[FLOW-3D 물리모델]Squeeze Pins / 스퀴즈 핀

Squeeze Pins / 스퀴즈 핀

Description and Usage / 기술과 사용

스퀴즈 핀 모델은 고압 또는 영구 주조 시 주형 내에 있을 수 있는 스퀴즈 핀의 효과를 포함하도록 설계되어 있다. 주형 내 금속의 응고 시 특정 시간에 활성화된다. 핀의 목적은 주조 시 액체 금속의 유입이 어려운 곳으로 응고금속을 밀어서 수축공을 제거하거나 줄이는 것이다. 각 핀의 다른 끝은 활성화 시에 일정한 힘을 주는 유압 장치에 연결되어 있다.

핀 모델은 규정된 운동을 하는 GMO 모델에 기반되며, 단순수축모델에서만 작동하므로 힘에 따른 동적 현상이 모델에 반영되어있지 않다. 일단 활성화되면 핀은 인접한 금속의 수축량을 감지하고 그 체적을 정확히 보상하기 위해 이동한다. 핀은 직선운동을 한다. 최대 이동거리는 각 특정 주조기계의 설정을 반영하여 각 핀에 대해 정의되며 그 이상은 이동할 수 없다. 힘은 또한 금속 내 압력으로 변환되는 핀에 대해 정의될 수 있다. 이때 이 압력은 Thermal Stress Evolution in Solidified Fluid Regions 또는 Microporosity Formation 모델과 함께 사용될 수 있다.

핀은 너무 많은 응고 금속이 표면에 형성되면 정지한다. 핀이 이를 지나서는 더 이상 움직일 수 없는 상태인 임계응고금속양은 입력변수 SQP_SOLID(n)에 의해 조절되며 여기서 n 은 스퀴즈 핀 요소번호이다. 이 변수는 응고 금속에 의해 덮인 핀의 표면 면적률을 정의하며 이 이상의 값에서 핀은 더 이상 움직일 수 없다. 기본 값은 0.5이다. 이 입력변수는 현재 GUI를 통해서는 입력이 불가능하나 직접 prepin.* 파일을 편집함으로써 수정 할 수 있다.

핀이 표면에 응고된 금속의 양에 상관없이 움직이기를 원하면 SQP_SOLID(n) 를 1.0으로 지정한다. 핀을 절연요소로 지정하는 것 또는 달리 핀으로 인한 열 손실을 줄이는 것은 표면에서 금속의 응고를 지연시킬 것이다.

표면에서의 과도한 응고에 의해 핀이 일단 정지하면 금속이 다시 용융되어도 핀은 움직이지 않는다. 개별적으로 조절되는 다수의 스퀴즈 핀을 사용할 수 있다.

 

Mode Setup / 모델 설정

스퀴즈 핀 모델의 활성화를 위해서는 단순수축모델만을 필요로 한다.

shot sleeve plunger와 같은 GMO 요소를 포함하여 어느 고체요소나 스퀴즈 핀으로 정의될 수 있다. 구성 요소는 단일 또는 다수의 하위 요소로 이루어져도 된다. 모든 하위 요소들은 스퀴즈 핀 구성 요소에 대하여 정의 된 작용선을 따라 움직일 것이다.

스퀴즈 핀 요소는 금형 요소 위 또는 생성된 구멍에 배치시킬 수 있다. 스퀴즈 핀이 적절하게 작동하려면  작업 표면은 항상 금속액체와 접촉되어 있어야 한다. 이는 특히 핀을 금형 요소 위에 놓을 때 중요하다.

스퀴즈 핀을 활성화하기 위해 Model Setup Meshing & Geometry Component Properties Squeeze Pin Properties 패널에서 Squeeze pin activation flag 을 체크한다.

스퀴즈 핀의 운동방향(시작점과 종료점)이 정의되어야 한다. 시작점과 종료점들은 핀의 작용선 상 어느 곳이나 존재해도 된다. 축과 맞추어진 핀 운동의 정의는 단순하나 일반적으로 방향성을 가진 핀들은 운동벡터를 핀 표면상의 세 점을 조사하여 벡터 외적을 계산함으로써 수동으로 결정될 수 있다.

스퀴즈 핀 활성화에 대하여 4가지 옵션이 있다.

  1. 비활성화: 이는 디폴트 선택이며 스퀴즈 핀이 OFF 임을 뜻한다.
  2. 자동활성화: 핀이 유체에 접하고, 유체영역이 인접한 유체영역을 통해 다른 핀과 연결되지 않고 유체영역에 자유표면이 없는 경우 활성화 될 것이다. 이 옵션은 핀의 정확한 작동시기를 알 수 없는 설계단계에서 유용하다.
  3. 활성화 시간: 핀은 지정된 시간에 작동을 시작할 것이다. 이를 선택하면 활성화 시간이 주어져야 한다.
  4. 능동모사조절: 핀은 능동모사조절 이벤트에 의해 활성화될 것이다. 이 선택은 설계단계에서도 아주 유용하다. 이 옵션이 선택되면 이벤트 버튼이 활성화 될 것이다. 이벤트버튼을 누르면 Active Simulation Events 창이 팝업 되어 그 위에 스퀴즈 핀 활성조건이 정의될 수 있다. 각 조건에 대한 Probe Variable Name 에서 온도와 고상율만이 가능하다. 자세한 내용은 Active Simulation Control 을 참조하라.

스퀴즈 핀에 적용된 Force는 유압 시스템에 의하여 핀 요소에 적용된 힘을 나타낸다. 힘은 금속압력으로 변환되고 기본값은 0이다. 힘의 지정은 TSE 또는 미세 다공성 모델이 활성화 되었을 때만 의미가 있다.

Distance 는 스퀴즈 핀이 이동할 수 있는 최대 거리를 뜻한다. 공백으로 남겨지면 기본(무제한) 거리가 사용된다.

 

구성 요소는 플런저와 핀으로 동시에 정의될 수 있다. 이 경우 구성요소는 shot sleeve plunger 로 해석 된다. 이 경우 핀 변수들은 plunger 운동으로부터 자동적으로 도출된다. 운동방향은 plunger 의 속도로 정의되고 Distance 는 (무제한)으로 지정되며 Force는 강화 압력 PRESS 를 이용하여 지정된다. 이 기능은 충진에서 응고로 변환되는 재 시작 시에 유용하다.

Output / 출력

핀 활성화 시간은 스크린, HD3MSG, HD3OUT, 및 REPORT 파일에 기록된다, 예를 들면 아래와 같다.

스퀴즈 핀의 움직임은 GMO 구성 요소화 동일한 방식으로 2D 및 3D 그림에서 가시화된다. 또한 각 스퀴즈 핀에 의한 이동거리 및 체적은 General history 데이터 목록에 기록되고 시간에 대한 그림으로써 보여질 수 있다.

 

Limitations / 제약

스퀴즈핀 모델은 단순 수축 모델에서만 작동한다.

유압시스템의 한 쪽 끝에서의 힘과 다른 끝 쪽에 작용하는 압력/응력에 의한 힘은 동적으로 고려되지 않는다.

응고된 인접한 금속과의 상호작용은 근사적이며 가장 큰 제약이다. 제약 효과를 최소화하기 위해 각 핀 요소의 열 전달을 0으로 지정하는 것이 추천된다. 핀 정지를 유발하는 응고 금속의 임계량은 변수 SQP_SOLID 를 prepin.* 파일에서 직접 편집함으로써 수정될 수 있다.

스크류 펌프 유동해석관련 사례 및 자료

스크류 펌프 유동해석관련 사례 및 자료입니다.

소규모 수력 발전소의 사용은 증가하는 에너지 비용을 통제하는 방법으로 더욱 흥미롭게 연구되고 있습니다. 전통적인 대형 수력 발전소는 규제 검토를 위해 막대한 자본 투자와 긴 리드 타임을 필요로합니다. 더 작은 발전소는 새로운 유형의 터빈을 사용할 수 있습니다. FLOW-3D를 통해 아르키메데스 이송 나사의 원리에 따른 유동현상을 유체 역학을 통해 분석할 수 있습니다.

홈페이지 관련 내용 https://www.flow3d.com/hydrodynamic-screws/

해석사례 동영상 1 https://www.youtube.com/watch?v=z2NrkY57ZHU

해석사례 동영상 2 https://www.youtube.com/watch?v=ajMhH0i3lwM

 

MODERN HORIZONTAL AXIS ARCHIMEDEAN WATER CURRENT TURBINES

2017년 FLOW-3D USERS CONFERENCE 발표자료

2017년 FLOW-3D Korea Users Conference 발표자료를 업로드 해 드립니다.
공개 불가 자료는 올려드리지 못하오니 양해 바랍니다.
다운로드에 문제가 있으신 분들은 아래 연락처 혹은 이메일로 연락주시면 보내드리도록 하겠습니다.

-연락처 : 02-2026-0455
-이메일 : flow3d@stikorea.co.kr

01_FLOW-3D Solver Developments
02_FlowSight_소개_및_응용
03_저수지 3차원 수치해석
04_FLOW-3D를 활용한 배수구조물 유동해석
05_FSAI_4_0_FlowScienceJapan
06_FLOW-3D를_이용한_해양수리분야_활용_사례

[FLOW-3D 이론] Numerical Approximations 수치근사 – Scalar Advection 스칼라 이류

Numerical Approximations 수치근사

Scalar Advection 스칼라 이류

압축성 연속방정식(10.1), 유체분율 방정식(10.19), 내부에너지 방정식(10.21), 그리고 난류에너지 와 소산 방정식 (10.270) 와(10.275) 이 모든 식들은 벡터형태에서 공통적 형태를 지니는데,

  (10.362)

이는 확산과 소스 기여를 포함할 수 있는 우측 항RHS를 가지는 양Φ에 대한 스칼라 이류 방정식이다. 다섯개 모든 방정식은 망의 셀중심에 위치한 같은 이류양Φ를 가지는 유한 차분 알고리즘에 의해 표현된다. 밑에 기술된 대로 경계면을 뚜렷하게 하기위한 알고리즘이 특정 유체 형태의 양들에 대한 유속량 항∇ · (uAΦ)에 대해 이용된다.

밀도, 에너지, 유체분율 그리고 난류 이송방정식과 별도로FLOW-3D는 임의의 스칼라 양들에 대해 식(10.362)와 유사한 추가의 보존방정식을 가진다.이 양들은 유동에서의 피동적 오염물의 진화를 기술하거나 이송방정식을 필요로 하는 새 물리적 모델, 예를들면, 화학 반응 과 시간의존 유변학모델을 개발하는데 이용될 수 있다.

각기 다른 유체와 관련된 모든 이류 양들은 이류된 유체의 양δF에 비례한다는 것이 중요하다(Time Advancement of Fluid Configuration를보라). 2 유체 문제에서의 난류와 임의의 스칼라양들은 이들이 두 유체경계면을 지나서 연속적으로 분포되어 있다고 가정하고 있기 때문에 이 범주에 속하지 않는다.

Time Advancement of Fluid Configuration시간 증가에따른 유체형상

유체분율F의 스칼라 이류는 식(10.362)에의해 지배된다. 식(10.362)이 한 계산셀 상에서 적분될 때 한 셀에서의F의 변화는 셀 면들을 통과하는F유속량의 합으로 치환된다. 그러나 유체경계의 뚜렷한 선명도를 보존하기 위해 특별한 주의를 기울여야 한다. 여기에서 사용된 방법은 공여-수용 유속량 형태를 사용한다. 이의 본질적 개념은 근사적 경계형상을 설정하고 유속량을 계산하는데 이 형상을 사용하기 위해 유속량 경계의 상류및 하류에서F의 정보를 사용한다는 것이다.

여기서 사용되고 있는 Volume-of-Fluid (VOF) 기법에서 사용되기 위해 개발된 기본 방식은 시간 단계δt기간 동안에 셀면을 통하여 x방향으로 유속되어질F의 양을 고려함으로써 이해될 수있다[HN81]. 단위 단면적당 이 면을 통과하는 체적 유속은L = uAxδt이며 여기서u는 면에 수직한 속도이고Ax는 유동에 열려있는 면적이다. u 의 부호는 공여 와 수용 셀을 결정한다, 즉 각기 체적을 잃거나 얻는 셀들 예를 들면, u가 양수이면 상류 또는 좌측의 셀은 공여셀이고 하류나 우측의 셀은 수용셀이다. 한 시간 단계에 셀면을 통과하는 F의 유속량은 δF와 막히지 않은 단면적(δy, δz)의 곱으로 정의되며, 여기서

   (10.363)

이며,  여기에서

  (10.364)

이다. 단일 첨자는 수용(A) 또는 공여(D) 셀을 표기한다. 이중 첨자AD는 밑에 설명되 듯이 유동방향에 상대적인 경계면의 향배에 따른 A또는D 중의 하나를 뜻한다. FDMFD의 최대값이며 공여셀 상류의 이웃 셀에서의F값이다.

간단히 식 (10.363)의MIN기능은 주어져야 될 것보다 더 많은 F 유속량이 발생하는 것을 방지하며MAX기능은 유속되어야 할 공간(1-F)의 양이 실제 이용가능 공간 양을 능가하면  추가F유속량CF을 고려한다. 밑의 일련의 그림은 식(10.363)의 도식 설명을 제공한다. 공여및 수용 셀들은 수직 셀 표면을 통과하는 유속량에 대해 그림 (a) 에서 정의된다. AD = D일때 유속량은 일반 공여셀 값,

  (10.365)

이며,   여기서 공여셀에서의F값은 유체에 노출된 가능한 유동면적 부분을 정의하는데 이용된다(하기 그림(b)참조). 수치 안정성으로 인해  |L|이V δx보다 작아야하므로 이 경우에 공여셀을 비우는 것이 불가능하다.

그림 10.14 F 이류에 사용된 자유표면 형태의 예제. 공여-수용 배열이 점선이 이류되는 전체 체적의 좌측경계를 가리키는 곳(a)에서 보여진다. (b-d)에서 보여지는 음영 지역은 실제로 이류된F의 양이다.

AD = A 일때 수용셀 내의F값은F가 이동하는 유동면적의 부분을 정의하는 데 이용된다. 위 그림(c)에서 공여 셀내의 모든F 유체는 점선과 유속 경계사이의 모든 것이 수용셀로 이동하므로 유속화된다. 이는 식(10.363)에서의MIN테스트의 예제이다. 위의 그림(d) 에서는FA|L|양 보다 더 많은 유체F가 유속되어야 하므로 이는MAX테스트의 예이다.

수용 또는 공여셀이 사용되는 지의 여부는 평균 표면의 향배에 달려있다. 표면이 자체에 수직한 방향으로 이류될 때 수용셀이 이용된다(셀표식 NF에 의해 정의되는 것같이); 그렇지 않으면 공여셀 값이 사용된다. 그러나 수용셀의F가 없거나 공여셀의 상류셀이 비어 있으면 수용셀F값은 표면의 방향에 상관없이 유속량을 결정하기 위해 사용된다. 이는 임의의 유체F가 하류의 빈 셀에 들어가기 전에 공여셀이 거의 가득차 있어야 한다는 것을 뜻한다.

표면의 방향성에 대해 테스트하는 이유는 수용 셀이 항상 유속량을 계산하는데 이용되면 표면파의 부정확한 고 경사도가 발생하기 때문이다. 예를 들면, 양의 x방향으로 움직이는 작은파를 가지는 수평표면을 고려해 보자.  F의 하류(수용) 값에 의거한 유속량은 결국 계단 형태의 불연속성을 가지는 고 경사도의 파를 이루게 된다. 사실상 수용셀 방식은F의 역 확산(즉, 음의 계수를 가지는 확산같은 이송)을 소개하므로 수치적으로 불안정하다. 그러나 불안정성은 유속량 정의에 이용되는MIN 과 MAX테스트때문에 무제한의 값으로 증가하지는 않는다. 반면에 표면이 자체에 수직하게 이류하면F의 단계함수 형태를 유지하기 위한 급격한 경사도는 정확히 원하는 바이다.

일단 유속량이 위의 방식에 의해 계산이 되면 공여셀에서 차감되고 수용셀에서 추가되는 F유체의 양을 얻기 위해 이는 유속 경계 면적에 의해 곱하여 진다. 이런 식으로F에 의해 정의된 유체의 양이 보존된다. 이류과정이 망 내의 모든 셀 경계에서 반복될 때 결과적F값은 식(10.19)을 만족시키는 시간 전진의 값에 상응하며 뚜렷한 경계면을 그럼에도 유지한다.

실제에서 유체운동이 표면의 반복된 뭉침과 파괴를 일으킬 만큼 과격하고 특히 이런 과정이 한 셀보다 작은 크기의 규모로 발생한다면 경계면의 선명도는시간이 지나면서 다소 악화된다. 특별한 경우에 대한 다중의 테스트가 경계면 추적능력을 더 향상시키기 위해 상기에서 기술된 기본F-이류의 루틴에 포함되어 있다. 또한 자유표면 문제에서 내부유체 지역에서의 부분적 공간(즉 1보다작은F값)을 폐쇄할 수 있는 방식이 추가되어 있다. 이런 지역들은 가끔 유체표면이 다른 표면과 또는 고상물체와 부딪힐 때 나타난다. 이 폐쇄방식은 또한 유체가 물체에 부딪힐 때 압력의 급격한 증감의 완화를 돕는다. 입력 표식(IFPK)은 이 선택을 활성화 또는 비활성화 시키는데 이용 되는데 이는 단지 공간의 압축성이 없는, RCSQV = 0.0, 자유표면 문제에서만 이용될 수 있다. 유체가 붕괴하는 극단적인 경우에 자유표면을 보존하기 위해 추가로 경계면 선명화가 더해질 필요가 있을 수 있다. 이 변수IFPK 가 보통 약간 더 뾰죽한 자유표면을 발생시키므로 일반적으로는 권장되지 않지만, 이 선택을 하는데 역시 이용된다.

Other Scalar Advection   다른 스칼라 이류

F이류를 위해 이용된 알고리즘은 압축 유동의ρ ρI로 확장된다. 경계면 위치, 그러므로 유속이 될 각 유체의 양은 위에 기술된 바와 같이 결정된다. 이 때 ρ (또는 ρI)의 유속량은 쉽게

  (10.366)

나 동등하게

   (10.367)

로 계산되며, 여기서Φ1 와 Φ2는 2 유체및η = δF/|L|와 연관되어 있다. 양쪽 모두의 유체에 분포되어있는2 유체 문제에서의 난류량에 대해, 유속량은 단순히Φ|L|와 같다. Second-Order Monotonicity Preserving Method에서 기술된 2차 단조 보존 이류방식은 또한 유체분율, F, 밀도, r, 및/또는 에너지, I ,의 이류에도 적용될 수 있다.

Determining Surface Normals and Cell Flags  표면 법선 및 셀 표식의 결정

자유표면 경계조건및F함수의 이류의 응용에서 표면에 근사적 법선방향을 지정하는 것이 필요하다. 한 표면 셀에서의 근사 법선은 표면의 내부로 수직한 방향에 가장 가까운 이웃 셀을 확인하는 정수값(NF배열에 지정되는)에 의해 기록된다. 이 방향은 빈 이웃셀로부터 멀어지는 방향을 가리켜야 한다. 표면셀이 하나 이상의 빈 이웃을 가지면 이 때 선택된 방향은 반대편 이웃 셀에서 가장 큰F값을 가지는 방향이다. 표면장력이 요구되면 더 정확한 표면 법선을 계산하는 것이 필요하다. 이를 위해 경계는 방향에 의존하는 단일 함수X(y,z), 또는Y (x,z), 또는 Z(x,y)로써 지역적으로 나타내질 수 있다. 예를들면, 근사 법선이z방향을 가리키면 그 때 경계는Z(x,y)에 의해 표시되고 다섯개 열(i, j), (i ± 1, j) 그리고 (i, j ± 1)에 대해 Z값을 계산한다. 이 양들로부터 δZ/δx δZ/δy및 표면장력을 위한 이의 2차미분에 대한 유한 차분근사가 계산될 수있다.

k의 단계에서 Zi,j 대해 사용된 근사는 세개의 셀 열 상에서의 합이며,

   (10.368)

여기서δz에의 한 ‘*’ 상첨자는 이 양이 표시된 k-단계에 대해δz이거나 0이라는 것을 뜻한다. 예를들면, δzk*−1에 대해 다섯 열 중에 어느 하나에서k-1 와 k단계 사이의 유동면적이 0일 경우에 0의 값 이 이용된다. 이 조치는 물체 및 배플 근처에서 합리적인 표면 구배와 곡률 값을 얻는데 필요하다.

Surface Location within a Cell   셀내 표면의 위치

일단 내부 법선방향이 결정되면 표면위치는 세 셀 열에서 적절한 높이까지 확장되는 이 좌표 방향에 수직한 평평한 표면에 의해 정의된다. 실제로는 미분계산에서 사용된 것으로부터 다소 수정된 열의 높이를 사용하는 것이 필요하다. 내부법선 방향의 이웃셀의 중심으로부터 측정되는 높이는 표면셀 유체에 이웃 셀 유체 높이의 반을 더한 것과 같다. 이 조치는 이웃셀이 거의 비어있더라도 표면이 이웃셀 중심보다 높게 위치하는 것을 확실하게 해준다.

Cleanup of Misty Fluid Regions   분무형 유체지역의 제거

어떤 응용에서는 해의 좋은 정확도를 얻기 위해 부드러운 자유표면 형태를 유지하는 것이 중요하다. 예를들면, 제대로 해결이되지 못하거나 들쑥날쑥한 자유표면은 표면장력의 평가시 수치적 ”잡음”을 일으킬 수 있다. 교대로 이는 더 들쑥날쑥한 자유표면 형태를 초래할 수 있다. 이런 변동은 궁극적으로 작은 양의 유체가 여러 개의 인접 셀들에 분포되는 “분무”형 유체지역의 형성으로 나타날 수있다. 이런 지역에서 자유표면이 만족스럽게 해결되지 않으므로 표면장력 해의 정확도는 급격히 악화된다.

“분무”지역이 수치해석의 질을 저하시킬 수있는 또 다른 예는 과도한 튀김과 자유표면의 부서짐이 있는 유동에서 발생한다. 이 모든 지역내의 작은 유체방울들의 움직임을 기술하려는 시도는 비효율적일 수있고 아마 불 필요할 것이다.

이런 상황을 방지하기 위해 인위적으로 “분무”형 유체지역(즉, 유체분포를 제거함으로써)을 정화하는 방편이FLOW-3D에서 주어진다. 이 수정은 변수FCLEAN에 의해 조절된다. 한 셀내의 유체는 그 안에서 그리고 그 모든 이웃셀에서의F값이FCLEAN밑으로 떨어지면 폐기된다. 일반적인FCLEAN값은 0과1사이이다. 현저한 경계를 갖는 2유체 문제에서 이과정은 해의 대칭성을 유지하기 위해 두 유체에 다 적용된다.

이 제거 알고리즘의 사용은 단지 유동이 주로 표면에서의 조건에 의해 조정되는 극심한 자유표면 변형이 있는 유동에 대해 권장된다. 일반적으로 이의 적용은 전체 유동체적에서 단지 작은 에러(1%보다 작은)를 유발하며 정확하고 효과적인 해를 준다.

Bookkeeping Adjustments  부기조절

상기방식으로 결정된 새 F값은 가끔 약간 0보다작거나 약간 1보다 큰 값을 갖는다. 그러므로 스칼라 이류계산을 마친 후에 0보다 작은F값을 0으로 그리고 1보다 큰F값을 1로 되돌리기위해 망을 통하여 한 경로를 다시 한다.

F 의 추가조절은 값이 0이나 1에 가까울 때 이루어진다. 한 셀이εF보다작거나1 − εF 여기서εF = 10−6 보다 큰 F값을 가지면 이 때F는각기 0이나 1로 재지정된다. F가 0으로 재지정될 때 모든 인접한 꽉 차있는 셀들은 표면 셀들이 된다.

Cleanup of Misty Fluid Regions에서 된 조절을 포함하여 전체유체체적을  허용된 범위로 유지하기 위해F 의 다양한 조절을 통해  제거및 추가된 전체 유체 체적은, 절대량일 뿐만아니라 모사시 영역을 통과한  전체 유체 1의 체적의 백분율인, cumulative volume error으로 기록된다. 이는 해 요약 파일의 긴 프린트에서 VCHGT로 뿐만 아니라flsgrf파일에서General History 데이터 카탈로그에 쓰여진다. 전체 유체 체적VL또한 인쇄된다. 일반적으로 축적 체적 에러는 전체 유체 1 체적의 1퍼센트보다 작아야한다.

전체 에러에 추가로 축적 체적 에러는 모든 셀에서 계산되고 공간양으로flsgrf파일에서 기록된다. 모사기간 동안에 이 체적은 조건이 허락할 때, 즉F값이 허용된 범위 안에 있고 셀의 상태(비어있던가, 표면이던가, 가득차 있던가)가 이 결과로 변하지 않으면 유체에 추가(이 체적이 음이면 제거)될 수있다. 이는 전반적 유체 체적 보존을 향상시키는 데 도움이 된다.

 

[FLOW-3D 물리모델] Shallow Water Flows 천해유동

천해모델은 단지 1-유체, 뚜렷한 경계면을 갖는 유동 모델과 함께 사용될 수 있다. 유체 깊이는 z-방향으로 간주되어야 한다. 2개의 셀을 갖는 z-방향 격자를 정의하며 바닥의 셀은 모사 중에 발생할 수 있는 유체의 높이보다도 더 크게 잡는다. 셀 높이는 너무 크지 않아야 하며 그렇지 않으면 벡터나 등고선 그림에 역효과를 준다. Mesh-Cartesian Mesh block 에서 Shallow water mesh block 상자를 체크한다.

Shallow water mesh

Meshing & Geometry Initial Global Fluid initialization 에서 초기 유체 체적 또는 높이를 정의한다. 사용자는 또한 Meshing & Geometry Initial Fluid Regions 에서 유체영역을 정의할 수있다. z-방향에서의 중력가속도는 음의 수를 이용하여 Physics Gravity z component 에서 지정될 필요가 있다.

천해유동 모델은 Physics Shallow water Activate shallow water model 에서 활성화된다. Flow type 아래서 사용자는 유동을 Inviscid, Laminar 또는 Turbulent 로 정의할 수 있다. 층류 유동에서 Vertical viscosity multiplier 는 바닥 전단 응력 평가를 위한 수정인자이다. 수직방향으로의 속도 분포는 보통 천해 유동에서는 해결될 수 없는 비선형이며 이는 필요한 변수이다. 디폴트값은 1.5이며 정상 전단유동의 2차속도분포도에 해당한다. Vertical viscosity multiplier 의 다른 값을 사용하기 위해 입력상자에서 이를 간단히 정의한다.

Shallow water

천해 유동이 난류이면 FLOW-3D 는 바닥 전단응력 계산에 2차식을사용한다

{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {\tau } _b} = \rho {C_D}\left| {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {u} } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {u}

여기서

ρ 는 유체밀도

*u 는 깊이-평균속도

그리고 CD 는 항력계수이다.

CD 의 통용 값은 Turbulent Drag coefficient for bottom shear stress 에서 정의되고 디폴트 값은 0.0026이며 수리나 해안공학 응용에 이용되는 일반적 값이다. 이 일반적CD 값은 모든 요소표면에 적용된다. 그러나 사용자가 요소에 특정한 CD 값을 정의할 수 있고 또는 코드가 표면조도에 의거해 요소 CD 를 계산하게 할 수도 있다. 후자의 경우 표면조도, 유체 깊이, 그리고 항력계수들은 다음과 같은 관련이 있다.

{C_D} = \left[ \frac{\kappa}{B+ln {\left( \frac{k_s}{30h} \right)}} \right] ^2

여기서

  • κ 는 the Von Kármán 상수, 0.40
  • B is 0.71
  • B 는 0.71
  • h 는 유체깊이
  • ks 는 raster 파일(if IROUGHUSE(m)=1일 경우), 하부요소의 특정 조도, 또는 요소 조도에 의해 정의되는 국부적 차원 조도이다. raster 조도가 우선이고 다음은 하부요소 특정조도 그리고 요소-특정조도이다.

요소표면에서 CD 를 정의하기 위해 Mesh Setup Mesh & Geometry Geometry component #로 간다. Component Properties 탭에서 Surface Properties –> Shallow Water Shear Stress Method 를 찾는다. CD 값이 정의되면 펼쳐지는 상자에서 Drag Coefficient 를 선택하고 Shallow Water Drag Coefficient 의 값을 입력한다. 디폴트 값은 통용되는 CD 의 값이다. 코드가 요소 표면조도에 따른 CD 값을 계산하기 위해 Shallow Water Shear Stress Method 를 위한 펼쳐지는 상자에 있는 Surface Roughness 를 선택하고 Surface Roughness의 값을 지정한다.

Shallow water CD

 

천해 유동에 대해 사용자는 내재적과 외재적 수치해석 법을 선택할 수 있다. 디폴트는 내재적 방법이 추천된다. 여기서는 표면파에 의한 시간간격 크기에 대한 제약이 없고 계산시간을 줄여준다.

천해유동이 또한 지구물리적 유동(즉, 만 또는 하상의 규모인)이면 지구 회전에 의한 Coriolis 힘이 중요하다. 이 경우 사용자는 Physics Non-inertial reference frame Motion type Geophysical fluid flow 에서 지구물리 유동선택을 활성화하고 Latitude of the flow region 를 정의한다.

수표면에서의 풍속전단이 천해 유동 시 고려되어야 할지도 모른다. 이는 Physics Wind 에서 정의될 수 있다. 더 자세한 것은 Wind Shear Stress 절을 참조한다.

Note

이론장의 the Sediment Scour Model 절에서 보여주는 것과 같이 Sediment scour 모델을 이용할 때 다져진 퇴적물의 표면조도가 퇴적물입자의 d50 에 의거해 코드에 의해 계산된다.

 

Hybrid Shallow Water/3D Flow

얕은 물 모델은 FLOW-3D의 완벽한 3D 모델링 기능과 결합하여 하이브리드 2D / 3D 모델을 생성 할 수 있습니다. 이 하이브리드 모델은 하천, 바다 또는 하구와 같은 얕은 물 가정이 유효한 더 큰 영역 내에서 3D 구조의 상세한 모델링을 허용합니다. 모델은 다중 블로킹 메시를 사용합니다. 메쉬 작업 위젯에서 얕은 물 메쉬 블록 플래그를 선택하여 각 메시 블록을 2D 또는 3D로 지정해야합니다. 유효한 하이브리드 모델은 3D 메쉬 블록을 2D 메쉬 블록 내에 완전히 중첩 시키거나 공통 경계를 공유하는 링크 된 블록으로 설정할 수 있습니다 (다중 블록 메쉬 참조). 하이드 라이드 모델을 설정할 때 멀티 블록 메쉬 및 얕은 물 메싱에 대한 모범 사례를 모두 준수해야합니다. 또한 하이브리드 모델을 만들 때 얕은 물 메쉬 블록의 최소 Z 입면도가 링크 된 또는 중첩 된 3D 메쉬 블록의 최소 Z 입면도보다 커야합니다.

 

Combining Porous Media and the Shallow Water Model 다공매질과 천해유동모델

다공매질은 숲, 울타리 등과 같이 표면조도에 의해 잘 특화될 수 없는 것들을 나타내기 위해 천해모델에서 사용될 수 있다. 그러나 다공도가1보다작으면 매질내의 고형물질들은 모두 바닥 고도를 높이면서 바닥에 다져진다. 그러므로 추천되는 방법은 Permeability Dependent Saturated Drag 모델과 항력계수를 지정하고 다공요소 다공도 1(100%열린)로 지정한다. 이 항력모델은 유동손실 계산에 다공도를 사용하지 않으므로 이 접근은 바닥의 높이를 변화시키지 않고 다공질에 의한 항력을 추가해야 한다. 다공매질물리에 대한 자세한 내용은 Porous Media 절에 주어져있다.

[FLOW-3D 이론] Numerical Approximations 수치근사 – 압력 솔루션 알고리즘

Numerical Approximations 수치근사

Pressure Solution Algorithm 압력 해 알고리즘

질량보존의 수치 처리는 압축성과 비압축성에서 상당히 다르다. 그러나 어느 경우든지 적합한 질량 방정식은 셀내의 압력을 결정하고 속도를 갱신하는 알고리즘에 이르게한다. 압축 유동이나 제한적 압축 유동(내재적 압력 해법을 사용해야 하는)에서 연속방정식(10.6) 또는 (10.8)은 셀에서의 압력과 속도의 타원조건으로 직접 해석될 수있다.  압축유동에서는 연속방정식(10.1)이 포물선 방정식으로 즉, 시간에 대해 전진하는 알고리즘에 의해 해석된다. 이 때 압력은 상태방정식 밀도가 갱신되는 셀 밀도와 같게함으로써 결정된다.  이 경우 시간단계 크기가 음파 전달에관한 안정성을 확실하게할 만큼 충분히 작다면 속도는 갱신될 필요가 없다. 압축유동에 대해 내재적 선택을 사용하면 더 큰 시간단계를 허용하나 충격파나 저밀도 파형에는 덜 정확할 수 있다.

때때로 인위적 제한 압축성을 유체에 추가하는 것이 해에 상당한 에러를 일으키지 않고 수렴을 증진시킬 수 있다. FLOW-3D에서 이는IMP = 2(디폴트는 1)로 지정함으로써 자동적으로 이루어진다. 상세한 모델 내용을 위해 http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp의 사용자 주소에서Flow Science Technical Note #55를 참조하라.

Incompressible SOR Method  비압축 SOR방식

식(10.315)으로부터 계산된 속도는 제한적 압축 연속 방정식(10.8)에 대한 다음의 이산화 근사식을 만족시켜야하며,

(10.352)

여기서XCi는 셀i의 중심의x위치이다. 원통좌표계에서는CYL = 1.0 및 Ri = XIM1/XCi 이며XIM1는 망내 마지막 실재 셀의 바깥 가장자리의 반경(x위치)이다. 데카르트 형상에서는 모든i 에 대해Ri = 1.0 이고CYL = 0.0이다. 항RSOR 은 셀내의 유체 체적 소스를 뜻한다. 압축성계수1/(ρc)2는 2유체 문제의 공식에 의해 계산된다.

 (10.353)

1유체 문제에서는 단지 두번째 항만 존재한다. 첨자l v는 각기 유체 1과 2를 뜻한다. 제한적 압축성은 두가지 목적, 물리적및 수치적, 으로 사용될 수 있다. 이 두 입력변수RCSQL = 1/(︀ρc2)︀ 와 RCSQV = 1/(︀ρc2)︀를 지정함으로써 유체의 제한적인 물리적 압축성을 모델할 수 있다. 또한 RCSQL 와 RCSQV를 적절히 지정함으로써 물체 경계상에서의 자유표면의 붕괴에 의해 종종 발생하는 수치적 압력 파동의 효과를 완화시킬 수 있다.

속도가 식 (10.352)을 만족시키기 위해 압력 그러므로 유체가 차지하고 있는 셀 내의 속도를 조절하는 것이 필요하다. 이는 둘 중 하나의 방식으로 행해진다. 가장 간단한 방법은 successive over-relaxation(연속가속완화) (SOR)반복 과정이다. 계산망을 망내의 첫번쩨 비 경계셀에서 시작하여 하나씩 쓸어나간다. 쓸림은 먼저i에 대해 시행되고 다음에j그리고 마지막으로k값에 대해서 되어진다. 계산은 단지 유체를 포함는 유체가 빈 이웃이 없는 셀들에 대해 실행된다.  셀(i, j, k)에서의 속도가 식(10.352)을 만족시키기 위해 필요한 압력변화는 아래와 같으며, 여기서 S는 식(10.352)의 좌측이다.

(10.354)

식(10.354)은 단순히S = 0를 이루기 위해 필요한p값을 생성하는 완화과정의Newton형태이다. 각 셀에서S를 평가하기 위해 사용된 속도 값은 반복과정에서 사용 가능한 가장 최신의 값이다.  식(10.354)으로부터의 결과를 이용하여 셀압력의 세 추정치는

(10.355)

이며, 셀의 면들에 위치한 속도들의 새 추정치는 다음 식과 같다.

      (10.355)

여기서 여기에 나타나는 속도들 또한 반복중에 가장 최신의 값들이다. 반복과정을 시작하기 위해 식(10.315)으로부터의 새 추정 속도들은 전 시간단계로부터 남아있는 압력값과 함께 이용된다. 물론 면적이0인 곳에서의 속도는 이 단계에 수정되지 않는다.

자유표면을 가지는 셀들에서, 즉 유체가있지만 하나 또는 더 많은 빈 이웃 셀들을 가지는 셀에서는 다른 과정이 이용된다. 이러한 셀들에서 요구되는 경계조건은 압력이 표면에서 지정된 값, 즉 표면에서의 ps 이다. 표면압력은 이웃한 void영역 압력, PR, 과 표면장력 압력, PS,의 합과 같도록 지정되며

(10.357)

여기서n은 인접한 빈 공간의 색인이다. PS의 평가는Surface Tension with Wall Adhesion에서 기술된다. 표면압력, ps 은 셀내의 정압분포를 가정하여 표면셀의 중심에서의 압력pi,j,k 으로 외삽하여 해석에 적용된다.정압변화는NF에의해 정의된 바와같은 표면에 수직한 방향에서의 순수가속도에 의존한다. 이 표면 셀 압력은 압력 반복동안에 변하지않으며 고정 경계값으로 취급된다. 이런 방법으로 셀내의 자유 표면의 실제 위치가 확실하게 고려된다.

고압, 단열 기포가 존재할 때[Hir92], [BC94] 수치 불안정성이 공간지역 압력의 외재적 근사로 인해 발생할 수 있다고 알려져 있다(단열 기포모델은Variable Pressure (Adiabatic) Void Region에서 기술되어 있다). 이러한 어려움을 없애기 위해FLOW-3D에 내재적 기포모델이 추가되어 있다. 이의 목적은 기포압력 변화가 한 사이클의 마지막에서 계산되도록 기대하고 이를 통상적인 압력-속도 반복과정에 포함하는 것이다. 내재적 기포 모델은 기포의 “강성도”가 너무 크지 않다면 잘 작동한다. 다른 말로, 강성 기포는 기대되고 그리고 실제압력 변화가 한시간 단계내에서 너무 다른 기포를 뜻한다. 이런 강성 기포들이 발생하면 해석은 매 사이클 마다 큰 압력변화와속도와 다른 양 들에서 이에 상응하는 커다란 변동을 가질 수 있다(상세 내용을 위해 Ref. [Hir92] 참조하라).

2 유체문제에서 모든 셀들은 유체로 가득 차 있다고 간주된다; 즉, 압력과 속도는 반복하는 동안에 모든 유체 셀 내에서 조절된다. 표면장력이 작용되면 압력PSi,j, 은 두 유체중에 하나에만 작용해서 표면장력으로 의한 경계면을 통과하는 압력에서의 불연속성이 유지된다.

완전한 반복은 식(10.354), (10.355) 및 (10.356)에따라 모든 유체가 가득찬 셀내의 압력및 속도를 조절하는 것으로 이루어져 있다. 반복시의 수렴은 모든 셀들이 어떤 일정 작은 수인EPSI ·VFi,j,k 보다 작은S값을 가질 때 이루어진다.

EPSI의 값은 자동적으로FLOW-3D에 의해 각 시간 사이클에서 시간 단계 크기의 함수로 계산된다. 이 알고리즘은 입력변수EPSADJ의 값이 양수이면 원용된다. 선택적으로 한 EPSI의 상수가 한 계산 과정에서 사용 가능하다.

어떤 경우에는 반복의 수렴이 식(10.355)에서의δp를 완화인자OMEGA로 곱함으로써 가속화될 수 있다.

OMEGA 는 1.7 또는 1.8이 최적값이다. 어떤경우에도 는 2.0이 넘어서는 안되는데 이는 이럴 경우 불안정한 반복이 발생하기 때문이다. 압축성유동에서OMEGA는 1.0으로 지정된다. 또한 시간 단계 크기가 상당히 대류 안정성 한계보다 작을 때 비압축성 유동에 대해OMEGA는 1.0으로 사용하는것이 권장된다. 이는 해에서의 잠재적 압력 잡음을 감소시킬 수 있다.

Incompressible Line Implicit SADI Method 비압축성 선 내재적 SADI 방식

앞에 언급된 압력을 계산하기 위한SOR반복법은 간단하고 많은 문제에서 잘 작동한다. 그러나SOR방식의 수렴이 상당히 느려지는 경우들이 있다. 예를들면, 한방향으로의 셀 크기가 다른 방향으로 보다 훨씬 큰 망은SOR압력 완화가 횡방향의 작은 셀크기에 의해 제한되므로 큰 셀방향으로 느린 수렴성을 보여줄 것이다.

이런 형태의 더딘 수렴에 대한 보완은 더 작은 셀크기의 방향에서 더 내재적인 해석 방식을 사용하는 것이다. 이런 목적으로 수정된Alternating-Direction-Implicit (SADI)방식이 개발되었다. SADI는 망 셀의 한 i, j, 또는 k열을 따라 압력에 대한 표준 3중 대각해법에 근거한다.   이 해법은 주기적 경계를 포함하는 모든 경계조건에 적용 가능하다.

주기적 경계가 원통좌표계에서 방위각의 방향에 사용될 때IADIY=1로 지정함으로써-단지 이 방향으로만- ADI압력 해법을 사용하는 것이 권장된다. 이는 가끔 발생할 수 있는 압력과 속도해에서의 수치 잡음을 제거하는데 도움이 될 것이다. 다른 방법으로는OMEGA= 1.0을 지정하여 상향 완화를 잠금으로써 잡음을 감소시키는데 도움이될 수 있다.

SADI방식이 z방향으로사용되면 반복은 모든 i j색인을 거치고 각(i, j)쌍에 대해k-색인 방향에서 압력에 대해 내재적으로 해석하는 것으로 이루어진다. 이웃 열들에서 필요한 압력 값들은 표준ADI에서는 반드시 항상 그렇게 실행되지는 않지만 최신의 반복값을 항상 취하는데 이는 수렴을 향상시킨다.

SADI방식은 방향의 어떤 조합으로도 사용될 수있다: 어느 하나 또는 둘 또는 셋 모두. 이는 더 비용이 드는 내재적 소해가 단지 전체 반복의 수렴을 향상시키는데 필요한 방향에서만으로 제한될 수 있다는 것을 뜻한다.

단지 한 또는 두 방향으로만 내재적으로 처리될 때 열간의 상향 완화는SOR상향 완화에서 사용되는 변수OMEGA에 의해 조절된다. 일반적으로SADI는 이 변수에 그렇게 민감하지 않으며 디폴트 값OMEGA=1.7은 보통 만족스럽다.  SADI 가 세 방향 모두에 사용될 때 이 경우 상향 완화가 최대값에서 고정되므로 변수OMEGA 는 영향을 미치지 않는다.

Compressible Solution Method 압축성 해 방식

압축성 유동에서 셀 압력은 연속방정식 밀도를 상태방정식으로부터 결정되는 밀도와 동일시함으로써 결정된다. 이 방정식에는 SOR 와 SADI 방식 둘 다 이용 가능하다. 두 알고리즘에서 식(10.354)에서 사용되는 반복 함수는 아래와 같이 정의된다.

  (10.358)

인자∇ · (uAΦ)는 시간n+1에서의 속도에 의거하여 셀의 압축및 팽창을 조절하며 여기서

 (10.359)

C1은 유체 1에서의 음속이다. 외재적 해석 방식에서 외재적 모멘텀 방정식으로부터의 속도는 이며, 이는 가 셀압력에 대한 반복에 독립적이라는 것에 주목한다. 상태 방정식밀도는

 (10.360)

로 정의된다.

상태방정식 밀도는 압축이나 팽창에 의한 시간 정도 n에서 n+1사이에 발생하는 에너지변화에 대해 조절되지 않는 것에 주목한다. 반복이 매시간 단계에서 되풀이 되므로 에너지를 갱신하지 않는데서 비롯되는 오차가 기껏해야 한시간 단계 쳐지고 시간단계 안정성을 이루는 목적을 위해서도 의미가 없다. 식(10.354)에서 사용된 양δS/δp은 각 사이클에서 한 번씩 평가되고 저장되는 항DSDPU = δDTi,j,k/δpi,j,k을 필요로 한다.

SADI 해법은 비압축성에서와 같이 진행한다. 반복함수는 아직 3중 대각 시스템(횡방향에서의p대한 최신의 반복값을 유지하며)으로 처리될 수 있다. 모든 셀에 대해 어느 경우에도 수렵에 도달한다.

  (10.361)

SOR해석 알고리즘에서 상태방정식에서의 밀도에 대한 압력의 의존도가 비선형(코드의 사용자 수정에 의해 가능)일 경우에 유용한 선택이 주어진다. 다음셀로 전진하기 전에 식(10.361)의 조건을 만족하기 위해 셀내의 압력을 변화시키도록내부 반복이 실행된다. 사용자는 내부 반복의 최대수(IITMX)와  완화인자 OMEGA를 지정해도 된다. IITMX > 1이면OMEGA = 1.0이 권장된다.

지정된 속도 및 지정된 압력경계 조건은 계산영역 내에 이용 가능한 반복법중에 어느 방법으로도 계산하기 어려운 균일한 압력변화를 형성할 수가 있다.  이런 경우에 전반적으로 균일한 압력조절을 주기 위해 추가 알고리즘이 압축 해 과정에 주어진다. 이 선택은 변수IPUN를 1로 지정함으로써 활성화된다. If IPUN = 0이면 균일 압력변화는 평가되지 않는다. 이 균일 압력조절은 셀들에 대해 Si,j,k와 셀 체적의 곱을 합하고 이 결과를δS/δp와 셀 체적의 곱의 셀들에 대한 합으로 나눔으로써 계산된다.

GMRES Pressure-Velocity Solvers GMRES 압력-속도 해법

새로운 압력-속도해법이FLOW-3D [AMS90], [BBC+94] [Saa96] 에서 실행되고 있다. GMRES는  일반화된 최소 잔류 방법을 뜻한다. GMRES솔버에 추가하여 또 새로운 선택적 알고리즘- 일반화된 짝 구배(GCG)알고리즘-이 새 GMRES솔버에서 점성항을 위해 실행되고 있다. 이 새 솔버는 많은 범주의 문제들에 대해 아주 정확하고 효과적이다. 좋은 수렴성, 대칭 및 속도성을 갖는다; 그러나SOR 이나 SADI방법보다 더 많은 메모리를 사용한다. GMRES 솔버는  과소 또는 상향 완화를 사용하지 않는다.

사용된 방법들에 대한 상세한 내용은http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp에 있는 사용자 주소상의 Flow  Science TN68에서 찾을 수 있다.

[FLOW-3D 물리모델] Sediment Scour and Deposition 퇴적물의 세굴(쇄굴) 및 퇴적

퇴적물의 세굴(쇄굴) 및 퇴적

퇴적물 세굴(쇄굴) 모델은 모델을 맞는 데이터로 보정하기 전에 알아야 할 수 많은 방정식을 사용한다. 자세한 방정식들은 Theory 장의 the Sediment Scour Model 절 뿐만 아니라 http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp.에있는 Flow Science 리포트에 기재되어 있다.

 

Sediment properties 세굴성질

세굴(쇄굴)모델은 PhysicsSediment scour 를 선택하고 나타나는 창의 펼쳐지는 메뉴에서 모델링 되어야 할 각기 다른 퇴적 종류들의 수를 지정함으로써 사용자 인터페이스에서 활성화되어야 한다. 정의될 수 있는 퇴적 종 들의 최대 수는 10개다.

Sediment Definition

 

  • Maximum packing fraction 은 최적물이 영역 내에 가라앉아 다져질 때의 최대 고상율을 조절한다. 이 값은 퇴적종의 배치에 상관없이 같다. 이의 디폴트 값은 구의 최대 패킹율인 0.64 이다. 다중 분산된 퇴적물에 대해서는 값이 더 커질 수 있다.   단일 분산된 불규칙적인 퇴적입자들에 대해서는 더 작을 수 있다.Richardson-Zaki coefficient multiplier는 퇴적입자들이 농축될 때 침전하는 이들에 대한 항력효과를 조절한다. 디폴트 값은 1.0이고 이는 입자끼리의 상호작용에 의한 항력의 증진효과가 Richardson-Zaki 모델에의해 정의된다는 것을 뜻한다.부유 퇴적물의 확산은 Molecular diffusion coefficient Turbulent diffusion multiplier 이 0이 아닌 값으로 정의되면 고려된다. Turbulent diffusion multiplier 는 보통1인 Schmidt 수의 역수이다.

     

    패킹된 퇴적층 조도는 퇴적물의 d50에의해 정의되며 bed roughness / d50 ratio 이다. d50는 패킹된 퇴적물이 있는 모든 각 셀에서 각 매 시간 단계마다 계산된다. 추천되는 비율 승수의 값은 2.5이다.

     

    각 퇴적물 종류에 대해 Name 은 선택적으로 입력될 수 있다; 이는 후처리 동안에 퇴적물의 종류를 확인하는데 도움이 된다. 이름이 주어지지 않으면 디폴트이름은 Sediment sp. n 이다. 각 종류의 Diameter 는 모사에 사용된 길이의 단위를 갖는 같은 종의 평균 입자직경이다. Density 는 모사 시 다른 곳에서도 사용된 같은 농도의 단위인 퇴적물 종류의 microscopic (입자) 농도이다. 퇴적물 농도는 디폴트 값이 없으므로 사용자에 의해 주어져야 한다.

     

    Critical Shields Number 는 입자운동이 처음으로 관찰되는 무차원의 임계전단이다. 임계 Shields 변수의 함수로써 퇴적물의 침식을 기술하는 데는 수많은 단순화 및 근사화가 있다. 세굴(쇄굴)은 확률적 현상이어서 경험적 변수를 사용하는 것이 불가피하다. 가장 좋은 결과를 위해 특정 경우에 맞는 값을 이용한다. Shields 변수가 주어지지 않으면 FLOW-3D http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp에 있는 Flow Science 리포트 03-14에서기술된 Soulsby-Whitehouse 방정식을 이용한 Shields 곡선으로부터 값을 계산할 것이다.

  • Sediment Scour and Deposition 세굴(쇄굴) 및 퇴적

Critical Shields Number 는 바닥 구배를 참작하기 위해 각 셀에서 매시간 단계마다 수정될 수 있다. 경사진 바닥면에서 중력의 접선성분이 다져진 바닥이 유동방향에 따라 다소간 안정되도록 하기 위해 작용한다. 결과적으로 유체가 경사면을 따라 올라가면 임계전단응력은 증가하고 유체가 내려가면 감소한다. 경사효과 조절을 활성화하기 위해 Local Adjustment of Critical Shields Number For slope effect 를 체크한다.

Angle of Repose 는 바닥의 최대 안정각(일반적으로 30-40도)을 기술하며 경사 효과를 위한 국부적인 임계 Shields 변수를 수정하는데 이용된다. 이의 디폴트 값은 32도이다.

Entrainment Coefficient 는 퇴적물이 주어진 임계 전단응력보다 큰 전단응력에서 침식하는 비율을 조절한다. Entrainment coefficient 는 세굴(쇄굴)율을 실험 데이터를 맞추거나 조절하는데 사용된다. 디폴트 값은 Mastbergen 와 Von den Berg [MVanDBerg03]의 데이터에서 0.018이다. 0의 값은 entrainment 모델을 완전히 중지시킨다.

Bed Load Coefficient 는 소류사 수송 방정식에 사용되고 임계 전단응력 보다 큰 전단응력에서 소류사 수송이 발생하는 비율을 조절한다. 사용자는 소류사 수송율 계산을 위해 Meyer-Peter 와 Mueller equation, Nielsen equation 또는 Van Rign equation 를 선택할 수 있으며 디폴트 값은 각기 8.0, 12.0 와 0.053다. 0의 값은 소류사 수송모델을 중지시킨다. Bed Load Coefficient 값은 원래 방정식을 따르는 이들 방정식들에 대해 조절할 수 있다. 예를 들면, Meyer-Peter 와 Mueller 방정식에 대해 그 후의 연구자들은 낮은 수송에 대해서는 5.0 에서 아주 높은 모래 수송은 13.0 그리고 일반적인 모래와 자갈([Rib98], [FernandezLuqueVanBeek76])들의 값은 5.7이다.

 

 

Packed sediment components 다져진 퇴적 요소

이 모델 및 다른 물리적 모델, 모사 시 요소의 형상과 격자를 지정한 후에 부유 및 다져진 퇴적물의 초기의 배치가 정의되어야 한다. 다져진 퇴적물 구역을 생성하기 위해 다른 것과 마찬가지로 요소를 생성하나 Meshing & Geometry Geometry Component Component type 옆의 펼쳐진 메뉴로부터 Packed sediment 를 선택한다.

packed-sediment-packed-component-type

일단 요소들이 Packed sediment 로 정의되면 이 요소의 각 부 요소로 가서 Packed sediment properties Packed Sediment Fractions 를 정의한다. 여기서 Physics Sediment scour 에서 정의된 다양한 퇴적물 종의 분율을 제공한다. 이들은 자동적으로 100%가 되도록 정규화될 것이다.

packed-sediment-properties

 

Initial sediment concentrations 초기 퇴적 농도

초기 부유퇴적물 구역을 정의하기 위해 Meshing & Geometry Initial 로 간다. 여기의 General 가지로 가면 Suspended sediment concentration 가지 내에 있는 계산영역 내의 모든 유체에 대해 각종의 부유 퇴적농도를 지정할 수 있다- 여기서 부유 퇴적물의 전반적 농도를 정의할 수 있다. 단지 정의된 구역 내 퇴적물을 정의하기 위해 Add 버튼을 클릭해서 Fluid regions 를 생성한다; 여기에 entitled Suspended sediment concentration 라고 된 가지가 또한 있는데 이로부터 그 유체지역의 부유 퇴적물 농도를 정의할 수 있다. 모든 농도들은 모사 시 다른 곳에서 사용된 농도와 같은 질량/체적의 단위로 입력된다.

suspended-concentration-intial-condition

Note

침전물 농도는 질량 농도, 즉 농도는 물 / 침전물 혼합물의 단위 부피당 침전물 종의 질량을 정의한다

 

Sediment concentrations at boundary conditions and sources

영역 경계에서 부유퇴적물의 경계조건 정보를 주는 것이 중요하다. 다져진 퇴적물은 흐르지 않으므로 이에 대한 자세한 정보는 경계에서 필요하지 않다. Meshing & Geometry Mesh Operations Mesh block x Boundaries 로부터 부유퇴적물을 추가하는데 필요한 경계면을 선택한다. 단지 유체가 유입되는 경계만이 해당한다. 경계면 대화상자로부터 Sediment 버튼을 선택한다: 여기서 유입되는 유체에 있는 다양한 퇴적 종들의 농도를 입력한다. 시간에 따른 표에 의한 데이터는 또한 버튼을 선택함으로써 주어질 수 있다.

부유퇴적물을 Mass-momentum sources 에 추가하기 위해 전과 같이 질량/모멘텀 소스(Activate Mass-Momentum Source참조)를 생성한다. Mass flow rate 는 정수의 농도 또는 고형물을 포함하는 혼합물의 Volume flow rate 에 근거한다. 부유퇴적물을 이 소스에 추가하기 위해 대화창의 SourceSediments 절에서 Sediment concentration 을 정한다. 이 변수는 고형물을 포함하는 체적유량에 대한 혼합물에서의 고형물의 질량유량의 비율로써 정의된다-즉, 모사 시 사용하는 밀도와 같은 단위의 전체농도.

부유 퇴적물은 또한 질량소스에서 추가될 수 있다. 요소를 생성하고 이를 질량소스 (Mass Sources 참조)로 정의한다. Mass flow rate 는 증류수 농도에 근거해야 하고 추가 퇴적농도는 Component PropertiesMass sourceSourceSediments 대화 가지에 있는 Sediment concentration 장에서 지정된다.

 

Sediment modeling considerations

퇴적물 모사의 정확성에 영향을 주고 고려되어야 할 인자들은:

  • 밀도변화 : 기본적으로 유체 밀도가 부유 된 부유 퇴적물의 함수로 계산 될 수 있도록 가변 밀도 모델이 활성화됩니다. 사용자는 Physics ® Density 평가 모델에서 Constant uniform density를 선택하여 유체 밀도에 대한 침전물 효과를 무시할 수 있습니다.
  • 난류모델링: 퇴적세굴(쇄굴)은 벽 근처 전단응력의 정확한 값을 필요로 하므로 정확한 난류모델이 난류유동에 대해 선택되어야 한다. Maximum turbulent mixing length 의 사용자 지정 값을 갖는 Physics Viscosity and turbulence 의 Renormalized group (RNG) model 이 추천되는 처음 모델인데 이는 Dynamically computed maximum turbulent mixing length 가 단상유동에 대해 개발된 알고리즘이기 때문이다. 격자가 바닥근처 속도 및 전단응력계산이 정확하도록 적절한 크기를 가져야 한다. 이 방법에 대한 상세 기술은 Wall Effects: Slip, Shear, and Component Roughness 절에 주어져있다.
  • 포함된 모델 및 사용자 수정의 제약: 퇴적 세굴(쇄굴)모델의 지배방정식은 경험적이며 이들이 유도된 데이터에 대해서만 타당하다고 알려져 있다. 이들은 임계 Shields 변수, entrainment, 소류사 수송 및 입자 침전속도에 대한 수많은 경험식이 들어 있으며 특정 모사는 FLOW-3D 에서 제공된 식과 다른 모델을 필요로 할지도 모른다. 모든 세굴(쇄굴) 함수들은 제공된 편집모듈 scour_critic.F, scour_lift.F, scour_bedload_rate.F 그리고 scour_uset.F. 에서 수정 가능하다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Fan and Impeller Model 팬과 임펠러모델

팬과 임펠러모델

FLOW-3D 에서 정의된 팬과 임펠러 모델은 날개의 회전율이 유체가 정상상태에 이를 때까지 많은 회전이 필요할 때 사용될 수있다.

이 모델은 회전과 축속도 성분을 유도한다. 팬이나 임펠러는 구역을 정의하나 실제 물체의 막힘효과가 없는 “phantom” 물체의 형태로 정의된다. 일반적으로 이런 물체들은 회전 날개에 의해 휩쓸어지는 외경 R , 내경 r, 두께 L 인 직원통으로 가정된다.

형상 이외에 팬이나 임펠러의 성능을 결정하는 나머지 변수들은 회전율 Sd, 날개가 얼마나 효율적으로 유체에 운동을 가하는 지를 결정하는 조절계수 Ad, 그리고 유도된 축방향 유동량을 조절하는 계수 Bd 들이다.

팬이나 임펠러의 성능은 상세한 날개의 크기와 형태 그리고 날개의 수에 의존하므로 경험식으로부터 Ad Bd 값을 결정하는 것이 최선이다. 이 장치들의 제조자들은 가끔 이 값들을 장치 통과시 압력 저하대 이를 통과하는 평균 유량의 그림인 소위 “성능곡선”으로 특성화한다.

Typical performance curve (solid line) and |f3d| approximation (dashed)그림 10.4 전형적 성능곡선(실선)과 FLOW-3D 근사치(점선)

FLOW-3D 에서 사용된 모델을위한 성능곡선은 회전 모멘텀소스를 장치 두께를 통과시의 등가 압력저하와 전체 단면을 통과하는 평균유량을 연관시켜 유도될 수 있다. 이 결과는:

(135)\Delta p = \rho L{A_d}\left( {\frac{2}{3}{S_d}{B_d}R\left( {1 - \frac{{{r^3}}}{{{R^3}}}} \right) - \frac{Q}{{\pi {R^2}}}} \right)

이 식에서 ρ 는 유체밀도이며 Q 는 순수 유량이다. 이 관계식은 다음에 의해 주어지는 위 그림의 y-절편 ∆ρ0 와 x-절편 Q0 를 갖는 선형 성능 곡선을 준다:

(136)\Delta {p_0} = \rho L\left( {\frac{{{Q_0}}}{{\pi {R^2}}}} \right){A_d}, \quad {Q_0} = \frac{2}{3}\pi \left( {{R^3} - {r^3}} \right){S_d}{B_d}

이 관계 및 주어진 회전율 OSPIN = Sd를 이용하여 OADRG = Ad 와 OBDRG = Bd 변수들이 원하는 성능 곡선에의 선형근사를 주도록 계산 될 수 있다.

액티브 시뮬레이션 제어

액티브 시뮬레이션 제어

전산 유체 역학 (Computational fluid dynamics, CFD)은 설계자가 개발하고자 하는 시나리오를 설계 할 수 있는 가상 실험실을 제공함으로써 오랫동안 제품 개발에 중요한 역할을 해왔습니다.

일반적으로 사용자가 제품 설계를 나타내기 위해 입력 파일을 만든 다음 제품의 성능을 이해하기 위해 시뮬레이션을 합니다. 성능 검증을 위해 일반적으로 기하학, 재료 특성 및 질량 유량, 경계 온도 및 압력, 출력 빈도와 같은 유동 조건이 포함됩니다. 시뮬레이션에서 얻은 결과 정보를 기반으로 다양한 입력 조건을 수정하고 더 많은 가정 시나리오를 조사하기 위해 시뮬레이션을 다시 시작합니다.

시뮬레이션에 대한 이러한 접근 방식은 폐회로 제어와 유사한 “what if – then do this”라고 생각할 수 있습니다. Active – Simulation Control이라고 불리는 FLOW-3D 및 FLOW-3D Cast 버전의 새로운 기능은 사용자들에게 인상적인 “what if – then do this” 컨트롤에 대한 시뮬레이션을 제공합니다.

 

용어 – 이벤트/조건 및 조치

능동적인 시뮬레이션 제어는 이벤트/조건 및 동작이라는 두 가지 개념을 기반으로 합니다. 다음은 각각에 대한 간단한 설명입니다.

이벤트/조건
히스토리 프로브의 사용자 지정 조건이 충족되면 이벤트가 발생합니다. 모든 유형의 프로브(정적 프로브, GMO에 부착 된 프로브 및 FSI / TSE 프로브)를 사용하여 조건을 정의 할 수 있습니다. 이벤트는 1-10 개의 조건으로 구성 될 수 있습니다. 사용자는 이벤트가 발생하기 위해 조건 중 하나 또는 모두를 충족해야하는지 여부를 지정할 수 있습니다.
조건의 예는 다음과 같습니다.
  • 히스토리 프로브 # 1의 유속은 3.25 미터 이상입니다.
  • 히스토리 프로브 # 2의 압력이 1 기압 미만
    지정된 조건이 충족되면 이벤트가 발생하고 이벤트와 연관된 모든 동작이 활성화됩니다.
행위

동작은 이벤트가 발생할 때 활성화되는 시뮬레이션에 대한 사용자 정의 변경입니다. 각 이벤트는 하나 이상의 조치를 활성화 할 수 있습니다. 동작의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.
y 축에 대한 GMO 회전을 외부 파일에 정의 된 시간 종속 값으로 설정합니다.
메쉬 블록 1의 x-min 경계에서 y- 속도를 0.0으로 설정합니다.
선택된 데이터 출력의 빈도를 0.0으로 설정하십시오 (매 사이클 출력)

응고 시뮬레이션에서 스퀴즈핀 활성화

이벤트가 발생하면 이벤트에 지정된 모든 동작이 활성화됩니다.

능동 시뮬레이션 제어의 응용

고압 다이 캐스팅
샷 플런저를 고속 샷으로 전환 : 고압 다이캐스팅 머신의 샷 플런저의 초기 동작은 공기 유입을 최소화하도록 제어됩니다. 예를 들어, 금속이 게이트에 도달하면 샷 동작이 빠른 샷으로 전환되어 부품의 금속을 원자화합니다. 능동적인 시뮬레이션 제어는 금속이 게이트의 일부 또는 전부에 도달했을 때 이를 감지하고 이에 따라 플런저 동작을 변경하는 데 사용할 수 있습니다.
중력 주조

중력 주조는 종종 쏟아져 나오는 분지를 사용하여 일정한 압력 헤드가 스프 루 위에 유지되도록합니다. 액티브 시뮬레이션 제어는 유역의 유체 높이를 기반으로 유역으로 붓는 것을 제어하는 ​​데 사용할 수 있습니다.

물 / 환경

제어 게이트는 어류가 받아 들일 수 있는 범위로 유속을 제한하기 위해 댐 구조물을 통과하는 어류 통로에서 일반적으로 사용됩니다. 능동적 시뮬레이션 제어는 물고기가 있는 지역에 위치한 프로브에서 속도 정보를 기반으로 게이트를 이동시키는 데 사용할 수 있습니다.

항공 우주
극저온 연료 탱크의 압력은 적절한 작동 및 안전을 보장 할 수 있도록 설계단계에서 유지되어야합니다. 순압력흡입헤드가 허용 수준 이하로 떨어지면 엔진에서 캐비테이션이 발생하고 장치가 파괴 될 수 있습니다. 능동적 시뮬레이션 제어는 증기 공간에서의 압력(이력 프로브) 손실에 대한 시스템의 가압 (질량 운동량 소스) 및 감압 (밸브 개방)을 시뮬레이션하는데 사용할 수 있습니다.
능동 시뮬레이션 제어 데모

능동적인 시뮬레이션 제어는 충진 켜기/끄기 및 믹서 동작을 제어하기 위해 혼합 시뮬레이션에 적용 할 수 있습니다 (아래 참조). 수축 충진관을 사용하여 용기에 마커 염료가 함유된 유체를 채웁니다. 충전이 완료되면 패들 믹서가 용기 내로 내려갑니다.

프로브가 필러 튜브에 부착되어 위치를 감지합니다. 다른 프로브가 믹서의 바닥에 부착되어 그 위치를 감지합니다.
필러 튜브가 지정된 레벨 이상으로 상승하면 혼합 임펠러가 유체로 들어가기 시작합니다. 믹서가 지정된 레벨에 도달하면 회전이 시작됩니다. 믹서가 콘테이너의 바로 위에있는 포인트에 도달하면, 믹서는 아래로 이동하는 것을 멈추지만 계속 회전합니다.
아래의 애니메이션은 컨테이너를 채우고 혼합할 때 유체의 염료 농도를 보여줍니다.

결론

여기에 표시된 믹싱 예제는 활성 시뮬레이션 컨트롤이 제공하는 광범위한 기능을 보여줍니다. 능동적인 시뮬레이션 제어를 통해 사용자는 설계의 실제 동작을보다 자세하게 표현할 수 있으며 시뮬레이션을 재시작하지 않고도 시뮬레이션 변경 사항을 적극적으로 구현할 수 있습니다.

[FLOW-3D 물리모델] Scalars스칼라

Description and usage 설명과 사용법

Scalars 모델은 사용자가 정의하는 스칼라 변수들을 계산에 포함할 수 있게 하는 강력한 기능이다. 수송방정식은 각 이류 스칼라 양에 대해 해석된다: 비이류 스칼라 양 또한 고려될 수 있다. 이 변수들은 유체밀도, 점도, 탄성계수 그리고 점탄성 계수를 스칼라 농도의 함수로 변화시키는데 이용될 수 있다. 스칼라들은 또 프로그램의 Customization 에 유용한데 이들은 flsgrf.* 로 자동으로 출력되는 이류 공간변수를 제공하고 이를 통해 소스항이나 다른 의존도를 소스코드 루틴의 사용자 수정에 의해 추가할 수 있다.

Setup and dependencies 설정과 의존도

모델은 Model Setup–>Physics–>Scalars 대화에서 설정된다. 새로운 스칼라는 Number of Scalars 를 증가시킴으로써 더해질 수 있고 각 스칼라 변수에 대해 물성과 거동이 지정될 수 있다.

scalar properties

  • 다른 물성들은Scalar title : 이는 설정과 후처리를 위한 스칼라의 이름을 전한다.이류: 이 선택은 스칼라 변수가 유체1, 유체2, 유체1과2 와 이류하는지 또는 아무것과도 이류 안 하는지를 정의한다. 대부분의 물리적 스칼라들은 이류한다; 이류하지 않는 스칼라들은 보통 사용자 주문 설정에 의해 결정된다.
  • density : 이를 이용하여 지역적인 스칼라 농도(단위체적당 질량의 단위로)가 지역 유체 농도에 추가될 수 있다.
  •  이는 스칼라의 분자확산 계수를 질량/(시간*길이)의 형태로 정의한다.
  • 이는 난류확산 모멘텀에 관련된 스칼라확산을 조절한다
    • 일단 스칼라 물성이 정의되면 스칼라 농도는 유체영역(Local Fluid Initialization참조)을 사용하여 Initial Conditions 에서 정의하여야 한다.
scalar initialization

스칼라농도는 mass sourcesmass momentum sources Mesh Boundary Conditions 안에서 또한 정의될 수 있다.

scalars at BCs

Note

  •  Density adds to fluid density 선택은 Density evaluationDensity evaluated as a function of other quantities 모델을 필요로 한다. Scalar viscosity option 선택은 Viscosity and turbulenceViscous flow 선택이 활성화 되어야 한다.Turbulent diffusion multiplier 선택은 Viscosity and turbulence 패널에서 난류모델중의 하나가 선택될 때만 적용된다.스칼라는 Elasto-visco-plasticity 모델이 활성화되면 유체의 탄성과 점탄성 물성을 변경할 수 있다.

Limitations

스칼라 모델은 상당히 일반적이지만 한 두 가지 제약이 따른다.

  • 스칼라의 농축은 단지 유체농도를 증가시킬 수 있지만 감소시키지는 못한다.지역 점도는 스칼라 점도와 유체 점도와의 밀도 가중 평균치이다.국부적인 탄성 및 점탄성 물성은 스칼라 탄성/점탄성 물성과 유체 탄성/점탄성 물성의 밀도 가중 평균치이다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Elastic Membrane and Elastic Wall Model탄성막과 탄성벽 모델

제한된 유체구조 상호작용(FSI) 기능이 탄성막과 벽모델을 이용하여 FLOW-3D 에서 가능하다. 이 모델에서 탄성막이나 탄성벽의 변형은 인접 유체유동에 영향을 미치고 교대로 유체 압력은 변형에 작용한다. 이런 상호작용이 완전히 결합된 방식으로 FLOW-3D 내에 기술되어 있다.

이 모델의 주요한 한계는 변형이 작다, 즉 각 막이나 탄 성벽은 그 휨이 크기에 비해 아주 작다고 가정된 것이다. 이는 대신에 모델을 유용하게 단순화를 가능케 한다. 박막과 탄성벽의 형상은 계산시 시간에 따라 변하지 않는다고 가정되고 한편 유체유동에 대한 이 변형의 효과는 유체구조 경계면 상에 분포된 체적 소스나 싱크로 기술된다. 압력이 막표면에 균일하게 작용한다는 추가 가정 하에 더 나은 계산 효율을 위해 구조해석 알고리즘보다 오히려 수치해가 박막의 변형을 결정하는데 이용된다.

Elastic Membrane 타성막

FLOW-3D 에서 탄성 막은 외력의 작용하에 작은 탄성 변형을 겪는 직각 또는 원형의 얇은 판이다. 이의 두께와 재질은 균일하다고 가정된다. 이의 모서리들은 단순히 지지되어 있거나 고정되 있을 수 있다. 단순 지지 모서리는 휨과 순수모멘트가 0인 모서리이다. 그러나 고정 모서리는 휨과 1차 미분값은 0이나 힘 모멘트는 일반적으로 0이 아니다. 어느 경우던지 이 모델은 막이 모서리를 따라서 다 같은 조건을 가지는것을 필요로 한다. 망 격자 내에 막의 위치는 제한이 없으나 막의 표면은 x, y, 또는 z 축에 수직이어야 한다.

이 모델은 막에 작용하는 두 외력을 고려한다: 수리력과 작동기 힘. 수리력은 막의 양편에 작용하는 압력을 적분하여 얻어진다. 그런 후에 전체 막 위에 균일하게 분포된 힘으로 전환된다.

작동기 힘은 마이크로-펌프 유동, 잉크젯 방울 형성같은 많은 응용에 존재한다. 한 예는 막에 부착된 압전 작동기이다. 전압이 가해지면 압전작동기는 막표면에 수직한 방향으로 힘을 가하는데 이것이 소위 작동기 힘이라고 불린다. 사용자는 작동기 힘을 사인파나 구간선형 인 시간의 함수로 지정할 수 있다. 이 모델에서 작동기는 항상 막의 한편 중심에 위치한다고 가정되고 작동기의 막과 접촉하는 면적의 형상(반드시 크기일 필요는 없지만)은 막의 형상과 같다. 다른 말로 막과 작동기는 직각 또는 원형이어야하고 같은 대칭축을 가져야한다. 작동기 자체가 보통 막보다 낮은 강직성을 가지므로 작동기의 힘은 항상 접촉 면적상에 균일하게 작용한다고 가정된다. 접촉 면적이 없으면 작동기 힘은 막의 중심에 작용하는 집중된 힘으로 처리된다.

더 나은 계산효과를 위해 더 나은 계산 효율을 위해 구조해석 알고리즘보다 오히려 해석해가 휨의 계산에 이용된다. 임의의 시간과 점에서 막은 수리력, 작동기 힘 그리고 막의 강성의 균형에 의해 정의되는 평형을 이루고 있다고 가정된다. 해석해는 작은 변형을 가지는 박판의 평형방정식을 해석함으로써 얻어진다.

(120){\nabla ^2}{\nabla ^2}w = \frac{f}{D}

여기서

  • w 는 휨
  • f 는 막의 단위 면적당 순수외력
  • D 는 굴곡 강성

(121)D = \frac{E{h^3}}{12\,(1 - {\nu ^2})}

여기서

  • E 는 영의 탄성계수
  • ν 는 포아송 비이며
  • h 는 막두께이다.
  • z 축에 수직인 표면을 가지는 직사각형의 막을 고려한다. 데카르트 좌표에서 시스템 식 (10.120) 은 다음과 같이 표현된다.

(122)\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^4}}} + 2\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {y^4}}} = \frac{f}{D}

편리하도록 좌표 원점을 막중심에 잡는다. a b 를 x 와 y 의 각기 방향에서의 막의 길이라고하자. 단순지지 모서리에 대한 막의 경계조건은

(123)\begin{gathered}
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{{\partial ^2}w}{\partial {x^2}} = 0 \quad \text{    for    } \quad x =  \pm \frac{a}{2} \\
  \\
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad  \frac{{\partial ^2}w}{\partial {y^2}} = 0 \quad \text{    for    } \quad y =  \pm \frac{b}{2} \\
  \end{gathered}

막이 고정된 모서리를 가진다면 막에대한 경계조건은

(124)\begin{gathered}
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{\partial w}{\partial x} = 0 \quad \text{    for    } \quad x =  \pm \frac{a}{2} \\
  \\
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad  \frac{\partial w}{\partial y} = 0 \quad \text{    for    } \quad y =  \pm \frac{b}{2} \\
  \end{gathered}

이다.

막에 대해 식 (10.120) 을 원점이 막의 중심에 위치한 원통좌표계로 쓰는 것이 편리하다,

(125)\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left\{ {r\frac{d}{{dr}}\left[ {\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{dw}}{{dr}}} \right)} \right]} \right\} = \frac{f}{D}

막의 반경이 a 일 때 단순 지지된 모서리에 대한 경계조건은

(126)w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {r^2}}} = 0 \quad \text{    for    } \quad r = a

이다.

고정 모서리에 대한 경계조건은

(127)w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{\partial w}{\partial r} = 0 \quad \text{    for    } \quad r = a

이다.

이 모델에서 사용되는 막의 휨에 대한 모든 해석해는 상기 식들을 만족한다. 일부 해석해는 Timoshenko (1959) 에서 찾을 수 있으나 다른 해들은 중첩 방식을 이용하여 Timoshenko 해로부터 얻어진다. 이런 해의 상세한 내용은 Flow Science Technical Note #79 를 참조하라.

유동에 대한 막의 운동효과를 고려하기위해 연속방정식이 우측에추가되는 체적 소스(또는싱크)항 S 로써 수정된다,

(128)\frac{{{V_f}}}{\rho }\frac{{\partial \rho }}{{\partial \,t}} + \frac{1}{\rho }\nabla  \cdot (\rho \,\vec uA) = S

계산 유효체적, 또는 망 셀에서,

(129)S = \frac{S_{\rm{mb}}}{V_{\rm{cell}}}\, {\vec V_{\rm{mb}}} \cdot \vec n

여기서 Vcell 는 셀 체적, Smb, ~n V~mb 는 망 셀에서의 각기 표면적, 단위 외부 법선 벡터와 막 표면의 속도이다. V~mb 는 처짐의 변화율로부터 얻어진다. VOF 함수의 이송방정식 또한 소스항 FS 를 이용하여 수정된다,

(130){V_f}\frac{\partial F}{\partial \,t} + \nabla  \cdot (F\vec u{A_f}) = FS

모멘텀, 에너지, 난류 그리고 스칼라들의 이송방정식은 변하지 않는데 그 이유는 FLOW-3D 에서 이 방정식들은 비보존 형태로 사용되기 때문이다. 이들이 연속방정식을 고려하여 보존형태로 유도될 때 막운동에 의한 소스항들이 상쇄된다.

Elastic Wall 탄성벽

FLOW-3D 에서 탄성벽은 임의 형상의 탄성물체이며, 그 표면 변형은 작고 수압에 비례한다. 즉,

(131)w =  - \frac{{(p - {p_{\rm{ref}})}}}{K}

여기서

  • w 는 표면 법선방향에서의 지역 휨
  • p 는 지역압력
  • pref 는기준압력
  • K 는 단위면적당 강성계수

이러한 종류의 탄성변형은 벽재질의 포아송비가 0이면 발생하며 이는 법선응력이 횡 변형을 일으키지 않는 것을 뜻한다. 포아송비가 0이 아니지만 작으면 탄성 벽 변형에 대한 좋은 근사법이다. 횡 변형 항이 무시되면 Hooke법칙은 다음과 같이 환원된다.

(132)\varepsilon  = \frac{\sigma }{E}

여기서

  • ε 는 변형
  • σ 는 수직응력
  • E 는 Young 탄성계수
  • 식(10.131) 에서 K 는 사용자-기술 변수이다. K 값을 정하기위해 한쪽은 고정되고 다른쪽은 수직력은 받는 평형에 있는 판을 고려한다. 포아송비는 무시할 만하고 수직응력은 표면상의 한 위치에서 σ 이다. 힘의 균형으로부터 판내의 수직응력은 그 위치를 통과하는 수직선상을 따라 같은 σ 이다. 판의 두께를 h 라하고 휨을 w 라고 표시한다. 변형은 이때 w/h 이고 식(10.132) 에서Hooke 의 법칙은 식 (10.131) 를 준다.

(133)w = \frac{\sigma }{{{E \mathord{\left/
{\vphantom {E h}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} h}}}

이 경우 이라는 것을 가리킨다. 일반적으로 K 는 다음으로 추정된다

(134)K = \frac{E}{L}

여기서L은 탄성벽의 두께에 비교될 만한 길이 규모이다. 또한 실험 측정이나 실제규모의 구조해석 같은 다른 방법으로 부터도 구해질 수 있다.

유체 유동에 대한 이 탄성벽 운동 효과는 벽표면에 체적 소스(또는 싱크)를 추가함으로써 기술된다. VOF 에대한 연속 및 이송방정식들은 탄성막에 대한 절에서 기술된 것과 같은 방식으로 수정된다.

Model Limitations

이 모델은 다른 형상, 크기, 방향 및 물리적 양을 가지는 다수의 탄성막과 탄성벽 물체를 허용한다.이는 대부분의 다른 FLOW-3D 모델들과 같이 사용될 수있다. 예를들면 막과 탄성벽을 통과하는 열전달이 포함될 수있다. 그러나 제약과 제한도 있다.

이 모델에서 탄성막과 탄성벽이 작은 휨을 가져야한다. 막에 대한 작은 휨은 휨이 막의 크기보다 작다는 것을 뜻한다. 한 탄성벽에서 그 변형은 계산 셀 크기와 비교하여 작아야한다. 이 가정은 변형되는 표면의 위치에 실제 차이를 무시하게끔 한다. 다른 말로 막과 변형하는 벽의 형태는 그들의 초기에 지정된 정의대로 계산하는 동안 고정된다. 위에 보여준 바와 같이 유체 운동에 대한 표면 변형의 효과는 변형하는 표면상에 유체 소스 분포를 통해 모델링된다. 계산 결과가 보여질 때, 변형은 의 등고선을 그림으로써 가시화될 수있다. 탄성막/벽은 동시에 다공체이거나 이동체일 수가 없음을 또한 주목한다. 이동체가 막이나 탄성벽과 충돌하면 후자는 충돌모사에서 고정된 강성체로 간주되어서 충격은 단지 이동체의 운동에만 영향을 줄 것이다.

[FLOW-3D 물리모델] Rotating Axisymmetric Components 축대칭 회전요소

순수한 회전형태에서의 접선속도가 원통, 구 그리고 원뿔 같은 고체 축 대칭 요소에 지정될 수 있다. 속도성분들은 표면에 접해야 하므로 이 요소들은 항상 같은 물리적 공간을 차지한다. 이 요소들은 항상 고체이어야 하고 일반요소 같이 정의된다. 확대, 회전 그리고 병진을 포함하는 변환을 통해 이 요소들은 어떤 위치나 방향을 가지게끔 한다.

축대칭 요소 형상이 정의되면 Meshing & Geometry Component Properties Axisymmetric Spinning Object를 연다:

Axisymmetric Spinning Object:

rotating-components-properties

Note:노트

축방향이 중요하다: 물체는 축에 대해 오른손 법칙에 따라 회전한다. 그러므로 점1에서 점2를 내려보면서 물체는 Spin rate의 양의 값에 대해 시계방향으로 회전한다.

물체는 회전축에 대해 축 대칭어야 한다. 그렇지 않으면 모델은 요소 전체의 표면에 올바른 속도를 지정하지 않을 것이다.

See also:

팬과 임펠러 모델요소: Fan and Impeller Model.

비축대칭 물체의 운동을 계산하기 위한 General Moving Objects

가속 기준계를 위한 Non-Inertial Reference Frame Motion

단순운동을 하는 비축대칭 경우의 Moving Components with Tangential Surface Velocity

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Elasto-visco-plastic & Viscoelastic Model 탄성-점성-소성 및 점탄성모델

어떤 물질은 전체응력 상태에서 압력과 점도외에 추가의 응력이 존재한다: 탄성응력. 점성응력은 물질의 변형율의 함수인 반면에 탄성응력은 물질의 지역 전체 변형의 함수이다. 이런 물질은 탄성응력이 항복 한계까지 증가하며 그 때에 점성유체 같이 거동하는 Bingham 유체, 그리고 지역 변형율에 따라 물질안에서 점성 및 탄성응력이 계속적으로 변하는 점탄성 물질을 포함한다. Bingham 유체의 예는 치약 같은 고상입자들이 작은 변형하에서 서로 “잠겨져” 있고 이 결합이 부서지면 액체같이 흐르는 고상으로 채워진 부유물 형태이다. 중합체 융해와 용매는 점탄성 유체의 예인데 중합체의 긴분자들이 서로 얽혀 급격한 전단력을 받으면 변형에 저항하지만 전단이 천천히 일어날 경우 쉽게 다른 분자들을 지나 미끄러질 수 있다.

점성응력은 순전히 어느 한 시점에 영역 내 모든 점에서의 순간 변형율에 달려있어서 모사 기간 중에 FLOW-3D 에서 저장될 필요가 없지만 탄성응력은 물질 내 한 점에서의 시간에 대한 이력이 현재 상태의 탄성응력을 계산하기 위해 알려져야 할 필요가 있으므로 저장되어야 한다. 더구나 대부분 물질은 자연적으로 등방성이고 Cauchy 응력은 대칭이며 6개의 고유한 탄성응력텐서 성분이 있다. 디폴트로 이들은 이류 양들로 저장되어 탄성응력은 영역전반에서 물질을 따라 이류된다. 최소한의 유동이 예상되는 경우에 탄성응력의 이류는 중지될 수 있다.

단지 탄성응력의 편향 부분이 저장된다; 등방성 부분은 단지 압력이고 이는 FLOW-3D 에서 점성 액체에서와 마찬가지로 연속방정식의 시행을 통해 해석된다. 편향 부분은 물질의 전단 및 인장과 관련된 탄성응력이다. 응력의 등방성 부분은 (거의) 비압축성 물질에 대한 압력과 많이 유사하게 해석된다; 모든 경우에 대해 대부분 물질의 높은 체적 탄성율로 인한 작은 시간간격을 피하기 위해 내재적으로 해석된다. 응력의 편향 부분은 탄성응력(Elastic stress) 솔버의 활성화시킴으로써 내재적 또는 외재적으로 별도로 해석된다.

 Model Formulation 모델형성

FLOW-3D 에 포함된 증분적 탄성응력 모델은 선형Hookean 이론을 사용하는 탄성응력을 계산한다. 비록 이 간단한 구성 방정식은 응력에 선형 반응을 예측하지만 증분 모델로서의 시행은 상당히 비선형적 반응의 예측을 허용하는데 이는 각시간 단계 내의 증분적 변형은 작으므로 각각의 작은 시간 단계내의 반응이 선형으로 근사될 수 있기 때문이다.

탄성응력, 점성응력 그리고 항복의 관계는 선택된 모델에 의존한다.

탄-점소성모델에대해 밑의 그림은 어떻게 전체 응력이 항복응력 한계로 인한 미끄러짐에따라 점성 응력과 탄성 응력의 합이 되는지를 그림을 통해 보여준다. 이와같이 이 모델은 전체응력 상태를 각기 감쇄기와 스프링으로 나타내진 점성응력과 탄성응력의 합으로 예측한다. 이 모델에 의해 기술된 바와같이 이런 재질의 봉이 아주 단기간에 부과되는 일정량의 변형을 겪는다고 가정하자. 이 모델은 변형에대해 선형적으로 비례하는 탄성응력의 상응 증가를 예측한다. 또한, 변형이 부과되는 단기간에 점성응력도 상당히 클 것이며 단지 부과되는 변형이 멈출때 0으로 떨어질 것이다. 더 큰 변형이 탄성응력이 항복응력을 능가하는 점까지 부과되면 재질은 항복 변형되어 액체처럼 흐르기 시작할 것이다.

Pictorial view of Elasto-viscoplastic model, showing the relationship between the elastic and viscous stresses.그림 10.1 탄성과 점성 응력간의 관계를 보여주는 탄성-점소성 모델의 그림도해

점탄성 모델(Oldroyd-B 모델 또는Giesekus 모델) 이 선택되면 점성과 탄성 응력 사이의 도해적 관계가 하기 그림에서와 같이 보여진다. 이 모델에서 스프링과 감쇄기는 직열로 연결되어 물질 내의 임의의 점에서 힘의 전체상태는 점성응력과 탄성응력이 둘 다 같다는 뜻에 주목한다. 그러나 변형과 변형율은 매우 다를 수 있다. 급격히 인장되는 이 재질로 된 봉은 급격한 이동에 의해 변형률이 크므로 큰 점성응력을 가질 것이다. 탄성응력도 마찬가지로 커서 재질은 고체같이 거동할 것이다. 같은 전체 변형이 장기간에 적용된다면 결과적으로 변형율이 아주 작아져서 점성력도 매우 작을 것이다, 마찬가지로 전체 변형이 매우 크더라도 탄성력이 매우 작음에 틀림없다. 이런 상황에서 재질은 아주 점성 액체같이 거동할 것이다.

Pictorial view of viscoelastic model, showing the relationship between the elastic and viscous stresses.그림 10.2 탄성과 점성응력의 관계를 보여주는 점탄성 모델의 도해

변형과 변형율을 전체 응력상태에 연결해 주는 모델은 구성 방정식들이며 FLOW-3D 에서 3가지 선택이 있다(탄성력이 전혀 없다는 표준 가정과 함께).

(103){\boldsymbol \sigma } = -p {\mathbf{I}}+ {{\boldsymbol \tau }_V} + {{\boldsymbol \tau }_E}

Navier-Stokes 시스템 방정식의 해에 필요한 전체 응력상태는 σ = −pI + τV + τE 이며 여기서 p 는 지역압력, τV 는 점성응력의 편향성분, τE 는 탄성응력의 편향성분이다. p τV 는 이미 현재의 모델에서 고려되고 있다; 이 모델의 목적은 τE를 계산하는 것이다.

Elasto-viscoplastic model

점소성 모델에서 각 시간 단계 사이에 작은 변형의 Hookean 가정을 사용하므로 증분적 응력(한 계산 사이클에서 다음까지의 변화)은 증분적 변형에 관련되어 있다.

(104){{\boldsymbol \tau }_E} = \left( {K - \tfrac{2}{3}G} \right)e{\mathbf{I}} + 2G{\mathbf{E}} - 3\alpha K\left( {\Delta T } \right){\mathbf{I}}

여기서

  • τE 는 탄성응력 텐서
  • E 는변형텐서
  • I 는 단위등방 텐서
  • G 는전단탄성울
  • K 는 체적탄성율
  • α 는 선형열팽창계수
  • T 는 지역 열증분이며
  • e 는 체적변형;
  • 이는 재질의 등방성 팽창이나 수축을 특성화하며 변형 e 의 대각성분 합

(105){\textup{tr}} \left( {\mathbf{E}} \right) .

과 같다.

식(10.104) 은 한 선형 모델이지만 각 증분 변형이 선형가정을 따르기에 충분히 작도록 작은 시간 동안에 증분적으로 계산된다면 비선형 과정도 예측될 수 있다. 식(10.104) 은 τE 의 (정의에 의해 τE 는 대칭) 편향 과 등방 성분 둘 다에 대해 쓰여질 수 있다. 편향 성분은

(106){{\boldsymbol \tau '}_E} = 2 G {\mathbf{E '}}

여기서 τE 는 탄성응력의 편향 성분이고, G 는 전단 탄성율, 그리고 E는 증분 변형의 편향 성분이다:

(107){\mathbf{E'}} = \Delta t \left\{ {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}} \left[ {\nabla {\mathbf{u}} + {{\left( {\nabla {\mathbf{u}}} \right)}^T}} \right] - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 3$}} \left( \nabla \cdot {\mathbf{u}} \right) {\mathbf{I}} \right\}

여기서 u 는 지역의 물질속도( FLOW-3D에서 계산되는 것 같은)이고 ∆t 는 시간단계이다

식 (10.104)의 등방성 부분은 p = −Ke + 3αK, 이며 여기서 p 는 평균 등방응력 또는 “압력”의 음이고 −tr (τE)/3와 같다. 식(10.106) 을 미분방정식으로 표현할 수 있다:

(108)p = - Ke + 3\alpha K\left( {\Delta T} \right)

(109)\underbrace{\frac{\partial {\boldsymbol \tau '}_E}{\partial t}}_{\substack{\textrm{Change in stress} \\ \textrm{at fixed point in space}}} + \underbrace{\nabla \cdot \left( {\mathbf u} {\boldsymbol \tau '}_E \right)}_{\substack{\textrm{Change in stress}\\ \textrm{due to movement}\\ \textrm{of material}}} = \underbrace{2G {\mathbf{D'}} \left( {x, t} \right) }_{ \substack{\textrm{Change in stress}\\ \textrm{due to stretching}\\ \textrm{or shearing}}} + \underbrace{{\boldsymbol \tau '}_E \cdot {\mathbf{W}} + {\mathbf{W}}^{ \mathbf{T}} \cdot {\boldsymbol \tau '}_E}_{ \substack{\textrm{change in stress due to}\\ \textrm{solid-body rotation}}}

여기서 D는 변형 율 텐서의 편향성분이다. 3차원에서 이것은

(110){\mathbf{ D'}} = {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}\left[ {\nabla {\mathbf{u}} + {{\left( {\nabla {\mathbf{u}}} \right)}^T}} \right] - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 3$}} \left( \nabla \cdot {\mathbf{u}} \right){\mathbf{I}}

이며 W와동 텐서이다

(111){\mathbf W} = \frac{1}{2} \left[ {\nabla {\mathbf{u}} - {{\left( {\nabla {\mathbf{u}}} \right)}^T}} \right] .

식 (10.109) 은 FLOW-3D 에서 탄성응력 성분을 저장하기 위해 스칼라 배열을 이용하여 해석될 수있다; 이 성분들은 이미 물질의 운동과 함께 이류되고 증분적 응력이 각 시간단계에서 응력 텐서 성분에 추가된다. 유사하게, 식 (10.108) 은 다음과같이 다시 쓰여질 수 있다.

(112)\frac{{\partial p}}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {{\mathbf{u}}p} \right) = - K\dot e + 3\alpha K\left[ {\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {{\mathbf{u}}T} \right)} \right]

식 (10.112) 의 이류항(좌측2번째항)은 압력파가, 특히 고체 내에서, 물질이 이류하는 속도보다 훨씬 빠르므로(모든 아음속 모사에서) p 의 시간 미분량에 비해 상대적으로 작다고 가정된다.

응력의 현재값은 물질요소의 과거 이력의 함수이다. 영역으로 들어오는 물질은 영역경계에서 별도로 지정되지 않는한 의미없는 응력을 갖는다. 또한 모사 시작시의 초기조건은 초기조건에 의해 지정되지 않는한 의미없는 응력을 갖는다. 항복효과를 예측하기 위해 Mises항복 조건이 사용된다. 이 조건은

In order to predict yielding effects, the Mises yield condition is used. This condition is

(113)I{I_{{\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}} = \frac{Y^2}{3}

이며,  여기서 IIτE 는 탄성 응력텐서의 2차 불변항이고 Y 는 사용자 지정변수인 항복응력 한계이다. 탄성응력이(IIτE 에 의해 측정되는) 항복 범주를 벗어나는 물질의 지역에서 탄성응력은 식 (10.113) 의 조건이 만족되도록 완화된다:

(114){\boldsymbol \tau '^{^*}}_{\mathbf E} = \sqrt{\frac{2Y^2}{3I{I_{{\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}} } {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} }

여기서 τ*E 는 항복-한계의 탄성 응력텐서이다; 유체의 모멘텀 균형을 위한 Navier-Stokes 방정식에 적용되는 것이 이 텐서이다.

Viscoelastic models 점탄성모델

점탄성 물질에서는 유체내 점성력과 탄성력의 연속적인 균형이 이루어지므로 다른 구성 방정식이 필요하다. 식(10.104) 대신에 항복 조건인 식 (10.113)과 함께 Oldroyd-B 모델에 대한 τE 를 정의하기 위한 구성방정식은

(115)\lambda \frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t} + {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} = 2 \eta {\mathbf D'}

이다.

여기서 λrelaxation time 이고 ηelastic viscosity 이다

\frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t}  {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}의  upper-convected derivative 이다. 또는 η 로 정의될 수 있는데 여기서 G 는 고체같이 거동하는 물질의 탄성계수이다.  그러므로

(116)\frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t} = 2 G {\mathbf D'} - \frac{1}{\lambda} {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}

식(10.116) 은 우측의 추가 선형항을 제외하고는 식 (10.109) 와 같은 형태로 확장된다. 완화시간 λ 의 큰 값은 이 항이 작고 탄성응력이 천천히 완화된다는 것을 뜻한다. 작은 λ는 이항이 크고 탄성응력이 아주 급격히 완화된다는 것을 뜻한다

유사하게 Giesekus 모델에서도 식 (10.115)에 추가 비선형 항이 더해진다:

(117)\lambda \frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t} + {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} - \alpha \frac{\lambda}{\eta} {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} \cdot {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} = 2 \eta {\mathbf D'}

여기서 αdimensionless mobility factor이다. 이 인자는 물질의 점탄성 거동에 대한 추가 맞춤 변수를 제공한다. 다른 변수들은 Oldroyd-B 에 대해서와 같은 의미를 갖는다.

식 (10.117), 를 재정리하여 다음을 얻는다:

(118)\frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t} = 2 G {\mathbf D'} - \frac{1}{\lambda} {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} + \frac{\alpha}{\lambda G} {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} \cdot {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}

Oldroyd-B Giesekus 모델에서 구성방정식 (10.116)과 (10.118)들은 FLOW-3D 스칼라 이류 방정식을 이용하여 해석되고 식 (10.109), (10.116), 또는 (10.118) 들의 추가 항(선택된 모델에 따라)들은 내내적 또는 외재적으로 풀어진다. 다음절은 이를 더 자세히 기술한다.

Solution Method

변형율텐서 E˙ 의 해법은 점성 응력 알고리즘에 사용된 것과 유사하다. E 의 법선성분은 셀 중심에서 계산돠고 전단 성분은 셀 면에서 계산된다. 하기 그림은 전형적인 계산셀과 응력성분 계산 위치를 보여준다. 전단성분은 계산의 편리성과 수치안정성 때문에 셀 면에서 계산된다.

Computational cell showing locations of components of strain rate tensor

Figure 3변형율텐서의 인자의 위치를 보여지는 수치해석 셀

 

자유표면에서 외부유체는 유체면에 무시할 만한 응력을 미치는 기체기포로 가정된다. 그러므로 이런 경계면에서 n·τE = 0이다. FLOW-3D 에서 자유표면과 인접한 셀의 주방향은 알려져 있다. 이 정보로부터, τE 의 관련된 성분은 위에서 언급된 조건을 만족시키기 위해 자유표면에서 0으로 지정된다. 고체벽과 물체와의 경계면에서 벽(또는 물체)과 인접하는 셀의 유체속도와 벽(또는물체)의 속도가 식 (10.110)를 이용하여 변형율을 계산하는데 이용된다.

외재적 방법이 선택되면 탄성응력은 전 시간단계의 정보를 이용하여 식 (10.109), (10.116) 또는 (10.118) 들에서 갱신되고 τE 의 결과값이 다음 단계의 새속도를 계산하기 위해 식 (10.9) (점성 가속도에의 추가항으로) 에서 사용된다.

이 방법은 각 시간 단계에서 단순하고 빠른 장점을 갖는다. 그러나 탄성효과가 다른 효과들을 능가하는 물질들에서는 수치안정성 제약이 아주 작을 수 있다. 그러므로 이런 문제들에서 시간단계의 제약을 없애기 위해 내재적 방법이 선택될 수 있다. 이 방법의 단점은 각 시간단계에서 훨씬 더 큰 계산적 노력이 필요하며 물리적으로 존재하는 진동을 감쇠시킬 수 있다.

내재적 알고리즘이 사용되면 속도 예측은 외재적방법과 같이 계산된다. 그러나 속도가 등방성 응력식(10.112) 과 함께 모멘텀 방정식의 잉여속도(외재적 근사와 가장 최근의 속도의 근사와의 차이)에 의거하여 갱신된다: 

(119)\delta {\mathbf{u}} = \frac{{\Delta t}}{\rho }\left[ { - \nabla \left( {\delta P} \right) + \nabla \cdot \left( {\delta {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} } \right)} \right]

여기서 τE 의 값은 가장 최근의 값이다.

식 (10.119) 을 해석하는데 이용되는 방법은 Jacobi 방법이다; 이 방법에서 영역 전체에 대해 갱신된 모든 탄성응력텐서는 전반복에서 계산된 속도에 근거하여 해석된다; 인접한 최근에 계산된 셀들의 성분들은 다음 반복때까지 반영되지 않는다. 이는 한 반복에서 다음 반복때까지 속도의 차이가 미리 지정된 수렴공차 보다 작아질 때까지 반복된다. 원하면 이 방법은 점성효과가 아주 큰 물질들에 대한 Jacobi 내재적 점성 응력 방법과 함께 사용될 수 있다. 현재, 내재적 탄성응력모델은 ADI (Alternating Direction Implicit) 나GMRES (Generalized Minimum Residual Solver) 내재적 점성 응력 알고리즘과 함께 사용될 수 없다.

압력 P 는 식 (10.112)을 이용하여 별도로 계산되며 해법 알고리즘은 액체압력에 대해서와 똑 같다. 압력과속도 성분은 식 (10.112) 의 잔여가 미리 지정된 수렴 공차 밑으로 떨어질 때까지 각 반복에서 갱신된다. 수치적 방법은 SOR (Successive Over Relaxation), ADI, 또는GMRES일 수 있다. SOR 알고리즘은 현 반복단계에서 갱신된 인접 값들을 포함하여 최근에 갱신된 값이 사용된다는 점을 제외하고는 이미 언급된 Jacobi 방법과 아주 유사하다. ADI 알고리즘은 동시에 선택된 방향의 줄 전체의 셀을 해석하며 GMRES 알고리즘은 완전히 결합된 방정식 시스템을 해석한다.

Computation of parameters 계산변수

탄성계수 G , 항복응력한계 Y , 완화시간 λ 그리고 유동인자 α 는 유체 1과 2모두에 정의 될 수 있다. 추가로 표로 시간에 따라 변하는 데이터를 제공할 수도 있다.

두 점탄성 유체가 한 계산 셀내에 있을 때 그 셀내의 변수는 두 유체 물성치의 가중 선형보간 값을 이용한다. 표상의 온도의존 데이터에 대해서는 FLOW-3D 내의 다른 온도 의존 양에서와 마찬가지로 구간 선형 보간이 두 데이터 점 사이에서 가정된다.

[FLOW-3D 물리모델] Porous Media 다공질

Kr 는 유효 포화 Se (위에 정의) 와 무차원변수 B (항력계수B) 의 함수로 정의된다.

여기서

a b 는 실험적 데이터에 의해 정의되는 계수이다.

ubulk 는 겉보기 속도(즉, 매질을 통한 유체의 체적유속)이다.

p 는 다공 매질 내 공간에서의 압력구배이다.

선형(Darcian) 과 2차 (non-Darcian ) 유동손실방정식은 Fd 에대해 하나의 식으로 결합되어있다.

Darcy의 초기관측은 다공 Reynolds 수 ReP 가1보다 작을 때 유효하고 보통 10까지 상당히 정확하며 2차항을 추가함으로써 매질 내 유체속도가 ReP >10 을 능가하는 매질 내 유체속도에 대해서도 더 나은 정확성을 얻을 수 있다. 2차항은 Forchheimer Saturated Drag Model 에 관한 다음절에서 논의된다. Darcian 모델에 대해 식 (11.10) 의 FdMeshing & Geometry Geometry Component Properties Porous Properties 에서 Drag Coefficient A 로써 직접 지정된다.

여기서

ubulk 는 겉보기 속도(즉,매질을 통한 유체의 체적유속)이다.

K 는 고유 투수성이다.

µ 는 동점성이다.

p 는 다공 매질 내의 압력구배이다.

투수성 K 는 항력계수 Fd 의 항으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서

ρ 는 유체밀도

dpore 는 다공매체 내 평균다공 throat 직경

φ 는 매질의 유효 다공도이며 다공도의 입력값과 같다: OPOR 또는 OPORX, OPORY, OPORZ 중의 최대

여기서 ∆t 는 현재의 계산사이클에서의 시간간격 크기이다. 이 값은 항상 0(무한한 항력-유동이 없음)과 1(무항력-무한한 투수성)사이 이다. 이 양은 출력에서 1 − DRG 로 그려지고 normalized drag coefficient 라고 불린다.

 

미시적 속도 umicroscopic 는 매체를 교란시키지 않고 입자와 유동 궤적 사이의 속도를 정확히 측정하는 것이 어려우므로 실험에서는 직접적으로 거의 측정되지 않는다. 대신에 거시적(체적)속도가 단위매체를 지나는 통과시간 또는 매체 내/외부로의 유동량으로 측정된다. 포화 거시 및 미시적 속도는 이론적으로 방정식을 통한 매체 유효 다공도와 연관되어 있다.

Porous Media 다공질

다공 요소 생성

다공요소는 두 가지 동등한 두 개의 방법으로 Model Setup → Meshing and Geometry 탭에서 지정될 수 있다.

새 요소를 형상에 추가할 때 Add Component 에서 또는 Geometry Component Type 트리에서 Component Type 으로써 가능하다.

First of two Ways of Adding a Porous Component

Second of two Ways of Adding a Porous Component

다공요소물성

일단 Component TypePorous 로 지정되면 요소 가지 Meshing & Geometry Geometry Component Properties Porous Properties 에 있는 매개변수들은 활성화 된다(항력계수는 단지 다공항력 모델이 Physics tab Porous media 대화창에서 선택되면 활성화 된다).

다공: 전체 체적(체적다공)에 대한 빈공간 체적 비율이다. 다공값은 양의 수 이어야 하며 그렇지 않으면 고체로 간주된다. 다공값0은 고체(닫힌)형상이며 값1은 빈(열린)형상을 뜻한다. 디폴트값은 0.5이다. 공간적으로 다공값이 다른 복잡한 지역을 정의하기 위해 다수의 다공요소를 사용한다. 다공은 무차원(전체체적당 공간체적)이고 시간에 따라 변하지 않는다.

X-, Y-, 및 Z-방향 다공: 체적다공성은 관다발에서와 같이 선호되는 유동방향을 따르는 비등방성 물질의 모사를 고려하기 위해 각 좌표방향으로 각기 지정될 수 있다. 방향다공의 단위는 전체면적당 막힌 면적이다(무차원). 체적다공성은 이 세 개의 값 중에서 가장 큰 값이다.

모세관 압력: 매체내의 유동에 대한 평균적인 일정한 추가 저항 또는 증강을 일으키는 모세(표면장력)관 효과에 의한 함수이다 . 모세관압력은 압력(힘/면적, 질량/길이/시간 2)단위를 갖는다. 다른 모세관 압력 모델에 대한 상세내용은 하기 Porous Media Physics Models 에서 주어진다.

지정표면적: 매체단위 부피당 전체 표면적. 이는 단지 열전달에만 이용되며 디폴트 값은 1이다. 단위는 면적/체적(길이-1).

Darcian / Non-Darcian 투과성: 다공질의 선형과 비선형투과성. Permeability dependent saturated drag (IDRG = 2) 모델이 Model Setup Physics Porous Media 대화창에서 선정될 때 이용된다.

항력계수 A / B: 매체 내 유체가 겪는 저항의 크기를 기술하는 계수들. 이 매개변수들의 값과 단위는 선택된 항력모델에 달려 있다(예를 들면, Forchheimer saturated drag).

최소 포화: 배수되지 않는 다공 체적율. 보통 모세관 표면장력의 효과의 함수이다. 디폴트는0이고 무차원이다.

최대 포화: 충진 가능한 최대 다공율. 고체에 의해 완전히 막혀있던가 또는 기포에 의해 갇혀 있어서 유체로 채워질 수 없는 지역이 있을 때 1보다 작다. 디폴트는0이고 무차원이다.

불포화 항력함수: 불포화 매체에 대한 항력(즉, 침투성)관계를 선정한다. 선택은 하기 Porous Media Physics Models 에서 자세히 기술되어 있다.

불포화 압력곡선: 완전 습윤과 배수 이력 현상 관계가 사용되는지 또는 단순 습윤 및 배수곡선이 사용되는지를 선택한다.

최대 모세관 압에서의 단순포화: 단순 모세관압 모델이 사용될 때 이항은 일정한 절대 포화(무차원)를 기술하며 이 값 밑에서 모세관압 크기가 최대이며 상수이다.

단순화된 최대 모세관압: 단순화된 최대 모세관압을 사용할 때 절대포화에 상응하는 모세관압. 단위(힘/면적,질량/길이/시간2)

압력곡선 Fitting 계수: 파워법칙이나 지수 항력모델을 사용할 때 불포화 매체에서의 압력,항력 및 모세관압 간의 관계식을 기술하는데 이용되는 무차원 지수

습윤 및 배수곡선변수: Van Genuchten 모세관압 효과모델에 사용되는 습윤 및 배수 곡선 변수

User-Defined Component Porous Properties

 

다공매체의 물리모델

FLOW-3D 에서 다공요소의 모델링은 3가지 주요 선택을 필요로 한다.

  1. 유동형태(포화 또는 불포화)
  2. 항력모델(Porous Media Drag Models 참조)

모세관 압력모델( Capillary Pressure Models 참조)

Selecting a Physics Model to Describe Flow in Porous Media

유동형상- saturated 또는 unsaturated – 는 Porous Media Drag Models 의 선택을 통해 Model Setup Physics Porous Media 의 대화에서 지정된다. 특정 설정 들은 요소물성에서 지정되지만 모세관 압력 모델 또한 여기서 선택된다.

No drag 의 선정은 모세관압을 갖는 다공매체에서 항력은 없지만 뚜렷한 경계면을 가진다- 즉 기본적으로 유체가 다공질을 통과할 때(질량보존에 의해) 가속하게 되지만 추가항력은 계산되지 않는다.

Saturated drag 모델에 대해 상수의 균일한 Capillary Pressure 가 각 요소에 지정될 수 있다. 이는 단지 one-fluid, free-surface 모사에만 해당한다. 모세관 압력은 다공 내 유체와 가스의 경계면의 높은 곡률에 의해 다공질 내 발생하는 압력이다. 유체에 젖는 매체(즉 접촉각이 90보다 작은)는 양의 모세관압을 가지며 젖지 않는 매체는 음의 모세관압을 갖는다. 모세관압의 크기는 습윤(또는 비습윤)의 거동의 크기 및 다공의 형상에 비례한다.

Unsaturated flow 모델에서는 모세관압은 다공매체전체에서 그리고 지역의 포화상태에 따라 변한다. 낮은 포화상태를 갖는 지역(즉, 액체 양이 작은)은 경계면 곡률이 크므로 더 큰 모세관압을 갖는다. 최대포화에 도달하면 경계면이 없으므로 모세관압은 0이 된다. the Porous Media Drag Models Capillary Pressure Models 에 대한 각 방법 및 다른 선택은 하기에 보여진다.

Surface Tension 물리모델에서 계산된 표면장력압력은 다공매체 내에서는 무시된다. 그러나 Surface Tension 압력은 다공매체 외부에서는 유체에 작용한다(그리고 계산된다)(Model Reference -> Surface Tension 을 보라).

Porous Media Drag Models

FLOW-3D 에는 다공매체를 위한 6개의 다른 항력모델이 있다.

Porous Media Drag Models

There are six different drag models for porous media in FLOW-3D :

처음3가지 모델은 포화 유동을 위한 것이며 Model Setup Physics 탭의 Porous media 대화창에서 활성화되고 모든 다공요소에 적용된다. 나머지3개의 항력모델은 포화 다공매질을 위한 것이며 Component Properties 에서 각 요소당 지정된다. 이를 위해서는 Porous media 대화의 항력모델이 Unsaturated flow 로 지정되어야 한다.

FLOW-3D 에서 다공매체 내의 유동에 의한 저항은 Navier-Stokes 방정식에서 속도에 비례하는 항력의 항으로 나타난다.

(6){\mathbf{b}}{\text{ }} = {\text{ }}{F_d}{\mathbf{u}_{\text{microscopic}}}

여기서 항력계수 Fd 는 of [1/시간] 의 단위를 갖는다. 항력 항 (Fdumicroscopic) 은 모멘텀 균형의 우측항에 더해진다(Momentum Equations 참조 ). 여기서 umicroscopic 는 거시적 유동속도이며 후처리에서도 또한 볼 수 있다. 항력 Fd 는 각 시간 단계마다 각 셀 내에서 계산이 되고 ∆t (시간간격크기)를 이용하여 무차원 양 DRG 로 변환된다:

\text{DRG} = \frac{1}{{1 + {F_d}\Delta t}}

여기서 ∆t 는 현재의 계산사이클에서의 시간간격 크기이다. 이 값은 항상 0(무한한 항력-유동이 없음)과 1(무항력-무한한 투수성)사이 이다. 이 양은 출력에서 1 − DRG 로 그려지고 normalized drag coefficient 라고 불린다.

미시적 속도 umicroscopic 는 매체를 교란시키지 않고 입자와 유동 궤적 사이의 속도를 정확히 측정하는 것이 어려우므로 실험에서는 직접적으로 거의 측정되지 않는다. 대신에 거시적(체적)속도가 단위매체를 지나는 통과시간 또는 매체 내/외부로의 유동량으로 측정된다. 포화 거시 및 미시적 속도는 이론적으로 방정식을 통한 매체 유효 다공도와 연관되어 있다.

(7)\mathbf{u}_{\text{microscopic}} = \frac{ \mathbf{u}_{\text{bulk}} }{\phi}

포화유동항력 모델에서 이는 다공 Reynolds numbers 의 제한된 범위 내에서 유효하며 이의 정의는

Re_P = \frac{\rho \left| {\mathbf{u}_{\text{microscopic}}} \right| {d_{\text{pore}}}}{\mu } \approx \frac{\rho \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right| {d_{\text{pore}}}} {\phi \mu }

여기서

ρ 는 유체밀도

dpore 는 다공매체 내 평균다공 throat 직경

φ 는 매질의 유효 다공도이며 다공도의 입력값과 같다: OPOR 또는 OPORX, OPORY, OPORZ 중의 최대

 

Darcian 포화항력모델

Darcian 포화항력의 기본은 Henry Darcy 방정식이며 이는 다공매체를 통한 한 방향의 유동량은 적용된 압력 차이에1차적으로 비례한다는 것이다.:

(8)\mathbf{u}_{\text{bulk}} = - \frac{K}{\mu } \nabla p

여기서

ubulk 는 겉보기 속도(즉,매질을 통한 유체의 체적유속)이다.

K 는 고유 투수성이다.

µ 는 동점성이다.

p 는 다공 매질 내의 압력구배이다.

투수성 K 는 항력계수 Fd 의 항으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(9)K = \frac{{\phi \mu }}{{\rho {F_d}}} \Longrightarrow F_d = \frac{{\phi \mu }}{{\rho K}}

식 (11.8) 과 (11.7) 을 결합하여 다음과 같다.

(10){F_d} \cdot \mathbf{u}_{\text{microscopic}}= - \frac{1}{\rho} \nabla p

Darcy의 초기관측은 다공 Reynolds 수 ReP 가1보다 작을 때 유효하고 보통 10까지 상당히 정확하며 2차항을 추가함으로써 매질 내 유체속도가 ReP >10 을 능가하는 매질 내 유체속도에 대해서도 더 나은 정확성을 얻을 수 있다. 2차항은 Forchheimer Saturated Drag Model 에 관한 다음절에서 논의된다. Darcian 모델에 대해 식 (11.10) 의 FdMeshing & Geometry Geometry Component Properties Porous Properties 에서 Drag Coefficient A 로써 직접 지정된다.

Forchheimer 포화항력모델

Forchheimer 식은 다공 매체내의 손실을 (선형) 점성 및 형상(2차)항력항의 조합으로 기술한다. 형상항력은 다공 Reynolds 수(ReP ) 가 10보다커질 때 중요하게 된다. Forchheimer 식에서 압력 저하는 다음과 같이 주어진다.

(11)- \nabla p = \left( a + b \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right| \right) \mathbf{u}_{\text{bulk}}

여기서

a b 는 실험적 데이터에 의해 정의되는 계수이다.

ubulk 는 겉보기 속도(즉, 매질을 통한 유체의 체적유속)이다.

p 는 다공 매질 내 공간에서의 압력구배이다.

선형(Darcian) 과 2차 (non-Darcian ) 유동손실방정식은 Fd 에대해 하나의 식으로 결합되어있다.

F_d \mathbf{u}_{\text{microscopic}} = - \frac{1}{\rho} \nabla p = \frac{\mu }{\rho }\frac{1 - {\phi}}{\phi}\left[ {A \frac{{1 - \phi}}{\phi} + B \frac{{Re_p}}{d_{\text{pore}}} } \right] \mathbf{u}_{\text{microscopic}}

압력손실 식(11.11)과 결합하여 체적속도의 함수로써 단위 길이당 압력손실의 1차 및 2차 효과를 나타낸다.

(12)- \nabla p = A \cdot \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right| \mu \frac{(1 - \phi )^2}{\phi^3 } + B \cdot \left| \mathbf{u}_{\text{bulk}} \right|^2 \rho \frac{(1 - \phi)}{\phi^3}

AB는 실험적으로 결정되는 계수 ab 에 관련되어 있다.

(13)A = a \frac{\phi^3}{\mu (1 - \phi)^2} {\text , } \quad B = b \frac{\phi^3}{\rho (1 - \phi)}

식 (11.13) 은 압력손실 실험 데이터의 곡선맞춤에 이용되는데 AB는 매질 고유의 손실 계수이다.

실험데이터가 없으면 이들은 추정된다

A = \frac{\alpha }{d_{\text{fiber}}^2} {\text , } \quad B = \frac{\beta }{d_{\text{fiber}}}

여기서

α 는상수이며 보통 180정도이다.

β 는 보통1.8과4.0사이의 조도인자(부드러운 것부터 거친 섬유 조직) 이고

dfiber 는 섬유조직, 수지상 조직 또는 다공매체의 입자들의 평균 등가 구경이다. 무작위로 쌓여진 구들에 대해서는 Ergun 식은 α = 150 와 β = 1.75를 사용한다. 실험데이터가 있으면 이를 이용한 계수들은 더 나은 정확도를 준다.

 

Permeability Dependent Saturated Drag 투수성 의존 포화항력

 

투수성에 의존하는 포화항력모델은 Drag Coefficient A Drag Coefficient B 대신에 입력으로 다공 매질 투수성을 갖는 Forchheimer Saturated Drag Model 일뿐이다. 이는 다공 매질 투수성이 알려지면 포화 유동 다공 모델을 정의하는 편리한 방법이다.

Forchheimer의 압력강하 식 (11.11) 에서 계수 a b 는 다음과 같이 다공 매질 투수성과 관련되어 있다

a=\frac{\mu }{K} {\text , } \quad b=\frac{\rho }{K_2}

여기서

µ 는 점성이고

ρ 는 밀도이고

K 는 Darcian 투수성이며

K2는 non-Darcian 또는 관성 투수성이다.

Eq. (11.13) 식과 결합하여 항력계수 A B 는 Darcian 투수성 K 와 non-Darcian 투수성 K2 로 다음에 의해 연결된다.

A = \frac{\phi^3}{(1 - \phi)^2 K} {\text , } \quad B = \frac{\phi^3}{(1 - \phi) K_2}

non-Darcian 투수성 K2 가 주어지지 않으면 Drag Coefficient B 는 0으로 지정되고 항력 모델은 Darcian Saturated Drag Model 로된다.

 

Saturated Drag Losses in the Shallow Water Model 천해 모델에서의 포화항력손실

천해모델은 정수압을 가정하는2차원단순화이다. 주위를 요하며 다공매질과 함께 이용될 수 있다. 상세 내용은 Combining Porous Media and the Shallow Water Model 절에서 주어진다.

 

Unsaturated Drag Losses in Porous Components 다공요소내의 불포화 항력손실

불포화 다공요소내의 항력손실은 모세관압 효과와 같이 주로 포화의 함수일뿐만 아니라, 다공크기 같은 매질의 내재적 특성, 비틀림 그리고 미세형상의 함수이다. 불포화항력 모델은 Unsaturated Flow Model Setup Physics Porous Media 대화에서 선택될 때 각 요소에 대해 선택될 수 있다. 항력모델을 선택하기 위해 Model Setup Meshing & Geometry Component Porous Properties 트리에서 Power Law (IODFIT = 1), Exponential (IODFIT = 2), 또는 Mualem (IODFIT = 3)로 정한다. 이 모델들은 하기에서 기술된다.

 Power Law Unsaturated Drag Model 멱법칙 불포화 항력모델

가장 단순한 불포화 항력모델은 항력계수 Fd (상기 기술) 를 일정상수로 그리고 포화의 멱볍칙을 Drag Coefficient B 로 연결한다.

{F_d} = A \cdot S_e^{ - B}

  • 여기서Se 는 다공질(상기 기술)의 유효포화B 는 경험적으로 결정되는 변수 Drag Coefficient B 이고 포화관계를 기술하며 B = 3.0 는 이론적으로 균일한 공 크기를 갖는 밀집층을 나타내는 것으로 보여질 수 있다.

    ADrag Coefficient A 이고 매질이 충분히 포화되었을 때(시간의 역수단위) 항력을 기술하며 경험적으로 다음과 같이 추정될 수 있다.

A = \frac{{\alpha \mu {{\left( {1 - \phi} \right)}^2}}}{{\rho \phi^2 d_{particle}^2}}

여기서

α 는 일반적으로 180정도의 값을 갖는 상수(무작위로 충전된 구에 대한 Ergun 식에 대해서는 150이 맞다)이며

φ 는 다공매질의 다공도이다.

항력의 관계는 또한 모세관압과 같은 이력현상을 따른다는 증거가 있다.; 이런 단순화된 멱법칙 모델에서 (자기) 이력현상 효과의 불확실성은 무시된다.

 

Exponential Unsaturated Drag Model 지수불포화모델

멱법칙보다 더 물리적인 기술을 하는 지수법칙모델은 항력계수 Fd 와 셀 유체분율 F 사이에 다음 관계식을 이용한다.

F_d = \frac{F}{F - F_{CMN} } \cdot A \cdot S_e^{ - P_{exp}} \cdot e^{B \left( {1 - S_e} \right)}

 

여기서

Fd 는 항력계수(상기기술)

FCMN Minimum Saturation

A Drag Coefficient A

PexpPressure Curve Fitting Coefficient 이며

BDrag Coefficient B 이다.

알려진 투수성 데이터에 맞는 Minimum Saturation, Pressure Curve Fitting Coefficient, 및 Drag Coefficient B 값들을 선정하고 the Drag Coefficient A (시간의 역수) 는 다음을 이용하여 추정될 수가 있다.

A = \frac{{\alpha \mu {{\left( {1 - \phi} \right)}^2}}}{{\rho \phi^2 d_{particle}^2}}

Note

  • drag 모델과 Simplified unsaturated capillary pressure 모델 둘 다 같은 Pressure Curve Fitting Coefficient 값을 이용한다.Input Variable Summary and Units 절의 Capillary Pressure Component Properties 를 보라: 관련된 입력파일 값들에 대해서는 Porous Components

 

Mualem’s Unsaturated Drag Model for Relative Permeability 상대 투수성을 위한 Mualem 의 불포화 항력모델

이 모델은 실험적 근거에 상당히 의존하고 있으며 투수성은 포화 투수성 K0 (면적단위 ) 와 상대 투수성 Kr (무차원)의 곱으로 나타난다.

K = {K_0} \cdot {K_r}

Kr 는 유효 포화 Se (위에 정의) 와 무차원변수 B (항력계수B) 의 함수로 정의된다.

K_r = \sqrt {S_e} {\left[ {1 - {{\left( 1 - S_e^{\frac{1}{B}} \right)}^B}} \right]^2}.

FLOW-3D 에서의 모든 다공 항력 모델은 투수성 K 를 계산된 항력함수 Fd 로 나타낸다.

K = \frac{{\phi \mu }}{{\rho {F_d}}}.

이 모델에서 포화 투수성 K0Drag Coefficient A (하기에 A 로 정의되는)의 역수로 지정된다.

K_0 = \frac{{\phi \mu }}{{\rho A}}.

결과로 나타나는 항력계수 Fd 는 다음과 같다.

{F_d} = { \frac{A}{\sqrt {S_e} {{\left[ {1 - {{\left( {1 - S_e^{\frac{1}{{B}}}} \right)}^{B}}} \right]}^2}}}

 

Capillary Pressure Models 모세관압 모델

 

Capillary Effects in Saturated Porous Components 포화 다공요소에서의 모세관압 효과

다공매체내의 포화유동은 완전포화와 완전 비포화 지역 사이의 뚜렷한 경계면을 가지는 특성이 있다.. Saturated drag 또는 No drag Physics Porous media 에서 선택되면 Capillary Pressure ( Meshing & Geometry Geometry Component Properties Porous Properties에서 정의되는)는 완전포화와 비포화(즉, 0.0 < 유체분율 F < 1.0) 지역 사이 경계면 에서만 적용되는user-defined constant 이다. saturated porous media 내에서의 현저한 경계면은 정확한 경계 계면 형상을 유지하기 위해 FLOW-3D의 VOF 알고리즘에 의해 계산된다.

Capillary Pressure 는 다공매질 내 경계면에서의 공간 압력으로부터 차감된다. 이는 각 요소에 대해 정의되며 매질이 습윤할 때 양이고 그렇지 않을 경우 음이다. 경계면 모세관압을 결정하는 가장 좋은 방법은 실험실 실험이며 다음관계식은 다공질내의 모세관압을 산정한다.

 

p_{\text{cap,sat}} = \frac{4 \sigma \cos \theta }{d_{\text{pore}}}

여기서

σ 는 유체의 표면장력이고

한 다공 내 유체와 고체의 접촉각(< 90 보다 작으면 습윤 , 90 보다 크면 비습윤)이며

dpore 는 다공매질 내의 평균 다공 직경이다.

Unsaturated Capillary Effects in Porous Components 다공요소내 불포화 모세관압 효과

(Physics ‣ Porous media ‣ Unsaturated flow)

다공매질 내 모세관압 1유체 자유표면 유동에서만 이용될 수 있다. 포화와   모세관압 관계를 기술하는 2가지 모델이 있다: Simplified capillary pressure 모델 (IVG = 0) 과 더 완전한Van Genuchten capillary pressure 모델 [NB88] (IVG = 1).

두 모델 모두에서 사용자가 모세관압을 지역포화도 함수 및 하나이상의 이력현상함수로 지정할 수 있게 한다. 사용자는 Model Setup Meshing & Geometry Component tree Porous Properties 에서 Unsaturated Pressure Curve 선택을 변경하여 각성분에 대해 이력현상을 포함하거나 무시할 수 있다.

 

  • Wetting & Draining – full hysteresis (IOPCFD = 0),
  • Wetting only (IOPCFD = 1), or
  • Draining only (IOPCFD = 2)

추가로 다음3가지항력 모델중의 하나가 각 요소에 선택될 수 있다.

Simplified Van Genuchten capillary pressure 모델 둘 다 Minimum Maximum 포화값을 사용하는데 이는 매질의 0과1사이의 감소될 수 없는 최대 절대포화 분율을 나타낸다. 지역유체분율 F 를 이용하여 상대(유효)포화 Se 를 결정한다:

{S_e} = \frac{F - F_{CMN}}{F_{CMX} - F_{CMN} }

 

여기서 FCMN Minimum Saturation 이고 FCMXMaximum Saturation 이다.

모세관 압과 항력모델과 이들의 변수는 하기에 개별적으로 기술되어 있다.

 

Simplified Unsaturated Capillary Pressure Model 단순화된 비포화모세관압모델

포화와 모세관압 간의 단순한 관계의 습윤과 배출 형태가 아래와 같이 도해로 보여진다.

Simplified Unsaturated Capillary Pressure Model Hysteresis

 

PCMX 는 the Simplified Maximum Capillary Pressure 이고 Simplified Saturation at Maximum Capillary Pressure –상기 그림의 Fpcmx 에서 물질 내 유체를 유지하는 최대 모세관압을 정의한다.

Simplified Saturation at Maximum Capillary Pressure 보다 큰 포화곡선의 형상은 다음 관계로부터 주어진다. 기포생성(공기유입) 압력 Pb,는 공기가 초기에 포화된 매체에 들어갈 수 있는 압력이며 Simplified capillary pressure 모델에서의 습윤과 배수곡선과의 분리의 크기이다.

{p_{cap,drain}} &= {p_b}S_e^{ - P_{EXP}} \\ {p_{cap,wet}} &= {p_b}\left( {S_e^{ - P_{EXP}} - 1} \right)

여기서

{p_b} &= P_{CMX}{\left( {\frac{{F_{PCMX} - F_{CMN}}}{{F_{CMX} - F_{CMN}}}} \right)^{P_{EXP} }}

and

  • P_{EXP} is the Pressure Curve Fitting Coefficient,
  • P_{CMX} is the Simplified Maximum Capillary Pressure,
  • F_{PCMX} is the Simplified Saturation at Maximum Capillary Pressure,
  • F_{CMN} is the Minimum Saturation, and
  • F_{CMX} is the Maximum Saturation.

 

실험 데이터를 만족시키는 Pressure Curve Fitting Coefficient, Simplified Maximum Capillary Pressure 그리고 Simplified Saturation at Maximum Capillary Pressure 의 값을 선택한다.

스캔 곡선을 조사해보면 충진과 배수가 번갈아 발생할 때 pcap Se 의 변화를 나타내며 하기와 같은 임의의 단순화된 구배 관계를 갖는다

\frac{\partial p_{cap}}{\partial S_e} = \frac{\partial p_{cap,drain}}{\partial S_e} + \frac{p_{cap,drain} - p_{cap,wet}}{0.1}

Note

입력변수요약 절 Capillary Pressure Component Properties를 보라: 관련 입력파일 값들은 Porous Components.

Van Genuchten Unsaturated Capillary Pressure Model 불포화 모세관압 모델

포화, 모세관압 그리고 유체의 배수/습윤 상태간의 복잡한 관계식에 대한 더 나은 물리적 표현은 하기에 보여진 습윤방향에 대한 일련의 변화를 위한 상태 경로를 보여주는 화살표를 지닌 Van Genuchten capillary pressure 모델에 의해 주어진다.

Van Genuchten Capillary Pressure Model Hysteresis

그림에서의 번호는 다공 매체의 다음과 같이 진행하는 전형적인 포화경로를 보여준다.

포화 매체로부터 배수시작. 모세관압은 곡선을 따름

반대로 충진. 모세관압은 1차충전 스캔곡선을 따른다.

반대로 배수. 모세관압은 2차 배수 스캔 곡선을 따른다.

배수지속. 모세관압 외표면 형성.

최소절대포화. 충진시작 모세관압 외표면에 형성

반대로 배수. 모세관압은 1차 배수 스캔곡선을 따른다.

반대로 충진. 모세관압은 2차 충진 스캔곡선을 따른다.

반대로 배수. 모세관압은 3차 배수 스캔곡선을 따른다.

1차 습윤 및 배수곡선은 각 다공매체-유체계의 모세관압 거동범위를 정의한다. 충진과 배수가 완전히 이루지기 전에 습윤과 배수과정이 전환되면 모세관압은 거동범위내의 스캔곡선을 따른다. 무한히 많은 수의 습윤과 배수 스캔곡선이 거동 범위 내에 존재할 수 있으며 실제곡선은 배수/충진이 역전이 될 때의 지역 포화압과 모세관압에 의존한다. [NB88] 에서 상세히 기술된 이 모델은 1차배수와 2차습윤 스캔곡선을 포함하도록 강화되어 있다.

p_{cap,wet} &= \alpha_w \left[ \left( \frac{1}{S_e} \right)^{\frac{1}{m_w}} - 1 \right]^{\frac{1}{n_w}} \\ p_{cap,drain} &= \alpha_d \left[ \left( \frac{1}{S_e} \right)^{\frac{1}{m_d}} - 1 \right]^{\frac{1}{n_d}}

여기서

  • pcap,wet 는 습윤모세관압
  • αw 는 압력단위의 Wetting Curve Alpha Coefficient : 길이의 역수(헤드)인 문헌의 값을 변환해야 될지도 모른다.
  • mw Wetting Curve m-exponent 이며 땅에 대해서는 자주1 - \frac{1}{n_w} 로 가정된다.
  • nw 는 the Wetting Curve n-exponent
  • pcap,drain 는 배수 모세관압
  • αdαw 같이 압력단위의 Draining Curve Alpha Coefficient이며 땅에서는 자주 αw 로 가정된다.
  • mdDrainin Curve m-exponent 이며 땅에 대해서는 자주 1 - \frac{1}{n_d}로 가정된다.
  • nd Draining Curve n-exponent 이며 땅에 대해서는 자주 nw로 가정된다
  • 곡선은 위의 식을 이용하여 실험 데이터와 곡선 맞춤으로부터 정의되어야 한다. 1,2차 및 고차 배수곡선은 유동방향이 한 번, 두 번 또는 그 이상 바뀌었나에 따라 중간 모세관압 대 포화경로를 정의한다. 스캔 곡선형태는 실험에서 결정되어야 하는 1차곡선 변수들에 의해 정의된다. 일반적 값들(위의 곡선을 생성하기 위해 이용되는)은 밑에 보여진다.
Parameter Value
Minimum Saturation (OFCMN) 0.0714
Maximum Saturation (OFCMX) 0.9400
Wetting Curve Alpha Coefficient (ALPHWOBS) 53316 dyne/cm2
Draining Curve Alpha Coefficient (ALPHDOBS) 118630 dyne/cm2
Wetting Curve m-exponent (XMWOBS) 0.6
Draining Curve m-exponent (XMDOBS) 0.9091
Wetting Curve n-exponent (XNWOBS) 9
Draining Curve n-exponent (XNDOBS) 11

Note

입력변수요약 절 Capillary Pressure Component Properties를 보라: 관련 입력파일 값들은 Porous Components.

 

Porous Baffles 다공배플