0을 가지는1차 방식이 사용된다.  이들 새 속도들은 전시간의 속도 열들에 저장된다.  두번째에서는 1차계산이 변수α = −1.0로 지정된 후 반복된다. 마지막으로 두 계산의 결과가 새로운 시간에서의 2차근사를 얻기 위해 평균된다.

이 근사는 첫번째는 시간n의 속도를 이용하고 두번째는 시간n+1에서의 속도를 위한 (1차)근사를 하므로 시간에 대해 2차이다.  이때 평균은 시간 n+1/2를 가지는데 이는δt에 대해 2차이다. 마찬가지로 첫번째에α = +1.0를 사용하고 두번째에서는α = −1.0를 사용하면 평균α-값 0이되며 이는 망이 균일하면 dx, dy, dz에대해 2차이다(2차근사식에 대한 더 완전한 해석에 대해서는[Hir78]를 참조하라).

이 알고리즘은FLOW-3D에서 이용 가능한 세가지 이류 방식 중에서 가장 덜 수치적으로 확산적이다. 그러나 이는 표준 상류차분 방식에서 유동 교란이 원래 위치에서 하류로 전달되는 것을 확실케 해주는 전달 특성을 가지지 않는다. 추가로, 이 방식은 가장 CPU 집중적이다. 마지막으로, 이 방식은 천이적 자유표면 유동에서 수치적 불안정성을 가끔 발생시킨다.

Second-Order Monotonicity Preserving Method 2차 단조 보존방식

FLOW-3D의 다른 고차 이류 방정식은 2차 단조 보존 풍상(upwind) 차분기법[VanLeer77]에 기반을 둔다. 이는 원래의1차 이류기법 만큼 강력하다. 대부분의 경우에 차이는 무의미 하지만 1차방식 보다 약간 더 많은 CPU시간이 소요된다.

단조보존방식은FLOW-3D에서 모멘텀 이류뿐만 아니라 밀도, 에너지 그리고 유체분율 이류를 근사하는데도 적용될 수 있다. 고차 이산 방식은 각 좌표 방향에서의 이류량들에 대한 2차 다항근사를 이용하여 유도된다[HB91]. x방향에서 이류된 한 변수 Q에대해 셀 면을 통과한 유속값Q*은 다음과 같으며,

 (10.325)

여기서

    • Qi는 셀 중심에서의 값
    • C는Courant수,
    • δxi는 셀 크기이며,
    • A는 셀내의 위치에서 의 1차 미분에 대한 2차근사이다.

(10.326)
계수A는 이런 미분들이 2차로 정확하다면 선형 보간에 의해 두 인접1차미분들로부터 쉽게 계산할 수 있다. 후자는Qi위치들 사이의 중간에서 미분을 구함으로써 얻어질 수있다; 예를 들면,
  (10.327)
위 식에서 Qi Qi + 1사이의 점Q의 2차 정확1차 미분이다. 이런 접근으로 고차 단조 보존 방식을 불균일 망으로 확장하는 것은 쉽다.
식(10.325)의 장점은 우편의 첫항이 통상적인 1차 공여셀 근사를 준다는 것이다. 이와 같이 식(10.325)의 우편의 둘째항을 추가하여 생성되는 2차 근사가 쉽게 컴퓨터 프로그램에서 선택으로 될 수 있다.
단조를 확실케하기 위해 미분 A의 값을 제한하는것이 필요하다. 참고[VanLeer77]에 의하면 A의 값이 이 계산에서 사용되는 중앙Q미분의 최소 크기의 두배가 넘지 않도록 되어야 한다.
  (10.328)
더구나, Qi가 지역 최대 또는 최소값-즉, 식(10.328)에서 나타나는 두 개의 중앙 미분이 서로 다른 부호라면-이때 A는 0이 되고 공여 셀 근사가 사용된다.

Locally Implicit Approximation of Advection 이류의 지역적 내재적 근사

시간에 따라 진화하는 방정식 해를 구하는데 이용되는 외재적(즉, 시간에 따라 전진하는) 유한 차분근사는 시간증분의 크기에 제약을 받는다. 이런 형태의 근사에서는 모든 종속변수들의 값이 작은 시간 증분의 연속을 통하여 시간에 따라 전진한다. 이 때 시간 단계n까지의 모든 단계의 변수값이 알려져있으므로 이들이 변수들의 변화율을 추정하는데 이용될 수 있다. 이는 작은 시간δt 후인 tn+1 = tn + δt에 해당하는 단계n + 1에서의 종속 변수값들이 무엇인지를 추정하는 것을 가능하게 한다.

이러한 근사 형태에서의 작은δt의 필요성은 종속변수의 변화율이 보통 이 변수와 공간 바로 이웃의 값과 차이의 견지에서 평가되기 때문에 발생한다. 증가하는 시간 단계 크기에서 한 변수는 바로 인근들뿐만 아니라 더욱 멀리에 있는 값들에 의해서도 영향이 미쳐질 것으로 예상된다. 그러므로 안정과 정확성을 확실케하기 위해 시간 전진 크기δt에 제한이 있어야 한다.

>외재적 유한 차분 방정식은 사용하기에 편하지만 시간단계 크기를 제한해야 하는 필요성 때문에 오랜 계산시간이 소요될 수 있다. 이 제약은 극복하기 위해 문제를 일으키는 시간 단계 제약을 제거하기 위해 내재적 유한 차분법에 의존하는 것이 바람직할 수 있다. 기본개념은 진전된 시간단계n + 1 에서 변수의 값및 변화율의 근사를 포함하는 것이다. 지금 계산하려고 하는n+1수준 값이 같은 값에 의존하므로 차분방정식은 내재적이라고 불린다.

유체 이송방정식의 이류항을 근사하기 위한국소적 내재적 방법이FLOW-3D에 존재한다. 내재적 처리는 시간과 공간에 대해 선택적으로 적용될 수 있으므로 전반적으로 내재적방법 사용시의 간접 비용및 부정확성을 감소시킬 수 있다.단순한 1차원 스칼라 이류식을 고려해보면,

(10.329)

공여 이류(u > 0)에 기초한 상응하는 풍상(upwind) 유한 차분식은 다음과 같으며,

  (10.330)

여기서   (10.331)

시간 수준은 변화율Aj에 대한 근사에서 지정되지 않고 있다. S에 대한n단계값을 사용하는 외재적 근사는δtδx/u보다 작은 것을 필요로 하는 안정성 한계를 가진다.

내재성을 더하기 위해 Sj에 관한Taylor급수로 Aj를 확장한다. 1차 보다 큰 차수의 항들을 무시하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

  (10.332)

식(10.331)으로부터
  (10.333)

지금 식 (10.330) 은 다음과 같이 표현될 수 있다.

  (10.334)

지금 이류 유속은 이에 내재적 정도를 더하는 를 포함한다. 이 근사의 안정성을 체크해 보자. 무조건적 안정성을 체크하는 점근적δt테스트는δt로 나누고 무한대로 보내는 것이다.

이 극한에서 첫 항은 사라지며 결과는S의 변화에 대한 새 방정식이며,

  (10.335)

이는 수정된 식이 무조건 안정적이라는 것을 뜻한다(∂A/∂S가 0이 아닌 한). 사실, 이 결과 식은 시간 단계만 ∂A/∂S의 역수로 치환된 것을 제외하고는 원래의 외재적 표현과 같아 보인다. 이  새 ”시간단계”는 정확히 외재적 안정성, δx/u을 위한 극한 시간단계이므로 식(10.335)의 근사는 필연적으로 안정적이다.

무한 시간단계의 제한을 취하지 않으면S의 전진을 위해 새로운 국소적으로 내재적이고 무조건적 안정적인 유한 차분방정식을 얻으며, 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

  (10.336)

이 근사는 효과적으로 시간단계를 외재적 안정성을 위해 필요한 값보다 항상 작은 새로운 값으로 치환하기 때문에 모든 시간 단계크기에 대해 안정적이다. 식(10.336)은Sn+1 = Sn일 때 아직도 같은 정상상태, 즉A = 0, 해를 가진다. 이 방정식에서의 유속항은 이웃한 셀들의 시간n + 1의 값에 결합되지 않았으므로 이를 구하기 위한 반복법이 필요하지 않다.

방법은 무조건적 안정성을 가지는 이류 유속량들의 내재적 수치근사를 생성하기 위한 간단한 기법이다. 이류가 예기되는 상류의존을 유지하며 유속을 본질적으로 시간 단계당 하나의 격자 셀로 제한한다. 활성화되면 이 방식은 모든 유체 이송 방정식에 적용된다.차분근사는 단지 이웃 양들의 값을 수반하고 반복과정을 포함하지 않으므로 국소적으로 내재적 이류는 시간 단계 크기가 너무 커지면, 정확하지 않을 수 있다. 즉 제약이 없는 내재성은 부정확성에 이를 수 있다. 자유표면상의 유체 분율같은 이류 양의 큰 구배는 내재적방법 사용 시 커다란 수치 에러를 유발할 수 있다.
이러한 부정확성을 감소시키기 위해under-relaxation은 내재적으로 처리되지 않으면 계산상의 불안정성이 발생할 수 있는 위치에서 만으로 제한된다. 다른 말로 국소적으로 내재적인 근사는 단지 시간단계 크기가 셀 내의 속도와 셀의 크기에 의해 정의되는 지역 한정성 한계를 넘을 때와 넘는 장소에 있는 셀들에서만 적용된다. 모든 다른 시간 및 장소에서는 정상적인 보존 외재근사가 이용된다.자유표면 처리시의 부정확성을 방지하기 위해 내재적 이류 방식은 움직이는 자유표면을 포함하는, 즉 자유표면에 수직인 커다란 속도 성분을 가지는 셀들에는 적용되지 않는다.. 이 제한은 시간단계 크기가 이런 셀들에서는 통상적인 방식으로 제약되어야 한다는 것을 뜻한다.

Density Evaluation 밀도 평가

식(10.9)에서 필요한 밀도 는 다루려는 문제의 유형에 따라 평가된다. 한 물질의 비압축성 유동에서 모든 밀도값은 유체 1의 밀도로 지정된다. 2유체 비압축성 유동에서는 밀도는 체적분율F에 의거하여 두 유체 밀도(ρ1 와 ρ2)의 가중평균이다.

  (10.337)

유체밀도ρ1 와 ρ2는 기화 잔류물 절에서 논의된 바와 같이 온도에 의존할 수 있다.

1유체문제의 자유표면에서 유체는 상변화 모델이 사용될 때 기화하거나 응축될 수있다. 이는 경계면의 기체 쪽이 일정 압력을 가지거나 균일한 기포지역일 때의 두 경우에 해당한다. 유체가 하나 또는 더 많은 용질을 포함하면 용질들의 농도는 액체의 증감에 따라 바뀌어야한다. 일반적으로 용질은 액체의 기화시 더 농축된다.

응축이나 기화의 경우에 유체와 관련된 스칼라 농도는 상변화에 따라 변화된 농도를 가질 것이다. 표면요소에 유체가 반보다 적게 차있으면, 이 때 농도변화는 농축지역이 표면요소 두께의 반에 해당하는 정도로 표면요소의 주 이웃으로 퍼져갈 것이다.

기화가 충분히 발생하여 용질의 농도가 충분히 높아지면 표면에 막이 생기거나 액체가 완전히 증발하면 고체표면에 잔류물이 발생할 수 있다. 이를FLOW-3D에서 모사하기 위해 잔류 모델이 선택되어야 한다. 이 모델의 활성화는 용질이 일단 농도가 사용자가 지정한 최대 패킹밀도에 도달하면 움직이지 못하는 잔류물이 형성되게끔 한다. 한가지 이상의 용질이 존재하면 잔류모델은 잔류물의 원인이된 모든 용질 전체를 기록한다.

압축문제에서 밀도는 연속방정식(10.1)으로부터 평가되며, 아래와 같이 체적 가중 상태밀도 방정식에 해당한다.

  (10.338)

여기서ρ1 과 ρ2는 압력과 내부에너지의 함수이다.

밀도에 대한 압축유동 상태방정식 함수는 간단히 수정을 허용하게끔 프로그램되어 있다; 그러나 주어진 함수는 유연성을 갖는다. 두 유체 모두 일정한 비열(사용자가 지정할 수있는)을 가져서 비 내부에너지는 다음과 같다.

   (10.339)

유체 1은 비압축성으로 가정되며 이의 밀도는 RHO1으로 지정된다. 유체 2는 다음식과 같이 이상가스이며,

  (10.340)

여기서RF2는 사용자 지정 가스상수이다.

Wall Shear Stresses 전단응력

식(10.11)에서의 벽응력은 커다란 벽면적과 작은 유동공간을 가지는 셀들에서 발생할 수 있는 수치 불안정성을 피하기 위해 내재적으로 포함되어 있다. 예를들면w-속도 방정식에 대한 기본 접근은 다음과 같다. w에 영향을 미치는 벽전단이w를 둘러싼x y셀면에 위치한 벽면적으로부터 발생할 수 있다. 이런 면들 중 하나에서 유동 면적율A가 1보다 작으면 나머지 면적율(1 − A)이 응력이 생성되는 벽이라고 간주된다. 예를들면w우편의x면상에서 층류시의 벽전단에의한 가속wsz∂/∂x(µ(∂w/∂x))의 근사치이며,

   (10.341)

여기서Ax, δx µw가 위치한 셀내에서 평가된다. 면적율Azw가 위치한 같은 유한 체적면에서 평가된다. 속도w는 0이거나 또는 이동 요소나 망 경계에서의z방향 접선속도와 동등하다. w는 두 셀사이 경계에 있으므로Ax는 이 셀들에 대한 평균이다.

유사한 응력들이 4개의 주변 셀 벽의 각각에서 평가되고 이들의 합이 전체응력이 된다. 식(10.341)에서 나타나는w가 시간 단계n에서의 값이면 근사는 외재적이나 수치 불안정성이 있을 수 있다. 이 가능성을 피하기 위해w는 전체 모멘텀 방정식으로부터 계산된 새 값을 취한다. 이는w에 대한 모멘텀 방정식을 내재적으로 만들지만w에 대해 선형이므로 해를 구하는 것은 문제가 되지 않는다.  난류 전단 응력에서는 식(10.341)이 다음과 같이 바뀌며,

  (10.342)

여기서u+ = u*/u는 식(10.299) 으로부터 계산된다.

접선속도에 대한 2차식은 시간 단계 n + 1에서 취해진 우측의 괄호 안에서의w와 함께 선형화된다.물체표면으로부터의 질량주입에 따라 발생하는 유효 벽전단응력은 대체로 같은 방식으로 모델링된다. 유효응력은, 예를 들면,

   (10.342)

여기서QSRw가 정의된 경계의 한편에 있는 망 셀들에서의 평균질량 소스율이다. 소스가 유체가 지역속도를 갖기 때문에 음의값(싱크)이면 응력이 사용되지 않는다. 여기서 다시 새w속도가 이용되기 때문에 모멘텀방정식의 기여는 증강된 수치 안정성을 위해 내재적이다.

벽에서의 미끄러짐 형상은 단지 층류에서만 허용되고 마찰인자κ를 이용하여 모델된다. 미끄러짐을 위해 수정된 식(10.341)에의해 주어지는 벽전단응력은

 (10.344)

여기서ws는 벽에서의 유체 미끄럼 속도이다.

  (10.345)

벽표면에서의 난류및 층류 두 벽전단응력은 벽조도를 정의하여 수정될 수 있다. 조도는 길이의 차원을 갖는다. 어떤 의미에서 길이는 조도 요소들의 크기에 비례한다. 이는 분자점도에ρ, ξ, 그리고 w의 곱을 추가함으로써 통상적 전단응력 계산에 포함되어 있으며 여기서ξ는 표면조도이며w는 지역 유체속도와 벽 속도간의 차이이다.

이의 실행에서 층류에서의 벽전단응력은ρ(ν + ξw)w/δx와 같다. 난류에서는 ξ가 두 특정길이 규모 중에서 클 때 점도의 변화(즉, ν에서ν +ξw로)가ν/w에 의해 정의된 특정 길이 규모에 대한 로그 대수의존도를ξ로 자동적으로 전환하는 경우를 제외하고는 벽 법칙관계는 부드러운 벽에서와 같은 형태를 유지한다.

조도는 더 큰 값이 사용될 수 있지만 물체 경계에서 격자 셀크기 보다 작아야 한다.  마찰 조도변수ROUGH의 값은 물체/유체 열전달에 영향을 주지 않는다(또한Surface Area Evaluation를 참조).

Porous Baffle Flow Losses 다공 배플 유동 손실

배플에서의 유동손실에 대해 벽전단응력에 대해서와 유사한 내재적 해가 사용된다. 이 경우의 단지 차이는w (또는 u v)의 내재적 방정식이 2차이고 그 해의 제곱근을 취할 필요가 있을 수 있다는 것이다.

Generalized Drag Forces 일반 항력

다공질내 유동및 응고/용융 모델은 속도의 1차멱수, −Fdu, 에 비례하는 항력을 이용한다. 이런 모델들은 인위적으로 아주 큰 항력계수Fd,의 가능성을 가정하므로 이 경우에 모멘텀방정식은 항력과 압력의 균형을 이루게 될 수있다. 비압축성 유동에대한 이렇게 높은 항력의 한계에서 계산하기 위해 모멘텀방정식에서 뿐만 아니라 연속방정식에서도 항력항을 내재적으로 처리할 필요가 있다. 이는 항력에서시간 전진에서의 속도를 사용하고 대수적으로 새 속도에 대한 미분방정식을 해석함으로써 이루어진다. 이 결과는 새 속도의 모든 기여를 (1+Fddt)항으로 나눈 값이다. 모든 속도/압력 보정 동안에 이 추가 항의 효과를 유지하는 것은 압력구배와 항력사이의 균형이 달성되는 것을 확실케 해주며 연속방정식을 또한 만족시킨다.

Non-Inertial Reference Frame비관성 기준계

FLOW-3D는 움직이는 탱크내의 유동 해석을 위한 두 가지 계획이 있다: General Moving Objects Model 방법과 비관성계 방법이다. 전자는 관성계에 고정인 계산 망내에서 탱크를 이동시킨다(이 장과Model Reference에있는General Moving Objects Model 참조) 후자는 이 절에서 보여주는 탱크와 함께 움직이는 비관성계의 계산 망를 가진다.

비관성계에서는 기준계의 변환에 따라 유체가 관성계에 대한 비관성계의 움직임을 기술하는 일련의 독립변수에 연관될 수 있는 “관성” 가속도를 겪는다. FLOW-3D에서 이 변수들은 테카르트 좌표로 쓰인 3개의 선형 가속도 성분, 3개의 각속도 (시간당Radian) 성분 그리고3개의 각가속도(시간 제곱당Radian) 성분이다. 이 모든 9개의 변수들은 시간의 함수이다. 또한 각속도와 각가속도 성분들 간에 만족되어야 하는 세가지 관계식이 있다. 그러므로 실제로는 단지 6개의 독립적인 시간의 함수가 있을 수 있다.

추가로 어떤 형태의 운동 지정을 간단히 하기 위한 세개의 (시간종속)변수가 있다. 이들은 세 개의 “offset”벡터(RCX, RCY 그리고 RCZ)의 데카르트 성분이다. 이 성분들은 좌표 원점에서 회전이 기술되어야 하는 점까지의 벡터를 지정한다. 이는, 예를들면, “외력”을 겪지 않고 움직이는 물체의 회전을 기술하는데 유용한데 이 경우 질량 중심이 편리하게 “회전”점으로 간주될 수 있다.

유체가 겪는 국소적 ”관성”력의 평가는 아주 일반적인 세개의 서브루틴accxcl, accycl, 그리고 acczcl에 의해 되어진다. 일반적으로 이 루틴들은 사용자에 의한 수정이 필요하지 않다. 그러나 9개의 시간 종속변수들의 평가는 완전히 일반화될 수가 없다. 그러므로 이 평가는 하나의 서브루틴motion으로 분리 되어지며, 이는 필요시 사용자에 의해 수정될 수 있다. 또 다른 특별한 경우는 Coupled Rigid Body Dynamics 기술에서 논의되며 이 절에서는 더 이상 논의되지 않을 것이다.

See also: 또한 참조하라;

  • 비관성 기준계 표기
  • 비관성 기준계 모델을위한 강체역학 알고리즘
  • 비관성 기준계 운동 방정식
  • 비관성 기준계 강체역학
  • 비관성 기준계 응용예제: 원심주조
  • 중력
  • 비관성 기준계 의 충격운동
  • 비관성 기준계 운동
  • 표로 주어지는 부드러운 운동

Gravitational Force in Non-inertial Frames 비관성계내의 중력

많은 경우에 균일한 중력장내 기준계의 운동에 관심이 있을 수있다. 한 예는 해상의 유조선에서의 화물의 출렁임이다. 이런 해석을 용이하게 하기 위해 특정 “중력 벡터” 모델이 사용될 수 있다. 이 모델에서 사용자는 namelist MOTN에서 입력변수GRAVX, GRAVY, 그리고 GRAVZ를 통해 중력의 초기 성분들(데카르트 계산기준계에 상대적인)을 지정해야 한다. 이 때 루틴motion은 기준계가 회전할 때 유체 해석 알고리즘에서 요구되는 순간 성분들을 평가할 것이다. 기준계의 병진은 이 중력성분들에 영향이 없음을 주목한다.

Specifying Non-Inertial Reference Frame Motion비관성계 운동의 지정

어느계산에서 비관성 기준계모델을 이용하기 위해 우선 이 선택이 IACCF = 1을 지정하므로써 켜져야 한다. 이는 FLOW-3D가 MOTN namelist를 읽고 처리하여 계산시 적절한 시점에 motion, accxcl, accycl, 그리고 acczcl 서브루틴을 불러오게 한다.

기준계의 이동을 motion에 지정하기 위한 4가지의 선택이 있으므로 이들 중에서의 선택을 위해 새 입력 변수가MOTN에 추가되어 있다. 이 값들은 다음을 뜻한다:

IATYPE = 0 : x축에대한 단순 회전 또는 가속도 또는z축에대한 회전

IATYPE = 1 : 선형가속도와 각 속도/가속도의 조화진동

IATYPE = 2 :기준계 변수의 표를 통한 지정

다음 절은 이들 각각에 대해 상세히 기술한다.

Simple Rotation or Acceleration along the X-Axis  X축에 대한 단순회전및 가속도

이 선택은FLOW-3D의 이전 버젼에 호환성을 위해 주어진다. 같은 기준계운동이 원하면 다른 선택을 이용하여 이루어질 수 있다. 이 선택에 관련된 입력 변수들이다: RCX, RCY, RCZ, A0, OMG0, SPIN 그리고 RPS. 세가지 운동이 이 선택으로가능하고 원하면 결합될 수 있다:

데카르트 x축에 대한 가속도는 다음과 같다.

  (10.346)

상쇄좌표RCX, RCY 및 RCZ를통한 회전은 rad/초로 주어진다. x에평행한 축에대한 회전은 아래와 같이 주어지며,

  (10.347)

z에 평행한 축에대한 회전은 다음과 같다.

  (10.348)

Harmonic Oscillation 조화진동

이 선택은 선가속도와 각속도를 갖는 각 성분에 대한 독립적인 단순 조화함수을 이용을 가능케 한다. 이 선택으로 중력성분의 자동평가가 이루어질 수 있다. 이 선택에 관련된 입력변수들이다: RCX, RCY, RCZ, GRAVX, GRAVY, GRAVZ, TFREQX, TFREQY, TFREQZ, TMAGX, TMAGY, TMAGZ, TPHIX, TPHIY, TPHIZ, RFREQX, RFREQY, RFREQZ, RMAGX, RMAGY, RMAGZ, RPHIX, RPHIY 그리고 RPHIZ.

각 선형가속도의 성분은 다음과 같이 주어지며,

 (10.349)

여기서

  • f는 주기입력(TFREQX, 등등),
  • d는 변위입력(TMAGX, 등등),
  • φ는 위상각 입력(TPHIX 등)이다.

변위함수를 요구되는 선형 가속도로 변환하는 주파수의 제곱과 부호 변화에 주목하라. 각속도의 각성분은 다음으로 주어지며:

  (10.350)

  (10.351)

여기서 각속도에서와 같은 입력변수가 호환성을 확실히 위해 사용된다.

Tabular Specification 표를 통한 지정

계산시 서브루틴motion에 의해 읽혀질 데이터를 제공함으로써 6개의 기준계 변수에 대한 데이터를 표를 통해   지정할 수 있다. 기준계변수의 3개는 항상 선가속도의 데카르트 성분을 갖는다. 다른 3개의 변수는 각가속도(IATYPE = 2 or 4)의 성분이거나 각속도(IATYPE = 3 or 5)의 성분일 수 있다. 나머지 3개의 변수는 호환성을 맞추기 위해 적절히 수치 미분이나 적분을 이용하여 계산된다. 이 선택으로 중력성분은 자동적으로 평가된다.

관련 입력변수들이다: RCX, RCY, RCZ, GRAVX, GRAVY, GRAVZ, ACONV, 그리고 OMCONV.

IATYPE = 4 또는 5값은 충격 간격뿐만 아니라 순조롭게 변하는 가속도의 지정을 허용한다. 또한 같은 값은 원하면 특정한 시간에 사용될 시간 단계 크기를 지정하게끔 한다. IATYPE = 2 또는 3는 단지 순조롭게 변하는 운동만을 허용한다.

실행중 서브루틴motion 은 데이터 파일movin(이 파일의 이름은 사용자가 정의한다; 또한 이 위치로의 완전한 경로가 사용자에 의해 정의될 수 있다)으로부터 필요한 데이터를 읽으려고 할 것이다.

이 파일은 자유 포맷 구조를 갖는다. 처음 카드는motion에 의해 건너 뛰어야 할 줄의 수를 나타내는 정수를 가져야 한다. 이는 고유한 서식및 검사의 주석을 달게끔 해준다. 이 “두서(header)” 줄 뒤에 일련의 줄들이 있어야 한다. 각 줄은 특정 시간에서의 기준계 변수를 기술한다. 이 시간들은 엄격하게 증가하는 순서로 되어야 한다!

시간은 이 줄에서 첫 입력이어야 한다. 시간은 또한FLOW-3D내의 시간과 일치하여야 한다. 재시작 계산에서 시간은 0이아닌 선택된 값, TREST으로부터 시작한다. 다음 세 입력은 선형가속도의x-, y-, 그리고 z-성분이다.

이 줄에서의 다음 세 입력은 단위 시간당 radian인 각속도의 세x-, y-, 그리고 z성분 이다(IATYPE = 3 또는 5이면). 다음 세 입력은 단위시간 제곱당 radian인 각 가속도의 세x-, y-, 그리고 z성분이다(IATYPE = 2 또는 4이면).

 

IATYPE > 3의 경우에만 읽혀지는 다음 두 입력은 원하는 시간 단계 크기(이 값은 양수일 경우에만 사용된다)와 충격간격의 기간이다. 충격 간격 기간 변수는 순조로운 보간점들(양이아닌)과 충격구간 데이터(양수인) 사이를 구별한다.

서브루틴motion은 선형 가속도 값을 입력변수ACONV로 그리고 각의 변수들을OMCONV로 곱함으로써 입력파일 내의 데이터 단위를 전환할 것이다. 전환된 값은 솔버 요약 파일hd3out file에 인쇄된다. 값들은 이용 가능한 데이터 사이에서 보간된다. 맨 처음시간 값 전에 그리고 맨 마지막 시간값 후에는 일정한 값들이 사용되는데 이 경우 메시지는 데이터 파일값들이 외삽되고 있는 것을 보여주는hd3out에서 인쇄된다.

위에서 암시된대로, IATYPE > 3이면 충격및 순조롭게 변하는 가속도를 결합할 수 있다. 이는 어떤 카드 집단에서는 충격기간에 대해 양의 값 그리고 다른 카드 집단에서는 0 또는 음의 값을 지정함으로써 이루어진다. 서브루틴motion은 이런 종류의 데이터 파일을 우선 부드럽게 변하는 데이터 점의 변수들을 현재의 시간으로 보간하고 이 때 현재의 시간이 충격 안에 있다면 충격값을 추가한다. 이는 급격한 변화를 가지는 가속도를 가능케한다. 이는, 예를들면, 우주선에 탑재된 제어 시스템 작용에 대응하여 발생할 수 있다. 가속 충격에 마주치기 전에FLOW-3D가 시간단계 크기를 감소시킬 필요를 예상할 수 있도록 시간 단계크기 조절이 주어진다. 이는 또한 FLOW-3D가 선택된 시간 단계 크기가 충격 간격보다 크기 때문에 충격기간 동안에 뜻하지 않게 건너뛰는 것을 방지한다. 자동 시간단계 선택을 할 수 있게 되면 시간 단계크기는 충격 중에 큰값으로 회복되어 전체 계산 비용을 크게 감소시킨다.

Coupled Rigid Body Dynamics 결합 강체역학

비관성좌표계 운동에서 기술된 바와 같이FLOW-3D는 관성계에 대해 상대적으로 움직이는 좌표계에 탱크를 내장함으로써 탱크 내의 유체 유동을 탱크를 연구하는데 사용되어질 수 있다. 어떤 경우에는FLOW-3D가 탱크 내부 유체에 의해 작용하는 힘과 모멘트의 영향을 포함하는 결합된 방식으로 이 기준계의 운동을 또한 해석할 수 있다. 이는 “Coupled RigidBody Dynamics” 모델로 알려져 있고 이절에서 기술된다.

이모델의 기본 접근은 유체지역을 관성공간에서 움직일 수 있는 더 큰 강체의 부분으로 간주하는 것이다(Rigid Body Dynamics참조). 이 물체는 다양한 힘과 토크를 받으며 잘 알려진 방식에 따라 이들에 반응할 것이다. 계산망은 강체내에 내장되어 있으므로 이의 움직임은 강체의 움직임과 같다.

물체에 작용할 수있는 한 세트의 중요한 힘과 토크는 이에 인접한 유체의 움직임에 의해 형성된 것이다. 대여섯 가지의 다른 결합방식이 입력에 의해 선택될 수 있고 하기에 간단히 기술되어 있다.  많은 다양한 힘들이 물체에 또한 작용할 수 있다. FLOW-3D는 이 힘들을 세 가지 부류로 나눈다:

  • 환경적 힘과 토크
  • 힘과 토크 조절
  • 중력가속도에 의한 힘

처음 두 종류는 문제의 특정해석을 위해 프로그램될 수 있는 두 개의 서브루틴과 연결해줌으로써 처리된다. 환경과 조절 부류의 차이는 단지 편리상이며 임의로 해석자에 의해 결정될 수 있다. 점 중력체로부터의 중력의 효과는 좌표계와 물체의 상대운동의 효과를 포함하여 자동적으로 계산된다. 이 모델은 다른 것들 중에서도, 항공업계의 사용이 의도 되었으므로  중력의 방향과 크기는 계산을 통하여 조절된다.

어떤 경우들에서는 하나 이상의 유체 탱크가 강체의 운동에 영향을 줄 지도 모른다. 이런 탱크들은 다른 물성(밀도, 점도 등)을 지닌 유체를 포함할지도 모른다. 다중 탱크 모델이 이런 경우의 연구를 위해FLOW-3D에 포함되어 있다.

Input Data 입력데이터

결합된 강체역학 모델은XPUT namelist에서IACCF = 2로 함으로써 활성화 된다. 또한 강체의 건조질량 및 관성 모멘트를 지정하는 것이 필요하다; 이들은namelist RBDATA에서 주어진다. 다른 입력데이터는 물체의 초기위치, 방향 그리고 운동과 중력체의 변수들을 포함한다.

입력변수IRBACC는 사용될 결합 알고리즘과 선형및 각 가속도의 초기값이 계산되는 방식을 조절한다. 유체 반응력이 초기에는 알려져 있지 않으므로 가속도의 초기 평가가 필요하다. IRBACC는 처음 유체 시간 단계의 시작시에 해석자가 유체를 무시하거나 정지된 질량으로 취급하도록 하게 해준다.

일반적으로 결합모델의 사용은 조절및 환경의 힘과 토크의 지정루틴인, RBCTRL 과 RBENVR의 특수 버젼을 필요로 한다. 배포된FLOW-3D버젼은 다양한 입력변수를 받아 들이는 특수 목적의 조절 루틴을 포함한다. 이 표준 루틴에 3가지선택이 가능하다. 이들의 선택은 다음과 같이IATYPE를 지정함으로써 가능하다.. :

IATYPE = 0: 힘이나 토크가 없음

IATYPE = 1: 스프링과 감쇠 모델로부터 계산되는 조절력

IATYPE = 2:스프링과 감쇠모델로부터 계산되는 조절토크

IATYPE = 3: 조절력과 토크성분의 표 형태  지정

IATYPE = 1 나2에 대한 스프링과 감쇠 계수는namelist MOTN에서RADKRB, RDMPRB 또는 THEKRB, TDMPRB로 지정된다. IATYPE = 1에대해 또한REQRB (평형각은IATYPE = 2에 대해서는 항상 0이다)를 통해 평형 반경을 지정할 수 있다.

표형태 입력선택은 기준계운동의 표형태 지정과 유사하다. 계산시 서브루틴rbctrl에 의해 읽혀질 수 있는 데이터 파일을 제공함으로써6개의 조절력과 토크의 데카르트 성분들을 위한 표형태로 지정할 수 있다. 이 파일의 디폴트 이름은 thrust.inp이다.

전환 상수(ACONV 와 OMCONV)가 추력 데이터 파일과 함께 사용될 수 있다. 파일로부터 읽혀진 힘의 성분은RBCTRL에서 사용하기 위해ACONV에 의해 곱해지며 한편 토크성분은OMCONV에 의해 곱해진다.

이 파일은 자유 포맷 구조를 갖는다. 처음 카드는motion에 의해 건너 뛰어야 할 줄의 수를 나타내는 정수를 가져야 한다. 이는 고유한 서식및 검사의 주석을 달게끔 해준다. 이 “두서(header)” 줄 뒤에 일련의 줄들이 따라야 한다. 각 줄은 특정 시간에서의 힘과 토크성분을 기술한다. 이 시간들은 엄격하게 증가하는 순서로 되어야 한다!

 

시간은 이 줄에서 첫 입력이어야 한다. 시간은FLOW-3D내의 시간과 일치하여야 한다. 재시작 계산에서 시간은 0이 아닌 선택된 값, TREST으로부터 시작한다. 다음 세 입력은 조절력의 성분들이다(x, y,z순서로). 그 다음 세 입력은 같은 순서로 조절 토크의 성분들이다. 다음 입력은 원하는 시간 단계의 크기이다. 이 값은 단지 양수이면 사용된다. 마지막 입력은 이 행이 부드럽게 변하는 힘과 토크 변화에 대한 보간점으로 사용되는 지 또는 충격 운동 지정으로써 사용되는 지를 결정한다. IATYPE > 3 이면 이 입력은 항상 이 행의 마지막에 있어야 한다. 이 데이터 입력이 양수이면 이는 충격 기간을 표시한다. 그렇지 않으면 이 행은 부드럽게 변하는 함수상의 보간점으로 간주된다.

위에서 암시된대로, 충격및 순조롭게 변하는 가속도를 결합할 수 있다. 이는 어떤 행들에서 충격기간에 대해 양의 값들 그리고 다른 행들에서는 0 또는 음의 값들을 지정함으로써 이루어진다. rbctrl은 이런 종류의 데이터 파일을 우선 부드럽게 변하는 데이터 점의 변수들을 현재의 시간으로 보간하고 현재의 시간이 충격 안에 있다면 충격값을 추가한다. 이는 급격한 변화를 가지는 가속도를 허용한다. 이는, 예를들면, 우주선에 탑재된 제어 시스템 작용의 결과로 발생할 수 있다. 시간 단계크기 조절이FLOW-3D가 충격가속도가 발생하기 전에 시간단계 크기를 감소시킬 필요를 예상할 수 있도록 주어질수있다. 이는 또한 FLOW-3D가 선택된 시간 단계 크기가 충격 간격보다 크기때문에 충격기간을 뜻하지 않게 건너뛰는 것을 방지한다. 자동 시간단계 선택이 가능하게 되면 시간 단계크기는 충격 중에 큰 값으로 회복되어 전체 계산 비용을 크게 감소시킨다.

Explicit Solution Algorithm and Stability Limitations 외재적해석알고리즘및 안정성 한계

외재적 결합 해법은  (1) 기준계의 이동에대한 전단계 해를 이용하여 유체유동방정식을 해석하고, (2) 이에 따른 유체의 힘과 토크를 평가하며, (3)강체 운동방정식을 표현하기위해 조절및 환경 효과를 추가하고, 그리고 (4)새 가속 변수들, 질량중심 위치 그리고 강체 방향성(자세)에 대한 방정식들을 해석 함으로써 진행된다. 새 기준계 변수들이 유체 해를 위한 다음 사이클에서 이용된다. 이 결합의 외재적 형태는 유체의 질량모멘트나 관성모멘트가 강체의 것보다 크면 불안정해 진다고 알려져 있다. (이는 단지 개략적 관계식이다. 유체의 질량모멘트나 관성모멘트가 다소 클 경우에도 불안정성이 발생하지 않는 경우들도 있다. 반대인 경우도 있을 것이라고 여겨진다.)

Implicit Solution Algorithms 내재적 해석알고리즘

두가지 내재적 해석 알고리즘이 존재한다. 첫째(IRBACC = 2)는 유체질량이 단계4에서 고정된 것으로 간주되는 것을 제외하고는 외재적방식과 유사하다. 즉 유체 힘은 마치 유체가 계산망에 고정된 것같이 기준계 가속도에 반응한다.

이의 변경은 외재적 해의 안정에 대한 제약을 없앤다. 이 알고리즘의 정확도는 “고정”의 근사가 해에 적절한 정도에 달려있다.

 

이 방식에 대한 개선은 계산된 기준계운동을 마지막 사이클의 결과의 추정으로 간주하는 것이다. 이때 유체 해는 추정된 기준계운동을 이용하여 같은 사이클에 대해 반복된다. 새로운 유체의 힘은 기준계운동을 재평가하기 위해 환경및 조절력과 결합된다. 가속도의 수렴기준이 만족될 때까지 반복이 계속된다. 이는 반복적 내재적 알고리즘이다(IRBACC = 3). 또 이의 정확도는 “고정” 근사의 유효성에 달려있다.

입력변수및 출력변수의 완전한 기술을 포함한 결합된 강체역학 모델의 추가정보를 위해References [Sic92], [Sic95]를 참고하라.