여기서 고농축 입상유동이라는 명칭은 입상율의 체적율이 50% 또는 그 이상일 때를 뜻한다. 고농축시 강한 결합이 고체입자와 주변유체간에 작용하여 이 혼합물은 단일 혼합유체로 잘 근사될 수 있다. 이 혼합물은 이를 순수기체 지역과 분리시키는 자유 표면을 가지는 비압축성 유체로 간주된다. 두 물질의 속도 차이로 인한 혼합물 내의 2상 효과는 표류-플럭스 근사를 이용하여 고려된다.

두 종류의 입상 유동 모델이 있다. 하나는 고체 입자를 둘러싼 연속유체가 가스이며, 다른 하나는 연속유체가 액체이다(혼합물은 슬러리로도 불린다).

일반적으로, 혼합유체는 불균일 밀도를 가진다. 유체 혼합물의 밀도는 비압축성 가정 때문에 체적 혼합물 유동시에 변할 수 없다. 그러나 밀도변화는 표류-플럭스 모델에서 기술된 바와같이 혼합물 내에서 고체와 가스간의 상대유동 때문에 발달할 수 있다.

탄탄한 패킹은 입자들이 함께 압착될 때 밀려난 유체가 제거되어야한다. 기체/입상 혼합 모델에서 혼합체적의 손실은 혼합물 자유표면에서의 기체의 손실로 간주된다. 기체는 기체와입자의 상대운동으로 인해 자유표면상에서 주변공간으로 빠져 나갈 수있다. 모든 제거된 기체는 주위공간 지역으로 전달된다. 어느 경우던지 모든 제거된 기체는 주위 기포로 전달된다. 액체/입상 혼합 모델에서 고체물질을 다지면 자유표면을 가지는 순수액체 공간이 만들어진다.

이산 고체는 단지 밀도가 순수 고체보다 작은 지정된 패킹 한계까지만 쌓여질 수있다. 균일 크기의 좁은 패킹을 가지는 구형입자의 일반적 고상 체적율 값은 is fspk = 0.63이다. 표류-플럭스 모델에서 발생할 수 있는 최대 고상율을 선택할 수 가있다. 이 제한은 임계 체적율에 도달할 때 표류 속도를0으로 지정함으로써 적용된다. 이 처리는 고 체적율을 가지는 분산 물질 내 발생하는 입자간의 상호작용의 경험적 설명인 Richardson-Zaki상관식에 의한 표류 속도 제약과 유사하다.

고농도의 입상 물질내 전단응력은 분산된 고체를 운반하는 유체의 점성 전단응력 보다 훨씬 크다고 알려져있다. [Bag05] 의 1941년도 연구에서 시작하여 광범위한 양의 연구가 요약되어 있으며 [Mih99]에 의해 더 큰 실험범위로 확대되었다. 고농도상태에서 전단응력의 발생의 주요한 원인은 입상간의 충격력(즉, 충돌)이다. 두 번째, 그리고 일반적으로, 작은 부분이 유체에 영향을 주는 분산된 고체에 기인한다. Mih의 유효 동적점성 표현식([Mih99] 의 식 39로부터 변경된)은,

(91){\mu _{\rm{eff}}} = 7.8\mu \left( {\frac{{{\lambda ^2}}}{{1 + \lambda }}} \right) + {\rho _s}\left( {\frac{{0.015}}{{1 + 0.5\rho /{\rho _s}}}} \right)\left( {\frac{{1 + e}}{{{{\left( {1 - e} \right)}^{0.5}}}}} \right){\left( {\lambda d} \right)^2}\left| {\frac{{du}}{{dy}}} \right|

여기에서:

µ ρ 는 연속적 유체 점도 및 농도는,

ρs 는 모래농도

e 는 입상 충격과 관련된 반발계수,

d 는 입자 직경이며

λ 는 고상체적율 fs 로나누어진 최대 고상 체적율 fsmx = 0.63 의 함수이다.

(92)\lambda  = \frac{1}{{{{\left( {1.032{{f_s^{{\text{mx}}}} \mathord{\left/
{\vphantom {{{\text{f}}_{\text{s}}^{{\text{mx}}}} {{f_s}}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {{f_s}}}} \right)}^{1/3}} - 1}}

물리적으로, λ = d/S 이며 여기서 S 는 입상 중심들의 평균거리에서 입상 직경 d 를 뺀 값으로 정의된다. 입상이 접촉하면(즉, 패킹되면) S=0 이고 λ 는 무한대가 된다. 현재의 목적을 위해 단순 전단율 du/dy 는 변형율 eij 의 크기로 대체되고 모래에 대한 일반 반발계수 0.7은 타당한 일반값으로 가정된다. 이렇게 변경하면 식(10.91) 은 다음으로 축소된다.

(93){\mu _{\rm{eff}}} = 7.8\mu \left( {\frac{{{\lambda ^2}}}{{1 + \lambda }}} \right) + 0.066{\rho _s}{\left( {\lambda d} \right)^2}\left| {{e_{ij}}} \right|.

 

이 식은 ”shear thickening” 점도이다. 농밀화 특성은 saltation 이라고 불리는 과정인 입상 사이의 충격 영향으로부터 발생한다. 즉, 가라앉거나 느리게 움직이는 입상들의 층 위에서 빠르게 움직이는 입상들은 서로 부딪혀서 저속의 입상들을 위의 흐름으로 이동하게 하며 여기서 저속 입상들은 더 많은 충돌을 통해 흐름으로부터 모멘텀을 흡수한다.

충격 점도항(식(10.93)의 2번째항)은 일반적 대와류 모사법(LES) 점도 형태를 가진다. 식(10.93) 의 경험적으로 유도된 표현은 난류유동 조건을 포함하므로 입상유동 모델에 난류이송 모델을 사용하는 것은 불필요하다(아마 일치하지 않을 것임).

유체/입상 혼합물의 2상 유동을 모델링하는 중요한 요소는 모래가 적용된 압력이나 체적력을 받을 때 패킹되고 운동에 저항하기위한 한 방편을 갖는 것이다. 이 목적을 위해 발포되는 모래의 관찰에 기반한 유동저항 모델이 이용된다. 입상물질이 각 개의 입상물질이 서로 접촉하기 시작하는 밀도로 패킹되면 혼합물이 유동하기에 더 어려워진다. 이런 상태를 일종의 기계적 방해라고 하며 전형적인 체적율 fsjam = 0.61를 가진다. 고체의 패킹에 해당하는 아직 더 높은 고상밀도에서 입상은 이웃 입상들과 접촉하며 유동이 불가능할 것이다.

Bagnold 에 의하면 바닥에 가라앉고 패킹된 입상들은 단지 모래유동이 한계값 uthrs 보다 큰 속도를 가질 때 바닥에서 벗어나거나 모래 유동 내로 포함된다. 중력 g 와 입상 직경 d 를 포함하는 경험적 연구와 한 근사 이론에 의해 한계속도는

(94){u_{\rm{thrs}}} = 1.41{C_{\rm{drg}}}\sqrt {d\left| \textbf {g} \right|{{\left( {{\rho _s} - {\rho _a}} \right)}/{{\rho _a}}}}

여기서Cdrg는 1이다. 이식에서 Cdrg 의 포함은 아마 추후에 입상간의 간섭효과를 고려하는 한계 속도 조정을위해서 일 것이다.

유체를 포함하는 망 요소 내의 패킹 저항은 요소내 유체속도가 이 한계속도 보다 크거나 고상물체의 체적율이 기계적인 방해에 대한 필요보다 작으면 0이라고 가정된다. 이 저항값보다 큰 체적율 및 한계값보다 작은 속도에 대해 유동저항은 다음과 같이 주어지는 음의 가속도로 유체 모멘텀방정식의 우편에 추가되며,

(95)- {S_{\rm{drg}}}\sqrt {\frac{{\left| g \right|}}{{\,4d}}} \left( {\frac{{{u_{\rm{thrs}}} - \left| {\vec u} \right|}}{{{u_{\rm{thrs}}}}}} \right)\left( {\frac{{{f_s} - f_s^{\rm{jam}}}}{{f_s^{\rm{mx}} - f_s^{\rm{jam}}}}} \right)\vec u

 

여기서 Sdrg 는 차수가 1인 무차원 계수이다. 이 저항은 한계속도를 초과하는 유동속도 및 또한 모래의 체적율에 비례한다.

고상물질의 체적율이 약0.99fspk 의 값에 도달하거나 초과하면 유동속도는 0으로 되고 물질은 완전히 패킹됬다고 간주된다. 이의 예외가 내부로 향하는 표면법선과 체적력(즉, 중력 같은)의 방향간의 각도로 정의된 안식각보다 큰 구배를 가지는 표면요소에 적용된다. 이런요소는 유동저항이 없다.

입상 유동에 대해 현재의 모델에 더 현실성을 주는 안식각 및 근사 패킹한계의 예외가 있다 한 예외는 안식각보다 약 2도정도 큰 값의 이동각을 포함하는 것이다. 표면이 패킹되고 안정화 되있을 때 표면구배가 이동각보다 클 때까지 유동하지 못하나 구배가 안식각보다 큰 동안에 한해서 계속 유동할 것이다. 이동각은 유동이 발생하기 전에 극복되어야 할 일종의 정지 마찰력 같이 거동한다. 유사한 “정지마찰” 개념이 이전에 패킹된 지역을 굳지않게 하기 위한 혼합유체의 내부에 이용된다.

고체 벽경계에서 입상물질이 경계로부터 분리(표류)될 수 있어 고상 체적율이 50% 보다 작아질 수 있다. 이런 가스/입상 혼합물의 경우 특수한 취급이 필요하다. 이 경우 초기에 자유표면이 없어서 일종의 “공동” 과정을 통해 생성되어야 한다. 50% 보다 작은 고상율이 자유표면으로 인식되지 않은 지역에서 발생하면 그 격자요소 위치의 압력이 외부의 가스압으로 완화되고 이 격자요소는 압력이 정의되고 비압축성이 적용되지 않는 특수요소로 표식된다. 이로써 요소는 열려서 새로운 순수가스 지역이 된다.

최대 패킹 체적율 fspk = 0.63 은 변할 수 있는 입력변수이다. 변경이 되면 fspk = 0.63에서도 그랫듯이 마찬가지로 상응하는 고상율 fsjam fsmx 가 자동적으로 변경된 fspk 와 같은 비례값을 가지도록 조절된다.

여기서 기술된 입상모델은 패킹된 고체 내를 통하는 유체의 자세한 유동을 다루지 않는 것 같은 약간의 제약이 따른다. 그럼에도 불구하고 많은 실제 양상에 유용한 결과를 보여준다. 예를들면, 금속 주조시 모래코어 제조에 적용할 때 정성적으로 실험 데이터와 잘 일치하고 있다.

Sand Core Blowing Model 모래코어 발포모델

금속주조 응용을 위한 모래 코어의 생성은 일반적으로 원하는 코어의 형태의 공동을 가지는 상자로 모래/공기의 혼합물을 불어넣어 만들어진다. 코어 전체 체적으로 균일하게 모래충진을 하기 위해 보통 다수의 공기 배출구가 상자 내에 주어진다. 이 배출구들은 많은 경우에 모래입자들 위에 입혀진 점결제의 열 또는 화학적 경화를 효과적으로 하기 위해 공기나 촉매가스가 모래 내로 유입되도록 해준다.

모래코어 모델은 특정하게 정의된 공기 배출구가 보충된 입상유동 모델의 응용이다. 이 모델의 출력은 공기 배출구의 위치 및 크기를 고려한 코어 상자 내의 충진 형상의 이력을 포함할 뿐만 아니라 완성된 코어 내에 존재할지도 모르는 밀도변화의 정보도 제공한다.

기본유동 모델의 상세내용은 High Concentration Granular Media Model 의 기술에서 찾을 수 있다. 모래코어 발포에 필요한 배출구에는 두 가지 형태가 있다; 다이 내부의 공기 포켓들과 다이 외부의 공기를 직접 교환하는 정규 배출구와 또 하나는 모래 내의 포켓으로부터 모래에 의해 덮혀진 출구로 가는 간접적 공기 유동의 결과인 출구가 그것이다. 후자의 배출구는 “일반적 배출”이라고 불린다.

정규 배출구는 둘 다 계산 격자내 순수 가스지역(기포)과 격자외부의 압력 지역간의 가스를 교환하는 기능을 가진면에서 밸브와 유사하다. 배출구는 위치, 유동면적 A, 외부압력 Pext 그리고 손실계수 Vc. 에 의해 특성화 된다. 순수가스 지역이 배출구를 둘러싸면 압력차이에 따라 가스를 얻거나 잃을 것이다. 배출구를 통한 체적유량 Qv, 은 다음과 같이 정의된다.

(96)Q_v = V_c \cdot A \cdot \sqrt {\frac{{2\left( p - P_{\rm{ext}} \right)}}{\rho }}

제곱근인자는 압력강하로 인해 배출구를 통과하는 유동속도에 대한 Bernoulli 근사이다. 변수 p ρ 는 출구에 인접한 가스의 압력과 밀도이다. 이는 간단히

(97)Q_v = V_{c2} \cdot \sqrt {p - P_{\rm{ext}}}

로 표현되고

여기서 배출구 계수, 배출구 면적, 제곱근 표시 안에 있는 인수 2 그리고 가스밀도 모두 배출구 계수 Vc2안에 결합되어 있다.

전형적인 모래코어 발포 응용에서, 모래 막은 뚜렷한 모서리를 갖는 틈이나 구멍 같은 출구를 가지는 배출구 채널상에 놓여진다. 이런 출구를 통한 유동손실에 대한 합리적 추정은 이다. 이와 같이 배출구 계수는

(98)V_{c2} = A \sqrt {\frac{1}{{2\rho }}}

로 주어지며

여기서A는 배출구(즉, 막)의 실제 개방된 유동 면적이다.

임의의 수의 배출구가 정의될 수 있다. 배출구 위치를 포함하는 계산 격자 셀 안에서의 혼합 유체분율이0.5보다 크면 배출구는 유체에 의해 막혀있고 더 이상 배출구를 통한 가스유동이 없다고 가정된다.

모래코어 발포에서는 심지어 패킹된 모래에서도 가스의 유동이 있다. 코어 상자 안에 배출구가 있거나 상관 없이 상자 내의 모든 공기기포가 배출되도록 해주는 이러한 가스유동의 단순한 표현은 일반 배출구라고 불리어진다. 일반 배출구는 이 배출구의 외부압력 Pg 가 모든 정규 외부압력의 평균이고 일반배출구 계수 Vg 는 모든 정규 Vc2 값의 이라는 것을 제외하고 각기 배출구로서의 같은 공식을 갖는다. 추가로 일반배출구의 유동계수는 모래 통과시의 평균 유동 손실에 더해진 모래에 의한 막힘으로 인한 배출구 면적의 감소를 나타내는 인수 Vg 로 곱해진다.

단순한 추정을 일반배출 계수 승수 Vg 에 대해서 할 수 있다. 표준 배출구에서 배출구를 통과하는 유동속도는 유동손실 인자와 함께 Bernoulli 근사를 사용하여 추정된다. 일반 배출구에 대해 공기는 실제 배출구를 통해 빠져나가기 전에 다공성 모래를 통과하여야 한다. 모래의 투과성은 수직 배출구에대한 Bernoulli 표현과 직접 비교를 가능케한다는 가정인 형상 손실이 주를 이룬다. 이 가정하에 배출구로 모래를 통과하는공기속도는 다음식에 의해 표현된다,

(99)\left| u \right| = {\left( {\frac{{d{\left( {1 - f_s^{\rm{pk}}} \right)}^2}}{6f_s^{\rm{pk}}L}} \right)^{1/2}}\sqrt {\frac{2\left( {p - P_g} \right)}{\rho}}

이 표현에서 p 는 다이 내의 공기압력이고, Pg 는 외부압력, ρ 는 공기밀도, d 는 모래입자의 직경은 공기 주머니와 배출구간의 평균거리 그리고 fspk 는 완전히 패킹된 모래의 체적율이다. 패킹된 고상율을 포함하는 인자들은 모래 내의 다공도를 고려한다. 단위 시간당 이 일반 배출구를 통과하는 공기의 체적Q는 수직 배출구의 수 Nv 와 모래에 의한 막힘으로 줄어든 배출구 면적 Av 와 상기 속도를 곱한 값이다.

(100)Q = N_v{A_v\left( {1 - f_s^{\rm{pk}}} \right)\left| u \right|}

이 비율을 수직 배출율과 비교하면 식. (10.97) 와 (10.98)는 수직배출 손실계수들의 합계를 곱해야 하는 모래를 통과하는 유동과 관련된 유효 추가 손실계수를 나타낸다.

(101)V_g = {\left( {\frac{{2{{\left( {1 - f_s^{\rm{pk}}} \right)}^4}}}{{3f_s^{\rm{pk}}}}} \right)^{1/2}}{\left( {\frac{d}{L}} \right)^{1/2}}

최대 모래패킹율인 fspk = 0.63, 통상 입상 직경인 0.02 cm 그리고 L = 1.0 cm 의 추정치에 대해 이 표현은 Vg = 0.02값을 준다. 이 값은 계산적으로 합리적인 결과를 주는것으로 알려져 있다.

Slurry Model 슬러리모델

 

고상입자와 액체의 혼합물은 가끔 슬러리라고 불려진다. 슬러리들은 제조과정에서 많이 볼 수 있고 자연적으로는 폭우에 따른 산의 협곡에서의 석편류에서 나타날 수있다. 슬러리에서의 중요한 양상은 (운반체인 유체와 고체간의 밀도차이가 상대적으로 작기 때문에) 서로 부딪혀 분리되는 전단 유동내의 입자들의 많은 충돌에 의해 발생하는 분산 압력이다. 충분히 큰 전단응력 하에서 분산압력은 입자들이 침전하고 패킹되는 것을 방지한다. 마찰 각 Θfriction 은 입자충돌시 발생하는 접선과 법선응력을 연결시켜 준다. 일반적으로 이 각도는 안식각 보다 2~8도 큰 정도이다. 더 큰 마찰각은 분산압력을 감소시킨다.

[Bag05] 는 모래와 공기의 유동과 관련하여 분산압력의 개념을 소개했다. 높은 고상밀도에서 고체/액체 혼합물의 주 점도 메커니즘은 입자간의 충돌에 의한 것이며 전단유동 내 접선 모멘텀의 전달에 매우 효과적이다. 그러나 입자가 충돌할 때 서로 반발하고 접선 방향 모멘텀 교환에 추가로 전단에 수직한 방향으로 서로로부터 멀어져간다. 또한 입자가 그들 사이에서 멀리 떨어져 나가고 큰 공간을 만드는 경향이 전단유동의 초기에 발생할 때 Reynolds팽창이라고 불려진다. Bagnold 는 일반적으로 충돌에 의해 생성된 전단응력은 항상 상응하는 수직응력을가지는 것을 인식했고 이는 고상입자들을 흩어지게 하는 경향이 있으므로 분산 압력이라고 불렀다. 이 둘 사이의 관계는 간단히

(102){\tau} = {tan(\Theta_{friction})P_{dispersive}}

로 나타나는데 여기서 τ 는 접선 충돌응력, Pdispersive 는 상응하는 분산압력 또는 수직응력이다. 마찰각 Θfriction 는 충돌하는 입자간에 작용하는 마찰응력과 관련된 입상물질의 물성치이다. 이 각도는 입상이 가스보다 액체에 의해 둘러싸여 있을 때 추가된 점도 유체의 영향때문에 더 크다.