Kr 는 유효 포화 Se (위에 정의) 와 무차원변수 B (항력계수B) 의 함수로 정의된다.

여기서

a b 는 실험적 데이터에 의해 정의되는 계수이다.

ubulk 는 겉보기 속도(즉, 매질을 통한 유체의 체적유속)이다.

p 는 다공 매질 내 공간에서의 압력구배이다.

선형(Darcian) 과 2차 (non-Darcian ) 유동손실방정식은 Fd 에대해 하나의 식으로 결합되어있다.

Darcy의 초기관측은 다공 Reynolds 수 ReP 가1보다 작을 때 유효하고 보통 10까지 상당히 정확하며 2차항을 추가함으로써 매질 내 유체속도가 ReP >10 을 능가하는 매질 내 유체속도에 대해서도 더 나은 정확성을 얻을 수 있다. 2차항은 Forchheimer Saturated Drag Model 에 관한 다음절에서 논의된다. Darcian 모델에 대해 식 (11.10) 의 FdMeshing & Geometry Geometry Component Properties Porous Properties 에서 Drag Coefficient A 로써 직접 지정된다.

여기서

ubulk 는 겉보기 속도(즉,매질을 통한 유체의 체적유속)이다.

K 는 고유 투수성이다.

µ 는 동점성이다.

p 는 다공 매질 내의 압력구배이다.

투수성 K 는 항력계수 Fd 의 항으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서

ρ 는 유체밀도

dpore 는 다공매체 내 평균다공 throat 직경

φ 는 매질의 유효 다공도이며 다공도의 입력값과 같다: OPOR 또는 OPORX, OPORY, OPORZ 중의 최대

여기서 ∆t 는 현재의 계산사이클에서의 시간간격 크기이다. 이 값은 항상 0(무한한 항력-유동이 없음)과 1(무항력-무한한 투수성)사이 이다. 이 양은 출력에서 1 − DRG 로 그려지고 normalized drag coefficient 라고 불린다.

 

미시적 속도 umicroscopic 는 매체를 교란시키지 않고 입자와 유동 궤적 사이의 속도를 정확히 측정하는 것이 어려우므로 실험에서는 직접적으로 거의 측정되지 않는다. 대신에 거시적(체적)속도가 단위매체를 지나는 통과시간 또는 매체 내/외부로의 유동량으로 측정된다. 포화 거시 및 미시적 속도는 이론적으로 방정식을 통한 매체 유효 다공도와 연관되어 있다.

Porous Media 다공질

다공 요소 생성

다공요소는 두 가지 동등한 두 개의 방법으로 Model Setup → Meshing and Geometry 탭에서 지정될 수 있다.

새 요소를 형상에 추가할 때 Add Component 에서 또는 Geometry Component Type 트리에서 Component Type 으로써 가능하다.

First of two Ways of Adding a Porous Component

Second of two Ways of Adding a Porous Component

다공요소물성

일단 Component TypePorous 로 지정되면 요소 가지 Meshing & Geometry Geometry Component Properties Porous Properties 에 있는 매개변수들은 활성화 된다(항력계수는 단지 다공항력 모델이 Physics tab Porous media 대화창에서 선택되면 활성화 된다).

다공: 전체 체적(체적다공)에 대한 빈공간 체적 비율이다. 다공값은 양의 수 이어야 하며 그렇지 않으면 고체로 간주된다. 다공값0은 고체(닫힌)형상이며 값1은 빈(열린)형상을 뜻한다. 디폴트값은 0.5이다. 공간적으로 다공값이 다른 복잡한 지역을 정의하기 위해 다수의 다공요소를 사용한다. 다공은 무차원(전체체적당 공간체적)이고 시간에 따라 변하지 않는다.

X-, Y-, 및 Z-방향 다공: 체적다공성은 관다발에서와 같이 선호되는 유동방향을 따르는 비등방성 물질의 모사를 고려하기 위해 각 좌표방향으로 각기 지정될 수 있다. 방향다공의 단위는 전체면적당 막힌 면적이다(무차원). 체적다공성은 이 세 개의 값 중에서 가장 큰 값이다.

모세관 압력: 매체내의 유동에 대한 평균적인 일정한 추가 저항 또는 증강을 일으키는 모세(표면장력)관 효과에 의한 함수이다 . 모세관압력은 압력(힘/면적, 질량/길이/시간 2)단위를 갖는다. 다른 모세관 압력 모델에 대한 상세내용은 하기 Porous Media Physics Models 에서 주어진다.

지정표면적: 매체단위 부피당 전체 표면적. 이는 단지 열전달에만 이용되며 디폴트 값은 1이다. 단위는 면적/체적(길이-1).

Darcian / Non-Darcian 투과성: 다공질의 선형과 비선형투과성. Permeability dependent saturated drag (IDRG = 2) 모델이 Model Setup Physics Porous Media 대화창에서 선정될 때 이용된다.

항력계수 A / B: 매체 내 유체가 겪는 저항의 크기를 기술하는 계수들. 이 매개변수들의 값과 단위는 선택된 항력모델에 달려 있다(예를 들면, Forchheimer saturated drag).

최소 포화: 배수되지 않는 다공 체적율. 보통 모세관 표면장력의 효과의 함수이다. 디폴트는0이고 무차원이다.

최대 포화: 충진 가능한 최대 다공율. 고체에 의해 완전히 막혀있던가 또는 기포에 의해 갇혀 있어서 유체로 채워질 수 없는 지역이 있을 때 1보다 작다. 디폴트는0이고 무차원이다.

불포화 항력함수: 불포화 매체에 대한 항력(즉, 침투성)관계를 선정한다. 선택은 하기 Porous Media Physics Models 에서 자세히 기술되어 있다.

불포화 압력곡선: 완전 습윤과 배수 이력 현상 관계가 사용되는지 또는 단순 습윤 및 배수곡선이 사용되는지를 선택한다.

최대 모세관 압에서의 단순포화: 단순 모세관압 모델이 사용될 때 이항은 일정한 절대 포화(무차원)를 기술하며 이 값 밑에서 모세관압 크기가 최대이며 상수이다.

단순화된 최대 모세관압: 단순화된 최대 모세관압을 사용할 때 절대포화에 상응하는 모세관압. 단위(힘/면적,질량/길이/시간2)

압력곡선 Fitting 계수: 파워법칙이나 지수 항력모델을 사용할 때 불포화 매체에서의 압력,항력 및 모세관압 간의 관계식을 기술하는데 이용되는 무차원 지수

습윤 및 배수곡선변수: Van Genuchten 모세관압 효과모델에 사용되는 습윤 및 배수 곡선 변수

User-Defined Component Porous Properties

 

다공매체의 물리모델

FLOW-3D 에서 다공요소의 모델링은 3가지 주요 선택을 필요로 한다.

  1. 유동형태(포화 또는 불포화)
  2. 항력모델(Porous Media Drag Models 참조)

모세관 압력모델( Capillary Pressure Models 참조)

Selecting a Physics Model to Describe Flow in Porous Media

유동형상- saturated 또는 unsaturated – 는 Porous Media Drag Models 의 선택을 통해 Model Setup Physics Porous Media 의 대화에서 지정된다. 특정 설정 들은 요소물성에서 지정되지만 모세관 압력 모델 또한 여기서 선택된다.

No drag 의 선정은 모세관압을 갖는 다공매체에서 항력은 없지만 뚜렷한 경계면을 가진다- 즉 기본적으로 유체가 다공질을 통과할 때(질량보존에 의해) 가속하게 되지만 추가항력은 계산되지 않는다.

Saturated drag 모델에 대해 상수의 균일한 Capillary Pressure 가 각 요소에 지정될 수 있다. 이는 단지 one-fluid, free-surface 모사에만 해당한다. 모세관 압력은 다공 내 유체와 가스의 경계면의 높은 곡률에 의해 다공질 내 발생하는 압력이다. 유체에 젖는 매체(즉 접촉각이 90보다 작은)는 양의 모세관압을 가지며 젖지 않는 매체는 음의 모세관압을 갖는다. 모세관압의 크기는 습윤(또는 비습윤)의 거동의 크기 및 다공의 형상에 비례한다.

Unsaturated flow 모델에서는 모세관압은 다공매체전체에서 그리고 지역의 포화상태에 따라 변한다. 낮은 포화상태를 갖는 지역(즉, 액체 양이 작은)은 경계면 곡률이 크므로 더 큰 모세관압을 갖는다. 최대포화에 도달하면 경계면이 없으므로 모세관압은 0이 된다. the Porous Media Drag Models Capillary Pressure Models 에 대한 각 방법 및 다른 선택은 하기에 보여진다.

Surface Tension 물리모델에서 계산된 표면장력압력은 다공매체 내에서는 무시된다. 그러나 Surface Tension 압력은 다공매체 외부에서는 유체에 작용한다(그리고 계산된다)(Model Reference -> Surface Tension 을 보라).

Porous Media Drag Models

FLOW-3D 에는 다공매체를 위한 6개의 다른 항력모델이 있다.

Porous Media Drag Models

There are six different drag models for porous media in FLOW-3D :

처음3가지 모델은 포화 유동을 위한 것이며 Model Setup Physics 탭의 Porous media 대화창에서 활성화되고 모든 다공요소에 적용된다. 나머지3개의 항력모델은 포화 다공매질을 위한 것이며 Component Properties 에서 각 요소당 지정된다. 이를 위해서는 Porous media 대화의 항력모델이 Unsaturated flow 로 지정되어야 한다.

FLOW-3D 에서 다공매체 내의 유동에 의한 저항은 Navier-Stokes 방정식에서 속도에 비례하는 항력의 항으로 나타난다.

(6){\mathbf{b}}{\text{ }} = {\text{ }}{F_d}{\mathbf{u}_{\text{microscopic}}}

여기서 항력계수 Fd 는 of [1/시간] 의 단위를 갖는다. 항력 항 (Fdumicroscopic) 은 모멘텀 균형의 우측항에 더해진다(Momentum Equations 참조 ). 여기서 umicroscopic 는 거시적 유동속도이며 후처리에서도 또한 볼 수 있다. 항력 Fd 는 각 시간 단계마다 각 셀 내에서 계산이 되고 ∆t (시간간격크기)를 이용하여 무차원 양 DRG 로 변환된다:

\text{DRG} = \frac{1}{{1 + {F_d}\Delta t}}

여기서 ∆t 는 현재의 계산사이클에서의 시간간격 크기이다. 이 값은 항상 0(무한한 항력-유동이 없음)과 1(무항력-무한한 투수성)사이 이다. 이 양은 출력에서 1 − DRG 로 그려지고 normalized drag coefficient 라고 불린다.

미시적 속도 umicroscopic 는 매체를 교란시키지 않고 입자와 유동 궤적 사이의 속도를 정확히 측정하는 것이 어려우므로 실험에서는 직접적으로 거의 측정되지 않는다. 대신에 거시적(체적)속도가 단위매체를 지나는 통과시간 또는 매체 내/외부로의 유동량으로 측정된다. 포화 거시 및 미시적 속도는 이론적으로 방정식을 통한 매체 유효 다공도와 연관되어 있다.

(7)\mathbf{u}_{\text{microscopic}} = \frac{ \mathbf{u}_{\text{bulk}} }{\phi}

포화유동항력 모델에서 이는 다공 Reynolds numbers 의 제한된 범위 내에서 유효하며 이의 정의는

Re_P = \frac{\rho \left| {\mathbf{u}_{\text{microscopic}}} \right| {d_{\text{pore}}}}{\mu } \approx \frac{\rho \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right| {d_{\text{pore}}}} {\phi \mu }

여기서

ρ 는 유체밀도

dpore 는 다공매체 내 평균다공 throat 직경

φ 는 매질의 유효 다공도이며 다공도의 입력값과 같다: OPOR 또는 OPORX, OPORY, OPORZ 중의 최대

 

Darcian 포화항력모델

Darcian 포화항력의 기본은 Henry Darcy 방정식이며 이는 다공매체를 통한 한 방향의 유동량은 적용된 압력 차이에1차적으로 비례한다는 것이다.:

(8)\mathbf{u}_{\text{bulk}} = - \frac{K}{\mu } \nabla p

여기서

ubulk 는 겉보기 속도(즉,매질을 통한 유체의 체적유속)이다.

K 는 고유 투수성이다.

µ 는 동점성이다.

p 는 다공 매질 내의 압력구배이다.

투수성 K 는 항력계수 Fd 의 항으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(9)K = \frac{{\phi \mu }}{{\rho {F_d}}} \Longrightarrow F_d = \frac{{\phi \mu }}{{\rho K}}

식 (11.8) 과 (11.7) 을 결합하여 다음과 같다.

(10){F_d} \cdot \mathbf{u}_{\text{microscopic}}= - \frac{1}{\rho} \nabla p

Darcy의 초기관측은 다공 Reynolds 수 ReP 가1보다 작을 때 유효하고 보통 10까지 상당히 정확하며 2차항을 추가함으로써 매질 내 유체속도가 ReP >10 을 능가하는 매질 내 유체속도에 대해서도 더 나은 정확성을 얻을 수 있다. 2차항은 Forchheimer Saturated Drag Model 에 관한 다음절에서 논의된다. Darcian 모델에 대해 식 (11.10) 의 FdMeshing & Geometry Geometry Component Properties Porous Properties 에서 Drag Coefficient A 로써 직접 지정된다.

Forchheimer 포화항력모델

Forchheimer 식은 다공 매체내의 손실을 (선형) 점성 및 형상(2차)항력항의 조합으로 기술한다. 형상항력은 다공 Reynolds 수(ReP ) 가 10보다커질 때 중요하게 된다. Forchheimer 식에서 압력 저하는 다음과 같이 주어진다.

(11)- \nabla p = \left( a + b \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right| \right) \mathbf{u}_{\text{bulk}}

여기서

a b 는 실험적 데이터에 의해 정의되는 계수이다.

ubulk 는 겉보기 속도(즉, 매질을 통한 유체의 체적유속)이다.

p 는 다공 매질 내 공간에서의 압력구배이다.

선형(Darcian) 과 2차 (non-Darcian ) 유동손실방정식은 Fd 에대해 하나의 식으로 결합되어있다.

F_d \mathbf{u}_{\text{microscopic}} = - \frac{1}{\rho} \nabla p = \frac{\mu }{\rho }\frac{1 - {\phi}}{\phi}\left[ {A \frac{{1 - \phi}}{\phi} + B \frac{{Re_p}}{d_{\text{pore}}} } \right] \mathbf{u}_{\text{microscopic}}

압력손실 식(11.11)과 결합하여 체적속도의 함수로써 단위 길이당 압력손실의 1차 및 2차 효과를 나타낸다.

(12)- \nabla p = A \cdot \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right| \mu \frac{(1 - \phi )^2}{\phi^3 } + B \cdot \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right|^2 \rho \frac{(1 - \phi)}{\phi^3}

AB는 실험적으로 결정되는 계수 ab 에 관련되어 있다.

(13)A = a \frac{\phi^3}{\mu (1 - \phi)^2} {\text , } \quad B = b \frac{\phi^3}{\rho (1 - \phi)}

식 (11.13) 은 압력손실 실험 데이터의 곡선맞춤에 이용되는데 AB는 매질 고유의 손실 계수이다.

실험데이터가 없으면 이들은 추정된다

A = \frac{\alpha }{d_{\text{fiber}}^2} {\text , } \quad B = \frac{\beta }{d_{\text{fiber}}}

여기서

α 는상수이며 보통 180정도이다.

β 는 보통1.8과4.0사이의 조도인자(부드러운 것부터 거친 섬유 조직) 이고

dfiber 는 섬유조직, 수지상 조직 또는 다공매체의 입자들의 평균 등가 구경이다. 무작위로 쌓여진 구들에 대해서는 Ergun 식은 α = 150 와 β = 1.75를 사용한다. 실험데이터가 있으면 이를 이용한 계수들은 더 나은 정확도를 준다.

 

Permeability Dependent Saturated Drag 투수성 의존 포화항력

 

투수성에 의존하는 포화항력모델은 Drag Coefficient A Drag Coefficient B 대신에 입력으로 다공 매질 투수성을 갖는 Forchheimer Saturated Drag Model 일뿐이다. 이는 다공 매질 투수성이 알려지면 포화 유동 다공 모델을 정의하는 편리한 방법이다.

Forchheimer의 압력강하 식 (11.11) 에서 계수 a b 는 다음과 같이 다공 매질 투수성과 관련되어 있다

a=\frac{\mu }{K} {\text , } \quad b=\frac{\rho }{K_2}

여기서

µ 는 점성이고

ρ 는 밀도이고

K 는 Darcian 투수성이며

K2는 non-Darcian 또는 관성 투수성이다.

Eq. (11.13) 식과 결합하여 항력계수 A B 는 Darcian 투수성 K 와 non-Darcian 투수성 K2 로 다음에 의해 연결된다.

A = \frac{\phi^3}{(1 - \phi)^2 K} {\text , } \quad B = \frac{\phi^3}{(1 - \phi) K_2}

non-Darcian 투수성 K2 가 주어지지 않으면 Drag Coefficient B 는 0으로 지정되고 항력 모델은 Darcian Saturated Drag Model 로된다.

 

Saturated Drag Losses in the Shallow Water Model 천해 모델에서의 포화항력손실

천해모델은 정수압을 가정하는2차원단순화이다. 주위를 요하며 다공매질과 함께 이용될 수 있다. 상세 내용은 Combining Porous Media and the Shallow Water Model 절에서 주어진다.

 

Unsaturated Drag Losses in Porous Components 다공요소내의 불포화 항력손실

불포화 다공요소내의 항력손실은 모세관압 효과와 같이 주로 포화의 함수일뿐만 아니라, 다공크기 같은 매질의 내재적 특성, 비틀림 그리고 미세형상의 함수이다. 불포화항력 모델은 Unsaturated Flow Model Setup Physics Porous Media 대화에서 선택될 때 각 요소에 대해 선택될 수 있다. 항력모델을 선택하기 위해 Model Setup Meshing & Geometry Component Porous Properties 트리에서 Power Law (IODFIT = 1), Exponential (IODFIT = 2), 또는 Mualem (IODFIT = 3)로 정한다. 이 모델들은 하기에서 기술된다.

 Power Law Unsaturated Drag Model 멱법칙 불포화 항력모델

가장 단순한 불포화 항력모델은 항력계수 Fd (상기 기술) 를 일정상수로 그리고 포화의 멱볍칙을 Drag Coefficient B 로 연결한다.

{F_d} = A \cdot S_e^{ - B}

  • 여기서Se 는 다공질(상기 기술)의 유효포화B 는 경험적으로 결정되는 변수 Drag Coefficient B 이고 포화관계를 기술하며 B = 3.0 는 이론적으로 균일한 공 크기를 갖는 밀집층을 나타내는 것으로 보여질 수 있다.

    ADrag Coefficient A 이고 매질이 충분히 포화되었을 때(시간의 역수단위) 항력을 기술하며 경험적으로 다음과 같이 추정될 수 있다.

A = \frac{{\alpha \mu {{\left( {1 - \phi} \right)}^2}}}{{\rho \phi^2 d_{particle}^2}}

여기서

α 는 일반적으로 180정도의 값을 갖는 상수(무작위로 충전된 구에 대한 Ergun 식에 대해서는 150이 맞다)이며

φ 는 다공매질의 다공도이다.

항력의 관계는 또한 모세관압과 같은 이력현상을 따른다는 증거가 있다.; 이런 단순화된 멱법칙 모델에서 (자기) 이력현상 효과의 불확실성은 무시된다.

 

Exponential Unsaturated Drag Model 지수불포화모델

멱법칙보다 더 물리적인 기술을 하는 지수법칙모델은 항력계수 Fd 와 셀 유체분율 F 사이에 다음 관계식을 이용한다.

F_d = \frac{F}{F - F_{CMN} } \cdot A \cdot S_e^{ - P_{exp}} \cdot e^{B \left( {1 - S_e} \right)}

 

여기서

Fd 는 항력계수(상기기술)

FCMN Minimum Saturation

A Drag Coefficient A

PexpPressure Curve Fitting Coefficient 이며

BDrag Coefficient B 이다.

알려진 투수성 데이터에 맞는 Minimum Saturation, Pressure Curve Fitting Coefficient, 및 Drag Coefficient B 값들을 선정하고 the Drag Coefficient A (시간의 역수) 는 다음을 이용하여 추정될 수가 있다.

A = \frac{{\alpha \mu {{\left( {1 - \phi} \right)}^2}}}{{\rho \phi^2 d_{particle}^2}}

Note

  • drag 모델과 Simplified unsaturated capillary pressure 모델 둘 다 같은 Pressure Curve Fitting Coefficient 값을 이용한다.Input Variable Summary and Units 절의 Capillary Pressure Component Properties 를 보라: 관련된 입력파일 값들에 대해서는 Porous Components

 

Mualem’s Unsaturated Drag Model for Relative Permeability 상대 투수성을 위한 Mualem 의 불포화 항력모델

이 모델은 실험적 근거에 상당히 의존하고 있으며 투수성은 포화 투수성 K0 (면적단위 ) 와 상대 투수성 Kr (무차원)의 곱으로 나타난다.

K = {K_0} \cdot {K_r}

Kr 는 유효 포화 Se (위에 정의) 와 무차원변수 B (항력계수B) 의 함수로 정의된다.

K_r = \sqrt {S_e} {\left[ {1 - {{\left( 1 - S_e^{\frac{1}{B}} \right)}^B}} \right]^2}.

FLOW-3D 에서의 모든 다공 항력 모델은 투수성 K 를 계산된 항력함수 Fd 로 나타낸다.

K = \frac{{\phi \mu }}{{\rho {F_d}}}.

이 모델에서 포화 투수성 K0Drag Coefficient A (하기에 A 로 정의되는)의 역수로 지정된다.

K_0 = \frac{{\phi \mu }}{{\rho A}}.

결과로 나타나는 항력계수 Fd 는 다음과 같다.

{F_d} = { \frac{A}{\sqrt {S_e} {{\left[ {1 - {{\left( {1 - S_e^{\frac{1}{{B}}}} \right)}^{B}}} \right]}^2}}}

 

Capillary Pressure Models 모세관압 모델

 

Capillary Effects in Saturated Porous Components 포화 다공요소에서의 모세관압 효과

다공매체내의 포화유동은 완전포화와 완전 비포화 지역 사이의 뚜렷한 경계면을 가지는 특성이 있다.. Saturated drag 또는 No drag Physics Porous media 에서 선택되면 Capillary Pressure ( Meshing & Geometry Geometry Component Properties Porous Properties에서 정의되는)는 완전포화와 비포화(즉, 0.0 < 유체분율 F < 1.0) 지역 사이 경계면 에서만 적용되는user-defined constant 이다. saturated porous media 내에서의 현저한 경계면은 정확한 경계 계면 형상을 유지하기 위해 FLOW-3D의 VOF 알고리즘에 의해 계산된다.

Capillary Pressure 는 다공매질 내 경계면에서의 공간 압력으로부터 차감된다. 이는 각 요소에 대해 정의되며 매질이 습윤할 때 양이고 그렇지 않을 경우 음이다. 경계면 모세관압을 결정하는 가장 좋은 방법은 실험실 실험이며 다음관계식은 다공질내의 모세관압을 산정한다.

 

p_{\text{cap,sat}} = \frac{4 \sigma \cos \theta }{d_{\text{pore}}}

여기서

σ 는 유체의 표면장력이고

한 다공 내 유체와 고체의 접촉각(< 90 보다 작으면 습윤 , 90 보다 크면 비습윤)이며

dpore 는 다공매질 내의 평균 다공 직경이다.

Unsaturated Capillary Effects in Porous Components 다공요소내 불포화 모세관압 효과

(Physics ‣ Porous media ‣ Unsaturated flow)

다공매질 내 모세관압 1유체 자유표면 유동에서만 이용될 수 있다. 포화와   모세관압 관계를 기술하는 2가지 모델이 있다: Simplified capillary pressure 모델 (IVG = 0) 과 더 완전한Van Genuchten capillary pressure 모델 [NB88] (IVG = 1).

두 모델 모두에서 사용자가 모세관압을 지역포화도 함수 및 하나이상의 이력현상함수로 지정할 수 있게 한다. 사용자는 Model Setup Meshing & Geometry Component tree Porous Properties 에서 Unsaturated Pressure Curve 선택을 변경하여 각성분에 대해 이력현상을 포함하거나 무시할 수 있다.

 

  • Wetting & Draining – full hysteresis (IOPCFD = 0),
  • Wetting only (IOPCFD = 1), or
  • Draining only (IOPCFD = 2)

추가로 다음3가지항력 모델중의 하나가 각 요소에 선택될 수 있다.

Simplified Van Genuchten capillary pressure 모델 둘 다 Minimum Maximum 포화값을 사용하는데 이는 매질의 0과1사이의 감소될 수 없는 최대 절대포화 분율을 나타낸다. 지역유체분율 F 를 이용하여 상대(유효)포화 Se 를 결정한다:

{S_e} = \frac{F - F_{CMN}}{F_{CMX} - F_{CMN} }

 

여기서 FCMN Minimum Saturation 이고 FCMXMaximum Saturation 이다.

모세관 압과 항력모델과 이들의 변수는 하기에 개별적으로 기술되어 있다.

 

Simplified Unsaturated Capillary Pressure Model 단순화된 비포화모세관압모델

포화와 모세관압 간의 단순한 관계의 습윤과 배출 형태가 아래와 같이 도해로 보여진다.

Simplified Unsaturated Capillary Pressure Model Hysteresis

 

PCMX 는 the Simplified Maximum Capillary Pressure 이고 Simplified Saturation at Maximum Capillary Pressure –상기 그림의 Fpcmx 에서 물질 내 유체를 유지하는 최대 모세관압을 정의한다.

Simplified Saturation at Maximum Capillary Pressure 보다 큰 포화곡선의 형상은 다음 관계로부터 주어진다. 기포생성(공기유입) 압력 Pb,는 공기가 초기에 포화된 매체에 들어갈 수 있는 압력이며 Simplified capillary pressure 모델에서의 습윤과 배수곡선과의 분리의 크기이다.

{p_{cap,drain}} &= {p_b}S_e^{ - P_{EXP}} \\ {p_{cap,wet}} &= {p_b}\left( {S_e^{ - P_{EXP}} - 1} \right)

여기서

{p_b} &= P_{CMX}{\left( {\frac{{F_{PCMX} - F_{CMN}}}{{F_{CMX} - F_{CMN}}}} \right)^{P_{EXP} }}

and

  • P_{EXP} is the Pressure Curve Fitting Coefficient,
  • P_{CMX} is the Simplified Maximum Capillary Pressure,
  • F_{PCMX} is the Simplified Saturation at Maximum Capillary Pressure,
  • F_{CMN} is the Minimum Saturation, and
  • F_{CMX} is the Maximum Saturation.

 

실험 데이터를 만족시키는 Pressure Curve Fitting Coefficient, Simplified Maximum Capillary Pressure 그리고 Simplified Saturation at Maximum Capillary Pressure 의 값을 선택한다.

스캔 곡선을 조사해보면 충진과 배수가 번갈아 발생할 때 pcap Se 의 변화를 나타내며 하기와 같은 임의의 단순화된 구배 관계를 갖는다

\frac{\partial p_{cap}}{\partial S_e} = \frac{\partial p_{cap,drain}}{\partial S_e} + \frac{p_{cap,drain} - p_{cap,wet}}{0.1}

Note

입력변수요약 절 Capillary Pressure Component Properties를 보라: 관련 입력파일 값들은 Porous Components.

Van Genuchten Unsaturated Capillary Pressure Model 불포화 모세관압 모델

포화, 모세관압 그리고 유체의 배수/습윤 상태간의 복잡한 관계식에 대한 더 나은 물리적 표현은 하기에 보여진 습윤방향에 대한 일련의 변화를 위한 상태 경로를 보여주는 화살표를 지닌 Van Genuchten capillary pressure 모델에 의해 주어진다.

Van Genuchten Capillary Pressure Model Hysteresis

그림에서의 번호는 다공 매체의 다음과 같이 진행하는 전형적인 포화경로를 보여준다.

포화 매체로부터 배수시작. 모세관압은 곡선을 따름

반대로 충진. 모세관압은 1차충전 스캔곡선을 따른다.

반대로 배수. 모세관압은 2차 배수 스캔 곡선을 따른다.

배수지속. 모세관압 외표면 형성.

최소절대포화. 충진시작 모세관압 외표면에 형성

반대로 배수. 모세관압은 1차 배수 스캔곡선을 따른다.

반대로 충진. 모세관압은 2차 충진 스캔곡선을 따른다.

반대로 배수. 모세관압은 3차 배수 스캔곡선을 따른다.

1차 습윤 및 배수곡선은 각 다공매체-유체계의 모세관압 거동범위를 정의한다. 충진과 배수가 완전히 이루지기 전에 습윤과 배수과정이 전환되면 모세관압은 거동범위내의 스캔곡선을 따른다. 무한히 많은 수의 습윤과 배수 스캔곡선이 거동 범위 내에 존재할 수 있으며 실제곡선은 배수/충진이 역전이 될 때의 지역 포화압과 모세관압에 의존한다. [NB88] 에서 상세히 기술된 이 모델은 1차배수와 2차습윤 스캔곡선을 포함하도록 강화되어 있다.

p_{cap,wet} &= \alpha_w \left[ \left( \frac{1}{S_e} \right)^{\frac{1}{m_w}} - 1 \right]^{\frac{1}{n_w}} \\ p_{cap,drain} &= \alpha_d \left[ \left( \frac{1}{S_e} \right)^{\frac{1}{m_d}} - 1 \right]^{\frac{1}{n_d}}

여기서

  • pcap,wet 는 습윤모세관압
  • αw 는 압력단위의 Wetting Curve Alpha Coefficient : 길이의 역수(헤드)인 문헌의 값을 변환해야 될지도 모른다.
  • mw Wetting Curve m-exponent 이며 땅에 대해서는 자주1 - \frac{1}{n_w} 로 가정된다.
  • nw 는 the Wetting Curve n-exponent
  • pcap,drain 는 배수 모세관압
  • αdαw 같이 압력단위의 Draining Curve Alpha Coefficient이며 땅에서는 자주 αw 로 가정된다.
  • mdDrainin Curve m-exponent 이며 땅에 대해서는 자주 1 - \frac{1}{n_d}로 가정된다.
  • nd Draining Curve n-exponent 이며 땅에 대해서는 자주 nw로 가정된다
  • 곡선은 위의 식을 이용하여 실험 데이터와 곡선 맞춤으로부터 정의되어야 한다. 1,2차 및 고차 배수곡선은 유동방향이 한 번, 두 번 또는 그 이상 바뀌었나에 따라 중간 모세관압 대 포화경로를 정의한다. 스캔 곡선형태는 실험에서 결정되어야 하는 1차곡선 변수들에 의해 정의된다. 일반적 값들(위의 곡선을 생성하기 위해 이용되는)은 밑에 보여진다.
Parameter Value
Minimum Saturation (OFCMN) 0.0714
Maximum Saturation (OFCMX) 0.9400
Wetting Curve Alpha Coefficient (ALPHWOBS) 53316 dyne/cm2
Draining Curve Alpha Coefficient (ALPHDOBS) 118630 dyne/cm2
Wetting Curve m-exponent (XMWOBS) 0.6
Draining Curve m-exponent (XMDOBS) 0.9091
Wetting Curve n-exponent (XNWOBS) 9
Draining Curve n-exponent (XNDOBS) 11

Note

입력변수요약 절 Capillary Pressure Component Properties를 보라: 관련 입력파일 값들은 Porous Components.

 

Porous Baffles 다공배플

Baffles tree - Porosity Properties

FLOW-3D 에서의 배플은 얇은 벽을 기술하는데 이용된다. 고체요소와는 달리 배플은 어느 부피를 차지하지 않는다; 이들은 전체 면을 차단하기 위해 계산 셀의 경계면 들에 놓여진다. 예를 들면, 구형 배플이 입력에서 정의되면 전처리 기능은 이를 구의 표면에 가장 가까운 셀 경계에 일치하는 계단 형태로 변환한다. 그러므로 배플은, 얇은 표면을 기술하는데 적합하다. 추가로 침투성 망을 모델링하기 위해 균일한 다공도가 각 배플에 주어질 수 있다.

배플을 추가하기 위해 Meshing & Geometry 에서 Baffles 서브-창을 열고 add 버튼을 클릭한다. 이때 간단한 형태는 새로 생성된 배플 밑의 Definitions and Limiters 에서 변수들을 이용하여 정의될 수 있다. 단지 한 개만 정의하고 필요한 만큼의 변환과 제한을 지정한다: 예를 들면 원형판 배플을 만들기 위해 정의를 Z = 0 Cylinder Outer Radius 의 제한으로 하고 배플을 원하는 위치로 회전및 이동시킨다. 반경을 정의나 제한으로 지정하면 반드시 배플의 중심에서만은 아닌 z 축에서부터 반경을 적용한다.

배플의 다공도는 배플 물성 트리의 배플 물성에서 정의된다. 배플 다공도는 다공이 없을 때의 0과 완전히 열린 배플인 경우인 1의 사이 값을 취한다.

다공 배플 내의 유동손실은 유동 속도에 따라 1차, 2차 또는 둘 다일 수도 있다. 다공 배플 내의 유동손실은 다공 내의 실제 유동속도를 이용하여 미시적 유동 속도로부터 계산되는 점에 주목한다. 선형손실은 선형손실 계수를 이용하고 2차유동손실은 2차 유동손실계수를 이용하여 지정된다. 후자는 무차원 이지만 전자는 속도의 차원을 갖는다.

See also: 또한 이론매뉴얼: Baffle Flow Losses 에서 손실 항들이 유동방정식에 어떻게 통합되어 있는지 참조하라: Baffle Flow Losses.

 

Porous component application example: Filters in metal casting 다공요소 응용예제: 금속주조필터

  • FLOW-3D 에서 금속주조 응용에서 자주 이용되는 필터는 다공매체로 정의되고 유동속도를 점진적으로 줄이는 데 이용된다. 이 경우 유체는 점성과 형상(비틀림) 효과에 의해 저항을 받게 된다. 이 절에서 이를 설명한다.필터를 모델링하는 법

    실험 데이터로부터 항력 계수를 결정하는 법

How to Model Filters 필터를 모델링 하는 법

필터를 모델링하기 위해 사용자는 다음 단계를 거쳐야 한다

Model Setup Physics 탭으로부터 Porous Media Model 를 활성화시킨다. Darcian saturated drag 모델은 항력을 선형관계로 유동속도와 연관시키나 Forchheimer saturated drag 모델은 유동속도와 항력을 연관시키기 위해 2차방정식을 이용한다. 이는 유동속도가 크고 관성효과가 무시될 수 없을 때 필요하다. 직접적으로Darcian 과 Non-Darcian 투수도를 사용하기 위해 Permeability dependent saturated drag 모델을 선택한다.

  1.  Porous media

  2. Model Setup Meshing & Geometry 탭에서 필터를 정의하는 형상을 읽어 들이든지 자체 생성한다. 필터는 다공 매질로 간주될 것이기 때문에 실제 필터형상(각각의 다공, 등등)은 정의될 필요가 없다-단지 필터를 감싸는 전반적 형상이 필요하다.Cam shaft
  3.  요소 형태를 선택하도록 요구될 때 Porous 를 택한다. 필터의 다공도(전체 체적에 대한 빈 부분의 비율) 또한 정의되어야 한다. 다공도는 0(고체)에서1(완전히 빈지역)까지 변한다. 대부분의 주조 필터는 80 – 90%의 다공도를 갖는다. 방향성 다공도는 x-, y-, 그리고 z-방향에 대해 정의될 수 있으나 그렇지 않으면 필터는 모든 방향에서 균일한 다공도를 갖는다고 가정된다.

    Add component - Filter - Porous

  4. Component Component Properties Porous Properties 밑에서 다공 물성을 정의한다
  5.  Define the porous propertiesWithin a porous material, a considerable pressure due to the effects of surface tension within the pore cavities may be

  6. 다공 매질 내에서 유체가 매질에 습윤 또는 비습윤 할 경우 공동 내 작용하는 표면장력 효과로 인해 상당한 압력이 발생할 수 있다. 이 capillary pressure 는 다공 매질 내 구멍의 큰 표면곡률에 의해 발생한다. 유체가 흡수되고 심지를 따라 빨려 들어오는 것은 이 현상에 의한 것이다. 유체와 다공 매질이 비 습윤일 경우 반대현상이 일어난다, 즉 압력이 유체가 매질 안으로 들어가도록 가해져야 한다. 다공매질 내의 모세관압의 효과는 하나의 유체 자유표면 유동에서만 사용될 수 있다. 이 효과는 Component Component Properties Porous Properties에서 Capillary Pressure 로 추가된다.그 안에서의 열전도뿐만 아니라 유체와 다공요소 사이의 열전달 또한 모델링 될 수 있다. 다공요소의 표면적은 그 구조에 의존하므로 단위체적당 다공질 내의 표면적이 지정되어야 한다. 이는 요소가 100% 다공이라도 0이 아닐 수가 있는데, 즉 완전히 개방된 유동에서 이는 어떤 유동 부분에서 질량 그리고/또는 에너지 소스를 정의하기 위한 유용한 방법이다. 열전달은 Model Setup Physics 에서 활성화 되어야 한다. 다공요소의 열-물리적 물성치는 다공효과가 이미 열전달 방정식에 들어있으므로 다공매질의 고체요소에 상응한다. 이 물성치는 Meshing & Geometry Geometry Component Solid Properties 에서 정의될 수 있다.

    How to determine the drag coefficients from experimental data and estimate drag coefficients 항력계수를 실험 데이터로부터 결정하고 그리고 추정 하는 법

Darcy 법칙은 아래와 같이 주어진 다공질 내의 유동의 수학적 기술이다,

(14)\mathbf{u}_{\text{bulk}} = - \frac{K}{\mu} \nabla p

여기서

ubulk 는 겉보기 속도 (즉, 필터를 통한 유체의 체적 유속량)이고

K 는 특정 투수성이고

p 는 다공매질 내 실제 공간에서의 압력구배이다.

이는 관성효과가 무시되고, 유동이 정상상태이고, 유체의 체적분율이 균일하고 일정하며 유체와 유체간의 상호작용 힘이 무시될 경우에 유효하다. Reynolds 수가 증가하고 압력저하가 커지면 추가의 비선형 항들이 소위 Forchheimer 방정식에 도입되게 된다.

(15)- \nabla p = \left( a + b \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right| \right) \mathbf{u}_{\text{bulk}}

여기서

µ 는 점도

ρ 밀도

K 는 Darcian 투수도

K2는 비 Darcian 또는 관성투수도

a b, 또는 K와K2는 실험 데이터에 의해 정의될 수 있다. 선형 (Darcian) 과 2차 (non-Darcian) 유동손실 방정식은 Fd 하나의 표현으로 결합될 수 있다.

(16)F_d \cdot \mathbf{u}_{\text{microscopic}} = - \frac{1}{\rho} \nabla p = \frac{\mu }{\rho }\frac{1 - {\phi}}{\phi}\left[ {A \frac{{1 - \phi}}{\phi} + B \frac{{Re_P}}{d_{\text{pore}}} } \right] \mathbf{u}_{\text{microscopic}}

여기서

Fd 는 시간의 역수차원인 항력계수

A 는 선형 항력계수(Drag Coefficient A)

B 는 비선형 항력계수(Drag Coefficient B)

φ 는 다공도

dpore 는 다공의 직경

  • Re_P 는  pore Reynolds number이며 다음과 같이 정의된다, Re_P = \frac{\rho \left| {\mathbf{u}_{\text{microscopic}}} \right| {d_{\text{pore}}}}{\mu } \approx \frac{\rho \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right| {d_{\text{pore}}}} {\phi \mu }

식 11.15와 11.16을 결합하면 다음과 같은 항력계수로 정의할 수 있다.

(17)A = a \frac{\phi^3}{\mu (1 - \phi)^2} = \frac{\phi^3}{(1 - \phi)^2 K}

(18)B = b \frac{\phi^3}{\rho (1 - \phi)} = \frac{\phi^3}{(1 - \phi) K_2}

간단히 실험하기 위해 많은 실험들은 용융금속보다 물에 대해서 기록하고 있다. 이는 밀도의 차이 때문에 계산된 압력저하가 부정확할 것이므로 직접 FLOW-3D 입력으로 사용될 수 없다. 이 복잡한 문제를 적절히 고려하기 위해 하기의 표에 근거한 다음 예제를 참조한다.

 

Curve fit coefficients for filters
FILTER TYPE b1 (kg/m3-s) b2 (kg/m4) R2
Cellular 100 csi 28221 70851 0.9188
Cellular 200 csi 53477 33311 0.9933
Cellular 300 csi 58577 114434 0.9671
Foam 10 ppi 46711 375408 0.8659
Foam 20 ppi 38123 592484 0.9533
Foam 30 ppi 55779 677299 0.9592
위의 도표는 b1 and b2를 보여주는데 실험데이터가 필터를 통과하는 물이라는 가정에서 기록된 각 필터들에 대한 곡선들을 나타내는 계수이다. 이 는 각기 식 11.17과 11.18에 있는 선형과 비선형 계수 a b 에 상응한다. 이들은 Drag Coefficient A Drag Coefficient B 의 정확한 값들을 얻기 위해 사용 유체에 대해 변환되어야 한다. 우리가 Foam 20ppi with A357 Aluminum 를 사용한다고 하면 위의 데이터와 다음 A357 Aluminum 의 데이터를 이용하여 항력계수를 결정해야 한다.
  • \rho = 2437 kg/m3
  • \mu = 0.0012 Pa-s
  • \phi = 0.8

이 값 들을 식 11.17과 11.18로 치환하면

A = 38123\ \frac{{{{0.8}^3}}}{{0.0012{{(1 - 0.8)}^2}}} = 406645333

B = 592484\ \frac{{{{0.8}^3}}}{{2437(1 - 0.8)}} = 622

Note

  • PPI 는 1인치길이 와 당 다공의수를 뜻하며 매질 다공도에 대한 불완전한 지정이다.PPI 로부터 FLOW-3D 에서 이용되는 체적 다공도로의 변환은 평균 다공크기 및 다공구조에 의존하므로 이둘 사이의 단순하고 표준적인 연관성은 없다.