[FLOW-3D 이론] Numerical Approximations 수치근사 – Diffusion Process, Heat Conduction and Heat Transfer 확산과정, 열전도및 열전달

Numerical Approximations 수치근사

Diffusion Process, Heat Conduction and Heat Transfer  확산과정, 열전도및 열전달

Diffusion Process  확산과정

내부 점성 전단(즉, 고체 경계로부터 떨어진 곳에서의 전단응력)과 유체 분율의 확산, 유체 밀도, 유체 에너지밀도, 난류에너지 그리고 난류 소산들은 모두 유사한 방식으로FLOW-3D에서 처리된다. 각 과정에서의 확산계수는 동적 점도µ에 비례하며 이는 FLOW-3D에 포함된 난류 모델과 사용자에 의해 포함된 다른 모델의 결과로 공간및 시간에 대해 변할 수 있다.  이 변화를 고려하기 위해 모든 확산 과정들은 더 통상적인 Laplacian 형태 보다 유속의 발산으로 공식화 된다.

확산과정을 위해 사용된 외재적 차분 기법은 상당히 간단하다. 점도와 확산된 양은 전시간 단계의 배열로부터 평가된다. 이는Stability Considerations에서 토론된 안정성 요구로 연결된다. 이러한 제약은 점성모멘텀 확산항의 내재적 처리가 선호되는 어떤 경우들에는 상당히 심각하다(Implicit Viscous Stress참조). 스칼라양 확산의 공간 차분 또한 상당히 단순하다. 망 셀 표면을 통과하는 유속량은 확산계수와 셀 표면적율의 평균곱에 면의 양 편에 있는 셀 중심 양들의 1차 차분을 곱하여 평가된다.

점성 응력의 공간 차분은 필연적으로 벡터 성격으로 인해 더 복잡하다. 간단히, 지역전단율을 얻기 위해 1차차분을 속도성분에 적용하고 점도와 셀 표면적율의 평균 곱을 곱한다. 그후 이 결과는 순수 점성응력을 근사화하도록 차분화된다.  모든 양들은 이 계산에서 외재적으로 평가된다.

Heat Conduction and Heat Transfer  열전도와 열전달

열전도및 열전달 항들은 유체 에너지 밀도 방정식(10.21)및 고체 온도 방정식(10.38) 둘 다에서 나타난다. 이항들은FLOW-3D에의해 유사하게 처리되고 관련된 시간단계 안정성 제약을 없애기 위해 선택할 수 있는 두가지 내재적 공식을 포함한다. 이 근사는 이 열과정과 관련된 시간 규모와 유체유동 자체, 특히 정상및 준정상 상태에서의 시간규모의 큰 차이 때문에 포함되어있다(Implicit Viscous Stress를 보라).

사용된 방법을보여주기위해 식(10.21)의 재공식화된 상사형

  (10.369)

을 고려하며, 여기서

  • TDIF는 유체내 열전도를 나타내고,
  • HADT는 유체와 인근 고체와의 열전달을 나타내며,
  • X는 식(10.21)의 나머지 항들을 보여준다.

지금 식(10.369)을 근사하기 위해FLOW-3D에 의해 사용된 차분관계를 고려한다. 통상적으로 에너지 유속량에 대해서  전진 시간차분및 1차공간차분을 이용하면, 아래와 같이 되며,

  (10.370)

여기서,

  • T는 유체온도를나타내고,
  • TW는 고체온도,
  • h 는 열전달계수,
  • WA는 경계면 면적,
  • A는 셀면 면적,
  • k는 평균열전도계수이며,
  • δ는 적절한 공간 증분이다.

식(10.370) 오른쪽 모든 항은 외재적 근사가 열유속량에 대해 사용되는 것을 뜻하는 “전” 시간 단계tn 에서 평가된다. 외재적 알고리즘은 시간-단계 크기 안정성 제약을 뜻한다(Stability Considerations참조). 외재적 근사는 같은 차분이 어느 셀 표면의 양쪽에서 사용되기 때문에 에너지를 보존한다.

Implicit Viscous Stress and Heat Flux Approximations  내재적 점성 응력및 열유속량근사

점성및 열확산에 대한 외재적 근사의 수치 안정성을 위해 필요한 최소 시간-단계 크기는 전체 망에 대해 추정되므로 이 시간-단계 크기 제약은 가끔 너무 심해서 효율적인 수치해석을 할 수가 없는게 확실하다, 이는 비록 변수들이 이 지역에서 변하지 않을 수있더라도 시간-단계 크기가 가장 작은 셀에서의 안정성 한계에 의해 조절되는 아주 찌그러진 망에서의 경우일 수도 있다.
두 개의 내재적 솔버가 이 문제를 완화시키기 위해 개발되었다. 첫번째는 모멘텀 방정식에서의 내재적 항들을 위한 Jacobi 반복법이다. 둘째는ADI방식에 근거한다.

이 방식들을 설명하기 위해 앞에서의 모멘텀및 연속 방정식(10.315), (10.316), (10.317) 및 (10.352)들로부터 면적및 체적분율 생략하고 2차원 데카르트 형상을 가정함으로써 단순화 할 것이다. 일정한 점도를 가지는 비압축성 유체에 대해 유동방정식은 다음과 같이 균일(단순화하기 위해)한 격자에서 차분화된다.

   (10.371)

    (10.372)

여기서,

  • i j는x 와 y방향에서의 셀 색인이고,
  • δx δy셀 간격이며,
  • FUX, FUY, FVX, 와 FVY는 Momentum Equation Approximations 에서 기술된 모멘텀 이류항들이다.
  • 벽 전단 응력은계수 wx wy,를 가지는   속도에 대해 선형으로 가정되고 fx fy 유체에 작용하는 모든 다른 힘을 포함한다.

상첨자n을가진 항들은 시간tn에서의 해를 이용하여 명시적으로 계산된다. 상첨자n + 1는 내재적으로 시간tn+1 = tn + δt에서 평가되는 항들을 표기한다.  식(10.371) 와 (10.372)은 서로 결합되어 있고 이웃 셀들에서의 변수로 연결되어 있으므로 한 반복법이 모든0 < i < Nx + 1, 0 < j < Ny + 1에 대해ui,j, vi,j pi,j해를 얻기 위해 이용되어야 한다.

두 반복 순환이Jacobi반복법에서 정의된다: 모멘텀 방적식에서의 점성항을 위한 하나와 연속방정식의 압력을 위한 다른 하나이다. 두번째 반복 순환은Pressure Solution Algorithm에서 기술된 것과 유사하다. 완전한 압력 수렴은 점성 반복 후에야 이루어진다. 다른 말로 각 점성 반복은 일반적으로 많은 압력반복을 필요로 한다(주어진 시간단계에서 모든 점성반복에 대한 평균압력 반복수는 진단 출력에서 계산된다).각 점성반복kv + 1에서 모멘텀방정식은 대각 내재적항ui,j vi,j들에 대해 해석된다(kv = 1에 대해서는 전시간 단계로부터의 해석이 이용된다):

  (10.373)

여기서u* v*는 식(10.371)의 모든 외재적 항들을 포함한다.
식(10.373)으로부터kv + 1단계의 속도를 식(10.372)으로 치환하면 압력방정식을 얻게된다. Pressure Solution Algorithm에서 기술된 표준SOR 방식과 유사하게 각 유한 체적내에서 발산이0이 되는 조건을 만족시키도록 압력이 조절된다.

  (10.374)
여기서,

  • S는 식(10.372)의 좌측이고,
  • ω는 입력변수OMEGA에의해 정의되는 완화인자이며,
  • kp는 압력 반복수이다.

압력과 속도성분들의 상응하는 조절은Dx Dy가 식에 존재한다는 점에서 식(10.356)에서 주어진 것들과는 다르다:
  (10.375)

  (10.376)

주어진 점성 반복kv에대해 압력 반복이 왼료되면 다음 점성 반복kv + 1 에 대해 수렴된 해가 식(10.373)을 풀도록 사용된다.
해는 점성과 압력반복 둘다가 수렴될 때 수렴이된다. 압력반복EPSI을위한 수렴 기준은 외재적 점성 알고리즘에 대한 경우와 같다. EPSI는 일반적으로 시간-단계의 크기의 함수이다. EPSI의 추가 승수EPSADJ가 수렴을 더 작게 하거나(EPSADJ < 1.0) 느슨하게(EPSADJ > 1.0)하는 데 이용될 수 있다. EPSADJ의 디폴트 값은 1.0이다.

연속적 감속완화(SUR) 또는 Jacobi 점성 반복은 연속 반복 사이의 정규화된 속도의 변화가0.01× EPSI를 넘지 않을 때 수렴되었다고 여겨진다. 추가 승수EPSVIS는 수렴을 더 완화하거나 작게하는 데 이용될  수 있다. EPSVIS의 디폴트 값은 1.0이다.
감속 완화인자 OMEGVS는 점성 반복의 수렴을 증진시키기 위해 식 (10.373)에서 사용된다. SUR반복법에 대한OMEGVS의 디폴트 값은 0.9이다. 이 방법은IMPVIS=1일 때 활성화된다.

선 내재적(ADI)점성 솔버에서 모멘텀과 압력방정식은 같은 반복내에서 함께 해석된다; 압력과 속도 반복간의 구별이 없다. 반복k+1에서 전의 반복k로부터 속도를 이용하여δp를 평가하기 위해 격자를    한번 통과한다:

  (10.377)
여기서 분모는 식(10.376)으로부터 평가되고 Dx Dy는 식(10.373)에서 정의된다. 식(10.377)의ω는 1.0으로 디폴트된다. 1보다 큰 값을 사용하는 것은 권장되지 않는다.

그때 모멘텀방정식은 3중 대각행렬 솔버를 이용하여 식(10.377)으로부터의 가장 최근 압력을 이용하여 해석된다. 우선, y-미분을 평가하기 위해k– th단계의 속도성분을 이용하여 x-방향에서 한 통과가 이루어진다:

  (10.378)

식(10.378)은 상첨자k + 1를 가지는 항들에 대해 풀어진다.  x-방향 미분을평가하기위해.  x-방향 통과 후에 얻어진 속도성분들을 이용하여y-방향으로 한 통과를 한다. 이때z-방향에서의 통과가 3차원 문제에서 더해진다.  또한 가속완화가 이 방법에서 사용되나 수치적 잡음을 최소화하기 위해 OMEGVS는 현재 1.0으로 디폴트가 된다.

반복과정을 위한 첫 추측으로 시간단계n에서의 속도들이 이용된다. 해법은 연속방정식의 잔여가 격자 내 모든 곳에서EPSI보다 작아지고 정규화된 모멘텀방정식 잔여가1.0-8 × EPSVIS보다 작을 때 수렴된다. EPSVIS는 디폴트값 1.0을 가지는 입력변수이다. 모멘텀방정식 잔여(x-방향에서)는 와  식(10.378)의 우측항의 계수 중의 최대값에 의해 정규화된다.

ADI반복법은IMPVIS = 2를 지정함으로써 활성화된다. 점성 저항이 우세한 힘일 경우SUR방법보다 더 빨리 수렴하고 더 정확한 해를 준다. 이는 모사가 점성 안정 한계보다   몇 차 정도 큰 시간 단계에서 진행할 때 반응고 금속, 폴리머 그리고 비결정 물질같은 아주 높은 점도 유동에 적용된다.

SUR방식은 압력에 의해 구동되는 유동에서ADI솔버보다 더 효율적인데 이 경우 점성응력이 압력에 부수적이고 시간단계 크기가 단지 점성 안정 한계보다 한 두차 정도 크기가 크다.

ADI반복법은 유체및 물체상에서 동시에 해석되는 열에너지 방정식의 해를 얻는데 이용된다. 이 반복 알고리즘에서 이용되는 상향 완화 과정은 수렴율을 증가시킨다. 상향 완화의 정도는 최적 수렴을 위해 지정된 디폴트 값을 가지는 OMEGHT에 의해 조절된다. 온도에 의해 정규화된 에너지방정식의 최대 잔여가EPSIHT = 1.0e-04 × EPSHTC보다 작을때 반복은 수렴되었다고 간주된다. EPSHTC의 디폴트값은 1.0이다.

열및 점성 해의 수렴기준은 자동적으로 계산 중에 지정되며 시간 단계마다 변할 수 있다.
난류 모델들은 내재적으로 처리되지 않는 다른 종류의 확산과정을 포함하므로 내재적 점성 선택은 난류모델들과 함께 사용될 수 없다.

내재적해석 방법은 열전도및 전달 과정에 의해 δt에 강제되는 제약을 없앨 수 있다. 그러나 다음의 언급은 내재적및 외재적 근사의 차이를 인식하는 데 유용할 수 있다. 수치적으로 안정된 일시적 외재적 해를 확실케 하는 최대 시간-단계 크기는 열파동이 공간에서 한 개 이상의 셀을 전파하지 않는 시간 주기로 설명될 수 있다. 더 큰 시간-단계가 내재적 알고리즘에서 사용될 때 이 파동들은 한 시간 단계에 더 멀리까지 전파될 수가있다. 이 기간 동안에 대 여섯개의 열파동들이 유동내 같은 위치를 통과하므로 이 위치에서의 유체 에너지및 온도는 이 같은 기간 동안에 복잡한 과도적 거동을 겪을 수 있다. 그러나 에너지방정식에서의 순간적 편미분은 한시간-단계에서 실질적으로 선형 에너지변화를 가정하는 1차 차분기법으로 근사화 되어있다. 그러므로 내재적기법에서의 큰 시간-단계를 사용하는 것은 해를 평준화(또는 확산화)하고 순간해의 정확도의 확실한 손실로 나타난다. FLOW-3D에서 내재적 해를 위한 시간 단계의 크기는 반드시 내재적 해의 정확성 및 효율을 유지하도록 자동적으로 조절된다. 시간 단계의 크기는 반복수IDTHT를 넘지 않도록 조절된다(디폴트는 20이다).

[FLOW-3D 이론] Numerical Approximations 수치근사 – Scalar Advection 스칼라 이류

Numerical Approximations 수치근사

Scalar Advection 스칼라 이류

압축성 연속방정식(10.1), 유체분율 방정식(10.19), 내부에너지 방정식(10.21), 그리고 난류에너지 와 소산 방정식 (10.270) 와(10.275) 이 모든 식들은 벡터형태에서 공통적 형태를 지니는데,

  (10.362)

이는 확산과 소스 기여를 포함할 수 있는 우측 항RHS를 가지는 양Φ에 대한 스칼라 이류 방정식이다. 다섯개 모든 방정식은 망의 셀중심에 위치한 같은 이류양Φ를 가지는 유한 차분 알고리즘에 의해 표현된다. 밑에 기술된 대로 경계면을 뚜렷하게 하기위한 알고리즘이 특정 유체 형태의 양들에 대한 유속량 항∇ · (uAΦ)에 대해 이용된다.

밀도, 에너지, 유체분율 그리고 난류 이송방정식과 별도로FLOW-3D는 임의의 스칼라 양들에 대해 식(10.362)와 유사한 추가의 보존방정식을 가진다.이 양들은 유동에서의 피동적 오염물의 진화를 기술하거나 이송방정식을 필요로 하는 새 물리적 모델, 예를들면, 화학 반응 과 시간의존 유변학모델을 개발하는데 이용될 수 있다.

각기 다른 유체와 관련된 모든 이류 양들은 이류된 유체의 양δF에 비례한다는 것이 중요하다(Time Advancement of Fluid Configuration를보라). 2 유체 문제에서의 난류와 임의의 스칼라양들은 이들이 두 유체경계면을 지나서 연속적으로 분포되어 있다고 가정하고 있기 때문에 이 범주에 속하지 않는다.

Time Advancement of Fluid Configuration시간 증가에따른 유체형상

유체분율F의 스칼라 이류는 식(10.362)에의해 지배된다. 식(10.362)이 한 계산셀 상에서 적분될 때 한 셀에서의F의 변화는 셀 면들을 통과하는F유속량의 합으로 치환된다. 그러나 유체경계의 뚜렷한 선명도를 보존하기 위해 특별한 주의를 기울여야 한다. 여기에서 사용된 방법은 공여-수용 유속량 형태를 사용한다. 이의 본질적 개념은 근사적 경계형상을 설정하고 유속량을 계산하는데 이 형상을 사용하기 위해 유속량 경계의 상류및 하류에서F의 정보를 사용한다는 것이다.

여기서 사용되고 있는 Volume-of-Fluid (VOF) 기법에서 사용되기 위해 개발된 기본 방식은 시간 단계δt기간 동안에 셀면을 통하여 x방향으로 유속되어질F의 양을 고려함으로써 이해될 수있다[HN81]. 단위 단면적당 이 면을 통과하는 체적 유속은L = uAxδt이며 여기서u는 면에 수직한 속도이고Ax는 유동에 열려있는 면적이다. u 의 부호는 공여 와 수용 셀을 결정한다, 즉 각기 체적을 잃거나 얻는 셀들 예를 들면, u가 양수이면 상류 또는 좌측의 셀은 공여셀이고 하류나 우측의 셀은 수용셀이다. 한 시간 단계에 셀면을 통과하는 F의 유속량은 δF와 막히지 않은 단면적(δy, δz)의 곱으로 정의되며, 여기서

   (10.363)

이며,  여기에서

  (10.364)

이다. 단일 첨자는 수용(A) 또는 공여(D) 셀을 표기한다. 이중 첨자AD는 밑에 설명되 듯이 유동방향에 상대적인 경계면의 향배에 따른 A또는D 중의 하나를 뜻한다. FDMFD의 최대값이며 공여셀 상류의 이웃 셀에서의F값이다.

간단히 식 (10.363)의MIN기능은 주어져야 될 것보다 더 많은 F 유속량이 발생하는 것을 방지하며MAX기능은 유속되어야 할 공간(1-F)의 양이 실제 이용가능 공간 양을 능가하면  추가F유속량CF을 고려한다. 밑의 일련의 그림은 식(10.363)의 도식 설명을 제공한다. 공여및 수용 셀들은 수직 셀 표면을 통과하는 유속량에 대해 그림 (a) 에서 정의된다. AD = D일때 유속량은 일반 공여셀 값,

  (10.365)

이며,   여기서 공여셀에서의F값은 유체에 노출된 가능한 유동면적 부분을 정의하는데 이용된다(하기 그림(b)참조). 수치 안정성으로 인해  |L|이V δx보다 작아야하므로 이 경우에 공여셀을 비우는 것이 불가능하다.

그림 10.14 F 이류에 사용된 자유표면 형태의 예제. 공여-수용 배열이 점선이 이류되는 전체 체적의 좌측경계를 가리키는 곳(a)에서 보여진다. (b-d)에서 보여지는 음영 지역은 실제로 이류된F의 양이다.

AD = A 일때 수용셀 내의F값은F가 이동하는 유동면적의 부분을 정의하는 데 이용된다. 위 그림(c)에서 공여 셀내의 모든F 유체는 점선과 유속 경계사이의 모든 것이 수용셀로 이동하므로 유속화된다. 이는 식(10.363)에서의MIN테스트의 예제이다. 위의 그림(d) 에서는FA|L|양 보다 더 많은 유체F가 유속되어야 하므로 이는MAX테스트의 예이다.

수용 또는 공여셀이 사용되는 지의 여부는 평균 표면의 향배에 달려있다. 표면이 자체에 수직한 방향으로 이류될 때 수용셀이 이용된다(셀표식 NF에 의해 정의되는 것같이); 그렇지 않으면 공여셀 값이 사용된다. 그러나 수용셀의F가 없거나 공여셀의 상류셀이 비어 있으면 수용셀F값은 표면의 방향에 상관없이 유속량을 결정하기 위해 사용된다. 이는 임의의 유체F가 하류의 빈 셀에 들어가기 전에 공여셀이 거의 가득차 있어야 한다는 것을 뜻한다.

표면의 방향성에 대해 테스트하는 이유는 수용 셀이 항상 유속량을 계산하는데 이용되면 표면파의 부정확한 고 경사도가 발생하기 때문이다. 예를 들면, 양의 x방향으로 움직이는 작은파를 가지는 수평표면을 고려해 보자.  F의 하류(수용) 값에 의거한 유속량은 결국 계단 형태의 불연속성을 가지는 고 경사도의 파를 이루게 된다. 사실상 수용셀 방식은F의 역 확산(즉, 음의 계수를 가지는 확산같은 이송)을 소개하므로 수치적으로 불안정하다. 그러나 불안정성은 유속량 정의에 이용되는MIN 과 MAX테스트때문에 무제한의 값으로 증가하지는 않는다. 반면에 표면이 자체에 수직하게 이류하면F의 단계함수 형태를 유지하기 위한 급격한 경사도는 정확히 원하는 바이다.

일단 유속량이 위의 방식에 의해 계산이 되면 공여셀에서 차감되고 수용셀에서 추가되는 F유체의 양을 얻기 위해 이는 유속 경계 면적에 의해 곱하여 진다. 이런 식으로F에 의해 정의된 유체의 양이 보존된다. 이류과정이 망 내의 모든 셀 경계에서 반복될 때 결과적F값은 식(10.19)을 만족시키는 시간 전진의 값에 상응하며 뚜렷한 경계면을 그럼에도 유지한다.

실제에서 유체운동이 표면의 반복된 뭉침과 파괴를 일으킬 만큼 과격하고 특히 이런 과정이 한 셀보다 작은 크기의 규모로 발생한다면 경계면의 선명도는시간이 지나면서 다소 악화된다. 특별한 경우에 대한 다중의 테스트가 경계면 추적능력을 더 향상시키기 위해 상기에서 기술된 기본F-이류의 루틴에 포함되어 있다. 또한 자유표면 문제에서 내부유체 지역에서의 부분적 공간(즉 1보다작은F값)을 폐쇄할 수 있는 방식이 추가되어 있다. 이런 지역들은 가끔 유체표면이 다른 표면과 또는 고상물체와 부딪힐 때 나타난다. 이 폐쇄방식은 또한 유체가 물체에 부딪힐 때 압력의 급격한 증감의 완화를 돕는다. 입력 표식(IFPK)은 이 선택을 활성화 또는 비활성화 시키는데 이용 되는데 이는 단지 공간의 압축성이 없는, RCSQV = 0.0, 자유표면 문제에서만 이용될 수 있다. 유체가 붕괴하는 극단적인 경우에 자유표면을 보존하기 위해 추가로 경계면 선명화가 더해질 필요가 있을 수 있다. 이 변수IFPK 가 보통 약간 더 뾰죽한 자유표면을 발생시키므로 일반적으로는 권장되지 않지만, 이 선택을 하는데 역시 이용된다.

Other Scalar Advection   다른 스칼라 이류

F이류를 위해 이용된 알고리즘은 압축 유동의ρ ρI로 확장된다. 경계면 위치, 그러므로 유속이 될 각 유체의 양은 위에 기술된 바와 같이 결정된다. 이 때 ρ (또는 ρI)의 유속량은 쉽게

  (10.366)

나 동등하게

   (10.367)

로 계산되며, 여기서Φ1 와 Φ2는 2 유체및η = δF/|L|와 연관되어 있다. 양쪽 모두의 유체에 분포되어있는2 유체 문제에서의 난류량에 대해, 유속량은 단순히Φ|L|와 같다. Second-Order Monotonicity Preserving Method에서 기술된 2차 단조 보존 이류방식은 또한 유체분율, F, 밀도, r, 및/또는 에너지, I ,의 이류에도 적용될 수 있다.

Determining Surface Normals and Cell Flags  표면 법선 및 셀 표식의 결정

자유표면 경계조건및F함수의 이류의 응용에서 표면에 근사적 법선방향을 지정하는 것이 필요하다. 한 표면 셀에서의 근사 법선은 표면의 내부로 수직한 방향에 가장 가까운 이웃 셀을 확인하는 정수값(NF배열에 지정되는)에 의해 기록된다. 이 방향은 빈 이웃셀로부터 멀어지는 방향을 가리켜야 한다. 표면셀이 하나 이상의 빈 이웃을 가지면 이 때 선택된 방향은 반대편 이웃 셀에서 가장 큰F값을 가지는 방향이다. 표면장력이 요구되면 더 정확한 표면 법선을 계산하는 것이 필요하다. 이를 위해 경계는 방향에 의존하는 단일 함수X(y,z), 또는Y (x,z), 또는 Z(x,y)로써 지역적으로 나타내질 수 있다. 예를들면, 근사 법선이z방향을 가리키면 그 때 경계는Z(x,y)에 의해 표시되고 다섯개 열(i, j), (i ± 1, j) 그리고 (i, j ± 1)에 대해 Z값을 계산한다. 이 양들로부터 δZ/δx δZ/δy및 표면장력을 위한 이의 2차미분에 대한 유한 차분근사가 계산될 수있다.

k의 단계에서 Zi,j 대해 사용된 근사는 세개의 셀 열 상에서의 합이며,

   (10.368)

여기서δz에의 한 ‘*’ 상첨자는 이 양이 표시된 k-단계에 대해δz이거나 0이라는 것을 뜻한다. 예를들면, δzk*−1에 대해 다섯 열 중에 어느 하나에서k-1 와 k단계 사이의 유동면적이 0일 경우에 0의 값 이 이용된다. 이 조치는 물체 및 배플 근처에서 합리적인 표면 구배와 곡률 값을 얻는데 필요하다.

Surface Location within a Cell   셀내 표면의 위치

일단 내부 법선방향이 결정되면 표면위치는 세 셀 열에서 적절한 높이까지 확장되는 이 좌표 방향에 수직한 평평한 표면에 의해 정의된다. 실제로는 미분계산에서 사용된 것으로부터 다소 수정된 열의 높이를 사용하는 것이 필요하다. 내부법선 방향의 이웃셀의 중심으로부터 측정되는 높이는 표면셀 유체에 이웃 셀 유체 높이의 반을 더한 것과 같다. 이 조치는 이웃셀이 거의 비어있더라도 표면이 이웃셀 중심보다 높게 위치하는 것을 확실하게 해준다.

Cleanup of Misty Fluid Regions   분무형 유체지역의 제거

어떤 응용에서는 해의 좋은 정확도를 얻기 위해 부드러운 자유표면 형태를 유지하는 것이 중요하다. 예를들면, 제대로 해결이되지 못하거나 들쑥날쑥한 자유표면은 표면장력의 평가시 수치적 ”잡음”을 일으킬 수 있다. 교대로 이는 더 들쑥날쑥한 자유표면 형태를 초래할 수 있다. 이런 변동은 궁극적으로 작은 양의 유체가 여러 개의 인접 셀들에 분포되는 “분무”형 유체지역의 형성으로 나타날 수있다. 이런 지역에서 자유표면이 만족스럽게 해결되지 않으므로 표면장력 해의 정확도는 급격히 악화된다.

“분무”지역이 수치해석의 질을 저하시킬 수있는 또 다른 예는 과도한 튀김과 자유표면의 부서짐이 있는 유동에서 발생한다. 이 모든 지역내의 작은 유체방울들의 움직임을 기술하려는 시도는 비효율적일 수있고 아마 불 필요할 것이다.

이런 상황을 방지하기 위해 인위적으로 “분무”형 유체지역(즉, 유체분포를 제거함으로써)을 정화하는 방편이FLOW-3D에서 주어진다. 이 수정은 변수FCLEAN에 의해 조절된다. 한 셀내의 유체는 그 안에서 그리고 그 모든 이웃셀에서의F값이FCLEAN밑으로 떨어지면 폐기된다. 일반적인FCLEAN값은 0과1사이이다. 현저한 경계를 갖는 2유체 문제에서 이과정은 해의 대칭성을 유지하기 위해 두 유체에 다 적용된다.

이 제거 알고리즘의 사용은 단지 유동이 주로 표면에서의 조건에 의해 조정되는 극심한 자유표면 변형이 있는 유동에 대해 권장된다. 일반적으로 이의 적용은 전체 유동체적에서 단지 작은 에러(1%보다 작은)를 유발하며 정확하고 효과적인 해를 준다.

Bookkeeping Adjustments  부기조절

상기방식으로 결정된 새 F값은 가끔 약간 0보다작거나 약간 1보다 큰 값을 갖는다. 그러므로 스칼라 이류계산을 마친 후에 0보다 작은F값을 0으로 그리고 1보다 큰F값을 1로 되돌리기위해 망을 통하여 한 경로를 다시 한다.

F 의 추가조절은 값이 0이나 1에 가까울 때 이루어진다. 한 셀이εF보다작거나1 − εF 여기서εF = 10−6 보다 큰 F값을 가지면 이 때F는각기 0이나 1로 재지정된다. F가 0으로 재지정될 때 모든 인접한 꽉 차있는 셀들은 표면 셀들이 된다.

Cleanup of Misty Fluid Regions에서 된 조절을 포함하여 전체유체체적을  허용된 범위로 유지하기 위해F 의 다양한 조절을 통해  제거및 추가된 전체 유체 체적은, 절대량일 뿐만아니라 모사시 영역을 통과한  전체 유체 1의 체적의 백분율인, cumulative volume error으로 기록된다. 이는 해 요약 파일의 긴 프린트에서 VCHGT로 뿐만 아니라flsgrf파일에서General History 데이터 카탈로그에 쓰여진다. 전체 유체 체적VL또한 인쇄된다. 일반적으로 축적 체적 에러는 전체 유체 1 체적의 1퍼센트보다 작아야한다.

전체 에러에 추가로 축적 체적 에러는 모든 셀에서 계산되고 공간양으로flsgrf파일에서 기록된다. 모사기간 동안에 이 체적은 조건이 허락할 때, 즉F값이 허용된 범위 안에 있고 셀의 상태(비어있던가, 표면이던가, 가득차 있던가)가 이 결과로 변하지 않으면 유체에 추가(이 체적이 음이면 제거)될 수있다. 이는 전반적 유체 체적 보존을 향상시키는 데 도움이 된다.

 

[FLOW-3D 이론] Numerical Approximations 수치근사 – 압력 솔루션 알고리즘

Numerical Approximations 수치근사

Pressure Solution Algorithm 압력 해 알고리즘

질량보존의 수치 처리는 압축성과 비압축성에서 상당히 다르다. 그러나 어느 경우든지 적합한 질량 방정식은 셀내의 압력을 결정하고 속도를 갱신하는 알고리즘에 이르게한다. 압축 유동이나 제한적 압축 유동(내재적 압력 해법을 사용해야 하는)에서 연속방정식(10.6) 또는 (10.8)은 셀에서의 압력과 속도의 타원조건으로 직접 해석될 수있다.  압축유동에서는 연속방정식(10.1)이 포물선 방정식으로 즉, 시간에 대해 전진하는 알고리즘에 의해 해석된다. 이 때 압력은 상태방정식 밀도가 갱신되는 셀 밀도와 같게함으로써 결정된다.  이 경우 시간단계 크기가 음파 전달에관한 안정성을 확실하게할 만큼 충분히 작다면 속도는 갱신될 필요가 없다. 압축유동에 대해 내재적 선택을 사용하면 더 큰 시간단계를 허용하나 충격파나 저밀도 파형에는 덜 정확할 수 있다.

때때로 인위적 제한 압축성을 유체에 추가하는 것이 해에 상당한 에러를 일으키지 않고 수렴을 증진시킬 수 있다. FLOW-3D에서 이는IMP = 2(디폴트는 1)로 지정함으로써 자동적으로 이루어진다. 상세한 모델 내용을 위해 http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp의 사용자 주소에서Flow Science Technical Note #55를 참조하라.

Incompressible SOR Method  비압축 SOR방식

식(10.315)으로부터 계산된 속도는 제한적 압축 연속 방정식(10.8)에 대한 다음의 이산화 근사식을 만족시켜야하며,

(10.352)

여기서XCi는 셀i의 중심의x위치이다. 원통좌표계에서는CYL = 1.0 및 Ri = XIM1/XCi 이며XIM1는 망내 마지막 실재 셀의 바깥 가장자리의 반경(x위치)이다. 데카르트 형상에서는 모든i 에 대해Ri = 1.0 이고CYL = 0.0이다. 항RSOR 은 셀내의 유체 체적 소스를 뜻한다. 압축성계수1/(ρc)2는 2유체 문제의 공식에 의해 계산된다.

 (10.353)

1유체 문제에서는 단지 두번째 항만 존재한다. 첨자l v는 각기 유체 1과 2를 뜻한다. 제한적 압축성은 두가지 목적, 물리적및 수치적, 으로 사용될 수 있다. 이 두 입력변수RCSQL = 1/(︀ρc2)︀ 와 RCSQV = 1/(︀ρc2)︀를 지정함으로써 유체의 제한적인 물리적 압축성을 모델할 수 있다. 또한 RCSQL 와 RCSQV를 적절히 지정함으로써 물체 경계상에서의 자유표면의 붕괴에 의해 종종 발생하는 수치적 압력 파동의 효과를 완화시킬 수 있다.

속도가 식 (10.352)을 만족시키기 위해 압력 그러므로 유체가 차지하고 있는 셀 내의 속도를 조절하는 것이 필요하다. 이는 둘 중 하나의 방식으로 행해진다. 가장 간단한 방법은 successive over-relaxation(연속가속완화) (SOR)반복 과정이다. 계산망을 망내의 첫번쩨 비 경계셀에서 시작하여 하나씩 쓸어나간다. 쓸림은 먼저i에 대해 시행되고 다음에j그리고 마지막으로k값에 대해서 되어진다. 계산은 단지 유체를 포함는 유체가 빈 이웃이 없는 셀들에 대해 실행된다.  셀(i, j, k)에서의 속도가 식(10.352)을 만족시키기 위해 필요한 압력변화는 아래와 같으며, 여기서 S는 식(10.352)의 좌측이다.

(10.354)

식(10.354)은 단순히S = 0를 이루기 위해 필요한p값을 생성하는 완화과정의Newton형태이다. 각 셀에서S를 평가하기 위해 사용된 속도 값은 반복과정에서 사용 가능한 가장 최신의 값이다.  식(10.354)으로부터의 결과를 이용하여 셀압력의 세 추정치는

(10.355)

이며, 셀의 면들에 위치한 속도들의 새 추정치는 다음 식과 같다.

      (10.355)

여기서 여기에 나타나는 속도들 또한 반복중에 가장 최신의 값들이다. 반복과정을 시작하기 위해 식(10.315)으로부터의 새 추정 속도들은 전 시간단계로부터 남아있는 압력값과 함께 이용된다. 물론 면적이0인 곳에서의 속도는 이 단계에 수정되지 않는다.

자유표면을 가지는 셀들에서, 즉 유체가있지만 하나 또는 더 많은 빈 이웃 셀들을 가지는 셀에서는 다른 과정이 이용된다. 이러한 셀들에서 요구되는 경계조건은 압력이 표면에서 지정된 값, 즉 표면에서의 ps 이다. 표면압력은 이웃한 void영역 압력, PR, 과 표면장력 압력, PS,의 합과 같도록 지정되며

(10.357)

여기서n은 인접한 빈 공간의 색인이다. PS의 평가는Surface Tension with Wall Adhesion에서 기술된다. 표면압력, ps 은 셀내의 정압분포를 가정하여 표면셀의 중심에서의 압력pi,j,k 으로 외삽하여 해석에 적용된다.정압변화는NF에의해 정의된 바와같은 표면에 수직한 방향에서의 순수가속도에 의존한다. 이 표면 셀 압력은 압력 반복동안에 변하지않으며 고정 경계값으로 취급된다. 이런 방법으로 셀내의 자유 표면의 실제 위치가 확실하게 고려된다.

고압, 단열 기포가 존재할 때[Hir92], [BC94] 수치 불안정성이 공간지역 압력의 외재적 근사로 인해 발생할 수 있다고 알려져 있다(단열 기포모델은Variable Pressure (Adiabatic) Void Region에서 기술되어 있다). 이러한 어려움을 없애기 위해FLOW-3D에 내재적 기포모델이 추가되어 있다. 이의 목적은 기포압력 변화가 한 사이클의 마지막에서 계산되도록 기대하고 이를 통상적인 압력-속도 반복과정에 포함하는 것이다. 내재적 기포 모델은 기포의 “강성도”가 너무 크지 않다면 잘 작동한다. 다른 말로, 강성 기포는 기대되고 그리고 실제압력 변화가 한시간 단계내에서 너무 다른 기포를 뜻한다. 이런 강성 기포들이 발생하면 해석은 매 사이클 마다 큰 압력변화와속도와 다른 양 들에서 이에 상응하는 커다란 변동을 가질 수 있다(상세 내용을 위해 Ref. [Hir92] 참조하라).

2 유체문제에서 모든 셀들은 유체로 가득 차 있다고 간주된다; 즉, 압력과 속도는 반복하는 동안에 모든 유체 셀 내에서 조절된다. 표면장력이 작용되면 압력PSi,j, 은 두 유체중에 하나에만 작용해서 표면장력으로 의한 경계면을 통과하는 압력에서의 불연속성이 유지된다.

완전한 반복은 식(10.354), (10.355) 및 (10.356)에따라 모든 유체가 가득찬 셀내의 압력및 속도를 조절하는 것으로 이루어져 있다. 반복시의 수렴은 모든 셀들이 어떤 일정 작은 수인EPSI ·VFi,j,k 보다 작은S값을 가질 때 이루어진다.

EPSI의 값은 자동적으로FLOW-3D에 의해 각 시간 사이클에서 시간 단계 크기의 함수로 계산된다. 이 알고리즘은 입력변수EPSADJ의 값이 양수이면 원용된다. 선택적으로 한 EPSI의 상수가 한 계산 과정에서 사용 가능하다.

어떤 경우에는 반복의 수렴이 식(10.355)에서의δp를 완화인자OMEGA로 곱함으로써 가속화될 수 있다.

OMEGA 는 1.7 또는 1.8이 최적값이다. 어떤경우에도 는 2.0이 넘어서는 안되는데 이는 이럴 경우 불안정한 반복이 발생하기 때문이다. 압축성유동에서OMEGA는 1.0으로 지정된다. 또한 시간 단계 크기가 상당히 대류 안정성 한계보다 작을 때 비압축성 유동에 대해OMEGA는 1.0으로 사용하는것이 권장된다. 이는 해에서의 잠재적 압력 잡음을 감소시킬 수 있다.

Incompressible Line Implicit SADI Method 비압축성 선 내재적 SADI 방식

앞에 언급된 압력을 계산하기 위한SOR반복법은 간단하고 많은 문제에서 잘 작동한다. 그러나SOR방식의 수렴이 상당히 느려지는 경우들이 있다. 예를들면, 한방향으로의 셀 크기가 다른 방향으로 보다 훨씬 큰 망은SOR압력 완화가 횡방향의 작은 셀크기에 의해 제한되므로 큰 셀방향으로 느린 수렴성을 보여줄 것이다.

이런 형태의 더딘 수렴에 대한 보완은 더 작은 셀크기의 방향에서 더 내재적인 해석 방식을 사용하는 것이다. 이런 목적으로 수정된Alternating-Direction-Implicit (SADI)방식이 개발되었다. SADI는 망 셀의 한 i, j, 또는 k열을 따라 압력에 대한 표준 3중 대각해법에 근거한다.   이 해법은 주기적 경계를 포함하는 모든 경계조건에 적용 가능하다.

주기적 경계가 원통좌표계에서 방위각의 방향에 사용될 때IADIY=1로 지정함으로써-단지 이 방향으로만- ADI압력 해법을 사용하는 것이 권장된다. 이는 가끔 발생할 수 있는 압력과 속도해에서의 수치 잡음을 제거하는데 도움이 될 것이다. 다른 방법으로는OMEGA= 1.0을 지정하여 상향 완화를 잠금으로써 잡음을 감소시키는데 도움이될 수 있다.

SADI방식이 z방향으로사용되면 반복은 모든 i j색인을 거치고 각(i, j)쌍에 대해k-색인 방향에서 압력에 대해 내재적으로 해석하는 것으로 이루어진다. 이웃 열들에서 필요한 압력 값들은 표준ADI에서는 반드시 항상 그렇게 실행되지는 않지만 최신의 반복값을 항상 취하는데 이는 수렴을 향상시킨다.

SADI방식은 방향의 어떤 조합으로도 사용될 수있다: 어느 하나 또는 둘 또는 셋 모두. 이는 더 비용이 드는 내재적 소해가 단지 전체 반복의 수렴을 향상시키는데 필요한 방향에서만으로 제한될 수 있다는 것을 뜻한다.

단지 한 또는 두 방향으로만 내재적으로 처리될 때 열간의 상향 완화는SOR상향 완화에서 사용되는 변수OMEGA에 의해 조절된다. 일반적으로SADI는 이 변수에 그렇게 민감하지 않으며 디폴트 값OMEGA=1.7은 보통 만족스럽다.  SADI 가 세 방향 모두에 사용될 때 이 경우 상향 완화가 최대값에서 고정되므로 변수OMEGA 는 영향을 미치지 않는다.

Compressible Solution Method 압축성 해 방식

압축성 유동에서 셀 압력은 연속방정식 밀도를 상태방정식으로부터 결정되는 밀도와 동일시함으로써 결정된다. 이 방정식에는 SOR 와 SADI 방식 둘 다 이용 가능하다. 두 알고리즘에서 식(10.354)에서 사용되는 반복 함수는 아래와 같이 정의된다.

  (10.358)

인자∇ · (uAΦ)는 시간n+1에서의 속도에 의거하여 셀의 압축및 팽창을 조절하며 여기서

 (10.359)

C1은 유체 1에서의 음속이다. 외재적 해석 방식에서 외재적 모멘텀 방정식으로부터의 속도는 이며, 이는 가 셀압력에 대한 반복에 독립적이라는 것에 주목한다. 상태 방정식밀도는

 (10.360)

로 정의된다.

상태방정식 밀도는 압축이나 팽창에 의한 시간 정도 n에서 n+1사이에 발생하는 에너지변화에 대해 조절되지 않는 것에 주목한다. 반복이 매시간 단계에서 되풀이 되므로 에너지를 갱신하지 않는데서 비롯되는 오차가 기껏해야 한시간 단계 쳐지고 시간단계 안정성을 이루는 목적을 위해서도 의미가 없다. 식(10.354)에서 사용된 양δS/δp은 각 사이클에서 한 번씩 평가되고 저장되는 항DSDPU = δDTi,j,k/δpi,j,k을 필요로 한다.

SADI 해법은 비압축성에서와 같이 진행한다. 반복함수는 아직 3중 대각 시스템(횡방향에서의p대한 최신의 반복값을 유지하며)으로 처리될 수 있다. 모든 셀에 대해 어느 경우에도 수렵에 도달한다.

  (10.361)

SOR해석 알고리즘에서 상태방정식에서의 밀도에 대한 압력의 의존도가 비선형(코드의 사용자 수정에 의해 가능)일 경우에 유용한 선택이 주어진다. 다음셀로 전진하기 전에 식(10.361)의 조건을 만족하기 위해 셀내의 압력을 변화시키도록내부 반복이 실행된다. 사용자는 내부 반복의 최대수(IITMX)와  완화인자 OMEGA를 지정해도 된다. IITMX > 1이면OMEGA = 1.0이 권장된다.

지정된 속도 및 지정된 압력경계 조건은 계산영역 내에 이용 가능한 반복법중에 어느 방법으로도 계산하기 어려운 균일한 압력변화를 형성할 수가 있다.  이런 경우에 전반적으로 균일한 압력조절을 주기 위해 추가 알고리즘이 압축 해 과정에 주어진다. 이 선택은 변수IPUN를 1로 지정함으로써 활성화된다. If IPUN = 0이면 균일 압력변화는 평가되지 않는다. 이 균일 압력조절은 셀들에 대해 Si,j,k와 셀 체적의 곱을 합하고 이 결과를δS/δp와 셀 체적의 곱의 셀들에 대한 합으로 나눔으로써 계산된다.

GMRES Pressure-Velocity Solvers GMRES 압력-속도 해법

새로운 압력-속도해법이FLOW-3D [AMS90], [BBC+94] [Saa96] 에서 실행되고 있다. GMRES는  일반화된 최소 잔류 방법을 뜻한다. GMRES솔버에 추가하여 또 새로운 선택적 알고리즘- 일반화된 짝 구배(GCG)알고리즘-이 새 GMRES솔버에서 점성항을 위해 실행되고 있다. 이 새 솔버는 많은 범주의 문제들에 대해 아주 정확하고 효과적이다. 좋은 수렴성, 대칭 및 속도성을 갖는다; 그러나SOR 이나 SADI방법보다 더 많은 메모리를 사용한다. GMRES 솔버는  과소 또는 상향 완화를 사용하지 않는다.

사용된 방법들에 대한 상세한 내용은http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp에 있는 사용자 주소상의 Flow  Science TN68에서 찾을 수 있다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Fan and Impeller Model 팬과 임펠러모델

팬과 임펠러모델

FLOW-3D 에서 정의된 팬과 임펠러 모델은 날개의 회전율이 유체가 정상상태에 이를 때까지 많은 회전이 필요할 때 사용될 수있다.

이 모델은 회전과 축속도 성분을 유도한다. 팬이나 임펠러는 구역을 정의하나 실제 물체의 막힘효과가 없는 “phantom” 물체의 형태로 정의된다. 일반적으로 이런 물체들은 회전 날개에 의해 휩쓸어지는 외경 R , 내경 r, 두께 L 인 직원통으로 가정된다.

형상 이외에 팬이나 임펠러의 성능을 결정하는 나머지 변수들은 회전율 Sd, 날개가 얼마나 효율적으로 유체에 운동을 가하는 지를 결정하는 조절계수 Ad, 그리고 유도된 축방향 유동량을 조절하는 계수 Bd 들이다.

팬이나 임펠러의 성능은 상세한 날개의 크기와 형태 그리고 날개의 수에 의존하므로 경험식으로부터 Ad Bd 값을 결정하는 것이 최선이다. 이 장치들의 제조자들은 가끔 이 값들을 장치 통과시 압력 저하대 이를 통과하는 평균 유량의 그림인 소위 “성능곡선”으로 특성화한다.

Typical performance curve (solid line) and |f3d| approximation (dashed)그림 10.4 전형적 성능곡선(실선)과 FLOW-3D 근사치(점선)

FLOW-3D 에서 사용된 모델을위한 성능곡선은 회전 모멘텀소스를 장치 두께를 통과시의 등가 압력저하와 전체 단면을 통과하는 평균유량을 연관시켜 유도될 수 있다. 이 결과는:

(135)\Delta p = \rho L{A_d}\left( {\frac{2}{3}{S_d}{B_d}R\left( {1 - \frac{{{r^3}}}{{{R^3}}}} \right) - \frac{Q}{{\pi {R^2}}}} \right)

이 식에서 ρ 는 유체밀도이며 Q 는 순수 유량이다. 이 관계식은 다음에 의해 주어지는 위 그림의 y-절편 ∆ρ0 와 x-절편 Q0 를 갖는 선형 성능 곡선을 준다:

(136)\Delta {p_0} = \rho L\left( {\frac{{{Q_0}}}{{\pi {R^2}}}} \right){A_d}, \quad {Q_0} = \frac{2}{3}\pi \left( {{R^3} - {r^3}} \right){S_d}{B_d}

이 관계 및 주어진 회전율 OSPIN = Sd를 이용하여 OADRG = Ad 와 OBDRG = Bd 변수들이 원하는 성능 곡선에의 선형근사를 주도록 계산 될 수 있다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Elastic Membrane and Elastic Wall Model탄성막과 탄성벽 모델

제한된 유체구조 상호작용(FSI) 기능이 탄성막과 벽모델을 이용하여 FLOW-3D 에서 가능하다. 이 모델에서 탄성막이나 탄성벽의 변형은 인접 유체유동에 영향을 미치고 교대로 유체 압력은 변형에 작용한다. 이런 상호작용이 완전히 결합된 방식으로 FLOW-3D 내에 기술되어 있다.

이 모델의 주요한 한계는 변형이 작다, 즉 각 막이나 탄 성벽은 그 휨이 크기에 비해 아주 작다고 가정된 것이다. 이는 대신에 모델을 유용하게 단순화를 가능케 한다. 박막과 탄성벽의 형상은 계산시 시간에 따라 변하지 않는다고 가정되고 한편 유체유동에 대한 이 변형의 효과는 유체구조 경계면 상에 분포된 체적 소스나 싱크로 기술된다. 압력이 막표면에 균일하게 작용한다는 추가 가정 하에 더 나은 계산 효율을 위해 구조해석 알고리즘보다 오히려 수치해가 박막의 변형을 결정하는데 이용된다.

Elastic Membrane 타성막

FLOW-3D 에서 탄성 막은 외력의 작용하에 작은 탄성 변형을 겪는 직각 또는 원형의 얇은 판이다. 이의 두께와 재질은 균일하다고 가정된다. 이의 모서리들은 단순히 지지되어 있거나 고정되 있을 수 있다. 단순 지지 모서리는 휨과 순수모멘트가 0인 모서리이다. 그러나 고정 모서리는 휨과 1차 미분값은 0이나 힘 모멘트는 일반적으로 0이 아니다. 어느 경우던지 이 모델은 막이 모서리를 따라서 다 같은 조건을 가지는것을 필요로 한다. 망 격자 내에 막의 위치는 제한이 없으나 막의 표면은 x, y, 또는 z 축에 수직이어야 한다.

이 모델은 막에 작용하는 두 외력을 고려한다: 수리력과 작동기 힘. 수리력은 막의 양편에 작용하는 압력을 적분하여 얻어진다. 그런 후에 전체 막 위에 균일하게 분포된 힘으로 전환된다.

작동기 힘은 마이크로-펌프 유동, 잉크젯 방울 형성같은 많은 응용에 존재한다. 한 예는 막에 부착된 압전 작동기이다. 전압이 가해지면 압전작동기는 막표면에 수직한 방향으로 힘을 가하는데 이것이 소위 작동기 힘이라고 불린다. 사용자는 작동기 힘을 사인파나 구간선형 인 시간의 함수로 지정할 수 있다. 이 모델에서 작동기는 항상 막의 한편 중심에 위치한다고 가정되고 작동기의 막과 접촉하는 면적의 형상(반드시 크기일 필요는 없지만)은 막의 형상과 같다. 다른 말로 막과 작동기는 직각 또는 원형이어야하고 같은 대칭축을 가져야한다. 작동기 자체가 보통 막보다 낮은 강직성을 가지므로 작동기의 힘은 항상 접촉 면적상에 균일하게 작용한다고 가정된다. 접촉 면적이 없으면 작동기 힘은 막의 중심에 작용하는 집중된 힘으로 처리된다.

더 나은 계산효과를 위해 더 나은 계산 효율을 위해 구조해석 알고리즘보다 오히려 해석해가 휨의 계산에 이용된다. 임의의 시간과 점에서 막은 수리력, 작동기 힘 그리고 막의 강성의 균형에 의해 정의되는 평형을 이루고 있다고 가정된다. 해석해는 작은 변형을 가지는 박판의 평형방정식을 해석함으로써 얻어진다.

(120){\nabla ^2}{\nabla ^2}w = \frac{f}{D}

여기서

  • w 는 휨
  • f 는 막의 단위 면적당 순수외력
  • D 는 굴곡 강성

(121)D = \frac{E{h^3}}{12\,(1 - {\nu ^2})}

여기서

  • E 는 영의 탄성계수
  • ν 는 포아송 비이며
  • h 는 막두께이다.
  • z 축에 수직인 표면을 가지는 직사각형의 막을 고려한다. 데카르트 좌표에서 시스템 식 (10.120) 은 다음과 같이 표현된다.

(122)\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^4}}} + 2\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {y^4}}} = \frac{f}{D}

편리하도록 좌표 원점을 막중심에 잡는다. a b 를 x 와 y 의 각기 방향에서의 막의 길이라고하자. 단순지지 모서리에 대한 막의 경계조건은

(123)\begin{gathered}
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{{\partial ^2}w}{\partial {x^2}} = 0 \quad \text{    for    } \quad x =  \pm \frac{a}{2} \\
  \\
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad  \frac{{\partial ^2}w}{\partial {y^2}} = 0 \quad \text{    for    } \quad y =  \pm \frac{b}{2} \\
  \end{gathered}

막이 고정된 모서리를 가진다면 막에대한 경계조건은

(124)\begin{gathered}
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{\partial w}{\partial x} = 0 \quad \text{    for    } \quad x =  \pm \frac{a}{2} \\
  \\
  w = 0 \quad \text{    and    } \quad  \frac{\partial w}{\partial y} = 0 \quad \text{    for    } \quad y =  \pm \frac{b}{2} \\
  \end{gathered}

이다.

막에 대해 식 (10.120) 을 원점이 막의 중심에 위치한 원통좌표계로 쓰는 것이 편리하다,

(125)\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left\{ {r\frac{d}{{dr}}\left[ {\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{dw}}{{dr}}} \right)} \right]} \right\} = \frac{f}{D}

막의 반경이 a 일 때 단순 지지된 모서리에 대한 경계조건은

(126)w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {r^2}}} = 0 \quad \text{    for    } \quad r = a

이다.

고정 모서리에 대한 경계조건은

(127)w = 0 \quad \text{    and    } \quad \frac{\partial w}{\partial r} = 0 \quad \text{    for    } \quad r = a

이다.

이 모델에서 사용되는 막의 휨에 대한 모든 해석해는 상기 식들을 만족한다. 일부 해석해는 Timoshenko (1959) 에서 찾을 수 있으나 다른 해들은 중첩 방식을 이용하여 Timoshenko 해로부터 얻어진다. 이런 해의 상세한 내용은 Flow Science Technical Note #79 를 참조하라.

유동에 대한 막의 운동효과를 고려하기위해 연속방정식이 우측에추가되는 체적 소스(또는싱크)항 S 로써 수정된다,

(128)\frac{{{V_f}}}{\rho }\frac{{\partial \rho }}{{\partial \,t}} + \frac{1}{\rho }\nabla  \cdot (\rho \,\vec uA) = S

계산 유효체적, 또는 망 셀에서,

(129)S = \frac{S_{\rm{mb}}}{V_{\rm{cell}}}\, {\vec V_{\rm{mb}}} \cdot \vec n

여기서 Vcell 는 셀 체적, Smb, ~n V~mb 는 망 셀에서의 각기 표면적, 단위 외부 법선 벡터와 막 표면의 속도이다. V~mb 는 처짐의 변화율로부터 얻어진다. VOF 함수의 이송방정식 또한 소스항 FS 를 이용하여 수정된다,

(130){V_f}\frac{\partial F}{\partial \,t} + \nabla  \cdot (F\vec u{A_f}) = FS

모멘텀, 에너지, 난류 그리고 스칼라들의 이송방정식은 변하지 않는데 그 이유는 FLOW-3D 에서 이 방정식들은 비보존 형태로 사용되기 때문이다. 이들이 연속방정식을 고려하여 보존형태로 유도될 때 막운동에 의한 소스항들이 상쇄된다.

Elastic Wall 탄성벽

FLOW-3D 에서 탄성벽은 임의 형상의 탄성물체이며, 그 표면 변형은 작고 수압에 비례한다. 즉,

(131)w =  - \frac{{(p - {p_{\rm{ref}})}}}{K}

여기서

  • w 는 표면 법선방향에서의 지역 휨
  • p 는 지역압력
  • pref 는기준압력
  • K 는 단위면적당 강성계수

이러한 종류의 탄성변형은 벽재질의 포아송비가 0이면 발생하며 이는 법선응력이 횡 변형을 일으키지 않는 것을 뜻한다. 포아송비가 0이 아니지만 작으면 탄성 벽 변형에 대한 좋은 근사법이다. 횡 변형 항이 무시되면 Hooke법칙은 다음과 같이 환원된다.

(132)\varepsilon  = \frac{\sigma }{E}

여기서

  • ε 는 변형
  • σ 는 수직응력
  • E 는 Young 탄성계수
  • 식(10.131) 에서 K 는 사용자-기술 변수이다. K 값을 정하기위해 한쪽은 고정되고 다른쪽은 수직력은 받는 평형에 있는 판을 고려한다. 포아송비는 무시할 만하고 수직응력은 표면상의 한 위치에서 σ 이다. 힘의 균형으로부터 판내의 수직응력은 그 위치를 통과하는 수직선상을 따라 같은 σ 이다. 판의 두께를 h 라하고 휨을 w 라고 표시한다. 변형은 이때 w/h 이고 식(10.132) 에서Hooke 의 법칙은 식 (10.131) 를 준다.

(133)w = \frac{\sigma }{{{E \mathord{\left/
{\vphantom {E h}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} h}}}

이 경우 이라는 것을 가리킨다. 일반적으로 K 는 다음으로 추정된다

(134)K = \frac{E}{L}

여기서L은 탄성벽의 두께에 비교될 만한 길이 규모이다. 또한 실험 측정이나 실제규모의 구조해석 같은 다른 방법으로 부터도 구해질 수 있다.

유체 유동에 대한 이 탄성벽 운동 효과는 벽표면에 체적 소스(또는 싱크)를 추가함으로써 기술된다. VOF 에대한 연속 및 이송방정식들은 탄성막에 대한 절에서 기술된 것과 같은 방식으로 수정된다.

Model Limitations

이 모델은 다른 형상, 크기, 방향 및 물리적 양을 가지는 다수의 탄성막과 탄성벽 물체를 허용한다.이는 대부분의 다른 FLOW-3D 모델들과 같이 사용될 수있다. 예를들면 막과 탄성벽을 통과하는 열전달이 포함될 수있다. 그러나 제약과 제한도 있다.

이 모델에서 탄성막과 탄성벽이 작은 휨을 가져야한다. 막에 대한 작은 휨은 휨이 막의 크기보다 작다는 것을 뜻한다. 한 탄성벽에서 그 변형은 계산 셀 크기와 비교하여 작아야한다. 이 가정은 변형되는 표면의 위치에 실제 차이를 무시하게끔 한다. 다른 말로 막과 변형하는 벽의 형태는 그들의 초기에 지정된 정의대로 계산하는 동안 고정된다. 위에 보여준 바와 같이 유체 운동에 대한 표면 변형의 효과는 변형하는 표면상에 유체 소스 분포를 통해 모델링된다. 계산 결과가 보여질 때, 변형은 의 등고선을 그림으로써 가시화될 수있다. 탄성막/벽은 동시에 다공체이거나 이동체일 수가 없음을 또한 주목한다. 이동체가 막이나 탄성벽과 충돌하면 후자는 충돌모사에서 고정된 강성체로 간주되어서 충격은 단지 이동체의 운동에만 영향을 줄 것이다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Elasto-visco-plastic & Viscoelastic Model 탄성-점성-소성 및 점탄성모델

어떤 물질은 전체응력 상태에서 압력과 점도외에 추가의 응력이 존재한다: 탄성응력. 점성응력은 물질의 변형율의 함수인 반면에 탄성응력은 물질의 지역 전체 변형의 함수이다. 이런 물질은 탄성응력이 항복 한계까지 증가하며 그 때에 점성유체 같이 거동하는 Bingham 유체, 그리고 지역 변형율에 따라 물질안에서 점성 및 탄성응력이 계속적으로 변하는 점탄성 물질을 포함한다. Bingham 유체의 예는 치약 같은 고상입자들이 작은 변형하에서 서로 “잠겨져” 있고 이 결합이 부서지면 액체같이 흐르는 고상으로 채워진 부유물 형태이다. 중합체 융해와 용매는 점탄성 유체의 예인데 중합체의 긴분자들이 서로 얽혀 급격한 전단력을 받으면 변형에 저항하지만 전단이 천천히 일어날 경우 쉽게 다른 분자들을 지나 미끄러질 수 있다.

점성응력은 순전히 어느 한 시점에 영역 내 모든 점에서의 순간 변형율에 달려있어서 모사 기간 중에 FLOW-3D 에서 저장될 필요가 없지만 탄성응력은 물질 내 한 점에서의 시간에 대한 이력이 현재 상태의 탄성응력을 계산하기 위해 알려져야 할 필요가 있으므로 저장되어야 한다. 더구나 대부분 물질은 자연적으로 등방성이고 Cauchy 응력은 대칭이며 6개의 고유한 탄성응력텐서 성분이 있다. 디폴트로 이들은 이류 양들로 저장되어 탄성응력은 영역전반에서 물질을 따라 이류된다. 최소한의 유동이 예상되는 경우에 탄성응력의 이류는 중지될 수 있다.

단지 탄성응력의 편향 부분이 저장된다; 등방성 부분은 단지 압력이고 이는 FLOW-3D 에서 점성 액체에서와 마찬가지로 연속방정식의 시행을 통해 해석된다. 편향 부분은 물질의 전단 및 인장과 관련된 탄성응력이다. 응력의 등방성 부분은 (거의) 비압축성 물질에 대한 압력과 많이 유사하게 해석된다; 모든 경우에 대해 대부분 물질의 높은 체적 탄성율로 인한 작은 시간간격을 피하기 위해 내재적으로 해석된다. 응력의 편향 부분은 탄성응력(Elastic stress) 솔버의 활성화시킴으로써 내재적 또는 외재적으로 별도로 해석된다.

 Model Formulation 모델형성

FLOW-3D 에 포함된 증분적 탄성응력 모델은 선형Hookean 이론을 사용하는 탄성응력을 계산한다. 비록 이 간단한 구성 방정식은 응력에 선형 반응을 예측하지만 증분 모델로서의 시행은 상당히 비선형적 반응의 예측을 허용하는데 이는 각시간 단계 내의 증분적 변형은 작으므로 각각의 작은 시간 단계내의 반응이 선형으로 근사될 수 있기 때문이다.

탄성응력, 점성응력 그리고 항복의 관계는 선택된 모델에 의존한다.

탄-점소성모델에대해 밑의 그림은 어떻게 전체 응력이 항복응력 한계로 인한 미끄러짐에따라 점성 응력과 탄성 응력의 합이 되는지를 그림을 통해 보여준다. 이와같이 이 모델은 전체응력 상태를 각기 감쇄기와 스프링으로 나타내진 점성응력과 탄성응력의 합으로 예측한다. 이 모델에 의해 기술된 바와같이 이런 재질의 봉이 아주 단기간에 부과되는 일정량의 변형을 겪는다고 가정하자. 이 모델은 변형에대해 선형적으로 비례하는 탄성응력의 상응 증가를 예측한다. 또한, 변형이 부과되는 단기간에 점성응력도 상당히 클 것이며 단지 부과되는 변형이 멈출때 0으로 떨어질 것이다. 더 큰 변형이 탄성응력이 항복응력을 능가하는 점까지 부과되면 재질은 항복 변형되어 액체처럼 흐르기 시작할 것이다.

Pictorial view of Elasto-viscoplastic model, showing the relationship between the elastic and viscous stresses.그림 10.1 탄성과 점성 응력간의 관계를 보여주는 탄성-점소성 모델의 그림도해

점탄성 모델(Oldroyd-B 모델 또는Giesekus 모델) 이 선택되면 점성과 탄성 응력 사이의 도해적 관계가 하기 그림에서와 같이 보여진다. 이 모델에서 스프링과 감쇄기는 직열로 연결되어 물질 내의 임의의 점에서 힘의 전체상태는 점성응력과 탄성응력이 둘 다 같다는 뜻에 주목한다. 그러나 변형과 변형율은 매우 다를 수 있다. 급격히 인장되는 이 재질로 된 봉은 급격한 이동에 의해 변형률이 크므로 큰 점성응력을 가질 것이다. 탄성응력도 마찬가지로 커서 재질은 고체같이 거동할 것이다. 같은 전체 변형이 장기간에 적용된다면 결과적으로 변형율이 아주 작아져서 점성력도 매우 작을 것이다, 마찬가지로 전체 변형이 매우 크더라도 탄성력이 매우 작음에 틀림없다. 이런 상황에서 재질은 아주 점성 액체같이 거동할 것이다.

Pictorial view of viscoelastic model, showing the relationship between the elastic and viscous stresses.그림 10.2 탄성과 점성응력의 관계를 보여주는 점탄성 모델의 도해

변형과 변형율을 전체 응력상태에 연결해 주는 모델은 구성 방정식들이며 FLOW-3D 에서 3가지 선택이 있다(탄성력이 전혀 없다는 표준 가정과 함께).

(103){\boldsymbol \sigma } = -p {\mathbf{I}}+ {{\boldsymbol \tau }_V} + {{\boldsymbol \tau }_E}

Navier-Stokes 시스템 방정식의 해에 필요한 전체 응력상태는 σ = −pI + τV + τE 이며 여기서 p 는 지역압력, τV 는 점성응력의 편향성분, τE 는 탄성응력의 편향성분이다. p τV 는 이미 현재의 모델에서 고려되고 있다; 이 모델의 목적은 τE를 계산하는 것이다.

Elasto-viscoplastic model

점소성 모델에서 각 시간 단계 사이에 작은 변형의 Hookean 가정을 사용하므로 증분적 응력(한 계산 사이클에서 다음까지의 변화)은 증분적 변형에 관련되어 있다.

(104){{\boldsymbol \tau }_E} = \left( {K - \tfrac{2}{3}G} \right)e{\mathbf{I}} + 2G{\mathbf{E}} - 3\alpha K\left( {\Delta T } \right){\mathbf{I}}

여기서

  • τE 는 탄성응력 텐서
  • E 는변형텐서
  • I 는 단위등방 텐서
  • G 는전단탄성울
  • K 는 체적탄성율
  • α 는 선형열팽창계수
  • T 는 지역 열증분이며
  • e 는 체적변형;
  • 이는 재질의 등방성 팽창이나 수축을 특성화하며 변형 e 의 대각성분 합

(105){\textup{tr}} \left( {\mathbf{E}} \right) .

과 같다.

식(10.104) 은 한 선형 모델이지만 각 증분 변형이 선형가정을 따르기에 충분히 작도록 작은 시간 동안에 증분적으로 계산된다면 비선형 과정도 예측될 수 있다. 식(10.104) 은 τE 의 (정의에 의해 τE 는 대칭) 편향 과 등방 성분 둘 다에 대해 쓰여질 수 있다. 편향 성분은

(106){{\boldsymbol \tau '}_E} = 2 G {\mathbf{E '}}

여기서 τE 는 탄성응력의 편향 성분이고, G 는 전단 탄성율, 그리고 E는 증분 변형의 편향 성분이다:

(107){\mathbf{E'}} = \Delta t \left\{ {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}} \left[ {\nabla {\mathbf{u}} + {{\left( {\nabla {\mathbf{u}}} \right)}^T}} \right] - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 3$}} \left( \nabla \cdot {\mathbf{u}} \right) {\mathbf{I}} \right\}

여기서 u 는 지역의 물질속도( FLOW-3D에서 계산되는 것 같은)이고 ∆t 는 시간단계이다

식 (10.104)의 등방성 부분은 p = −Ke + 3αK, 이며 여기서 p 는 평균 등방응력 또는 “압력”의 음이고 −tr (τE)/3와 같다. 식(10.106) 을 미분방정식으로 표현할 수 있다:

(108)p = - Ke + 3\alpha K\left( {\Delta T} \right)

(109)\underbrace{\frac{\partial {\boldsymbol \tau '}_E}{\partial t}}_{\substack{\textrm{Change in stress} \\ \textrm{at fixed point in space}}} + \underbrace{\nabla \cdot \left( {\mathbf u} {\boldsymbol \tau '}_E \right)}_{\substack{\textrm{Change in stress}\\ \textrm{due to movement}\\ \textrm{of material}}} = \underbrace{2G {\mathbf{D'}} \left( {x, t} \right) }_{ \substack{\textrm{Change in stress}\\ \textrm{due to stretching}\\ \textrm{or shearing}}} + \underbrace{{\boldsymbol \tau '}_E \cdot {\mathbf{W}} + {\mathbf{W}}^{ \mathbf{T}} \cdot {\boldsymbol \tau '}_E}_{ \substack{\textrm{change in stress due to}\\ \textrm{solid-body rotation}}}

여기서 D는 변형 율 텐서의 편향성분이다. 3차원에서 이것은

(110){\mathbf{ D'}} = {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}\left[ {\nabla {\mathbf{u}} + {{\left( {\nabla {\mathbf{u}}} \right)}^T}} \right] - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 3$}} \left( \nabla \cdot {\mathbf{u}} \right){\mathbf{I}}

이며 W와동 텐서이다

(111){\mathbf W} = \frac{1}{2} \left[ {\nabla {\mathbf{u}} - {{\left( {\nabla {\mathbf{u}}} \right)}^T}} \right] .

식 (10.109) 은 FLOW-3D 에서 탄성응력 성분을 저장하기 위해 스칼라 배열을 이용하여 해석될 수있다; 이 성분들은 이미 물질의 운동과 함께 이류되고 증분적 응력이 각 시간단계에서 응력 텐서 성분에 추가된다. 유사하게, 식 (10.108) 은 다음과같이 다시 쓰여질 수 있다.

(112)\frac{{\partial p}}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {{\mathbf{u}}p} \right) = - K\dot e + 3\alpha K\left[ {\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {{\mathbf{u}}T} \right)} \right]

식 (10.112) 의 이류항(좌측2번째항)은 압력파가, 특히 고체 내에서, 물질이 이류하는 속도보다 훨씬 빠르므로(모든 아음속 모사에서) p 의 시간 미분량에 비해 상대적으로 작다고 가정된다.

응력의 현재값은 물질요소의 과거 이력의 함수이다. 영역으로 들어오는 물질은 영역경계에서 별도로 지정되지 않는한 의미없는 응력을 갖는다. 또한 모사 시작시의 초기조건은 초기조건에 의해 지정되지 않는한 의미없는 응력을 갖는다. 항복효과를 예측하기 위해 Mises항복 조건이 사용된다. 이 조건은

In order to predict yielding effects, the Mises yield condition is used. This condition is

(113)I{I_{{\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}} = \frac{Y^2}{3}

이며,  여기서 IIτE 는 탄성 응력텐서의 2차 불변항이고 Y 는 사용자 지정변수인 항복응력 한계이다. 탄성응력이(IIτE 에 의해 측정되는) 항복 범주를 벗어나는 물질의 지역에서 탄성응력은 식 (10.113) 의 조건이 만족되도록 완화된다:

(114){\boldsymbol \tau '^{^*}}_{\mathbf E} = \sqrt{\frac{2Y^2}{3I{I_{{\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}} } {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} }

여기서 τ*E 는 항복-한계의 탄성 응력텐서이다; 유체의 모멘텀 균형을 위한 Navier-Stokes 방정식에 적용되는 것이 이 텐서이다.

Viscoelastic models 점탄성모델

점탄성 물질에서는 유체내 점성력과 탄성력의 연속적인 균형이 이루어지므로 다른 구성 방정식이 필요하다. 식(10.104) 대신에 항복 조건인 식 (10.113)과 함께 Oldroyd-B 모델에 대한 τE 를 정의하기 위한 구성방정식은

(115)\lambda \frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t} + {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} = 2 \eta {\mathbf D'}

이다.

여기서 λrelaxation time 이고 ηelastic viscosity 이다

\frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t}  {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}의  upper-convected derivative 이다. 또는 η 로 정의될 수 있는데 여기서 G 는 고체같이 거동하는 물질의 탄성계수이다.  그러므로

(116)\frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t} = 2 G {\mathbf D'} - \frac{1}{\lambda} {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}

식(10.116) 은 우측의 추가 선형항을 제외하고는 식 (10.109) 와 같은 형태로 확장된다. 완화시간 λ 의 큰 값은 이 항이 작고 탄성응력이 천천히 완화된다는 것을 뜻한다. 작은 λ는 이항이 크고 탄성응력이 아주 급격히 완화된다는 것을 뜻한다

유사하게 Giesekus 모델에서도 식 (10.115)에 추가 비선형 항이 더해진다:

(117)\lambda \frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t} + {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} - \alpha \frac{\lambda}{\eta} {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} \cdot {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} = 2 \eta {\mathbf D'}

여기서 αdimensionless mobility factor이다. 이 인자는 물질의 점탄성 거동에 대한 추가 맞춤 변수를 제공한다. 다른 변수들은 Oldroyd-B 에 대해서와 같은 의미를 갖는다.

식 (10.117), 를 재정리하여 다음을 얻는다:

(118)\frac{D {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}}{D t} = 2 G {\mathbf D'} - \frac{1}{\lambda} {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} + \frac{\alpha}{\lambda G} {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} \cdot {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E}

Oldroyd-B Giesekus 모델에서 구성방정식 (10.116)과 (10.118)들은 FLOW-3D 스칼라 이류 방정식을 이용하여 해석되고 식 (10.109), (10.116), 또는 (10.118) 들의 추가 항(선택된 모델에 따라)들은 내내적 또는 외재적으로 풀어진다. 다음절은 이를 더 자세히 기술한다.

Solution Method

변형율텐서 E˙ 의 해법은 점성 응력 알고리즘에 사용된 것과 유사하다. E 의 법선성분은 셀 중심에서 계산돠고 전단 성분은 셀 면에서 계산된다. 하기 그림은 전형적인 계산셀과 응력성분 계산 위치를 보여준다. 전단성분은 계산의 편리성과 수치안정성 때문에 셀 면에서 계산된다.

Computational cell showing locations of components of strain rate tensor

Figure 3변형율텐서의 인자의 위치를 보여지는 수치해석 셀

 

자유표면에서 외부유체는 유체면에 무시할 만한 응력을 미치는 기체기포로 가정된다. 그러므로 이런 경계면에서 n·τE = 0이다. FLOW-3D 에서 자유표면과 인접한 셀의 주방향은 알려져 있다. 이 정보로부터, τE 의 관련된 성분은 위에서 언급된 조건을 만족시키기 위해 자유표면에서 0으로 지정된다. 고체벽과 물체와의 경계면에서 벽(또는 물체)과 인접하는 셀의 유체속도와 벽(또는물체)의 속도가 식 (10.110)를 이용하여 변형율을 계산하는데 이용된다.

외재적 방법이 선택되면 탄성응력은 전 시간단계의 정보를 이용하여 식 (10.109), (10.116) 또는 (10.118) 들에서 갱신되고 τE 의 결과값이 다음 단계의 새속도를 계산하기 위해 식 (10.9) (점성 가속도에의 추가항으로) 에서 사용된다.

이 방법은 각 시간 단계에서 단순하고 빠른 장점을 갖는다. 그러나 탄성효과가 다른 효과들을 능가하는 물질들에서는 수치안정성 제약이 아주 작을 수 있다. 그러므로 이런 문제들에서 시간단계의 제약을 없애기 위해 내재적 방법이 선택될 수 있다. 이 방법의 단점은 각 시간단계에서 훨씬 더 큰 계산적 노력이 필요하며 물리적으로 존재하는 진동을 감쇠시킬 수 있다.

내재적 알고리즘이 사용되면 속도 예측은 외재적방법과 같이 계산된다. 그러나 속도가 등방성 응력식(10.112) 과 함께 모멘텀 방정식의 잉여속도(외재적 근사와 가장 최근의 속도의 근사와의 차이)에 의거하여 갱신된다: 

(119)\delta {\mathbf{u}} = \frac{{\Delta t}}{\rho }\left[ { - \nabla \left( {\delta P} \right) + \nabla \cdot \left( {\delta {\boldsymbol \tau '}_{\mathbf E} } \right)} \right]

여기서 τE 의 값은 가장 최근의 값이다.

식 (10.119) 을 해석하는데 이용되는 방법은 Jacobi 방법이다; 이 방법에서 영역 전체에 대해 갱신된 모든 탄성응력텐서는 전반복에서 계산된 속도에 근거하여 해석된다; 인접한 최근에 계산된 셀들의 성분들은 다음 반복때까지 반영되지 않는다. 이는 한 반복에서 다음 반복때까지 속도의 차이가 미리 지정된 수렴공차 보다 작아질 때까지 반복된다. 원하면 이 방법은 점성효과가 아주 큰 물질들에 대한 Jacobi 내재적 점성 응력 방법과 함께 사용될 수 있다. 현재, 내재적 탄성응력모델은 ADI (Alternating Direction Implicit) 나GMRES (Generalized Minimum Residual Solver) 내재적 점성 응력 알고리즘과 함께 사용될 수 없다.

압력 P 는 식 (10.112)을 이용하여 별도로 계산되며 해법 알고리즘은 액체압력에 대해서와 똑 같다. 압력과속도 성분은 식 (10.112) 의 잔여가 미리 지정된 수렴 공차 밑으로 떨어질 때까지 각 반복에서 갱신된다. 수치적 방법은 SOR (Successive Over Relaxation), ADI, 또는GMRES일 수 있다. SOR 알고리즘은 현 반복단계에서 갱신된 인접 값들을 포함하여 최근에 갱신된 값이 사용된다는 점을 제외하고는 이미 언급된 Jacobi 방법과 아주 유사하다. ADI 알고리즘은 동시에 선택된 방향의 줄 전체의 셀을 해석하며 GMRES 알고리즘은 완전히 결합된 방정식 시스템을 해석한다.

Computation of parameters 계산변수

탄성계수 G , 항복응력한계 Y , 완화시간 λ 그리고 유동인자 α 는 유체 1과 2모두에 정의 될 수 있다. 추가로 표로 시간에 따라 변하는 데이터를 제공할 수도 있다.

두 점탄성 유체가 한 계산 셀내에 있을 때 그 셀내의 변수는 두 유체 물성치의 가중 선형보간 값을 이용한다. 표상의 온도의존 데이터에 대해서는 FLOW-3D 내의 다른 온도 의존 양에서와 마찬가지로 구간 선형 보간이 두 데이터 점 사이에서 가정된다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/High Concentration Granular Media Model 고농축 입상매질모델

여기서 고농축 입상유동이라는 명칭은 입상율의 체적율이 50% 또는 그 이상일 때를 뜻한다. 고농축시 강한 결합이 고체입자와 주변유체간에 작용하여 이 혼합물은 단일 혼합유체로 잘 근사될 수 있다. 이 혼합물은 이를 순수기체 지역과 분리시키는 자유 표면을 가지는 비압축성 유체로 간주된다. 두 물질의 속도 차이로 인한 혼합물 내의 2상 효과는 표류-플럭스 근사를 이용하여 고려된다.

두 종류의 입상 유동 모델이 있다. 하나는 고체 입자를 둘러싼 연속유체가 가스이며, 다른 하나는 연속유체가 액체이다(혼합물은 슬러리로도 불린다).

일반적으로, 혼합유체는 불균일 밀도를 가진다. 유체 혼합물의 밀도는 비압축성 가정 때문에 체적 혼합물 유동시에 변할 수 없다. 그러나 밀도변화는 표류-플럭스 모델에서 기술된 바와같이 혼합물 내에서 고체와 가스간의 상대유동 때문에 발달할 수 있다.

탄탄한 패킹은 입자들이 함께 압착될 때 밀려난 유체가 제거되어야한다. 기체/입상 혼합 모델에서 혼합체적의 손실은 혼합물 자유표면에서의 기체의 손실로 간주된다. 기체는 기체와입자의 상대운동으로 인해 자유표면상에서 주변공간으로 빠져 나갈 수있다. 모든 제거된 기체는 주위공간 지역으로 전달된다. 어느 경우던지 모든 제거된 기체는 주위 기포로 전달된다. 액체/입상 혼합 모델에서 고체물질을 다지면 자유표면을 가지는 순수액체 공간이 만들어진다.

이산 고체는 단지 밀도가 순수 고체보다 작은 지정된 패킹 한계까지만 쌓여질 수있다. 균일 크기의 좁은 패킹을 가지는 구형입자의 일반적 고상 체적율 값은 is fspk = 0.63이다. 표류-플럭스 모델에서 발생할 수 있는 최대 고상율을 선택할 수 가있다. 이 제한은 임계 체적율에 도달할 때 표류 속도를0으로 지정함으로써 적용된다. 이 처리는 고 체적율을 가지는 분산 물질 내 발생하는 입자간의 상호작용의 경험적 설명인 Richardson-Zaki상관식에 의한 표류 속도 제약과 유사하다.

고농도의 입상 물질내 전단응력은 분산된 고체를 운반하는 유체의 점성 전단응력 보다 훨씬 크다고 알려져있다. [Bag05] 의 1941년도 연구에서 시작하여 광범위한 양의 연구가 요약되어 있으며 [Mih99]에 의해 더 큰 실험범위로 확대되었다. 고농도상태에서 전단응력의 발생의 주요한 원인은 입상간의 충격력(즉, 충돌)이다. 두 번째, 그리고 일반적으로, 작은 부분이 유체에 영향을 주는 분산된 고체에 기인한다. Mih의 유효 동적점성 표현식([Mih99] 의 식 39로부터 변경된)은,

(91){\mu _{\rm{eff}}} = 7.8\mu \left( {\frac{{{\lambda ^2}}}{{1 + \lambda }}} \right) + {\rho _s}\left( {\frac{{0.015}}{{1 + 0.5\rho /{\rho _s}}}} \right)\left( {\frac{{1 + e}}{{{{\left( {1 - e} \right)}^{0.5}}}}} \right){\left( {\lambda d} \right)^2}\left| {\frac{{du}}{{dy}}} \right|

여기에서:

µ ρ 는 연속적 유체 점도 및 농도는,

ρs 는 모래농도

e 는 입상 충격과 관련된 반발계수,

d 는 입자 직경이며

λ 는 고상체적율 fs 로나누어진 최대 고상 체적율 fsmx = 0.63 의 함수이다.

(92)\lambda  = \frac{1}{{{{\left( {1.032{{f_s^{{\text{mx}}}} \mathord{\left/
{\vphantom {{{\text{f}}_{\text{s}}^{{\text{mx}}}} {{f_s}}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {{f_s}}}} \right)}^{1/3}} - 1}}

물리적으로, λ = d/S 이며 여기서 S 는 입상 중심들의 평균거리에서 입상 직경 d 를 뺀 값으로 정의된다. 입상이 접촉하면(즉, 패킹되면) S=0 이고 λ 는 무한대가 된다. 현재의 목적을 위해 단순 전단율 du/dy 는 변형율 eij 의 크기로 대체되고 모래에 대한 일반 반발계수 0.7은 타당한 일반값으로 가정된다. 이렇게 변경하면 식(10.91) 은 다음으로 축소된다.

(93){\mu _{\rm{eff}}} = 7.8\mu \left( {\frac{{{\lambda ^2}}}{{1 + \lambda }}} \right) + 0.066{\rho _s}{\left( {\lambda d} \right)^2}\left| {{e_{ij}}} \right|.

 

이 식은 ”shear thickening” 점도이다. 농밀화 특성은 saltation 이라고 불리는 과정인 입상 사이의 충격 영향으로부터 발생한다. 즉, 가라앉거나 느리게 움직이는 입상들의 층 위에서 빠르게 움직이는 입상들은 서로 부딪혀서 저속의 입상들을 위의 흐름으로 이동하게 하며 여기서 저속 입상들은 더 많은 충돌을 통해 흐름으로부터 모멘텀을 흡수한다.

충격 점도항(식(10.93)의 2번째항)은 일반적 대와류 모사법(LES) 점도 형태를 가진다. 식(10.93) 의 경험적으로 유도된 표현은 난류유동 조건을 포함하므로 입상유동 모델에 난류이송 모델을 사용하는 것은 불필요하다(아마 일치하지 않을 것임).

유체/입상 혼합물의 2상 유동을 모델링하는 중요한 요소는 모래가 적용된 압력이나 체적력을 받을 때 패킹되고 운동에 저항하기위한 한 방편을 갖는 것이다. 이 목적을 위해 발포되는 모래의 관찰에 기반한 유동저항 모델이 이용된다. 입상물질이 각 개의 입상물질이 서로 접촉하기 시작하는 밀도로 패킹되면 혼합물이 유동하기에 더 어려워진다. 이런 상태를 일종의 기계적 방해라고 하며 전형적인 체적율 fsjam = 0.61를 가진다. 고체의 패킹에 해당하는 아직 더 높은 고상밀도에서 입상은 이웃 입상들과 접촉하며 유동이 불가능할 것이다.

Bagnold 에 의하면 바닥에 가라앉고 패킹된 입상들은 단지 모래유동이 한계값 uthrs 보다 큰 속도를 가질 때 바닥에서 벗어나거나 모래 유동 내로 포함된다. 중력 g 와 입상 직경 d 를 포함하는 경험적 연구와 한 근사 이론에 의해 한계속도는

(94){u_{\rm{thrs}}} = 1.41{C_{\rm{drg}}}\sqrt {d\left| \textbf {g} \right|{{\left( {{\rho _s} - {\rho _a}} \right)}/{{\rho _a}}}}

여기서Cdrg는 1이다. 이식에서 Cdrg 의 포함은 아마 추후에 입상간의 간섭효과를 고려하는 한계 속도 조정을위해서 일 것이다.

유체를 포함하는 망 요소 내의 패킹 저항은 요소내 유체속도가 이 한계속도 보다 크거나 고상물체의 체적율이 기계적인 방해에 대한 필요보다 작으면 0이라고 가정된다. 이 저항값보다 큰 체적율 및 한계값보다 작은 속도에 대해 유동저항은 다음과 같이 주어지는 음의 가속도로 유체 모멘텀방정식의 우편에 추가되며,

(95)- {S_{\rm{drg}}}\sqrt {\frac{{\left| g \right|}}{{\,4d}}} \left( {\frac{{{u_{\rm{thrs}}} - \left| {\vec u} \right|}}{{{u_{\rm{thrs}}}}}} \right)\left( {\frac{{{f_s} - f_s^{\rm{jam}}}}{{f_s^{\rm{mx}} - f_s^{\rm{jam}}}}} \right)\vec u

 

여기서 Sdrg 는 차수가 1인 무차원 계수이다. 이 저항은 한계속도를 초과하는 유동속도 및 또한 모래의 체적율에 비례한다.

고상물질의 체적율이 약0.99fspk 의 값에 도달하거나 초과하면 유동속도는 0으로 되고 물질은 완전히 패킹됬다고 간주된다. 이의 예외가 내부로 향하는 표면법선과 체적력(즉, 중력 같은)의 방향간의 각도로 정의된 안식각보다 큰 구배를 가지는 표면요소에 적용된다. 이런요소는 유동저항이 없다.

입상 유동에 대해 현재의 모델에 더 현실성을 주는 안식각 및 근사 패킹한계의 예외가 있다 한 예외는 안식각보다 약 2도정도 큰 값의 이동각을 포함하는 것이다. 표면이 패킹되고 안정화 되있을 때 표면구배가 이동각보다 클 때까지 유동하지 못하나 구배가 안식각보다 큰 동안에 한해서 계속 유동할 것이다. 이동각은 유동이 발생하기 전에 극복되어야 할 일종의 정지 마찰력 같이 거동한다. 유사한 “정지마찰” 개념이 이전에 패킹된 지역을 굳지않게 하기 위한 혼합유체의 내부에 이용된다.

고체 벽경계에서 입상물질이 경계로부터 분리(표류)될 수 있어 고상 체적율이 50% 보다 작아질 수 있다. 이런 가스/입상 혼합물의 경우 특수한 취급이 필요하다. 이 경우 초기에 자유표면이 없어서 일종의 “공동” 과정을 통해 생성되어야 한다. 50% 보다 작은 고상율이 자유표면으로 인식되지 않은 지역에서 발생하면 그 격자요소 위치의 압력이 외부의 가스압으로 완화되고 이 격자요소는 압력이 정의되고 비압축성이 적용되지 않는 특수요소로 표식된다. 이로써 요소는 열려서 새로운 순수가스 지역이 된다.

최대 패킹 체적율 fspk = 0.63 은 변할 수 있는 입력변수이다. 변경이 되면 fspk = 0.63에서도 그랫듯이 마찬가지로 상응하는 고상율 fsjam fsmx 가 자동적으로 변경된 fspk 와 같은 비례값을 가지도록 조절된다.

여기서 기술된 입상모델은 패킹된 고체 내를 통하는 유체의 자세한 유동을 다루지 않는 것 같은 약간의 제약이 따른다. 그럼에도 불구하고 많은 실제 양상에 유용한 결과를 보여준다. 예를들면, 금속 주조시 모래코어 제조에 적용할 때 정성적으로 실험 데이터와 잘 일치하고 있다.

Sand Core Blowing Model 모래코어 발포모델

금속주조 응용을 위한 모래 코어의 생성은 일반적으로 원하는 코어의 형태의 공동을 가지는 상자로 모래/공기의 혼합물을 불어넣어 만들어진다. 코어 전체 체적으로 균일하게 모래충진을 하기 위해 보통 다수의 공기 배출구가 상자 내에 주어진다. 이 배출구들은 많은 경우에 모래입자들 위에 입혀진 점결제의 열 또는 화학적 경화를 효과적으로 하기 위해 공기나 촉매가스가 모래 내로 유입되도록 해준다.

모래코어 모델은 특정하게 정의된 공기 배출구가 보충된 입상유동 모델의 응용이다. 이 모델의 출력은 공기 배출구의 위치 및 크기를 고려한 코어 상자 내의 충진 형상의 이력을 포함할 뿐만 아니라 완성된 코어 내에 존재할지도 모르는 밀도변화의 정보도 제공한다.

기본유동 모델의 상세내용은 High Concentration Granular Media Model 의 기술에서 찾을 수 있다. 모래코어 발포에 필요한 배출구에는 두 가지 형태가 있다; 다이 내부의 공기 포켓들과 다이 외부의 공기를 직접 교환하는 정규 배출구와 또 하나는 모래 내의 포켓으로부터 모래에 의해 덮혀진 출구로 가는 간접적 공기 유동의 결과인 출구가 그것이다. 후자의 배출구는 “일반적 배출”이라고 불린다.

정규 배출구는 둘 다 계산 격자내 순수 가스지역(기포)과 격자외부의 압력 지역간의 가스를 교환하는 기능을 가진면에서 밸브와 유사하다. 배출구는 위치, 유동면적 A, 외부압력 Pext 그리고 손실계수 Vc. 에 의해 특성화 된다. 순수가스 지역이 배출구를 둘러싸면 압력차이에 따라 가스를 얻거나 잃을 것이다. 배출구를 통한 체적유량 Qv, 은 다음과 같이 정의된다.

(96)Q_v = V_c \cdot A \cdot \sqrt {\frac{{2\left( p - P_{\rm{ext}} \right)}}{\rho }}

제곱근인자는 압력강하로 인해 배출구를 통과하는 유동속도에 대한 Bernoulli 근사이다. 변수 p ρ 는 출구에 인접한 가스의 압력과 밀도이다. 이는 간단히

(97)Q_v = V_{c2} \cdot \sqrt {p - P_{\rm{ext}}}

로 표현되고

여기서 배출구 계수, 배출구 면적, 제곱근 표시 안에 있는 인수 2 그리고 가스밀도 모두 배출구 계수 Vc2안에 결합되어 있다.

전형적인 모래코어 발포 응용에서, 모래 막은 뚜렷한 모서리를 갖는 틈이나 구멍 같은 출구를 가지는 배출구 채널상에 놓여진다. 이런 출구를 통한 유동손실에 대한 합리적 추정은 이다. 이와 같이 배출구 계수는

(98)V_{c2} = A \sqrt {\frac{1}{{2\rho }}}

로 주어지며

여기서A는 배출구(즉, 막)의 실제 개방된 유동 면적이다.

임의의 수의 배출구가 정의될 수 있다. 배출구 위치를 포함하는 계산 격자 셀 안에서의 혼합 유체분율이0.5보다 크면 배출구는 유체에 의해 막혀있고 더 이상 배출구를 통한 가스유동이 없다고 가정된다.

모래코어 발포에서는 심지어 패킹된 모래에서도 가스의 유동이 있다. 코어 상자 안에 배출구가 있거나 상관 없이 상자 내의 모든 공기기포가 배출되도록 해주는 이러한 가스유동의 단순한 표현은 일반 배출구라고 불리어진다. 일반 배출구는 이 배출구의 외부압력 Pg 가 모든 정규 외부압력의 평균이고 일반배출구 계수 Vg 는 모든 정규 Vc2 값의 이라는 것을 제외하고 각기 배출구로서의 같은 공식을 갖는다. 추가로 일반배출구의 유동계수는 모래 통과시의 평균 유동 손실에 더해진 모래에 의한 막힘으로 인한 배출구 면적의 감소를 나타내는 인수 Vg 로 곱해진다.

단순한 추정을 일반배출 계수 승수 Vg 에 대해서 할 수 있다. 표준 배출구에서 배출구를 통과하는 유동속도는 유동손실 인자와 함께 Bernoulli 근사를 사용하여 추정된다. 일반 배출구에 대해 공기는 실제 배출구를 통해 빠져나가기 전에 다공성 모래를 통과하여야 한다. 모래의 투과성은 수직 배출구에대한 Bernoulli 표현과 직접 비교를 가능케한다는 가정인 형상 손실이 주를 이룬다. 이 가정하에 배출구로 모래를 통과하는공기속도는 다음식에 의해 표현된다,

(99)\left| u \right| = {\left( {\frac{{d{\left( {1 - f_s^{\rm{pk}}} \right)}^2}}{6f_s^{\rm{pk}}L}} \right)^{1/2}}\sqrt {\frac{2\left( {p - P_g} \right)}{\rho}}

이 표현에서 p 는 다이 내의 공기압력이고, Pg 는 외부압력, ρ 는 공기밀도, d 는 모래입자의 직경은 공기 주머니와 배출구간의 평균거리 그리고 fspk 는 완전히 패킹된 모래의 체적율이다. 패킹된 고상율을 포함하는 인자들은 모래 내의 다공도를 고려한다. 단위 시간당 이 일반 배출구를 통과하는 공기의 체적Q는 수직 배출구의 수 Nv 와 모래에 의한 막힘으로 줄어든 배출구 면적 Av 와 상기 속도를 곱한 값이다.

(100)Q = N_v{A_v\left( {1 - f_s^{\rm{pk}}} \right)\left| u \right|}

이 비율을 수직 배출율과 비교하면 식. (10.97) 와 (10.98)는 수직배출 손실계수들의 합계를 곱해야 하는 모래를 통과하는 유동과 관련된 유효 추가 손실계수를 나타낸다.

(101)V_g = {\left( {\frac{{2{{\left( {1 - f_s^{\rm{pk}}} \right)}^4}}}{{3f_s^{\rm{pk}}}}} \right)^{1/2}}{\left( {\frac{d}{L}} \right)^{1/2}}

최대 모래패킹율인 fspk = 0.63, 통상 입상 직경인 0.02 cm 그리고 L = 1.0 cm 의 추정치에 대해 이 표현은 Vg = 0.02값을 준다. 이 값은 계산적으로 합리적인 결과를 주는것으로 알려져 있다.

Slurry Model 슬러리모델

 

고상입자와 액체의 혼합물은 가끔 슬러리라고 불려진다. 슬러리들은 제조과정에서 많이 볼 수 있고 자연적으로는 폭우에 따른 산의 협곡에서의 석편류에서 나타날 수있다. 슬러리에서의 중요한 양상은 (운반체인 유체와 고체간의 밀도차이가 상대적으로 작기 때문에) 서로 부딪혀 분리되는 전단 유동내의 입자들의 많은 충돌에 의해 발생하는 분산 압력이다. 충분히 큰 전단응력 하에서 분산압력은 입자들이 침전하고 패킹되는 것을 방지한다. 마찰 각 Θfriction 은 입자충돌시 발생하는 접선과 법선응력을 연결시켜 준다. 일반적으로 이 각도는 안식각 보다 2~8도 큰 정도이다. 더 큰 마찰각은 분산압력을 감소시킨다.

[Bag05] 는 모래와 공기의 유동과 관련하여 분산압력의 개념을 소개했다. 높은 고상밀도에서 고체/액체 혼합물의 주 점도 메커니즘은 입자간의 충돌에 의한 것이며 전단유동 내 접선 모멘텀의 전달에 매우 효과적이다. 그러나 입자가 충돌할 때 서로 반발하고 접선 방향 모멘텀 교환에 추가로 전단에 수직한 방향으로 서로로부터 멀어져간다. 또한 입자가 그들 사이에서 멀리 떨어져 나가고 큰 공간을 만드는 경향이 전단유동의 초기에 발생할 때 Reynolds팽창이라고 불려진다. Bagnold 는 일반적으로 충돌에 의해 생성된 전단응력은 항상 상응하는 수직응력을가지는 것을 인식했고 이는 고상입자들을 흩어지게 하는 경향이 있으므로 분산 압력이라고 불렀다. 이 둘 사이의 관계는 간단히

(102){\tau} = {tan(\Theta_{friction})P_{dispersive}}

로 나타나는데 여기서 τ 는 접선 충돌응력, Pdispersive 는 상응하는 분산압력 또는 수직응력이다. 마찰각 Θfriction 는 충돌하는 입자간에 작용하는 마찰응력과 관련된 입상물질의 물성치이다. 이 각도는 입상이 가스보다 액체에 의해 둘러싸여 있을 때 추가된 점도 유체의 영향때문에 더 크다.

[FLOW-3D 이론] Numerical Approximations 수치근사 – Notation 표기

Numerical Approximations 수치근사

Notation 표기

지배방정식을 수치적으로 해석하는데 이용되는 유한 차분망은 폭dxi, 깊이dyj그리고 높이dzk의 직교 셀들로 구성되어 있다. 활성화된 망 지역은 색인i로 명명된 x방향에서 IBAR셀, 색인j로 명명된 y방향 에서 JBAR셀, 그리고 색인k로명명된z방향 에서 KBAR셀을 갖는다. 이 지역은 망 경계조건을 지정하기 위해 사용되는 경계셀이나 가상 셀의 층에 의해 둘러싸여 있다. 이와 같이 전체망에서 통상 전체 셀의 수는 (IBAR + 2)(JBAR + 2)(KBAR + 2)이다. 그러나 주기적 또는 지정된 경계조건이 한 주어진 좌표 방향에서 주어지면 경계셀에 하나의 추가 층이 그 방향에서 사용된다. 이 사실은 차원 설정을 지정할 때만 명심되어야 한다. 전처리는 자동적으로 모든 경계조건을 만족시키는 데 필요한 경계 셀의 수를 초기화할 것이다. 하기 그림은 셀 표시 명명법의 도해이다.

그림 10.11 망 배열및 표식 관례

유체속도와 압력은 밑의 그림에서 보이는 전형적인 셀에서 보여준 바와같이 엇갈린 망위치에 위치한다: x방향에 수직한 셀 표면의 중심에서의 속도u와 면적 분율Ax , y방향에 수직한 셀 표면의 중심에서의 속도v와  면적 분율Ay  그리고z방향에 수직한 셀 표면의 중심에서의 속도w와  면적 분율Az 압력(p), 유체분율(F), 체적분율(VF ), 밀도(ρ), 내부에너지(I), 에너지(q),소산(D),  그리고 점도(µ)의 난류양은 셀 중심에 있다.

여기서 사용된 유한 차분표기는 분수 색인 값이 사용될 수없는 코드에서 사용되는 표기에 상응한다. 관례는 모든 분수 색인은 가장 가까운 정수로 귀결된다. 예를들면, 셀(i, j, k) 과 (i + 1, j, k) 사이의 셀면상에 위치한i + 1/2에서의u속도는 로 표기된다. 윗 첨자nn번째 시간단계 값을 뜻한다. 유사하게,

  (10.311)

ρ, I, q, D, µ 와 유사하게

  (10.312)

면적및 체적분율도 다음과같은 표기로 나타난다.

  (10.313)

자유표면이나 유체경계면이 존재할 때 비어 있거나, 표면이 있거나 또는 한 유체가 가득찬 이러한 셀들을 구별하는 것이 중요하다. 정의에 의해 표면 셀은 유체1을 가지고 적어도 한개의 비어 있거나 유체 2로 가득한 인접(i ± 1,j ± 1,k ± 1에서)셀을 가지는 셀이다. 1보다 작은 F값을 가지며 비어있는 인접 셀들이 없는 셀은 1유체 문제에서 가득찬 셀이라고 간주된다. 표식NFi,j,k는 셀을 분류하기 위해 그리고 표면 셀의 경우에 어느 인접셀이 표면에 내부로 향한 수직인 방향으로 놓여 있는지를 지정하기 위해 사용된다.

   (10.314)

NF는 유사하게 두 유체 사이의 표면의 방향을 표시하는데 사용된다.

Outline of Finite Difference Solution Method 유한차분 해석 해법의 개요

시간의 한 증분δt을 통해 해가 전진하는 기본 과정은 세단계로 구성되어 있다. :

1. 모멘텀 방정식(10.9)의 외재적 근사가 모든 이류, 압력 그리고 다른 가속도들에 대한 초기 조건이나 전시간 단계의 값을 이용하여 새로운 시간 단계에서의 속도에 대한 첫 근사를 계산하기 위해 사용된다.

2. 연속방정식(10.1), (10.5), 또는 (10.8)을 만족시키기 위해 내재적 선택이 사용되면 압력은 반복적으로 각 셀에서 조절되고 각 압력변화에 의해 유발된 속도의 변화는 단계(1)에서 계산된 속도에 추가된다. 한 셀내에 야기된 압력의 변화는 6개의 인접셀 내의 균형을 변동시키므로 반복이 필요하다.압축성 문제에 대한 상태방정식을 만족시키기 위해 외재적 계산에서 각 셀내에서 한 반복이 그래도 필요할 수도 있다.

3. 마지막으로, 자유표면이나 유체 경계면이 존재할 때 새 유체의 형상을 주기 위해 식(10.19)을 이용하여 갱신되어야 한다. 압축성 문제에서 밀도, 식(10.1)와 에너지, 식(10.21)은 이류, 확산 및 소스과정을 반영하기 위해 갱신되어야 한다.  난류량과 벽온도 또한 이 단계에서 갱신되어야 한다.

이와 같은 단계의 반복으로 요구되는 시간단계를 통해 해가 전진할 것이다. 물론 각각의 단계에 모든 망, 구조물, 자유수면 경계에서 적절한 경계조건이 부여되어야만 한다. 이러 단계와 경계조건의 상세 내용은 다음의 세부항목에서 주어진다.

Momentum Equation Approximations 모멘텀방정식 근사

식(10.9)의 유한 차분근사 일반적 형태는(분수 색인 관례를 기억하며) 다음과 같다.

  (10.315)

여기서 예를 들면, 다음과 같이

  (10.316)

   (10.317)

이류, 점성 그리고 가속도항들은 분명한 의미를 갖는다, 즉, FUX는x방향에서의u의 이류 유속량; VISX는x성분 점성가속도; BX는x방향에 수직한 배플에 대한 유동손실; WSHX는x방향에서의 점성벽 가속; 그리고Gx는x방향에서의 중력, 회전 그리고 일반 비관성가속을 포함한다.

First-Order Method 1차적 방법

가장 간단한FLOW-3D유한 차분근사는 시간및 공간 증분에 대해 1차적으로 정확하다. 이 경우 이류및 점성항은 모두 속도에 대해 전시간 단계(n) 값을 이용하여 평가된다. 벽전단응력은 하기에 기술된 바 와 같이 내재적으로 평가된다. 시간단계n+1 에서 압력은 일반적으로 사이클 초기에 알 수 없으므로 이 방정식은 직접n+1시간단계의 속도를 직접 평가할 수 없고 연속방정식과 결합되어야 한다. 한 해의 첫단계에서 이 방정식들에서의pn+1의 값은 새 속도를 위한 첫 추측을 얻기 위해pn로 대체된다. 외재적 근사에서는 식(10.315)에서 압력구배가 시간n에서 평가되므로p에 대한 추가 조정이 un+1의 평가에 영향을 미치지 않는다.

그림 10.13 U모멘텀에 대한 유한 차분근사에 사용된 x-z평면에서의 유한체적(점선)

식(10.315)에서의 다양한 가속도항에 대해 어느 특정한 근사도 수치적으로 안정된 알고리즘에 이르는 한 상대적으로 중요하지 않다. 그러나 불균일한 셀의 크기를 가지는 망에서의 근사에는 특별히 주의를 기울여야 한다. 이 문제는 다른 곳(즉 참고[HN81])에서 논의되고 있으나 가끔 간과되는 문제 때문에 여기서 반복된다. 데카르트좌표를 사용하는 원래의MAC방식 에서 사용된 근사과정을 고려하자 [HW65], [WHS+66].  또한 간단하게 하기 위해 모든 체적및 면적분율이 1이라고 가정한다. MAC방식에서 연속및 모멘텀방정식, 식(10.8)와 (10.9)은 우선 결합되어 이류 유속항들은 발산형식, 즉 uu대신에 ∇uu로)으로 쓰여질 수 있다. 이와 같이, 예를들면, FUX는uδu/δx라기보다δu2/δx일 것이다. MAC방식 에서 발산형태가 선호되는 이유는 차분근사에서의 모멘텀의 보존을 간단히 확실하게 해주기 때문이다. 이는 상기 그림에서 점선으로 표시된 것과 같이ui에대해 사용된 유한 체적의x-z단면을 고려함으로써 보여질 수있다. 발산 형태를 가지고Gauss정리를 이용하여 유한체적 내의FUX적분값을 체적 경계면에서의 유속량으로 전환될 수 있다. 이와 같이 한 유한 체적을 떠나는 유속량을 인접 유한체적이 받아들임으로써 이류 시의 보존이 확실하게된다.

이 개념은 균일한 망의 사용을 위해 개발된 원래의MAC방식에서는 잘 작동했다. 그러나 불행히도 불균일 망에서는 보존이 자동적으로 정확성을 의미하지는 않는다. 이를 보기 위해 상류 또는 공여-셀 차분근사가 FUX =  에 대해 사용된다고 가정하는데 이는 조건적 안정 알고리즘을 제공한다. 이 공여 셀 근사는 다음과 같다.

  (10.318)

 (10.319)

    (10.320)

식(10.318)의 정확도를 체크하기 위해FUX가 평가되는x-위치에 대한Taylor급수 전개를 하면 아래로 평가된다. (u-속도가 양이라고 가정하여)

  (10.321)

0차항에서의 계수는 셀 폭이 같지않은 한, δxi = δxi+1, 부정확하다. 다른 말로 변동 망은 보존차분 근사차이를 한 차수 감소시키며 이 경우에 부정확한 0차수 결과가된다. 차라리 공여셀보다 중앙 차분 근사가 사용되었더라면 결과는 균일 망에서와 같이2차가아니라 1차수에 정확하였을 것이다.

실제로 변동 망들이 항상 덜 정확하다는 것이 반드시 위의 해석에 기인하는 것은 아니다. 예를 들면 이들은 유동변수들이 급격히 변하는 지역에서 개선된 해상도를 가능하게 한다. 그럼에도 불구하고 변동 망 사용시에는 상당히 주의를 기울여야 한다. 예를 들면 근사 차수의 감소를 최소화하기 위해서는 셀 크기의 점진적 변화를 사용하는 것이 최선이다. 또한 변동 망에 적용될 때 공식적인 정확도를 잃지않기 위한 다른 근사를 구할만한 가치도 있다. 이점에서 이류항의 보존형태가 정확도를 잃는 이유는 유한 체적이ui의 위치에 대해 중심에 있지 않기 때문이라는 것에 주목한다. 유한 체적의 이동은식(10.321)에서 계산된 정확도의 직접적인 감소로 이어진다.

FLOW-3D에서 수정된 공여 셀 근사는 변동망에서 정확도를 유지하도록 개발되어 왔고 망이 균일할 때 보존차분 형태로 축소된다[HS85]. 이 방법은 비보존 형태의 이류 유속항 uu,을 근사하는데 이는 위에 언급된 보존적 근사의 원천적 어려움 때문에 필요하다. 이 근사에서 공여셀과 중앙 차분근사를 각 근사의 상대적 양을 조절하는한 변수를 갖는 하나의 식으로 결합하는 것이 또한 가능하다. FUX = 에 대한 이 근사의 일반적 형태는 다음과 같다.

  (10.322)

  (10.322)

(10.322)

망이 균일하면 이 근사는α = 0일때 공간적으로 2차 정확도를 가지는 중앙 차분으로 축소된다. α = 1이면 1차 정확도를가지는 공여셀 근사로 돌아온다. 어느 경우에나 이 방식은 변동망에서 정확한 0차 식으로 축소된다. 균일망에서는 이류 유속항 근사가 보존 근사형태∇uu로 환원되도록 보여질 수 있다.

식(10.322)에 있는 기본 개념은 하류값 보다 유속양이 들어오는 상류값을 가중하는 것이다. 가중 인자는 각기 상류방향과 하류방향에 대해 (1 + α) 와 (1 − α)이다. 1차 근사방식의 이 형태는 식 (10.315)에서 나타나는 모든 이류 유속항에 대해 사용된다. 모멘텀 방정식의 모든 가속도항은 표준 중앙차분에 의해 근사된다.

Second-Order Method 2차적 방법

위에서 기술된 근사는 시간증분δt의 1차멱수에 그리고 α ̸= 0이거나 망이 불균일하면 공간증분dx, dy dz의 1차 멱수에 비례하는 단절 오차를 가진다. 이러한 1차 근사의 장점은 단순하고 계산적 안정성을 유지하는게 쉽다는 것이다. 그러나 어떤 경우에는 너무 고비용이 소요되어 정확한 1차 정확 해석을 위한 필요한 망 해상도를 사용할 수 없다는 것이다. 이런 경우가 발생하면 이류나 점성 가속도들에 대해 2차 정확 근사를 사용하는 것이 유용할 수 있다.  모멘텀 방정식에 대해 두 가지의 선택적 2차 근사 방식이 입력데이터로 요청될 수 있다. 첫 방식의 본질은 이류와 점성 서브루틴을 두번 통과하는 것이다. 첫번째 통과시 공여셀 변수α = 1.0을 가지는1차 방식이 사용된다.  이들 새 속도들은 전시간의 속도 열들에 저장된다.  두번째에서는 1차계산이 변수α = −1.0로 지정된 후 반복된다. 마지막으로 두 계산의 결과가 새로운 시간에서의 2차근사를 얻기 위해 평균된다.

이 근사는 첫번째는 시간n의 속도를 이용하고 두번째는 시간n+1에서의 속도를 위한 (1차)근사를 하므로 시간에 대해 2차이다.  이때 평균은 시간 n+1/2를 가지는데 이는δt에 대해 2차이다. 마찬가지로 첫번째에α = +1.0를 사용하고 두번째에서는α = −1.0를 사용하면 평균α-값 0이되며 이는 망이 균일하면 dx, dy, dz에대해 2차이다(2차근사식에 대한 더 완전한 해석에 대해서는[Hir78]를 참조하라).

이 알고리즘은FLOW-3D에서 이용 가능한 세가지 이류 방식 중에서 가장 덜 수치적으로 확산적이다. 그러나 이는 표준 상류차분 방식에서 유동 교란이 원래 위치에서 하류로 전달되는 것을 확실케 해주는 전달 특성을 가지지 않는다. 추가로, 이 방식은 가장 CPU 집중적이다. 마지막으로, 이 방식은 천이적 자유표면 유동에서 수치적 불안정성을 가끔 발생시킨다.

Second-Order Monotonicity Preserving Method 2차 단조 보존방식

FLOW-3D의 다른 고차 이류 방정식은 2차 단조 보존 풍상(upwind) 차분기법[VanLeer77]에 기반을 둔다. 이는 원래의1차 이류기법 만큼 강력하다. 대부분의 경우에 차이는 무의미 하지만 1차방식 보다 약간 더 많은 CPU시간이 소요된다.

단조보존방식은FLOW-3D에서 모멘텀 이류뿐만 아니라 밀도, 에너지 그리고 유체분율 이류를 근사하는데도 적용될 수 있다. 고차 이산 방식은 각 좌표 방향에서의 이류량들에 대한 2차 다항근사를 이용하여 유도된다[HB91]. x방향에서 이류된 한 변수 Q에대해 셀 면을 통과한 유속값Q*은 다음과 같으며,

 (10.325)

여기서

    • Qi는 셀 중심에서의 값
    • C는Courant수,
    • δxi는 셀 크기이며,
    • A는 셀내의 위치에서 의 1차 미분에 대한 2차근사이다.

(10.326)
계수A는 이런 미분들이 2차로 정확하다면 선형 보간에 의해 두 인접1차미분들로부터 쉽게 계산할 수 있다. 후자는Qi위치들 사이의 중간에서 미분을 구함으로써 얻어질 수있다; 예를 들면,
  (10.327)
위 식에서 Qi Qi + 1사이의 점Q의 2차 정확1차 미분이다. 이런 접근으로 고차 단조 보존 방식을 불균일 망으로 확장하는 것은 쉽다.
식(10.325)의 장점은 우편의 첫항이 통상적인 1차 공여셀 근사를 준다는 것이다. 이와 같이 식(10.325)의 우편의 둘째항을 추가하여 생성되는 2차 근사가 쉽게 컴퓨터 프로그램에서 선택으로 될 수 있다.
단조를 확실케하기 위해 미분 A의 값을 제한하는것이 필요하다. 참고[VanLeer77]에 의하면 A의 값이 이 계산에서 사용되는 중앙Q미분의 최소 크기의 두배가 넘지 않도록 되어야 한다.
  (10.328)
더구나, Qi가 지역 최대 또는 최소값-즉, 식(10.328)에서 나타나는 두 개의 중앙 미분이 서로 다른 부호라면-이때 A는 0이 되고 공여 셀 근사가 사용된다.

Locally Implicit Approximation of Advection 이류의 지역적 내재적 근사

시간에 따라 진화하는 방정식 해를 구하는데 이용되는 외재적(즉, 시간에 따라 전진하는) 유한 차분근사는 시간증분의 크기에 제약을 받는다. 이런 형태의 근사에서는 모든 종속변수들의 값이 작은 시간 증분의 연속을 통하여 시간에 따라 전진한다. 이 때 시간 단계n까지의 모든 단계의 변수값이 알려져있으므로 이들이 변수들의 변화율을 추정하는데 이용될 수 있다. 이는 작은 시간δt 후인 tn+1 = tn + δt에 해당하는 단계n + 1에서의 종속 변수값들이 무엇인지를 추정하는 것을 가능하게 한다.

이러한 근사 형태에서의 작은δt의 필요성은 종속변수의 변화율이 보통 이 변수와 공간 바로 이웃의 값과 차이의 견지에서 평가되기 때문에 발생한다. 증가하는 시간 단계 크기에서 한 변수는 바로 인근들뿐만 아니라 더욱 멀리에 있는 값들에 의해서도 영향이 미쳐질 것으로 예상된다. 그러므로 안정과 정확성을 확실케하기 위해 시간 전진 크기δt에 제한이 있어야 한다.

>외재적 유한 차분 방정식은 사용하기에 편하지만 시간단계 크기를 제한해야 하는 필요성 때문에 오랜 계산시간이 소요될 수 있다. 이 제약은 극복하기 위해 문제를 일으키는 시간 단계 제약을 제거하기 위해 내재적 유한 차분법에 의존하는 것이 바람직할 수 있다. 기본개념은 진전된 시간단계n + 1 에서 변수의 값및 변화율의 근사를 포함하는 것이다. 지금 계산하려고 하는n+1수준 값이 같은 값에 의존하므로 차분방정식은 내재적이라고 불린다.

유체 이송방정식의 이류항을 근사하기 위한국소적 내재적 방법이FLOW-3D에 존재한다. 내재적 처리는 시간과 공간에 대해 선택적으로 적용될 수 있으므로 전반적으로 내재적방법 사용시의 간접 비용및 부정확성을 감소시킬 수 있다.단순한 1차원 스칼라 이류식을 고려해보면,

(10.329)

공여 이류(u > 0)에 기초한 상응하는 풍상(upwind) 유한 차분식은 다음과 같으며,

  (10.330)

여기서   (10.331)

시간 수준은 변화율Aj에 대한 근사에서 지정되지 않고 있다. S에 대한n단계값을 사용하는 외재적 근사는δtδx/u보다 작은 것을 필요로 하는 안정성 한계를 가진다.

내재성을 더하기 위해 Sj에 관한Taylor급수로 Aj를 확장한다. 1차 보다 큰 차수의 항들을 무시하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

  (10.332)

식(10.331)으로부터
  (10.333)

지금 식 (10.330) 은 다음과 같이 표현될 수 있다.

  (10.334)

지금 이류 유속은 이에 내재적 정도를 더하는 를 포함한다. 이 근사의 안정성을 체크해 보자. 무조건적 안정성을 체크하는 점근적δt테스트는δt로 나누고 무한대로 보내는 것이다.

이 극한에서 첫 항은 사라지며 결과는S의 변화에 대한 새 방정식이며,

  (10.335)

이는 수정된 식이 무조건 안정적이라는 것을 뜻한다(∂A/∂S가 0이 아닌 한). 사실, 이 결과 식은 시간 단계만 ∂A/∂S의 역수로 치환된 것을 제외하고는 원래의 외재적 표현과 같아 보인다. 이  새 ”시간단계”는 정확히 외재적 안정성, δx/u을 위한 극한 시간단계이므로 식(10.335)의 근사는 필연적으로 안정적이다.

무한 시간단계의 제한을 취하지 않으면S의 전진을 위해 새로운 국소적으로 내재적이고 무조건적 안정적인 유한 차분방정식을 얻으며, 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

  (10.336)

이 근사는 효과적으로 시간단계를 외재적 안정성을 위해 필요한 값보다 항상 작은 새로운 값으로 치환하기 때문에 모든 시간 단계크기에 대해 안정적이다. 식(10.336)은Sn+1 = Sn일 때 아직도 같은 정상상태, 즉A = 0, 해를 가진다. 이 방정식에서의 유속항은 이웃한 셀들의 시간n + 1의 값에 결합되지 않았으므로 이를 구하기 위한 반복법이 필요하지 않다.

방법은 무조건적 안정성을 가지는 이류 유속량들의 내재적 수치근사를 생성하기 위한 간단한 기법이다. 이류가 예기되는 상류의존을 유지하며 유속을 본질적으로 시간 단계당 하나의 격자 셀로 제한한다. 활성화되면 이 방식은 모든 유체 이송 방정식에 적용된다.차분근사는 단지 이웃 양들의 값을 수반하고 반복과정을 포함하지 않으므로 국소적으로 내재적 이류는 시간 단계 크기가 너무 커지면, 정확하지 않을 수 있다. 즉 제약이 없는 내재성은 부정확성에 이를 수 있다. 자유표면상의 유체 분율같은 이류 양의 큰 구배는 내재적방법 사용 시 커다란 수치 에러를 유발할 수 있다.
이러한 부정확성을 감소시키기 위해under-relaxation은 내재적으로 처리되지 않으면 계산상의 불안정성이 발생할 수 있는 위치에서 만으로 제한된다. 다른 말로 국소적으로 내재적인 근사는 단지 시간단계 크기가 셀 내의 속도와 셀의 크기에 의해 정의되는 지역 한정성 한계를 넘을 때와 넘는 장소에 있는 셀들에서만 적용된다. 모든 다른 시간 및 장소에서는 정상적인 보존 외재근사가 이용된다.자유표면 처리시의 부정확성을 방지하기 위해 내재적 이류 방식은 움직이는 자유표면을 포함하는, 즉 자유표면에 수직인 커다란 속도 성분을 가지는 셀들에는 적용되지 않는다.. 이 제한은 시간단계 크기가 이런 셀들에서는 통상적인 방식으로 제약되어야 한다는 것을 뜻한다.

Density Evaluation 밀도 평가

식(10.9)에서 필요한 밀도 는 다루려는 문제의 유형에 따라 평가된다. 한 물질의 비압축성 유동에서 모든 밀도값은 유체 1의 밀도로 지정된다. 2유체 비압축성 유동에서는 밀도는 체적분율F에 의거하여 두 유체 밀도(ρ1 와 ρ2)의 가중평균이다.

  (10.337)

유체밀도ρ1 와 ρ2는 기화 잔류물 절에서 논의된 바와 같이 온도에 의존할 수 있다.

1유체문제의 자유표면에서 유체는 상변화 모델이 사용될 때 기화하거나 응축될 수있다. 이는 경계면의 기체 쪽이 일정 압력을 가지거나 균일한 기포지역일 때의 두 경우에 해당한다. 유체가 하나 또는 더 많은 용질을 포함하면 용질들의 농도는 액체의 증감에 따라 바뀌어야한다. 일반적으로 용질은 액체의 기화시 더 농축된다.

응축이나 기화의 경우에 유체와 관련된 스칼라 농도는 상변화에 따라 변화된 농도를 가질 것이다. 표면요소에 유체가 반보다 적게 차있으면, 이 때 농도변화는 농축지역이 표면요소 두께의 반에 해당하는 정도로 표면요소의 주 이웃으로 퍼져갈 것이다.

기화가 충분히 발생하여 용질의 농도가 충분히 높아지면 표면에 막이 생기거나 액체가 완전히 증발하면 고체표면에 잔류물이 발생할 수 있다. 이를FLOW-3D에서 모사하기 위해 잔류 모델이 선택되어야 한다. 이 모델의 활성화는 용질이 일단 농도가 사용자가 지정한 최대 패킹밀도에 도달하면 움직이지 못하는 잔류물이 형성되게끔 한다. 한가지 이상의 용질이 존재하면 잔류모델은 잔류물의 원인이된 모든 용질 전체를 기록한다.

압축문제에서 밀도는 연속방정식(10.1)으로부터 평가되며, 아래와 같이 체적 가중 상태밀도 방정식에 해당한다.

  (10.338)

여기서ρ1 과 ρ2는 압력과 내부에너지의 함수이다.

밀도에 대한 압축유동 상태방정식 함수는 간단히 수정을 허용하게끔 프로그램되어 있다; 그러나 주어진 함수는 유연성을 갖는다. 두 유체 모두 일정한 비열(사용자가 지정할 수있는)을 가져서 비 내부에너지는 다음과 같다.

   (10.339)

유체 1은 비압축성으로 가정되며 이의 밀도는 RHO1으로 지정된다. 유체 2는 다음식과 같이 이상가스이며,

  (10.340)

여기서RF2는 사용자 지정 가스상수이다.

Wall Shear Stresses 전단응력

식(10.11)에서의 벽응력은 커다란 벽면적과 작은 유동공간을 가지는 셀들에서 발생할 수 있는 수치 불안정성을 피하기 위해 내재적으로 포함되어 있다. 예를들면w-속도 방정식에 대한 기본 접근은 다음과 같다. w에 영향을 미치는 벽전단이w를 둘러싼x y셀면에 위치한 벽면적으로부터 발생할 수 있다. 이런 면들 중 하나에서 유동 면적율A가 1보다 작으면 나머지 면적율(1 − A)이 응력이 생성되는 벽이라고 간주된다. 예를들면w우편의x면상에서 층류시의 벽전단에의한 가속wsz∂/∂x(µ(∂w/∂x))의 근사치이며,

   (10.341)

여기서Ax, δx µw가 위치한 셀내에서 평가된다. 면적율Azw가 위치한 같은 유한 체적면에서 평가된다. 속도w는 0이거나 또는 이동 요소나 망 경계에서의z방향 접선속도와 동등하다. w는 두 셀사이 경계에 있으므로Ax는 이 셀들에 대한 평균이다.

유사한 응력들이 4개의 주변 셀 벽의 각각에서 평가되고 이들의 합이 전체응력이 된다. 식(10.341)에서 나타나는w가 시간 단계n에서의 값이면 근사는 외재적이나 수치 불안정성이 있을 수 있다. 이 가능성을 피하기 위해w는 전체 모멘텀 방정식으로부터 계산된 새 값을 취한다. 이는w에 대한 모멘텀 방정식을 내재적으로 만들지만w에 대해 선형이므로 해를 구하는 것은 문제가 되지 않는다.  난류 전단 응력에서는 식(10.341)이 다음과 같이 바뀌며,

  (10.342)

여기서u+ = u*/u는 식(10.299) 으로부터 계산된다.

접선속도에 대한 2차식은 시간 단계 n + 1에서 취해진 우측의 괄호 안에서의w와 함께 선형화된다.물체표면으로부터의 질량주입에 따라 발생하는 유효 벽전단응력은 대체로 같은 방식으로 모델링된다. 유효응력은, 예를 들면,

   (10.342)

여기서QSRw가 정의된 경계의 한편에 있는 망 셀들에서의 평균질량 소스율이다. 소스가 유체가 지역속도를 갖기 때문에 음의값(싱크)이면 응력이 사용되지 않는다. 여기서 다시 새w속도가 이용되기 때문에 모멘텀방정식의 기여는 증강된 수치 안정성을 위해 내재적이다.

벽에서의 미끄러짐 형상은 단지 층류에서만 허용되고 마찰인자κ를 이용하여 모델된다. 미끄러짐을 위해 수정된 식(10.341)에의해 주어지는 벽전단응력은

 (10.344)

여기서ws는 벽에서의 유체 미끄럼 속도이다.

  (10.345)

벽표면에서의 난류및 층류 두 벽전단응력은 벽조도를 정의하여 수정될 수 있다. 조도는 길이의 차원을 갖는다. 어떤 의미에서 길이는 조도 요소들의 크기에 비례한다. 이는 분자점도에ρ, ξ, 그리고 w의 곱을 추가함으로써 통상적 전단응력 계산에 포함되어 있으며 여기서ξ는 표면조도이며w는 지역 유체속도와 벽 속도간의 차이이다.

이의 실행에서 층류에서의 벽전단응력은ρ(ν + ξw)w/δx와 같다. 난류에서는 ξ가 두 특정길이 규모 중에서 클 때 점도의 변화(즉, ν에서ν +ξw로)가ν/w에 의해 정의된 특정 길이 규모에 대한 로그 대수의존도를ξ로 자동적으로 전환하는 경우를 제외하고는 벽 법칙관계는 부드러운 벽에서와 같은 형태를 유지한다.

조도는 더 큰 값이 사용될 수 있지만 물체 경계에서 격자 셀크기 보다 작아야 한다.  마찰 조도변수ROUGH의 값은 물체/유체 열전달에 영향을 주지 않는다(또한Surface Area Evaluation를 참조).

Porous Baffle Flow Losses 다공 배플 유동 손실

배플에서의 유동손실에 대해 벽전단응력에 대해서와 유사한 내재적 해가 사용된다. 이 경우의 단지 차이는w (또는 u v)의 내재적 방정식이 2차이고 그 해의 제곱근을 취할 필요가 있을 수 있다는 것이다.

Generalized Drag Forces 일반 항력

다공질내 유동및 응고/용융 모델은 속도의 1차멱수, −Fdu, 에 비례하는 항력을 이용한다. 이런 모델들은 인위적으로 아주 큰 항력계수Fd,의 가능성을 가정하므로 이 경우에 모멘텀방정식은 항력과 압력의 균형을 이루게 될 수있다. 비압축성 유동에대한 이렇게 높은 항력의 한계에서 계산하기 위해 모멘텀방정식에서 뿐만 아니라 연속방정식에서도 항력항을 내재적으로 처리할 필요가 있다. 이는 항력에서시간 전진에서의 속도를 사용하고 대수적으로 새 속도에 대한 미분방정식을 해석함으로써 이루어진다. 이 결과는 새 속도의 모든 기여를 (1+Fddt)항으로 나눈 값이다. 모든 속도/압력 보정 동안에 이 추가 항의 효과를 유지하는 것은 압력구배와 항력사이의 균형이 달성되는 것을 확실케 해주며 연속방정식을 또한 만족시킨다.

Non-Inertial Reference Frame비관성 기준계

FLOW-3D는 움직이는 탱크내의 유동 해석을 위한 두 가지 계획이 있다: General Moving Objects Model 방법과 비관성계 방법이다. 전자는 관성계에 고정인 계산 망내에서 탱크를 이동시킨다(이 장과Model Reference에있는General Moving Objects Model 참조) 후자는 이 절에서 보여주는 탱크와 함께 움직이는 비관성계의 계산 망를 가진다.

비관성계에서는 기준계의 변환에 따라 유체가 관성계에 대한 비관성계의 움직임을 기술하는 일련의 독립변수에 연관될 수 있는 “관성” 가속도를 겪는다. FLOW-3D에서 이 변수들은 테카르트 좌표로 쓰인 3개의 선형 가속도 성분, 3개의 각속도 (시간당Radian) 성분 그리고3개의 각가속도(시간 제곱당Radian) 성분이다. 이 모든 9개의 변수들은 시간의 함수이다. 또한 각속도와 각가속도 성분들 간에 만족되어야 하는 세가지 관계식이 있다. 그러므로 실제로는 단지 6개의 독립적인 시간의 함수가 있을 수 있다.

추가로 어떤 형태의 운동 지정을 간단히 하기 위한 세개의 (시간종속)변수가 있다. 이들은 세 개의 “offset”벡터(RCX, RCY 그리고 RCZ)의 데카르트 성분이다. 이 성분들은 좌표 원점에서 회전이 기술되어야 하는 점까지의 벡터를 지정한다. 이는, 예를들면, “외력”을 겪지 않고 움직이는 물체의 회전을 기술하는데 유용한데 이 경우 질량 중심이 편리하게 “회전”점으로 간주될 수 있다.

유체가 겪는 국소적 ”관성”력의 평가는 아주 일반적인 세개의 서브루틴accxcl, accycl, 그리고 acczcl에 의해 되어진다. 일반적으로 이 루틴들은 사용자에 의한 수정이 필요하지 않다. 그러나 9개의 시간 종속변수들의 평가는 완전히 일반화될 수가 없다. 그러므로 이 평가는 하나의 서브루틴motion으로 분리 되어지며, 이는 필요시 사용자에 의해 수정될 수 있다. 또 다른 특별한 경우는 Coupled Rigid Body Dynamics 기술에서 논의되며 이 절에서는 더 이상 논의되지 않을 것이다.

See also: 또한 참조하라;

  • 비관성 기준계 표기
  • 비관성 기준계 모델을위한 강체역학 알고리즘
  • 비관성 기준계 운동 방정식
  • 비관성 기준계 강체역학
  • 비관성 기준계 응용예제: 원심주조
  • 중력
  • 비관성 기준계 의 충격운동
  • 비관성 기준계 운동
  • 표로 주어지는 부드러운 운동

Gravitational Force in Non-inertial Frames 비관성계내의 중력

많은 경우에 균일한 중력장내 기준계의 운동에 관심이 있을 수있다. 한 예는 해상의 유조선에서의 화물의 출렁임이다. 이런 해석을 용이하게 하기 위해 특정 “중력 벡터” 모델이 사용될 수 있다. 이 모델에서 사용자는 namelist MOTN에서 입력변수GRAVX, GRAVY, 그리고 GRAVZ를 통해 중력의 초기 성분들(데카르트 계산기준계에 상대적인)을 지정해야 한다. 이 때 루틴motion은 기준계가 회전할 때 유체 해석 알고리즘에서 요구되는 순간 성분들을 평가할 것이다. 기준계의 병진은 이 중력성분들에 영향이 없음을 주목한다.

Specifying Non-Inertial Reference Frame Motion비관성계 운동의 지정

어느계산에서 비관성 기준계모델을 이용하기 위해 우선 이 선택이 IACCF = 1을 지정하므로써 켜져야 한다. 이는 FLOW-3D가 MOTN namelist를 읽고 처리하여 계산시 적절한 시점에 motion, accxcl, accycl, 그리고 acczcl 서브루틴을 불러오게 한다.

기준계의 이동을 motion에 지정하기 위한 4가지의 선택이 있으므로 이들 중에서의 선택을 위해 새 입력 변수가MOTN에 추가되어 있다. 이 값들은 다음을 뜻한다:

IATYPE = 0 : x축에대한 단순 회전 또는 가속도 또는z축에대한 회전

IATYPE = 1 : 선형가속도와 각 속도/가속도의 조화진동

IATYPE = 2 :기준계 변수의 표를 통한 지정

다음 절은 이들 각각에 대해 상세히 기술한다.

Simple Rotation or Acceleration along the X-Axis  X축에 대한 단순회전및 가속도

이 선택은FLOW-3D의 이전 버젼에 호환성을 위해 주어진다. 같은 기준계운동이 원하면 다른 선택을 이용하여 이루어질 수 있다. 이 선택에 관련된 입력 변수들이다: RCX, RCY, RCZ, A0, OMG0, SPIN 그리고 RPS. 세가지 운동이 이 선택으로가능하고 원하면 결합될 수 있다:

데카르트 x축에 대한 가속도는 다음과 같다.

  (10.346)

상쇄좌표RCX, RCY 및 RCZ를통한 회전은 rad/초로 주어진다. x에평행한 축에대한 회전은 아래와 같이 주어지며,

  (10.347)

z에 평행한 축에대한 회전은 다음과 같다.

  (10.348)

Harmonic Oscillation 조화진동

이 선택은 선가속도와 각속도를 갖는 각 성분에 대한 독립적인 단순 조화함수을 이용을 가능케 한다. 이 선택으로 중력성분의 자동평가가 이루어질 수 있다. 이 선택에 관련된 입력변수들이다: RCX, RCY, RCZ, GRAVX, GRAVY, GRAVZ, TFREQX, TFREQY, TFREQZ, TMAGX, TMAGY, TMAGZ, TPHIX, TPHIY, TPHIZ, RFREQX, RFREQY, RFREQZ, RMAGX, RMAGY, RMAGZ, RPHIX, RPHIY 그리고 RPHIZ.

각 선형가속도의 성분은 다음과 같이 주어지며,

 (10.349)

여기서

  • f는 주기입력(TFREQX, 등등),
  • d는 변위입력(TMAGX, 등등),
  • φ는 위상각 입력(TPHIX 등)이다.

변위함수를 요구되는 선형 가속도로 변환하는 주파수의 제곱과 부호 변화에 주목하라. 각속도의 각성분은 다음으로 주어지며:

  (10.350)

  (10.351)

여기서 각속도에서와 같은 입력변수가 호환성을 확실히 위해 사용된다.

Tabular Specification 표를 통한 지정

계산시 서브루틴motion에 의해 읽혀질 데이터를 제공함으로써 6개의 기준계 변수에 대한 데이터를 표를 통해   지정할 수 있다. 기준계변수의 3개는 항상 선가속도의 데카르트 성분을 갖는다. 다른 3개의 변수는 각가속도(IATYPE = 2 or 4)의 성분이거나 각속도(IATYPE = 3 or 5)의 성분일 수 있다. 나머지 3개의 변수는 호환성을 맞추기 위해 적절히 수치 미분이나 적분을 이용하여 계산된다. 이 선택으로 중력성분은 자동적으로 평가된다.

관련 입력변수들이다: RCX, RCY, RCZ, GRAVX, GRAVY, GRAVZ, ACONV, 그리고 OMCONV.

IATYPE = 4 또는 5값은 충격 간격뿐만 아니라 순조롭게 변하는 가속도의 지정을 허용한다. 또한 같은 값은 원하면 특정한 시간에 사용될 시간 단계 크기를 지정하게끔 한다. IATYPE = 2 또는 3는 단지 순조롭게 변하는 운동만을 허용한다.

실행중 서브루틴motion 은 데이터 파일movin(이 파일의 이름은 사용자가 정의한다; 또한 이 위치로의 완전한 경로가 사용자에 의해 정의될 수 있다)으로부터 필요한 데이터를 읽으려고 할 것이다.

이 파일은 자유 포맷 구조를 갖는다. 처음 카드는motion에 의해 건너 뛰어야 할 줄의 수를 나타내는 정수를 가져야 한다. 이는 고유한 서식및 검사의 주석을 달게끔 해준다. 이 “두서(header)” 줄 뒤에 일련의 줄들이 있어야 한다. 각 줄은 특정 시간에서의 기준계 변수를 기술한다. 이 시간들은 엄격하게 증가하는 순서로 되어야 한다!

시간은 이 줄에서 첫 입력이어야 한다. 시간은 또한FLOW-3D내의 시간과 일치하여야 한다. 재시작 계산에서 시간은 0이아닌 선택된 값, TREST으로부터 시작한다. 다음 세 입력은 선형가속도의x-, y-, 그리고 z-성분이다.

이 줄에서의 다음 세 입력은 단위 시간당 radian인 각속도의 세x-, y-, 그리고 z성분 이다(IATYPE = 3 또는 5이면). 다음 세 입력은 단위시간 제곱당 radian인 각 가속도의 세x-, y-, 그리고 z성분이다(IATYPE = 2 또는 4이면).

 

IATYPE > 3의 경우에만 읽혀지는 다음 두 입력은 원하는 시간 단계 크기(이 값은 양수일 경우에만 사용된다)와 충격간격의 기간이다. 충격 간격 기간 변수는 순조로운 보간점들(양이아닌)과 충격구간 데이터(양수인) 사이를 구별한다.

서브루틴motion은 선형 가속도 값을 입력변수ACONV로 그리고 각의 변수들을OMCONV로 곱함으로써 입력파일 내의 데이터 단위를 전환할 것이다. 전환된 값은 솔버 요약 파일hd3out file에 인쇄된다. 값들은 이용 가능한 데이터 사이에서 보간된다. 맨 처음시간 값 전에 그리고 맨 마지막 시간값 후에는 일정한 값들이 사용되는데 이 경우 메시지는 데이터 파일값들이 외삽되고 있는 것을 보여주는hd3out에서 인쇄된다.

위에서 암시된대로, IATYPE > 3이면 충격및 순조롭게 변하는 가속도를 결합할 수 있다. 이는 어떤 카드 집단에서는 충격기간에 대해 양의 값 그리고 다른 카드 집단에서는 0 또는 음의 값을 지정함으로써 이루어진다. 서브루틴motion은 이런 종류의 데이터 파일을 우선 부드럽게 변하는 데이터 점의 변수들을 현재의 시간으로 보간하고 이 때 현재의 시간이 충격 안에 있다면 충격값을 추가한다. 이는 급격한 변화를 가지는 가속도를 가능케한다. 이는, 예를들면, 우주선에 탑재된 제어 시스템 작용에 대응하여 발생할 수 있다. 가속 충격에 마주치기 전에FLOW-3D가 시간단계 크기를 감소시킬 필요를 예상할 수 있도록 시간 단계크기 조절이 주어진다. 이는 또한 FLOW-3D가 선택된 시간 단계 크기가 충격 간격보다 크기 때문에 충격기간 동안에 뜻하지 않게 건너뛰는 것을 방지한다. 자동 시간단계 선택을 할 수 있게 되면 시간 단계크기는 충격 중에 큰값으로 회복되어 전체 계산 비용을 크게 감소시킨다.

Coupled Rigid Body Dynamics 결합 강체역학

비관성좌표계 운동에서 기술된 바와 같이FLOW-3D는 관성계에 대해 상대적으로 움직이는 좌표계에 탱크를 내장함으로써 탱크 내의 유체 유동을 탱크를 연구하는데 사용되어질 수 있다. 어떤 경우에는FLOW-3D가 탱크 내부 유체에 의해 작용하는 힘과 모멘트의 영향을 포함하는 결합된 방식으로 이 기준계의 운동을 또한 해석할 수 있다. 이는 “Coupled RigidBody Dynamics” 모델로 알려져 있고 이절에서 기술된다.

이모델의 기본 접근은 유체지역을 관성공간에서 움직일 수 있는 더 큰 강체의 부분으로 간주하는 것이다(Rigid Body Dynamics참조). 이 물체는 다양한 힘과 토크를 받으며 잘 알려진 방식에 따라 이들에 반응할 것이다. 계산망은 강체내에 내장되어 있으므로 이의 움직임은 강체의 움직임과 같다.

물체에 작용할 수있는 한 세트의 중요한 힘과 토크는 이에 인접한 유체의 움직임에 의해 형성된 것이다. 대여섯 가지의 다른 결합방식이 입력에 의해 선택될 수 있고 하기에 간단히 기술되어 있다.  많은 다양한 힘들이 물체에 또한 작용할 수 있다. FLOW-3D는 이 힘들을 세 가지 부류로 나눈다:

  • 환경적 힘과 토크
  • 힘과 토크 조절
  • 중력가속도에 의한 힘

처음 두 종류는 문제의 특정해석을 위해 프로그램될 수 있는 두 개의 서브루틴과 연결해줌으로써 처리된다. 환경과 조절 부류의 차이는 단지 편리상이며 임의로 해석자에 의해 결정될 수 있다. 점 중력체로부터의 중력의 효과는 좌표계와 물체의 상대운동의 효과를 포함하여 자동적으로 계산된다. 이 모델은 다른 것들 중에서도, 항공업계의 사용이 의도 되었으므로  중력의 방향과 크기는 계산을 통하여 조절된다.

어떤 경우들에서는 하나 이상의 유체 탱크가 강체의 운동에 영향을 줄 지도 모른다. 이런 탱크들은 다른 물성(밀도, 점도 등)을 지닌 유체를 포함할지도 모른다. 다중 탱크 모델이 이런 경우의 연구를 위해FLOW-3D에 포함되어 있다.

Input Data 입력데이터

결합된 강체역학 모델은XPUT namelist에서IACCF = 2로 함으로써 활성화 된다. 또한 강체의 건조질량 및 관성 모멘트를 지정하는 것이 필요하다; 이들은namelist RBDATA에서 주어진다. 다른 입력데이터는 물체의 초기위치, 방향 그리고 운동과 중력체의 변수들을 포함한다.

입력변수IRBACC는 사용될 결합 알고리즘과 선형및 각 가속도의 초기값이 계산되는 방식을 조절한다. 유체 반응력이 초기에는 알려져 있지 않으므로 가속도의 초기 평가가 필요하다. IRBACC는 처음 유체 시간 단계의 시작시에 해석자가 유체를 무시하거나 정지된 질량으로 취급하도록 하게 해준다.

일반적으로 결합모델의 사용은 조절및 환경의 힘과 토크의 지정루틴인, RBCTRL 과 RBENVR의 특수 버젼을 필요로 한다. 배포된FLOW-3D버젼은 다양한 입력변수를 받아 들이는 특수 목적의 조절 루틴을 포함한다. 이 표준 루틴에 3가지선택이 가능하다. 이들의 선택은 다음과 같이IATYPE를 지정함으로써 가능하다.. :

IATYPE = 0: 힘이나 토크가 없음

IATYPE = 1: 스프링과 감쇠 모델로부터 계산되는 조절력

IATYPE = 2:스프링과 감쇠모델로부터 계산되는 조절토크

IATYPE = 3: 조절력과 토크성분의 표 형태  지정

IATYPE = 1 나2에 대한 스프링과 감쇠 계수는namelist MOTN에서RADKRB, RDMPRB 또는 THEKRB, TDMPRB로 지정된다. IATYPE = 1에대해 또한REQRB (평형각은IATYPE = 2에 대해서는 항상 0이다)를 통해 평형 반경을 지정할 수 있다.

표형태 입력선택은 기준계운동의 표형태 지정과 유사하다. 계산시 서브루틴rbctrl에 의해 읽혀질 수 있는 데이터 파일을 제공함으로써6개의 조절력과 토크의 데카르트 성분들을 위한 표형태로 지정할 수 있다. 이 파일의 디폴트 이름은 thrust.inp이다.

전환 상수(ACONV 와 OMCONV)가 추력 데이터 파일과 함께 사용될 수 있다. 파일로부터 읽혀진 힘의 성분은RBCTRL에서 사용하기 위해ACONV에 의해 곱해지며 한편 토크성분은OMCONV에 의해 곱해진다.

이 파일은 자유 포맷 구조를 갖는다. 처음 카드는motion에 의해 건너 뛰어야 할 줄의 수를 나타내는 정수를 가져야 한다. 이는 고유한 서식및 검사의 주석을 달게끔 해준다. 이 “두서(header)” 줄 뒤에 일련의 줄들이 따라야 한다. 각 줄은 특정 시간에서의 힘과 토크성분을 기술한다. 이 시간들은 엄격하게 증가하는 순서로 되어야 한다!

 

시간은 이 줄에서 첫 입력이어야 한다. 시간은FLOW-3D내의 시간과 일치하여야 한다. 재시작 계산에서 시간은 0이 아닌 선택된 값, TREST으로부터 시작한다. 다음 세 입력은 조절력의 성분들이다(x, y,z순서로). 그 다음 세 입력은 같은 순서로 조절 토크의 성분들이다. 다음 입력은 원하는 시간 단계의 크기이다. 이 값은 단지 양수이면 사용된다. 마지막 입력은 이 행이 부드럽게 변하는 힘과 토크 변화에 대한 보간점으로 사용되는 지 또는 충격 운동 지정으로써 사용되는 지를 결정한다. IATYPE > 3 이면 이 입력은 항상 이 행의 마지막에 있어야 한다. 이 데이터 입력이 양수이면 이는 충격 기간을 표시한다. 그렇지 않으면 이 행은 부드럽게 변하는 함수상의 보간점으로 간주된다.

위에서 암시된대로, 충격및 순조롭게 변하는 가속도를 결합할 수 있다. 이는 어떤 행들에서 충격기간에 대해 양의 값들 그리고 다른 행들에서는 0 또는 음의 값들을 지정함으로써 이루어진다. rbctrl은 이런 종류의 데이터 파일을 우선 부드럽게 변하는 데이터 점의 변수들을 현재의 시간으로 보간하고 현재의 시간이 충격 안에 있다면 충격값을 추가한다. 이는 급격한 변화를 가지는 가속도를 허용한다. 이는, 예를들면, 우주선에 탑재된 제어 시스템 작용의 결과로 발생할 수 있다. 시간 단계크기 조절이FLOW-3D가 충격가속도가 발생하기 전에 시간단계 크기를 감소시킬 필요를 예상할 수 있도록 주어질수있다. 이는 또한 FLOW-3D가 선택된 시간 단계 크기가 충격 간격보다 크기때문에 충격기간을 뜻하지 않게 건너뛰는 것을 방지한다. 자동 시간단계 선택이 가능하게 되면 시간 단계크기는 충격 중에 큰 값으로 회복되어 전체 계산 비용을 크게 감소시킨다.

Explicit Solution Algorithm and Stability Limitations 외재적해석알고리즘및 안정성 한계

외재적 결합 해법은  (1) 기준계의 이동에대한 전단계 해를 이용하여 유체유동방정식을 해석하고, (2) 이에 따른 유체의 힘과 토크를 평가하며, (3)강체 운동방정식을 표현하기위해 조절및 환경 효과를 추가하고, 그리고 (4)새 가속 변수들, 질량중심 위치 그리고 강체 방향성(자세)에 대한 방정식들을 해석 함으로써 진행된다. 새 기준계 변수들이 유체 해를 위한 다음 사이클에서 이용된다. 이 결합의 외재적 형태는 유체의 질량모멘트나 관성모멘트가 강체의 것보다 크면 불안정해 진다고 알려져 있다. (이는 단지 개략적 관계식이다. 유체의 질량모멘트나 관성모멘트가 다소 클 경우에도 불안정성이 발생하지 않는 경우들도 있다. 반대인 경우도 있을 것이라고 여겨진다.)

Implicit Solution Algorithms 내재적 해석알고리즘

두가지 내재적 해석 알고리즘이 존재한다. 첫째(IRBACC = 2)는 유체질량이 단계4에서 고정된 것으로 간주되는 것을 제외하고는 외재적방식과 유사하다. 즉 유체 힘은 마치 유체가 계산망에 고정된 것같이 기준계 가속도에 반응한다.

이의 변경은 외재적 해의 안정에 대한 제약을 없앤다. 이 알고리즘의 정확도는 “고정”의 근사가 해에 적절한 정도에 달려있다.

 

이 방식에 대한 개선은 계산된 기준계운동을 마지막 사이클의 결과의 추정으로 간주하는 것이다. 이때 유체 해는 추정된 기준계운동을 이용하여 같은 사이클에 대해 반복된다. 새로운 유체의 힘은 기준계운동을 재평가하기 위해 환경및 조절력과 결합된다. 가속도의 수렴기준이 만족될 때까지 반복이 계속된다. 이는 반복적 내재적 알고리즘이다(IRBACC = 3). 또 이의 정확도는 “고정” 근사의 유효성에 달려있다.

입력변수및 출력변수의 완전한 기술을 포함한 결합된 강체역학 모델의 추가정보를 위해References [Sic92], [Sic95]를 참고하라.

[FLOW-3D 이론] Numerical Approximations 수치근사

Numerical Approximations 수치근사

Overview 개요

FLOW-3D는 유한차분 (또는 유한 체적)근사를 이용하여 이전 절들에서 기술된 방정식들을 수치적으로 해석한다. 유동지역은 고정 직각 셀들로 이루어진 망으로 세분된다. 각 셀에서 모든 종속변수들의 지역 평균값들이 있다. 다음에서 설명되듯이 모든 변수들은 셀-면(엇갈린 망 배열)에 위치한 속도를 제외하고 셀의 중심에 위치한다.

굴곡진 물체, 벽경계 또는 다른 기하학적 형상은 유동에 열려있는 셀들의 면적및 체적율의 정의에 의해 망 내에 들어있다( FAVORTM 방식 [HS85]).

지배방정식에 대해 이산 수치근사를 구성하기 위해 유한체적들이 각 종속변수 위치를 둘러쌈으로써 정의된다. 각 유한 체적에 대해 표면유속, 표면응력 그리고 체적력이 주변 변수값들에 의해 계산될 수 있다. 이 양들은 운동방정식에 의해 표현된 보존법칙을 근사를 구성하기 위해 결합된다.

방정식의 대부분 항들은 다양한 내재적 선택이 또한 가능하지만 지역변수들의 현재시간 단계에서의 값들을 사용하여 즉 외재적으로 평가된다. 이는 대부분의 목적에서 단순하고 효율적인 계산방식을 제공하지만 계산적으로 안정되고 정확한 결과를 유지하기 위해 제한된 시간단계의 사용이 필요하다.

이 외재적 공식에의 한 중요한 예외는 압력에 의한 힘의 처리에 있다. 압력과 속도는 운동방정식에서의   시간-전진된 압력과 질량(연속)방정식에서의 시간-전진된 속도를 사용함으로써 내재적으로 결합되어 있다.  유한차분 방정식의 이런 내재적 공식은 저속의 압축 및 비압축성 유동문제에서 효과적이고 안정된 해석으로 이끈다.

내재적 압력-속도 공식은 반복법에 의해 풀어져야 하는 결합된 일련의 방정식들이된다. FLOW-3D에서는 3가지의 이런 기법이 주어진다. 가장 간단한 것은successive over-relaxation (SOR)방식이다. 더 내재적 방법들이 요구되는 경우에서는special alternating-direction, lineimplicit method (SADI)이 사용 가능하다. 뒤에 기술되겠지만 SADI기법은 해석할 문제의 특성에 따라 한,둘 또는 세 방향 모두에서 사용될 수 있다. 마지막으로Generalized Minimal Residual (GMRES) 방식이 또한 가능하다. GMRES솔버는 특히 커다란 소스항이 존재하거나 변하는 셀크기를 가지는 망에서SOR이나SADI방법보다 우월한 수렴 성질을 가지고 있다. GMRES솔버는 또한   메모리 공유 병열화에 더 적합하다. 이는 FLOW-3D의 기본(디폴트) 솔버이다.

FLOW-3D 에서 사용되는 기본 수치방식은 시간과 공간증분에 대해 공식 1차 정확도를 가진다. 유한 차분 망이 불균일할 때는 이 정확도를 유지하기 위해 특별한 주의가 필요하다. 2차 정확도의 선택 또한 가능하다. 어느 경우에나 경계조건은 모든 상황에서 최소한 1차정확도를 가진다. 예를들면 물체에 의해 부분적으로 점유된 셀에서FAVORTM방식은 셀내 경계조건의 1차보간과 대등하다. 그러나 유체/물체 경계면에서의 열전달 경계조건의 실행은 셀 크기에 대한 2차 정확도를 가진다. 다음 절에서 이 수치 기법은FAVORTM를 통한 유한 차분과 유한 체적근사의 특정한 예를 통해 더 정확하게 된다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Electro-mechanics 전기역학

Electric Field Model

To simulate physical processes such as movement of charged mass particles, particle and liquid dielectrophoresis, and electro-osmosis, an electric field distribution is needed. In FLOW-3D , the electric potential is solved for using the following equation.

(75)\nabla \cdot \left( {K\nabla \phi } \right) = - \frac{\rho _e}{\varepsilon _0}

with the electric field calculated by

(76){\mathbf{E}} = - \nabla \phi

where \rho _e, \varepsilon _0 are free charge density (i.e., electric charge per unit volume) and permittivity of vacuum or void (defined by elperm in FLOW-3D ) respectively while K is the spatially-varying dielectric constant.

Numerical solution of the Poisson equation Eq. (75) is done by an iterative solver using the GMRES method.

At open boundaries (i.e., boundaries through which fluid flow can occur), either an insulation condition (i.e., {\mathbf{n}} \cdot \nabla \phi = 0 where \textbf n is a normal vector on the boundary in question) or a specified value of the electric field can be specified. Solid objects can be assigned time-dependent potentials if they are conductors. Alternatively, an object can be a dielectric material with an assigned dielectric constant. In this case, the electric potential is computed within the object. Also, solid dielectrics may have non-zero conductivities that support free charges and currents.

Optionally, a charge density equation that includes charge convection, charge relaxation and charge sources associated with non-uniform electric properties is solved simultaneously with the electric potential. Please refer to Electric Fields in the Model Reference chapter and the Technical Notes listed at the end of this section for more information.

Most people use the SI system of units for electrostatic and electromagnetic problems. In the SI system the standard unit of charge is the coulomb and the unit of potential is the volt. Electric field intensities are measured in Newton/coulomb in the SI system. When using the CGS system of units, it is customary to express charge and potential in the “electrostatic” units of statvolt and statcoulomb, where:

1 coulomb (C) = 2.998 \times 109 statcoulomb (statC)

1 volt (V) = 3.336 \times 10-3 statvolt (statV)

Electric forces are then,

1 Newton = 1 C \cdot V \cdot m-1 = 105 dyne

1 dyne = 1 statC \cdot statV \cdot cm-1 = 10-5 Newton

If the fluid or solid regions are conducting then charges may develop in response to the applied field and to changes in conductivity and dielectric properties. If a thermal model is activated then Joule heating due to these currents is computed in all conducting fluids and solids. The heat source per unit open cell volume and time associated with passing electric current through conducting fluid, Q_{Joule}, is

(77)Q_{Joule} = F \cdot VF \cdot \kappa|\mathbf{E}|^{2}

where F and VF are the fluid and open volume fractions in cell and \kappa is the fluid electrical conductivity. For two-fluid problems, F is replaced with 1.0 and \kappa with the volume-averaged mixture value of the electrical conductivity. Similarly, the Joule heat source in solid is

(78)Q_{Joule solid} = (1 - VF) \cdot \kappa_{solid}|\mathbf{E}|^{2}

More details are given in Flow Science Technical Notes #52, #56, #69 and #70 on the users site at http://users.flow3d.com/technical-notes/.

 

Electro-osmosis

Generally, most substances such as silica and glass will acquire a surface electric charge when brought into contact with an aqueous (polar) medium (electrolyte solution), as shown in the figure below.

A layer called the electric double layer (EDL) is formed close to the charged surface in which there is an excess of counter-ions over co-ions to neutralize the surface charge. There are more counter-ions than co-ions in the region near the fluid/solid interface. The electric potential created due to the EDL is called the \xi -potential and is assumed to be imposed at the solid surface. The \xi -potential is a property of the solid-liquid pair and can be measured experimentally. The thickness of the EDL is indicated by the following parameter, called the Debye shielding distance or Debye length.

(79){\lambda _D} = {\left( {\frac{{\varepsilon RT}}{{2{F^2}{z^2}{c_0}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}

where:

  • \varepsilon = liquid permittivity
  • R = gas constant
  • T = temperature
  • F = Faraday’s constant
  • c_0 = ion concentration
  • z = valence

More details on EDL and related physics can be found in [Pro94].

Electro-osmotic flow or electro-osmosis refers to the fluid motion that occurs when an electric field is applied to an electrolyte solution in the vicinity of a charged surface. The process can be described by the following equations

(80){\mathbf{F}} = {\rho _E}{\mathbf{E}}

(81){\rho _E} = - 2F{c_0}\sinh (\frac{{F\psi }}{{RT}})

(82){\nabla ^2}\psi = \frac{{\rho E}}{\varepsilon }

where \psi is the \xi -potential. An insulation-like boundary condition is imposed for the \xi -potential on all mesh boundaries with a symmetry condition. On solid (obstacle) surfaces, the \xi -potential is imposed. Here Boltzmann charge density distribution for liquid with single valence is assumed. But the user can easily provide other different charge density distributions in two simple functions named psi and dfdpfi released to users. How to do this customization is described in these two functions.

Please refer to Electro-osmosis in Model Reference to get related information on how to use the model.

 

Particle Movement and Fluid Flow Due to Electric Field

An electric charge or charge dipoles can be carried by molecules, small droplets, and particles which are called charge, or charge dipole carriers, or mass particles in FLOW-3D . If the charge of a mass particle, i, is e_i, the electric force (called coulomb force) acting on this particle is

(83){{\mathbf{f}}_i} = {e_i}{\mathbf{E}}

where {\mathbf{E}} is the electric field intensity and its calculation is described above. If a mass particle, i, carries charge dipoles and the corresponding dipole moment is p_i, the electric force (called polarization force) imposed on this mass particle is

(84){{\mathbf{f}}_i} = ({{\mathbf{p}}_i} \cdot \nabla ){\mathbf{E}}

If all energy losses in the carriers are neglected, the dipole moment is calculated by

(85){{\mathbf{p}}_i} = 4\pi {\varepsilon _0}r_p^3K_f\left( {\frac{{{K_p} - K_f}}{{{K_p} + 2K_f}}} \right){\mathbf{E}}

where K_p is the particle dielectric constant, K_f is the fluid dielectric constant, r_p is the particle radius and e_0 is the permittivity of vacuum. Then, the electric force imposed on mass particle, i, carrying the charge dipoles can be cast into

(86){{\mathbf{f}}_i} = 2\pi {\varepsilon _0}r_p^3K_f\left( {\frac{{{K_p} - K_f}}{{{K_p} + 2K_f}}} \right)\nabla {E^2}

Instead of paying attention to the carriers mentioned above, we consider fluid where these charges or charge dipole carriers are distributed. According to Newton’s law, the fluid will experience some body forces due to existence of charge or charge dipoles. The body force due to free charge is

(87){\mathbf{F}} = - {\rho _e}{\mathbf{E}}

where \rho _e is the free charge density. The body force due to charge dipoles is

(88){\mathbf{F}} = ({\mathbf{P}} \cdot \nabla ){\mathbf{E}}

where {\mathbf{P}} is the density of the dipole moment. For dilute dipoles in fluid, this density can be calculated by

(89){\mathbf{P}} = {\varepsilon _0}(K_f - 1){\mathbf{E}}

The body force is then calculated by

(90){\mathbf{F}} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}(K_f - 1)\nabla {E^2}

In FLOW-3D , users can provide a charge density distribution. This distributed charge density is defined using the FLOW-3D scalar variable having index IECHRG (a FLOW-3D input parameter).

Movement of particles carrying induced charge dipoles due to polarization is called particle Dielectrophoresis (DEP) while fluid flow due to existence of charge dipoles from polarization is called liquid Dielectrophoresis.

With the aforementioned equations included in FLOW-3D , users can simulate both particle and liquid Dielectrophoresis. Please refer to Dielectrophoresis to get related information on how to use the models.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Electro-mechanics 전기역학

Electric Field Model 전기장 모델

전하를가진 질량입자의 운동, 입자 및 액체 유전이동 그리고 전기삼투 같은 물리적 과정을 모사하기위해 전장의 분포가 필요하다. FLOW-3D 에서 전위는 다음식을 이용하여 해석된다.

(75)\nabla \cdot \left( {K\nabla \phi } \right) = - \frac{\rho _e}{\varepsilon _0}

전기장는 다음에 의해 계산된다.

(76){\mathbf{E}} = - \nabla \phi

여기서 ρe, ε0 는 각기 자유전하밀도(즉, 단위 체적당 전하)와 진공이나 공간내의 유전율(FLOW-3D 에서 elperm으로 정의되는)이며 K 는 공간적으로 변화하는 유전상수이다.

Poisson식(10.75) 의 수치해석은 GMRES 방법을 사용하는 반복법 솔버에 의해 이루어진다.

개방된 경계 (즉, 유동이 발생할 수 있는 경계)에서 절연조건(즉, 이며 n 은 문제의 경계에서의 법선 벡터)이나 특정 전장값이 지정될 수 있다. 고체는 전도체이면 시간의존 포텐셜이 지정될 수 있다. 그렇지 않으면 물체는 지정된 유전장수를 가지는 유전물질일 수 있다. 이 경우 전위가 물체내부에서 계산된다. 또한 고체유전체는 자유전하와 전류를 가능케 하는0이 아닌 전도도를 가질 수 있다.

선택할 수 있는 가능성으로, 불균일한 전기 물성과 관련된 전하 대류, 전하 완화 그리고 전하 소스를 포함하는 전하밀도방정식이 동시에 전위와 함께 해석된다. 더 상세한 내용을 위해 모델 레퍼런스장에 있는 Electric Fields와 이 절 마지막 목록에 있는 Technical Notes 를 참조하라.

대부분의 사람들은 정전기 및 전자장 문제에 SI계 단위를 사용한다. SI 계에서 전하의 표준단위는 coulomb 이고 전위 단위는 volt이다. 전장 강도는 SI 계에서 Newton/coulomb으로 측정된다. CGS 단위 사용시 통상적으로 전하와 전위를 “ 정전기” 단위인 statvolt 와 statcoulomb로 표현하며, 여기서:

1 coulomb (C) = 2.998 \times 109 statcoulomb (statC)

1 volt (V) = 3.336 \times 10-3 statvolt (statV)

전기력은,

1 Newton = 1 C \cdot V \cdot m-1 = 105 dyne

1 dyne = 1 statC \cdot statV \cdot cm-1 = 10-5 Newton

유체나 고체지역이 전도성이면 전하가 가해진 장 및 전도도 및 유전 물성의 변화에 반응하여 전하가 발달할 수있다. 열모델이 활성화되면 이 전류에 따른 Joule 가열이 모든 전도성 유체 및 고체 내에서 계산된다. 전도성 유체를 통해 흐르는 전류에 의한 단위 개방 셀 체적 및 시간당 열소스 QJoule, 는

(77)Q_{Joule} = F \cdot VF \cdot \kappa|\mathbf{E}|^{2}

여기서 F V F 는 유체와 셀내의 개방 체적율이고 κ 는 유체 전기 전도도이다. 2유체 문제에서 F 는 1.0 으로 대체되고 κ 는 전기전도도의 체적평균 혼합값을 가진다. 유사하게, 고체내의 Joule 열소스는

(78)Q_{Joule solid} = (1 - VF) \cdot \kappa_{solid}|\mathbf{E}|^{2}

더 상세한 내용은 사용자 사이트 http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp 에 있는 Flow   Science  Technical Notes   #52,   #56,   #69, #70에 주어져 있다.

 

Electro-osmosis 전기삼투

일반적으로 실리카나 유리같은 대부분의 물질은 밑에서 보여진 바와 같이 수성(극성의) 매질(전해질)과 접촉할 때 표면전하를 가지게 될 것이다.

Surface electric charge when brought into contact with an aqueous (polar) medium (electrolyte solution)

전기 이중층(EDL) 이라고 불리는 층이 전하면에 가까이 형성되는데 이 표면전하를 중성화시키기 위해 같은 이온보다 더 많은 반대 이온이 과도하게 존재하게된다. 유체/고체면 가까이 지역에 같은 이온보다 더 많은 반대이온이 존재한다. EDL 에 의해 생성된 전장는 ξ−전위라고 불리며 고체표면에 부과된다고 가정된다. ξ−전위는 고체/액체 쌍의 물성이며 실험적으로 측정될 수 있다. EDL의 두께는Debye shielding distance 또는 Debye length라고 불리는 다음 변수에 의해 나타내진다.

(79){\lambda _D} = {\left( {\frac{{\varepsilon RT}}{{2{F^2}{z^2}{c_0}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}

여기에서:

  • ε 는 액체유전율
  • R 은 가스상수
  • T 는 온도
  • F 는 Faraday 상수
  • c0는 이온 농도
  • z 는 원자가

EDL 과 관련 물리에 관한 상세내용은 [Pro94]에서 찾을 수 있다.

전기-삼투 유동 또는 전기-삼투는 전장이 전하를 띤 표면 근처에서 전해질 용액에 가해졌을 때 발생하는 유동을 뜻한다. 이 과정은 다음 식으로 기술될 수 있고

(80){\mathbf{F}} = {\rho _E}{\mathbf{E}}

(81){\rho _E} = - 2F{c_0}\sinh (\frac{{F\psi }}{{RT}})

(82){\nabla ^2}\psi = \frac{{\rho E}}{\varepsilon }

여기서 ψξ−전위이다. 절연 같은 경계조건이 대칭 조건을 가지는 모든 격자 경계상에ξ−전위를위해 가해진다. 고체(물체) 표면에서 ξ−전위가 가해진다. 여기서 단일 원자가의 액체에 대한 Boltzmann 전하밀도 분포가 가정된다. 그러나 사용자는 사용자에게 배포된 psi dfdpfi 두 간단한 함수로 쉽게 다른 전하밀도 분포를 줄 수가 있다. 어떻게 이 사용자 주문 변환을 하는지는 이 두 함수에 기술되어 있다.

이 모델을 어떻게 사용하는지에 대한 정보를 위해 모델 레퍼런스내 Electro-osmosis를 참조하라

 

Particle Movement and Fluid Flow Due to Electric Field 전장에 의한 입자운동 및 유체유동

전하 또는 전하 쌍극자는 FLOW-3D에서 전하, 또는 전하 쌍극자 운반자, 또는 질량입자라고 불리는 분자, 작은 방울, 또는 입자에 의해 운반될 수 있다. 질량입자 i 의 전하가 ei이면 이 입자에 작용하는 전기력(coulomb 힘이라고 불리는)은

(83){{\mathbf{f}}_i} = {e_i}{\mathbf{E}}

여기서 E 는 전장강도이고 이의 계산은 위에 기술된다. 질량입자 i 가 전하쌍극자를 운반하고 상응하는 쌍극자 모멘트가 pi라면 이 질량에 가해지는 전기력(편광력이라 불리는)은

(84){{\mathbf{f}}_i} = ({{\mathbf{p}}_i} \cdot \nabla ){\mathbf{E}}

이다.

운반자들에서의 모든 에너지 손실이 무시되면 쌍극자모멘트는 다음에 의해 계산되며

(85){{\mathbf{p}}_i} = 4\pi {\varepsilon _0}r_p^3K_f\left( {\frac{{{K_p} - K_f}}{{{K_p} + 2K_f}}} \right){\mathbf{E}}

여기서 Kp 는 입자 유전상수, Kf 는 유체 유전상수, rp 는 입자반경 그리고 e0 진공에서의 유전율이다. 이때 전하 쌍극자를 운반하는 질량입자 i 에 가해진 전기력는 다음으로 나타나게 된다.

(86){{\mathbf{f}}_i} = 2\pi {\varepsilon _0}r_p^3K_f\left( {\frac{{{K_p} - K_f}}{{{K_p} + 2K_f}}} \right)\nabla {E^2}

위에서 언급된 운반자에 집중하는 대신에 이 전하나 전하 쌍극자가 분포되어 있는 유체를 고려한다. 뉴튼 법칙에 의하면 유체는 전하나 전하 쌍극자의 존재로 인한 체적력을 받는다. 자유전하에 의한 체적력은

(87){\mathbf{F}} = - {\rho _e}{\mathbf{E}}

여기서 ρe 는 자유 전하밀도이다. 전하 쌍극자에 의한 체적력은

(88){\mathbf{F}} = ({\mathbf{P}} \cdot \nabla ){\mathbf{E}}

여기서 P 는 쌍극자모멘트의 밀도이다. 유체 내의 희석된 쌍극자에 대해 이 밀도는 다음에 의해 계산된다

(89){\mathbf{P}} = {\varepsilon _0}(K_f - 1){\mathbf{E}}

체적력은 이때 다음과 같이 계산된다.

(90){\mathbf{F}} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}(K_f - 1)\nabla {E^2}

FLOW-3D 에서 사용자는 전하밀도분포를 줄 수가 있다. 이 분포된 전하밀도는 색인 IECHRG(한 FLOW-3D입력변수)를 가지는 FLOW-3D 스칼라 변수를 이용하여 정의된다.

극성화에 의한 유도된 전하 쌍극자를 운반하는 입자의 운동은 입자 유전이동(DEP) 이라고 불리며 극성화에 의한 전하 쌍극자 때문에 발생하는유동은 액체 유전이동이라고 불린다.

FLOW-3D 에 포함된 앞서 언급된 방정식으로 사용자는 입자 및 액체 유전이동을 모사할 수 있다. 이 모델 사용 관련정보를 얻기 위해 Dielectrophoresis 를 참조하라.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Drift-Flux Model 드리프트-플럭스 모델

다중 성분을 가지는, 예를 들면 유체/입자, 유체/기포, 그리고 성분들의 밀도가 다른 유체/유체 혼합물로 구성되있는 유체에서 성분들은 각기 다른 유동속도를 가지는 것으로 관측된다. 속도차이는 밀도차이가 불균일한 체적력을 초래하기 때문에 발생한다. 가끔 속도의 차이는 아주 뚜렷할 수도 있는데, 예를 들면 공기중에서 떨어지는 빗방울들, 또는 물에서 가라앉는 자갈 등의 경우다. 그러나 많은 조건에서 상대 속도는 한 성분의 다른 성분에 대한 “드리프트 “로 기술될 만큼 충분히 작다. 예를 들면 공기 중의 먼지와 물속의 토사이다.

”드리프트(drift)” 의 구별은 연속성분 내에서 이동하는 분산된 성분의 관성이 중요하냐와 관련이 있다. 상대속도의 관성이 무시되고 상대속도가 성분들 간의 구동적 힘(즉, 중력이나 압력구배)과 이에 반하는 항력간의 균형으로 축소된다면 이때 우리는 “표류-플럭스” 근사에 대해 이야기할 수 있다. 표류속도는 일차적으로 질량과 에너지의 이송에 영향을 미친다. 약간의 모멘텀도 또한 이송되지만 이 역시 매우 작고 FLOW-3D 의 표류 모델에서 무시되어 있다.

드리프트 모델의 발상은 성분 사이의 상대운동은 이산요소(즉 입자같은)보다는 연속체로 근사될 수 있다는 것이다. 이는 이산 요소의 운동 및 상호작용의 추적을 계산할 필요가 없으므로 계산효율를 증강시켜 준다.

FLOW-3D 에서 드리프트 속도가 사용될 수 있는 4가지 물리적 상황이 있다.

  • 혼합물이 각기 밀도가 ρ1 ρ2인 성분으로 되어있는 1유체 밀도변화 유동
  • 액체와 고체 혼합물이 각기 밀도가 ρ1 ρ2인 응고가 일어나는1 유체
  • 밀도 ρ1 ρ2를 가지는 2 비압축성 유체
  • 비압축성 성분을 가지는 압축성기체. 이 경우 압축성기체의 밀도는 상태방정식에 의해 주어지며 비압축성 물질은 밀도 ρ1를 가지고 항상 이는 기체밀도 보다 훨씬 크다고 가정된다.

표류 근사에서 상대속도의 공식화는 다음과 같이 진행된다. 유동이 2개의 이산 요소 또는 상인 상황에서, 하나는 연속상이고 다른 하나는 이산상이며, 이는 불연속적이고 연속인 상에의해 둘러싸여 있다고 가정한다. 이와 똑같은 유체계가 반대의 구성을 가질 수 있다: 많은 양의 디젤유를 오염시키는 작은 양의 물 같은 경우에 물이 이산 상이고; 역으로, 소량의 디젤유가 많은 물속에 펴져있다면 디젤유가 이산 상이다.

두 성분 유체의 비압축성 유동에 대해  \nabla \cdot \textbf u = 0 인 u = f1u1 + f2u2 를 정의한다. 혼합물을 구성하는 두 성분의 체적율은 f1 f2로 표시되며, 여기서

두 상이 비압축이라고 가정하면 연속상의 모멘텀균형은

(63){f_1} + {f_2} = 1

이며. 이산 상에 대해서는

(64)\frac{\partial {\mathbf{u}}_1}{\partial t} + {{\mathbf{u}}_1} \cdot \nabla {\mathbf{u}}_1 = - \frac{1}{\rho _1}\nabla P + {\mathbf{F}} + \frac{K}{f{\rho _1}}{\mathbf{u}}_r

반면에 dispersed phase 에 대해서는

(65)\frac{\partial {\mathbf{u}}_2}{\partial t} + {\mathbf{u}}_2 \cdot \nabla {\mathbf{u}}_2 = - \frac{1}{\rho _2}\nabla P + \mathbf{F} - \frac{K}{(1 - f){\rho _2}}{\mathbf{u}}_r

여기에서:

  • u1 와u2 는 각기 연속상과 이산상의 미세속도를 나타내고,
  • f 는 연속상의 체적율이다.
  • 미세속도는 작지만 유한한 체적의 유체에 대한 각 상의 속도를 뜻한다.
  • F 는 체적력이고,
  • K 는 두 상간의 상호작용을 연관시키는 항력계수이며,
  • ur 은 이산상과 연속상 사이의 상대속도 차이이다.

(66){\mathbf{u}}_r = {\mathbf{u}}_2 - {\mathbf{u}}_1

드리프트-플럭스 모델의 목적은 체적 가중속도 u¯에 대한 두상 의 운동을 계산하는 것이다. 체적가중 평균속도는

(67){\mathbf{\bar u}} = f{\mathbf{u}}_1 + (1 - f){\mathbf{u}}_2

이고, 체적-가중 평균속도가 질량-가중 평균속도 대신에 선택되는데, 이는 질량연속이 어떤 보정없이 자동적으로 만족되기 때문이다.

(68)\nabla \cdot {\mathbf{\bar u}} = 0

모멘텀 보존이 만족되듯이.

식 (10.64) 을 식 (10.65) 으로부터 빼면 상대속도의 식을 얻게되고 여기서 K 는 단위 체적당 항력계수이다.

(69)\frac{{\partial {\mathbf{u}}_r}}{\partial t} + {\mathbf{u}}_2 \cdot \nabla {\mathbf{u}}_2 - {\mathbf{u}}_1 \cdot \nabla {\mathbf{u}}_1 = \left( {\frac{1}{\rho _1} - \frac{1}{\rho _2}} \right)\nabla P - \left( {\frac{1}{{(1 - f){\rho _2}}} + \frac{1}{{f{\rho _1}}}} \right)K{{\mathbf{u}}_r}

목적은 상대속도 ur 을 결정하는 것이다. 식(10.69)을 그대로 사용하면 두 성분 유동을 위한 두 속도장을 구성할 것이다. 그러나 우리는 단순히 표류-플럭스 모델 근사를 했다. 즉 상대속도가 거의 정상상태이고 이류항들은 서로 상쇄한다(즉, 작은 상대속도 ur 에 대해)고 가정하는 것이다. 이 가정 하에 우리는 다음식을 얻는다

(70)\left( {\frac{1}{\rho _1} - \frac{1}{\rho _2}} \right)\nabla P = \left( {\frac{{f{\rho _1} + (1 - f){\rho _2}}}{{f(1 - f){\rho _1}{\rho _2}}}} \right)K{{\mathbf{u}}_r}

상대속도 ur 은 각 상의 미세속도에 의거하므로 이때 항력은 부유상의 체적율에 대한 어떤 정보를 가져야한다. 예를들면, 아주 작은 양의 부유상을 가지는 부유물은 성분 간에 아주 작은 모멘텀의 교환을 가져올 것이다.

부유상이 같은 크기인 입자들로 구성되어있고 단위체적당 n 개가있다고 추정하면, 이때에

(71){{\mathbf{u}}_r} = \left( {\frac{{{V_p}}}{{{K_p}}}} \right)\frac{{f({\rho _2} - {\rho _1})}}{{\bar \rho }}\nabla P

여기에서:

  • Vp = (1 − f)/n 는 입자 한개의 체적이며Kp 는 연속유체 내에 속력 |ur| 로 움직이는 단일 입자에 대한 항력계수이고,

(72)\bar \rho = f{\rho _1} + (1 - f){\rho _2}

위는 체적가중 밀도이다.

드리프트 계수와 상대 유동속도 간의 2차 의존도가 모델에서 사용된다. U 가 연속 유체 내에서 움직이는 입자의 상대속도의 크기라면, 이때

(73){K_p} = \frac{1}{2}{A_p}{\rho _c}\left( {{C_d}U + \frac{{12{\mu _c}}}{{{\rho _c}{R_p}}}} \right)

여기에서:

  • Cd 는 항력계수,
  • Rp 는 평균 입자 반경이며
  • Ap 는 구로 가정되는 입자의 단면적이다.

식(10.67)에서 U가 나타나있기 때문에 반복적 해법이 상대속도U를 구하기 위해 필요하나 반복법은 상당히 효율적이어서 많은 시간이 소요되지 않는다.

분산된 물질들의 체적율이 충분히 작지 않을 경우 성분간의 모멘텀 교환 계산을 위한 단일 입자 항력의 사용은 그렇게 적합하지는 않다. 이들 입자/입자 상호작용을 고려하기 위해 가장 흔히 사용되는 수정은 Richardson-Zaki 상관관계라고 불리는 실험적으로 결정된 관계식이다.

Richardson-Zaki상관관계는 입자 Reynolds 수, Re = (2ρcRpU/µc)에 의존한다. 이 상관식은 표류 속도를 계산된 속도 ur에 분산 성분 체적율에 지수 ζ 를 취한 값으로 대체한다.

(74){\mathbf{u}}_r^{eff} = {\mathbf{u}}_r\cdot max(0.5,f)^\zeta

지수 ζ 는 Richardson-Zaki 계수 rzmltζ0의 곱이며, 즉, ζ = rzmlt * ζ0 여기서

Re < 0.2 {\zeta _0} = 4.35
0.2 < Re < 1.0 {\zeta _0} = 4.35/{Re}^{0.03}
1.0 < Re < 500 {\zeta _0} = 4.45/{Re}^{0.1}
500 < Re {\zeta _0} = 2.39

조정된 또는 유효값은 모든 드리프트 플럭스를 계산하는데 이용된다. 이 상관식은 단지 2차 입자 저항 모델에만 사용된다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Defect Tracking 결함추적

Auxiliary Model/Defect Tracking 결함추적

주물의 기계적 물성은 산화막, 주조 충진 시 금속안에 갇힐 수 있는 기타 이물질과 공기와 관련된 금속의 “청결도“에 상당히 의존할 수 있다.

이 절에서는 표면난류에 기인하는 주조결함의 질적 예측을 하는 결함의 원천 및 추적 기법이 기술된다[BH98].
추적 모델은 또한 폼이 분해된 후 금속표면에 남아있는 잔류물로부터 발생하는 결함의 가능성을 예측하기 위해 로스트폼 모델과 결합되어 있다.

자유표면에서와 로스트폼 잔류로부터의 내포물들은 별도의 양들로 나타내진다.
자유표면 결함모델에서 양은 일정한 Defect generation rate DFTRF 율로 자유표면 상에 축적된다.
폼 잔류는 Residue generation rate DFTFOB 로 정의된 비례계수를 가지는 분해된 폼의 질량에 비례하는 양만큼 증가된다. 이송방정식은 식 (10.270) 에 주어진 것과 유사하게 수치적으로 이산 및 확산 항을 가지는 각 양들에 대해 해석된다.
공간에 대해2차적이고 단조성을 보존하는 기법이 증가된 정확도를 위해 이산항을 근사하는데 이용된다.
내포물의 확산은 보통 적어서 디폴트로 꺼져 있으나 Defect tracking Lost foam 모델을 위해 Molecular diffusion coefficient 와/또는 역Schmidt 수인 Turbulent diffusion coefficient multiplier 를 양의 값으로 정의함으로써 포함될 수 있다.

두 양 모두 오염 물질의 농도를 나타낸다.
오염으로 인한 결함의 가능성은 농도에 비례한다. 결함은 이 중 하나의 농도가 높게 나오는 지역에서 더 발생하기 쉽다.

지금 현재 부력이나 산화막의 강도 효과는 이 모델에 포함되어 있지 않다. 또한 몰드 벽에 접착하려는 산화막과 다공사형을 통해 배출된 폼 잔류물 같은 현상도 포함되어 있지 않다. 포스트폼 주조과정에서의 폼 분해에 의한 액체 생성물의 심지효과는 포함될 수 있다(자세한 내용은 Lost Foam Casting Process 참조).

모사가 끝날 때 내포물 농도의 공간적 분포는 결함이 있을 것 같은 위치를 알려준다.
대부분의 경우에 대다수의 내포물은 예측 되듯이 마지막으로 채워질 장소에서 발견된다. 다른 오염물은 금속전면에 모일 것이고 갈 곳이 없을 때까지 밀릴 것이다.
그러나 관심이 있는 곳은 두 전면이 만나서 금속내부의 표면 내포물이 갇히게되는, 또는 유체 재순환 지역이 발생하는 구석진 곳이다.
심지어 몰드 충진 후에 금속 내의 순환유동은 표면에서 생성된 오염물을 재 분포시킬 수 있다.

실제 결함이 있는 이런 형태의 모델의 예측을 상관시키시 위한 자세한 실험 비교없이 이 스칼라의 절대값에 어떤 의미를 두는 것은 불가능하다.
그러므로 반응 상수는 임의의 양수를 가질 수 있다. 그러나 심지어 가장 간단한 실험으로부터의 정성적결과도 주조물 내의 결함생성과 이들의 최후 분포에 대해 영향을미치는 과정에 대한 상당히 유용한 통찰을 준다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Core Gas Generation and Flow in Sand Cores and Moulds 모래 코어 및 사형 내 코어가스생성 및 유동

가끔 모래안의 모래 점결제의 열분해에의해 생성된 가스로부터 발생하는 가스 결함은 사형 주조 부품에서 발견된다. 계산 모델은 코어 내가스의 생성과 이송의 예측을 가능케 한다. 가스는 불량한 코어 배출 상황및 커다란 온도구배에 따른 코어지역을 통한 이송등을 고려하기위해 압축성으로 간주된다. 이 모델은 실제 몰드형상 및 코어 배출위치를 감안하며 임의의 코어 표면 상위치로부터 용탕내로 유입되는 가스의 양을 예측하는데 이용될 수 있다.

코어는 프로그램 내에서 다공이 없는 고체물질로 간주되므로 용탕이 내부로 유입될 수 없다. 코어가스 모델은 코어 물체를 마치 가스가 생성되어 하기와 같이 기술된 특별 경계 조건을 사용하는 경계에서 유출입할 수있는 다공질 물질로 간주한다.

생성된 코어가스는 이상기체로 간주되고 기체상수 Rcg 를 가지는 고정된 구성을 갖는다. 가스상수는 고정 체적 기구로부터 모아져서 가스압력이 측정되는 실험으로부터 추론될 수 있다. 측정된 전체 얻어진 표준체적 Vstd 과 점결제의 초기질량, mb 로부터 가스상수는 다음과 같다.

(53){R_{\rm{cg}}} = \frac{p_{\rm{std}}}{T_{\rm{std}}}\frac{V_{\rm{std}}}{m_b}

코어 가스의 미시적 속도, \vec u_{cg}, 는 다공질 유동 방정식에 의해 지배된다:

(54){\phi }{\vec u_{\rm{cg}}} = - \frac{K}{{\mu}_{\rm{cg}} }\nabla {p_{\rm{cg}}}

여기서

  • φ 는 코어 다공도
  • K 는 모래 투과도
  • µcg 는 코어가스 점도이며
  • pcg 는 코어가스 압력

거시적 관성항은 일반적인 코어가스 유동에서 작다고 알려져 있으므로 식 (10.54)에 포함되어 있지않다. 투과도 K 는 다음에 따라 항력계수 Fd 로 표현되어 있다.

(55){K = \frac{{\phi } {\mu }_{\rm{cg }} } {{\rho }_{\rm{cg}} F_ {\rm{d}}}}

그리고 항력계수 Fd 는 1차 Darcy 항과 2차 Forchheimer 항을 갖는다:

(56){F_ {\rm{d}} } = a\frac{{{\mu _{\rm{cg}}}}}{{{\rho _{\rm{cg}}}}}\frac{{{{(1 - \phi )}^2}}}{{{\phi ^2}}} + b\frac{{1 - \phi }}{\phi }{\vec u_{\rm{cg}}},

여기서:

  • \rho _{\rm{cg}} 는 코어가스 밀도이며
  • a, b 는 모래 특정의 선형 및2차 유동 손실계수이다.

코어가스의 밀도는 질량 이송방정식에 의해 지배된다:

(57)\frac{{\partial {\rho _{\rm{cg}}}}}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {{\rho _{\rm{cg}}}{{\vec u}_{\rm{cg}}}} \right) = - \frac{{d{\rho _b}}}{{dt}}

여기서 ρcg ρb 는 미시적 코어가스 밀도 및 거시적 코어 점결제 밀도이다. 코어가스는 압축성이므로 심지어 가스 소스가 없더라도 코어가 가열될 때 코어내의 초기 공기의 열팽창 및 유동이 있을 수 있다.

코어가스 밀도는 더구나 이상기체 법칙에 의해 지배된다:

(58){p_{\rm{cg}}} = {R_{\rm{cg}}}{\rho _{\rm{cg}}}T

여기서 가스의 온도는 지역 코어의 온도와 같다고 가정된다. 이는 가스에 비해 고체 코어재질의 더 많은 열량때문에 합당한 근사이다.

코어와 가스의 온도가 같고 코어의 온도 T 는 이미 열전달 해석에 의해 계산이 되었으므로 이상기체 법칙이 식(10.57) 에 의해 정의된 밀도를 가지는 가스압력을 계산하는데 이용될 수 있다. 고체 점결제의 가스로의 전환은 Arrhenius 식에 의해 기술되며,

(59)\frac{{d{\rho _b}}}{{dt}} = - {\rho _b}{C_b}\exp \left( { - \frac{{{E_b}}}{{RT}}} \right),

여기서:

  • ρb 는 고체점결제밀도
  • Cb 는 경험적으로 얻어지는 반응율상수
  • Eb 는 성분결합에너지이며
  • R 은 일반가스상수이고
  • T 는 온도이다.

가스소스는 계산요소의 이산화크기에 따른 비물리적인 진동 거동을 나타낼 수 있다. 이를 완화하기 위해 단순한 세부분할 기법이 각 계산셀 내에서 이용된다. 고체점결제 밀도는 분할셀 교점에서 저장되며 분할셀 온도는 주 망의 교점으로부터 온도장의 선형 보간에 의해 얻어진다.

코어가스 모델은 몰드 충진모델과 동시에 사용되기 때문에 코어내 가스유동이 계산시간 단계 크기(외재적 이류 근사를위한Courant안정조건에 의해) 를 충진에 필요한 크기보다 작게 제한할 만큼 빠를 수가 있기 때문에 더 긴 계산시간을 초래한다. 이런 것에 대비하여 코어가스 모델에는 보조-시간-단계 기법이 포함되어있다. 이는 모델이 코어외부 표면의 경계조건을 통하여 금속충진과 결합되어 있기 때문에 가능하다(하기참조). 코어내 가스유동이 계산시간 단계크기가 충진의 크기보다 작다고 판명되면 코어가스계산의 시간단계크기는 하나의 안정적인 값으로 감소되고 모델은 금속 내에 고정된 열과 유동조건으로 대여섯 개의 분할시간 단계에서 해석된다. 분할시간 단계의 크기는 주 시간 단계 크기를 정수로 나눈 분수이므로 가스계산은 가스해를 옳은 시간까지 전진시키기위해 이 정수만큼의 시간 단계들에 대해 반복된다.

코어재질 경계에서 코어가스의 유출입이 있을 수 있다. 이 교환은 코어가스 모델의 경계조건으로 간주된다. 코어경계를 통한 가스의 통로는 코어 외부에 무엇이 있느냐에 달려있다. 예를 들어, 코어표면이 공기에 노출되어 있으면 가스는 압력 차이에 따르는 방향으로 경계를 통해 흐를 수 있다.

코어표면에 액체 금속이 있을 때 코어의 압력이 액체의 압력보다 크면 가스가 나올 수 있으나 금속은 코어 내로 들어갈 수 없다. 금속이 이미 코어표면에서 응고하면 가스는 그 표면을 통과할 수가 없다.

다른 경계조건이 즉, 코어표면이 그 몰드의 또다른 고체부분과 접촉할 경우 같은 코어 프린트 표면에서 발생한다. 이런 표면 위치에서 (가스)배출이 될 수 있도록 몰드 내에 채널이 만들어지지 않는 한 가스는 정상적으로 흐르지 않는다. 코어가스모델은 프린트표면에서 배출할 수있는 선택을 할 수가 있다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Buoyant Flow Model 부력유동모델

많은 유동 상태가 비압축성 유체를 사용하여 근사될 수 있으나 작은 밀도변화와 관련된 부력의 영향평가를 필요로 한다. 이런 경우 밀도는 보통 온도만의 함수로 나타난다. 응고와 조대편석 또한 부력모델에서 고려될 수 있다 ( Unsaturated Flow in Porous Media 참조하라).

FLOW-3D의 모델은 비압축성 유동해석 알고리즘을 에너지 이송방정식의 해및 온도의 함수인 지역 밀도를 결합함으로써 이런 유동의 해석을 허용한다. 이 모델은 단일유체 계산시 자유표면의 존재 유무에 상관없이 그리고 두 비압축성 유체 문제에서도 작동한다. 추가로 제한적 압축성 모델은 부력 유동모델과 같이 사용될 수 있다. 부력은 자동적으로 압축 유체에 포함된다. http://users.flow3d.com/technotes/default.asp의 사용자 사이트에 있는 FS TN #58은 이 모델의 근사와 제약에 대한 자세한 내용을 다룬다.

부력 유동을 선택하면 연속방정식 Eqs. (10.1) 또는 (10.5), 운동량 이송방정식 (10.9), 그리고 내부 에너지 이송방정식 Eq. (10.21)이 해석된다. 자유표면 또는 두 비압축성 유체문제에서는 유체분율 방정식(10.19), 이 또한 해석된다.

(1){V_F}\frac{\partial \rho }{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}(\rho u{A_x}) + R\frac{\partial }{\partial y}(\rho v{A_y}) + \frac{\partial }{\partial z}(\rho w{A_z}) + \xi \frac{\rho u{A_x}}{x} = {R_{\rm{DIF}}} + {R_{\rm{SOR}}}

(5)\frac{\partial }{\partial x}(u{A_x}) + R\frac{\partial }{\partial y}(v{A_y}) + \frac{\partial }{\partial z}(w{A_z}) + \xi \frac{u{A_x}}{x} = \frac{R_{\rm{SOR}}}{\rho }

(9)\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{V_F}\left\{ {u{A_x}\frac{\partial u}{\partial x} + v{A_y}R\frac{\partial u}{\partial y} + w{A_z}\frac{\partial u}{\partial z}} \right\} - \xi \frac{{A_y}{v^2}}{x{V_F}} = - \frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x} + {G_x} + {f_x} - {b_x} - \frac{R_{\rm{SOR}}}{\rho {V_F}}(u - {u_w} - \delta {u_s}) \hfill \\ \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{1}{V_F}\left\{ {u{A_x}\frac{\partial v}{\partial x} + v{A_y}R\frac{\partial v}{\partial y} + w{A_z}\frac{\partial v}{\partial z}} \right\} + \xi \frac{{A_y}uv}{x{V_F}} = - \frac{1}{\rho }\left( {R\frac{\partial p}{\partial y}} \right) + {G_y} + {f_y} - {b_y} - \frac{R_{\rm{SOR}}}{\rho {V_F}}(v - {v_w} - \delta {v_s}) \hfill \\ \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{1}{V_F}\left\{ {u{A_x}\frac{\partial w}{\partial x} + v{A_y}R\frac{\partial w}{\partial y} + w{A_z}\frac{\partial w}{\partial z}} \right\} = - \frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z} + {G_z} + {f_z} - {b_z} - \frac{R_{\rm{SOR}}}{\rho {V_F}}(w - {w_w} - \delta {w_s}) \hfill \\ \end{gathered}

(19)\frac{{\partial F}}{{\partial t}} + \frac{1}{{{V_F}}}\left[ {\frac{\partial }{{\partial x}}(F{A_x}u) + R\frac{\partial }{{\partial y}}(F{A_y}v) + \frac{\partial }{{\partial z}}(F{A_z}w) + \xi \frac{{F{A_x}u}}{x}} \right] = {F_{\rm{DIF}}} + {F_{\rm{SOR}}}

(21)\begin{gathered} {V_F}\frac{\partial }{{\partial t}}(\rho I) + \frac{\partial }{{\partial x}}(\rho Iu{A_x}) + R\frac{\partial }{{\partial y}}(\rho Iv{A_y}) + \frac{\partial }{{\partial z}}(\rho Iw{A_z}) + \xi \frac{{\rho Iu{A_x}}}{x} = \hfill \\ - p\left\{ {\frac{{\partial u{A_x}}}{{\partial x}} + R\frac{{\partial v{A_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w{A_z}}}{{\partial z}} + \xi \frac{{u{A_x}}}{x}} \right\} + R{I_{\rm{DIF}}} + {T_{\rm{DIF}}} + R{I_{\rm{SOR}}} \hfill \\ \end{gathered}

유체밀도는 유체분율 F 와 지역온도로부터 부력유동 모델에서 다음과 같이 결정된다.

(51)\rho = F \cdot {\rho _1}(T) + (1 - F) \cdot {\rho _2}(T)

여기서,

(52)\begin{gathered} {\rho _1}(T) = {\rm{RHOF}} \cdot \left[ {1 - {\rm{THEXF1}} \cdot (T - T^*)} \right] \hfill \\ {\rho _2}(T) = {\rm{RHOFC}} \cdot \left[ {1 - {\rm{THEXF2}} \cdot (T - T^*)} \right] \hfill \\ \end{gathered}

식 (10.52)에서 T* 는 기준 온도이며 이때 유체1은 입력밀도 RHOF 를 가지고 유체 2는 밀도 RHOFC 를 가진다. 이 유체들의 체적 팽창계수는 각기 THEXF1 와 THEXF2이다. 부력은 식(10.9)에서의 압력구배와 비관성 및 중력가속도를 포함하는 체적력의 불균형에 의해 발생한다.

유체온도는 두 유체 경우에 같은 지역온도를 가정하는 내부에너지 이송방정식으로부터 결정된다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Vaporization Residue 기화 잔류

Auxiliary Model/Vaporization Residue 기화 잔류

1-유체 문제에서 자유표면상의 유체는 상변화 모델이 사용되면 기화하거나 응축할 수있다.
이는 경계면의 기체쪽이 일정 압력이거나 균일 기포지역일 때 유효하다. 유체가 하나 또는 그 이상의 용질을 가지면 용질의 농도는 액체의 증감에 따라 변해야 한다. 일반적으로 용질은 액체의 기화에 따라 더 농축된다.

기화 또는 응축 경우에 유체와 관련된 임의의 스칼라농도는 상변화에 의해 변화된 농도를 가질 것이다. 한 표면요소가 액체로 반보다 적게 차있으면 농축지역이 표면요소 두께의 반에 해당할 정도로 농도변화가 바로 인접한 표면 요소로 퍼질 것이다.

충분히 기화가 발생하여 용질농도가 충분히 높으면 표면막이 생기거나 액체가 완전히 기화하면 잔류물이 고체표면에 형성될 수도있다.
이것이 FLOW-3D 에서 모사되기 위해 잔류모델이 선택되어야 한다.

이 모델의 활성화는 일단 농도가 사용자 지정된 최대 패킹 밀도보다 높으면 용질이 고정 잔류물을 생성하게끔 한다. 하나 이상의 용질이 존재하면 잔류모델은 잔류에 기여하는 모든 용질 전체를 기록할 것이다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Permeable Mould Model 다공몰드모델

모래는 주조몰드를 만드는데 이용하는 흔한 재료이다. 이는 쉽게 임의의 형태로 성형되며, 재사용할 수 있고 적합한 구조 및 열 물성을갖는다.

추가로 사형은 초기에 공간에 존재하는 공기가 주입중에 빠져나가게 해주는 다공성이 있다. 그러나 공기의 누출은 너무 작으면 상당한 배압의 형성을 일으켜서 충진과정을 지연시킬 수 있다. FLOW-3D 에는 배압의 형성을 참작하기 위한 방법을 주는 다공내의 공기유출을 위한 단순 모델이 있다.

몰드를 통한 공기의 체적유량 Q 는 다음 선형식으로 계산된다:

(60)Q = \frac{AK}{\mu L}dP

여기서

    • A 는공기에노출된 몰드의 표면적
    • K 는 몰드의 투과도
    • µ 는 공기점도
    • L 은 평균몰드두께
    • dP dP 는 몰드 내부와 외부 공기간의 압력강하

몰드 투과도 K 는 몰드 다공도 φ, 와 평균 모래 입자크기 d로부터 추정된다:

(61)K = \frac{{\phi}^3}{\left(1 - \phi \right)^2}\frac{d^2}{180}

투과성 몰드 모델은 단열기포 모델과 함께 사용되는 데 각 공간이나 기포는 기포 체적의 함수인 균일 압력을 갖는다. 유량 Q 는 기포압력 및 몰드와의 접촉면적을 이용하여 각 공간에서 평가된다. 주변압력은 일정하고 각 모든 공간에 대해 같다고 가정된다.

작은 시간증분 dt 동안에 공간내의 압력 Pair 는 들어오는 금속 dV, 그리고 몰드를 통한 배출 Qdt 에 의한 압축에 따라 변화한다:

(62)d{P_{\rm{air}}} = {P_{\rm{air}}}\left( {1 + \gamma \frac{{dV - Qdt}}{{{V_{\rm{air}}}}}} \right)

여기서

γ 는 가스 비열의 비(공기는 1.4 ) 이며, Vair 는 공간지역체적. 현재 몰드의 코팅은 고려되지 않고 있다.

[FLOW-3D 이론] General Scalar Transport / 일반 스칼라 이송

General Scalar Transport / 일반 스칼라 이송

위에서 기술된 유동변수에 추가로 FLOW-3D 는 또한 일반 스칼라 양들을 사용한다.  스칼라는 유체1, 유체2 또는 둘 다의 물성을 정의할 수 있는데, 이 경우 advectable 스칼라라고 불린다. 스칼라는 또한 유체가 아닌 계산영역의 위치에 고정된 양을 정의할 수도있다; 이런 스칼라는 non-advectable 이라고 부른다.

스칼라 모델은 표준모델에서 사용되는 것들이다, 예를들면, Sediment Scour and Deposition, Defect Tracking, Air Entrainment 또는 Fluid Residence Time. 이 스칼라들은 각기 모델이 활성화될 때 자동적으로 정의된다. 사용자-정의 스칼라는 표준 모델에서 사용되지 않고 사용자가 Marker Particles 와 유사하게 유체 표식자로 또는 사용자 주문의 일부로 사용될 수 있다(예제 참조: 사용자 주문방식 장의 Counting Particle Concentration in Mesh Cells.).

이류 스칼라는 일반적으로 셀내 유체 체적당 질량의 뜻인 농도 C 로 정의된다. 이송방정식은 여느 이류 스칼라, 사용자 정의 또는 모델에 대해 자동적으로 해석된다.

          (10.41)

여기서 D 는 확산계수이고 CSOR 는 소스항이다.

가장 간단한 경우에 스칼라는 유체역학에 영향을 주지 않는다. 이들은 평균 유동과 함께 이동하고 확산계수D에 따라 확산된다.

ρD = RMSC · µ + CMSC                                                                      (10.42)

여기서 RMSC 는 역 Schmidt 수이고, µ 동적유체점성, CMSC 일정한 스칼라 확산계수, 그리고 ρ 는 유체밀도 이다.

스칼라는 다중의 물질이나 물성의 지역적 변화를 가지는 유체를 모델링할 수 있도록 밀도, 점도, 탄성계수와 항복응력 같은 유체물성에 영향을 주는 특정 속성을 또한 지닐 수 있다. 스칼라 질량이 유체/스칼라 혼합물의 계산에 포함되면 이는 단순히 유체의 질량에 더해진다. 다른 말로하면, 스칼라는 용매(예를들어 유체)의 분자 내의 공간에 이들의 분자가 완전히 들어가게 될 때 항상 간극(interstitial) 용질로 처리된다. 스칼라는 단지 유체를 무겁게만 할 수 있다. 스칼라에 의해 운반되는 다른 혼합물은 순수유체와 스칼라 속성의 질량가중 평균으로 계산된다. 예를들면, 단일스칼라 C 에 대해 혼합물점도 µmix:

          (10.43)

여기서 ρ µ 는 순수유체 밀도 및 점도이고 µCi 는 스칼라 i 에 따른 점도이다. 여기서 혼합점도에 기여하는 모든 스칼라에 대해 합해진다.

스칼라는 초기단계에 격자 입구경계와 유체소스에서 유입될 수 있다. 이들은 또한 특정 모델링 필요성을 맞추는 사용자 주문을 위한 강력한 기반을 제공한다.

[FLOW-3D 이론] Equation-of-State / 상태방정식

Equation-of-State / 상태방정식

압축 상태방정식은 형태를 갖는다고 가정된다.

ρ = ρ(p,T)          (10.40)

두 물질 문제에서 별도의 유체상태를 결정하기에 하나의 혼합물 에너지는 일반적으로 충분하지 않다. 그러므로 두 물질은 같은 온도를 가지며 두 물질 사이의 에너지를 나누어 갖는다고 가정한다. 완전 기체 상태방정식이 압축성 유체에 대한FLOW-3 D에서의 디폴트이다.

열적 부력유동에서 유체밀도는 Buoyant Flow 에서 기술되는 바와같이 단지 온도의 함수이다. 비압축성 유체는 일반적으로 일정하고 균일한 밀도를갖는다. 그러나 비압축성 유체에서 불균일 밀도를 정의할 수도 있다.

[FLOW-3D 이론] Structure Temperature Equation / 구조열방정식

Structure Temperature Equation / 구조열방정식

입력에서 열전달 선택(IHTC > 0) 이되면 열구조의 동적 온도가 FLOW-3D 에 의해 평가된다. 열구조는 망 벽경계이거나 또는 물체일 수가 있다. 열구조물 온도를 해석하기 위한 가장 일반적인 방정식은

          (10.38)

이며

여기서

  • Tw 는구조물온도
  • ρw, Cw,와 kw 는 구조물의 밀도,비열 및 열전도도 값이며
  • TSOR 는 지정된 외부소스와 고체-액체 열전달로부터 기여된 비에너지 소스항이다.

열전달의 평가는 Wall Heat Transfer 에서 논의된다.

어떤 고체나 벽경계는 집중 질량모델로 간주될 수있다. 이 경우 전체구조는 균일온도로 가정되며 이는 열전도항을 제거시키고 다음과 같이 된다.

          (10.39)

여기서 지금 Mw 는 구조질량이고 ITSOR 는 체적과 또는 면적상 적분된 에너지 소스항이다.

[FLOW-3D 이론] Fluid Energy Equations / 유체에너지방정식

Fluid Energy Equations / 유체에너지방정식

압축성 또는 열유동문제에서 내부에너지방정식은 다음과 같다.

          (10.21)

여기서 I 는 거시 혼합 내부에너지이다. 2유체문제에 대해서

ρI = 1I1 + (1 − F)ρ2I2                                                                                                          (10.22)

여기서F는 유체1의 체적율이고 색인은 유체 1이나 2에 연관된 양들을 가리킨다.

 

Heat of Transformation / 상변태열

에너지는 온도의 선형함수이라고 가정된다.

I = CV1 · T + (1 − fs) · CLHT1                                                                 (10.23)

여기서

  • CV1는 유체1의 일정 체적시의 비열이다.
  • fs 는 고상율이고
  • CLHT1는 잠열이다.

유체1의 응고나 액화와 관련된 잠열은 두 가지 중의 하나로 정의된다. 가장 단순한 방법은 고상온도 TS1, 액상온도 TL1, 그리고 이 두 온도 사이에서 발생하는 상변화의 비열 CLHT1으로 되어있다. 이 경우 잠열은 TL1 과  TS1사이에서 온도에 따라 선형으로 제거된다.

그러나 많은 실제 재질중에 잠열의 방출은 온도의 선형함수가 아니다. 이 경우 잠열은 온도의 표로 나타난 함수로 정의될 수 있다. 이는 비에너지 대 온도든가 고상율대 온도의 형태로 될 수 있다.

주철응고 모델은 표를 이용한 입력이 모델내에 가능하지만 자체의 잠열방출 디폴트 거동을 갖는다[CS11].

단지 유체1만이 액상/고상 또는 고상/고상 상변화를 겪을 수 있다. 응고와 액화 모두 허용된다. [CS11]. 응고수축은 활성화될 수 있는 별도의 선택이다(응고 참조).

에너지 대 온도관계에서 불연속성을 뜻하는 TS1 = TL1를 가질 수있다.

 

Macro-Segregation Model / 조대편석

조대편석 모델은상변화, 액/고상간의 확산 그리고 액체금속내 대류에 의한 2원 합금 구성의 전개를 기술한다. 액 고상혼합 성분Cm을 위한 이송방정식은

          (10.24)

이며

여기서

  • Cl Cs 는 액상과 고상 성분이며
  • Dl Ds 는 액상과 고상 상태에서의 질량 확산계수이다.

구성은 단위금속 체적당 용질질량으로 또는 중량 퍼센트로 기술될 수 있다. 이 식에서 고상은 계산영역 내에서 정지하고 있다고 가정된다.

혼합구성 Cm 는 액상과 고상성분을 유한체적상에서 평균함으로써 얻어진다. Cl Cs 가 유한체적 내에서 상수라고 가정함으로써 지렛대 법칙을 사용하여 다음과 같이 된다.

Cm = (1 − fs)Cl + fsCs                                                                                                               (10.25)

Cs = PCOEF · Cl                                                                                                                     (10.26)

를 가지며

여기서

  • PCOEF 는 분할 계수[Fle74]
  • PCOEF 는 상수이므로 상태도의 액상 고상선은 직선들이다.

          (10.27)

          (10.28)

여기서 TS1 와 TL1 는 C = CSTAR 에서의 액상과 고상온도이다. 유한체적 내의 구성과 온도가 알려지면 그 때에 고상율은 식(10.25), (10.26), (10.27) 와 (10.28) 를 이용하여 계산된다.

          (10.29)

공정반응은 상태도에 포함되어 있다. 공정반응에서 상변화는 등온적으로 공정온도 T = TEUT 에서 진행한다. 그리고 고상 주조에서의 공정 질량율은

          (10.30)

성분변화에 의한 액체금속 밀도 변화는 액체 혼합밀도에 대한 선형식을 이용하여 고려된다.

ρl = ρ0 [1 − CEXF1(Cm − CSTAR)]          (10.31)

여기서 ρ0 는 구성 C = CSTAR 에서의 액체 밀도이며

            (10.32)

구성이 중량의 백분율로 정의되면

          (10.33)

구성이 단위체적당 질량으로 정의되면:  ρ1 ρ2 는 각기 용매와 용질의 밀도이다.

액체 금속밀도는 또한 부력 흐름에서 기술되는 바와 같이 온도 의존항을 포함한다. 마지막으로 액/고체 혼합밀도는 식 (10.31) 과 고상밀도 RHOFS 의 직접 평균으로 계산된다.

ρ = (1 − fs)ρl + fs · RHOFS                                                                    (10.34)

 

Thermal Diffusion and Sources / 열확산 및 소스

두 개의 확산 과정이 위식에 포함되어 있다: 난류확산 I 를 위한 하나(RIDIF)와 열전도를 위한 다른 하나(TDIF) 다. 이 항들은 다음과 같이 정의된다.

          (10.35)

          (10.36)

계수 υI 는 cIµ/ρ 와 같고 여기서 cI 는 역의 난류 Prandtl 수이다. 열전도항에서 열전도도 k 는 직접 지정되거나 Prandtl 수 CT 가 지정될 수 있는데 이 경우 전도도는 k = µCv/CT 이다. 2 유체 문제에서 각 유체의 전도도는 지역적 유체 체적율 F 에 의해 가중된다.

식 (10.21) 의 우편의 마지막 항 RISOR 은 에너지 소스항이다. 소스는 질량소스RSOR, 고체벽에서 열전달 작용과 연관될 수 있고, 유체 내의 분포된 열소스 또는 점성가열과 연관될 수도있다. 벽 열전달의 자세한 논의는 벽열전달(Wall Heat Transfer) 에서 주어진다. 점성 가열항은

        (10.37)

여기서

  • eij 는 변형율 텐서의 성분이다.

 

[FLOW-3D 이론] Fluid Interfaces and Free-Surfaces / 유체경계면과 자유표면

Fluid Interfaces and Free-Surfaces / 유체경계면과 자유표면

유체 형상은 유체제척(VOF) 함수 F (x, y, z, t)로 정의된다[HN81]. 이 함수는 단위체적당 유체 1 의 체적을 나타내며 다음식을 만족한다.

          (10.19)

여기서

          (10.20)

확산계수는 νF = cFµ/ρ 로 정의되며 cF 는 이의 역수가 가끔 난류 Schmidt 수로 불리는 상수이다. 이 확산 항은 단지 두 유체의 분포가 F 함수로 정의되는 난류 혼합에 대해서만 의미가 있다.

FSOR 항은 식(10.1) 의 밀도소스 RSOR 에 해당한다: FSOR 는 유체1의 질량소스와 관련된 유체1의 체적율의 시간에 대한 변화율이다.

F 의 설명은 해석되는 문제의 형태에 달려있다. 비압축 문제는 자유표면을 가지는 단일 유체든지 자유표면이 없는 2 유체를 포함한다. 단일유체에서 F 는 유체가 차지하는 체적율을 나타낸다. 그러므로 F=1인 지역에서는 유체가 존재하고 F=0인 지역은 공간지역에 해당한다. “Voids” 는 유체질량이 없고 균일한 압력을 가지는 지역이다. 물리적으로 이들은 밀도가 유체밀도에 비해 아주 작은 기포나 기체가 차있는 지역을 뜻한다.

두가지 유체 문제는 두개의 비압축성유체나 1압축성과 1비압축성 유체로 이루어져 있다. F 는 각 경우에 유체 1로 불리는 비압축성 유체의 체적율을 나타낸다. 체적율의 보완지역1 − F 는 유체 2를나타내고 일정밀도를 가지거나, 밀도가  압축유체 상태방정식으로부터 계산된다.

[FLOW-3D 이론] Momentum Equations / 운동량방정식

Momentum Equations / 운동량방정식

3좌표방향의 유체속도성분(u, v, w) 에대한 운동 방정식은 약간의 추가항을 가지는 Navier-Stokes 방정식이다.

          (10.9)

이 방정식들에서

  • (Gx, Gy, Gz) 는 물체가속도,
  • (fx, fy, fz) 는 점성가속도,
  • (bx, by, bz)는 다공매질이나 다공배플면을 지날때의 유동손실이고 마지막항은 형상요소에의해 표현되는 소스에서의 질량주입을 고려한다.

식(10.9) 의항 Uw = (uw,vw,ww) 은 소스성분의속도이며 General Moving Objects Model 에서의 질량소스에 대해서는 일반적으로 0이 아니다.

Us = (us,vs,ws) 는 소스자체에 상대적인 소스표 면에서유체의 속도이다.이는 다음과같이 각 유한체적에서 계산된다.

          (10.10)

여기서

  • dQ 는 질량유량
  • ρQ 는 유체소스밀도
  • dA 는 셀(cell) 내 소스 표면의 면적이며,
  • n 은 표면에서의 외부법선. 식(10.9) 에서 d = 0.0 일 때 소스는 정체압력 형태이다. d = 1.0이면 소스는 정압력 형태이다.

정체압력 소스에서 유체는 0의 속도로 영역 내로 진입한다고 가정된다. 결과적으로 유체를 소스로부터 밀어내기 위해 압력이 증가되어야 한다. 이런 소스는 로켓이나 바람이 빠지는 풍선의 하단에서나오는 유체를 모델링하도록 주어져 있다. 일반적으로 정체압력소스는 나오는 유체의 운동량이 로켓 엔진같이 소스 요소에서 생성될 때 같은 경우에 적용된다.

정압 소스에서 유체속도는 질량유량과 소스의 표면적으로부터 계산된다. 이 경우 소스로부터 유체를 밀어내기 위해 다른 추가 압력이 필요하지 않다. 이런 소스의 예제는 긴 일자형의 파이프로부터 나오는 유체이다. 이 경우 유체운동량은 소스로부터 먼곳에서 생성된다는 점에 주목한다. 이 두 질량 형태의 차이는 소스 요소 상에 작용하는 유체의 힘이 정확하게 계산되어야 할 때 중요하다. 이는 결합운동을하는 GMO components 같은 경우이다. 정압 또는 정체압력 물성은 음의 질량소스, 즉 싱크에는 적용되지 않는다는 점에 주목하라.

가변  동적점도 µ 에 대해 점도가속도는

          (10.11)

여기서

          (10.12)

 

Wall-Shear Stress / 벽전단응력

위의 식에서 wsx, wsy wsz 항들은 벽 전단응력이다. 이 항들이 생략되면 나머지 항들은 벽에서 사라지는 유동면적분율 (Ax, Ay, Az)를 가지므로 벽전단응력이 없다. 벽응력은 유동과 접한 부분의 면적에 0의 접선속도를 가정하여 모델링된다. 망과 이동 물체경계는 이들에서 0이 아닌 접선속도를 지정할 수 있으므로 예외이다. 이 경우 허용된 경계 운동은 표면에 평행한 경계의 강체의 병진운동이다. 난류유동에서는 벽법칙 속도 분포도가 벽근처에서 가정되는데 이는벽전 단응력 크기를 보정한다. 이의 더 자세한 내용은 Turbulence Models 에서 충분히 기술된다.

 

Viscosity Evaluation / 점도평가

동적점도 µ 는 1 또는 2유체문제에서 각 유체에 대해 일정 분자점도 값으로 주어진다. 혼합물을 포함하는 망 셀에서 점도는 상수들의 체적가중 평균으로 평가된다. 단일 유체 모델에서 유체는 두 성분인 각기 자체 밀도 및 점도로 되어있다. 이 경우 혼합 유체 점도는 두 상수의 체적가중 평균으로 평가된다. 더구나 유체점도는 부분 응고된 유체(Solidification참조)의 고상율의 함수일 수 있다.

난류선택이 사용되면 점도는 분자 및 난류값의 합이다. 비뉴튼 유체에서 점도는 변형율 및/또는 온도의 함수일 수 있다. “Carreau” 모델에 근거한 일반적 식이 변형율에 의존하는 점도에 대해 FLOW-3D 에서 사용된다.

          (10.13)

여기서

          (10.14)

          (10.15)

그리고

  • eij 는 데카르트 텐서 표시의 유체변형율
  • µ, µ0, λ00, λ0, λ1, λ2, n, a, b, 와 c 는 상수들
  • T*는 기준 온도
  • T 는 유체온도

식(10.13) 와 Eq. (10.15) 의 표현은 다음 상응하는 표에 의해 입력변수로 지정될 수 있다. T* 와 상수 b는 온도의 차원을 갖는다. 또한 온도의존 점도는 심지어 전단 의존이 없을 때 도 정의될 수 있다.

µ0 = MU1 a = MUTMP1 λ00 = MUC00 T* = TSTAR
µ= MUC3 b = MUTMP2 λ0 = MUC0 n = MUC2
c = MUTMP3 λ1 = MUC1
λ2 = MUC4

변형율 의존 점도에서, 주변수는  로 정의되는 변형율 크기이다.

같은 변수가 모사중에 Strain rate magnitude 로 출력된다. 또한 점도 µ가0이면 점성응력은 계산되지 않는다. 더구나 벽전단응력 평가는 입력 데이터 파일에서 사용자에 의해 기능이 꺼질 수있다.

점도는 별도의 서브루틴 (mucal)에서 평가되므로 사용자는 다른 비뉴튼과 온도 의존 점성 모델에 대해 사용자 정의하는 것을 상대적으로 쉽게 할 수 있다.

 

Baffle Flow Losses / 배플유동손실

다공 배플판을 통과시 유동손실은 다음 형태(즉, x-방향에서)를 갖는다

(KBAF1 · u + 0.5 · KBAF2 · u|u|)          (10.16)

여기서

  • KBAF1는 속도차원의 입력상수
  • KBAF2 는 무차원 입력상수
  • PBAF 는 배플다공
  • L 은 손실이 일어나는 길이
  • u 는 다공 배플 내의 미세유체속도

미세속도(umicroscopic) 와 체적속도(ubulk)를 구별하는 것이 중요하며, 이들의 관련식은 umicroscopic = PBAFubulk 이다. 미세속도는 유동 식 (10.1) 와 (10.9)에서 계산되며 2D 와 3D 그림으로 보여질 수있다.

길이 L 은 배플 어느 한 쪽에 위치한 압력값들 간의 거리에 상응하게 지정된다. 일정유속 u에대해 이 형태는 격자 간격에 상관없이 배플을지나면서 확실하게 고정압력저하 ∆p 를 발생시킨다.

p = ρ · (KBAF1 · u + 0.5 · KBAF2 · u|u|)                                                      (10.17)

y z 방향 손실은 상응하는 방향으로의 속도와 길이에서 유사하게 정의된다. KBAF1 와 KBAF2 가 0이면 유동손실 계산은 일어나지 않는다.

 

Non-Inertial Reference Frame Motion비관성기준계운동

예를들면 움직이는 용기 내 유체 슬로싱에 응용하기 위해서는 일반 비관성가속도 식을 가지는 운동방정식으로 수정하는 것이 유용하다. 변위 r 에서 속도 u 를 가지고 움직이는 유체요소의 이런 가속도식은 다음과 같다.

G = g − {+ Ω˙ × (r R) + × u + Ω × [Ω × (r R)]}                                        (10.18)

이 식에서, g 는 상수 중력 가속도이고,  관성기준계[Bat83]에  대한 망 좌표계 내 점  R 의 병진가속도이다.

Eq. (10.18) is easily derived from Eq. (10.31) in Reference [Bat83] by a translation of origins.

식 (10.18) 은 원점을 이동시켜 참고[Bat83] 에 있는 식 (10.31) 으로부터 쉽게 유도할 수 있다.

백터 R 을포함하는 것은 R 이 종종 물체의 질량중심으로 택해지는 강체에 적용하는데 유용하다. 이것이 선택되고 다른 외부의 힘이 시스템에 작용하지 않으면 그때에 U˙ 는 0이다. 가끔 물체 고정(망) 좌표의 원점은 중력중심이고 이 경우 R = 0 이다. 사용자는 상수의 중력가속도를 g 항 또는 U항을 통한 시간의존 병진가속도를 통하여 지정할 수 있다.

마지막 선택 또는 더 일반적인 가속도를 사용하기 위해 사용자는 이 목적을위해 보존된 서브루틴(motion)에서 U˙, Ω Ω˙ 의 양들을 지정하여야 한다. 더구나 이 양들은 격자좌표계(즉, 물체에 고정된 계)로 표현되어야 한다. 데카르트 또는 원통좌표계가 사용되던지에 상관없이 데카르트 좌표계로 지정되어야 한다. 원통좌표계에서 가속도는 자동적으로 적절한 지역성분으로 변환된다. 유체가 겪는 지역 가속도 성분은 자동적으로 프로그램에 의해 식 (10.18)을 통해 9개의 기준계 운동 성분으로부터 계산된다. 이는 완전한 일반 방정식이며 사용자가 아무런 조치를 할 필요가 없다.

특별한 경우에 사용자는 각 새로운 응용을 위해 서브루틴 motion 을 제공해야 한다. motion의 표준버전은 입력 데이터를 통해 제한된 수의 경우를 다룰 수 있다. 이는 임펄스를 포함한 가속도 성분의 조화편차(harmonic variations)와  표 지정을 포함한다.

비관성기준계의 또다른 특별한 경우는 FLOW-3D의 결합된 강체역학 모델에서 다루어진다. 이 모델은 계산기준계가 들어있는 강체의 운동을 위해 역학방정식을 해석한다. 이 모델의 사용은 입력변수를 통해 물체에 의해 또는 두 서브루틴 rbctrl rbenvr 의 수정에 의한 조절 및 환경 힘 과 토크의 지정을 포함한다. 자세한 설명을 원하면 Coupled Rigid Body Dynamics을 참고하라

See also:

  • Non-Inertial Reference Frame notation
  • Rigid Body Dynamics Algorithm for Non-Inertial Reference Frame Model
  • Non-Inertial Reference Frame Motion equations
  • Rigid Body Dynamics for Non-Inertial Reference Frame
  • Non-inertial reference frame application example: Centrifugal Casting
  • Gravity
  • Impulsive Motion of Non-inertial Reference Frame
  • Non-Inertial Reference Frame Motion
  • Smooth Tabular Motion

[FLOW-3D 이론] Mass Continuity Equation and Its Variations / 질량연속 방정식 및 그 변형

Mass Continuity Equation and Its Variations / 질량연속 방정식 및 그 변형

일반 질량 연속 방정식은

          (10.1)

이며 여기서

  • VF 는 유동에 열린 체적율
  • ρ 는 유체밀도
  • RDIF 는 난류소산항이며
  • RSOR 는 질량소스이다.

속도성분(u, v, w) 은 좌표방향 (x, y, z) 또는 (r, RSOR, z)을 따른다. Ax 는 x-방향 유동에 열린 면적율이고 Ay  와  Az 는 각기 y z 방향의 유동을 위한 면적율이다. 계수 R 은 다음과 같이 좌표계의 선택에 의존한다. 원통좌표계가 사용될 때 y미분은 방위각 미분으로 변환되어야한다.

           (10.2)

변환은 다음 등가식을 이용하여 수행된다.

          (10.3)

여기서

  • yrmθ 이며
  • rm 은 고정 기준반경이다.

식(10.3) 에 의해 주어진 변환은 이 수행이 원래 데카르트 좌표계 방정식의 각 y 미분에 단지 승수 R = rm/r 만을 필요로 하므로 특히 편리하다.

식 (10.1) 우편의 첫째 항은 난류 확산항 이며,

          (10.4)

여기서

  • 계수 υρSc µ/ρ 와 같으며 여기서 µ 는 운동량 확산 계수(즉, 점도)이며
  • Sc 는 역수가 보통 난류 Schmidt 수로 불리는 상수이다.
  • 이런 형태의 질량확산은 단지 불균일 밀도를 가지는 유체 내의 난류 혼합과정에 대해서만 의미가 있다.

식 (10.1) 우편의 마지막 항 RSOR 는, 예를 들면, 다공물체 표면을통해 질량 주입을 할 수 있는 밀도소스 항이다.

압축성 유동문제는 식 (10.1)에서 서술된 바와 같이 완전 밀도 이송방정식의 해를 필요로 한다. 비압축성 유체에 대해 ρ 는 일정하며 식 (10.1)은 비압축 조건으로 줄여진다.

          (10.5)

음압파의 전파가 중요하지만 그렇지않다면 유체가 비압축성으로 고려되는 문제들에서  밀도의 시간에 대한 변화는 다음과 같이 근사되며,

          (10.6)

여기서

  • c2 는 음속의 제곱이며
  • p 는 압력이다.

이 근사는 다음범위에서 유효하다

          (10.7)

이 근사로 수정된 연속방정식은

          (10.8)

가 된다.

[FLOW-3D 이론] Coordinate Systems / 좌표계

Coordinate Systems / 좌표계

해석되어야 할 미분방정식은 데카르트 좌표계 (x, y, z)로 쓰여있다. 원통형(r, θ, z) 좌표계에서 x-좌표는 반경방향으로 정의되고 y-좌표는 방위각, θ, 으로 변환되며 z 는 축 좌표이다. 원통형 형상에 대해서 추가항이 데카르트 운동방정식에 더해져야 한다. 이항들은 계수 ξ 를 포함하는데 ξ = 0 이면 직교좌표계, 반면에 ξ = 1 이면 원통좌표계에 상응한다.

모든 방정식은 면적과 체적 다공함수로 공식화 되어있다. Fractional Area/Volume Obstacle Representation Method [HS85] 이며 FAVORTM 라고 불리는 이 공식은 복잡한 형상을 모델링하는 데 이용된다.

예를들면, 다공 체적이 없는 지역은 물체를 정의하는데 이용되며 면적 다공은 얇은 다공 배플을 모델링하는데 이용된다. 또한 다공함수는 자유표면 및 벽경계조건을 지정을 쉽게 해준다.

일반적으로, FLOW-3D 에서 면적과 체적율은 시간에 의존하지않는다. 그러나 이 양들은 이동하는 물체 모델이 사용될 때 시간에 따라 변할 수 있다.

[FLOW-3D 이론] Theory Overview / 이론 개요

Theory Overview / 이론 개요

FLOW-3D 는 일반적인 목적의 전산유체역학(CFD) 소프트웨어이다. 다양한 규모 및 물리적 유동현상에 대한 시간 및 3차원 해를 얻기위해 유체의 운동방정식의 해를 구하는  특별히 개발된 수치기법을 이용하고 있다. 일련의 물리 및 수치적 선택을 통해 다양한 종류의 유체유동 및 열전달 현상에 FLOW-3D를 적용할 수 있다.

유체운동은 비선형, 과도형의 2차 미분방정식으로 기술된다. 유체 운동방정식이 이 방정식을 풀기 위해 이용되어야 한다. 이런 방법을 개발하는 과학(그리고 가끔 예술)을 전산유체역학 (computational fluid dynamics) 라고 부른다. 이런 방정식들의 수치해는 대수표현식을 가지는 각 항들을 근사하는 것을 수반한다. 이렇게 얻어진 방정식들은 원래 방정식에의 근사해를 내도록 풀어진다. 이 과정을 (전산) 모사라고 부르며 이용 가능한 수치해석 알고리즘의 개요는 운동방정식 설명 다음 절에 있다.

전형적으로, 수치모델은 계산 망(computational mesh), 또는 격자(grid)를 가지고 시작한다. 이는 수많은 서로 연결된 요소 또는 셀로 이루어져 있다. 이 셀들은 물리적 공간을 각 체적에 관련된 대여섯 개의 교점을 가지는 작은 체적으로 잘게 나눈다. 이 교점들은 압력, 온도 및 속도 같은 미지수의 값을 저장하는데 이용된다. 망은 실질적으로 원래의 물리적 공간을 대체하는 수치적 공간이다. 이는 각 이산 지역에서의 유동변수들을 정의하고, 경계조건을 지정하는 그리고 물론 유동 운동방정식의 수치근사를 전개하는 수단이다. FLOW-3D 접근법은 유체영역을 직교셀 또는 가끔 벽돌요소라고 불리는 격자로 작게 나누는 것이다.

계산격자는 실질적으로 물리적공간을 이산화시킨다. 각 유체변수는 한 망 안에서 이산점에서의 일련의 값으로 나타내진다. 실제적인 물리적 변수들은 공간 내에서 연속적으로 변하므로 각 교점사이의 간격이 작은 망이 성긴 간격의 망보다 더 실제에 가까운 표현을한다. 이때에 수치근사의 근본적인 성질에 도달한다: 어떤 유효한 수치근사는 격자 간격이 작을수록 원래 방정식에 가까워 진다. 근사가 이 조건을 만족시키지 않으면 이는 부정확하다고 여겨짐에 틀림이 없다.

같은 물리적 공간에서 격자 간격을 줄이는 것은, 또는 잘게 나누는 것은, 더 많은 요소 및 교점들을 수반하고 결과적으로 수치모델의 크기를 증가시킨다. 그러나 유체유동과 열전달의 물리적 현실과 달리 모사하는 엔지니어들에게는 적정한한 크기의 격자를 선택하게 만드는 설계 사이클, 컴퓨터 성능 및 제품개발 시간표에 맞춰야 하는 현실적인 문제가 있다. 사용자가 정확한 해답을 얻는 것과 이런 제약을 만족시키는 것과의 절충에 도달하는 것이 CFD 모델 자체 개발만큼이나 예술적인 균형잡기이다.

직교 격자는 규칙적인 또는 구조적(structured) 성질로 인해 생성하고 저장하기 쉽다. 불균일한 격자간격은 복잡한 유동영역을 격자화 할 때 융통성이 있게 한다. 계산 셀들은 세 색인을 이용하고 연속적으로 숫자가 매겨진다: x-방향으로 i, y -방향으로 j, 그리고 z-방향으로 k. 이런식으로 3차원 격자 내의 각 셀은 물리적 공간에서의 한 점의 좌표와 유사하게 고유한 주소(i, j, k)로 식별될 수 있다.

구조화된 직교격자 사용 시에 수치 방법 개발이 상대적으로 쉬운 부가적인 편리성이 따르며 원래의 물리적 문제에 대한 관계들에 대한 상대적인 수치 방식의 투명성, 그리고 마지막으로 수치해의 정확성과 안전성이 따르게 된다. 유한차분(finite difference) 유한체적(finite volume) 방법에 근거한 가장 오래된 수치 알고리즘은 원래 이런 격자들에 대해 개발되었다. 이들은 FLOW-3D 의 수치해석 접근에 근간을 이룬다. 유한 차분법은 Taylor 전개 성질과 미분 도함수 정의의 간단한 응용에 의거한다. 미분방정식의 수치해를 얻기 위해 적용된 가장 오래된 방법이며 이의 응용은 1768년에 처음으로 Euler에 의해 개발되었다고 여겨진다. 유한 체적법은 직접적으로 유체운동의 보존에 대한 적분형태로 유도되므로 자연적으로 보존 성질을 지닌다.

FLOW-3D는 일반유체방정식의 다른 극한 경우들에 상응하는 대여섯 가지의 형태로 작동될 수 있다. 예를들면 한 형태는 압축유동인 반면에 다른 경우는 순수 비압축 유동일 수 도있다. 후자의 경우 유체밀도와 에너지는 일정하다고 가정될 수 있어 별도 계산될 필요가 없다. 추가로 1 유체 및 2 유체의 방식이 있다. 자유표면은 1유체 비압축성 방식에 포함된다. 이런 작동형태는 운동 지배방정식의 다른 선택에 따른다.

자유수면이 FLOW-3D로 해석하는 많은 종류의 모사에 존재한다. 어떤 계산환경에서 자유표면을 모델링 한다는 것은 밀도, 속도, 압력 같은 유동변수와 재료물성이 자유 표면에서 불연속이기 때문에 쉽지 않은 도전이다. FLOW-3D 에서 액체에 인접한 기체의 관성은 무시되고 기체가 차지하는 체적은 질량이 없는 빈 공간으로 대체되며 단지 균일 압력과 온도만을 가진다. 이런 접근은 대부분의 경우에 상세한 기체운동이 훨씬 더 무거운 액체의 운동에 상대적으로 중요하지 않으므로 계산 노력을 감소시키는 장점이 있다. 자유표면은 액체의 외부경계 중의 하나가 된다. 자유표면에서 경계조건의 적절한 정의가 자유표면 역학을 정확한 해석하기 위해 중요하다.

FLOW-3D에서는 이 목적을 위해 Volume of Fluid (VOF) 방법을 이용한다. 이는 세 가지의 주 요소로 이루어져 있다: 유체체적함수의 정의, VOF 이송방정식을 해석하는 방법 그리고 자유표면에서 경계조건을 지정하는 방법.

약간의 물리적 및 수치모델은 예제를 포함하여 Flow Science’s Technical Notes: http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp 에서 더 상세히 기술되어 있다.

[FLOW-3D 이론] Vaporization Residue 기화 잔류

1유체 문제에서 자유표면상의 유체는 상변화 모델이 사용되면 기화하거나 응축할 수있다. 이는 경계면의 기체쪽이 일정 압력이거나 균일 기포지역일 때 유효하다. 유체가 하나 또는 그 이상의 용질을 가지면 용질의 농도는 액체의 증감에 따라 변해야 한다. 일반적으로 용질은 액체의 기화에 따라 더 농축된다.

기화 또는 응축 경우에 유체와 관련된 임의의 스칼라농도는 상변화에 의해 변화된 농도를 가질 것이다. 한 표면요소가 액체로 반보다 적게 차있으면 농축지역이 표면요소 두께의 반에 해당할 정도로 농도변화가 바로 인접한 표면 요소로 퍼질 것이다.

충분히 기화가 발생하여 용질농도가 충분히 높으면 표면막이 생기거나 액체가 완전히 기화하면 잔류물이 고체표면에 형성될 수도있다. 이것이 FLOW-3D 에서 모사되기 위해 잔류모델이 선택되어야 한다. 이 모델의 활성화는 일단 농도가 사용자 지정된 최대 패킹 밀도보다 높으면 용질이 고정 잔류물을 생성하게끔 한다. 하나 이상의 용질이 존재하면 잔류모델은 잔류에 기여하는 모든 용질 전체를 기록할 것이다.

[FLOW-3D 이론] Auxiliary Model/Bubble and Void Region Models / 기포 및 공간지역모델

Bubble and Void Region Models

액체 및 기체 둘 다 존재하는 유동의 많은 계산들은 “자유표면유동”으로 이상화될 수 있다. 이런 형태의 유동은 기체를 균일압력과 온도를 가지는 지역으로 간주하여 해석되는데 이로써 기체의 역학을 해석할 필요가 없어진다. 자유표면 계산에서 FLOW-3D 는 유체가 차지하는지역의 유체 분율이 0이 아닌 것으로 인식한다. 자유표면 계산은 유체분율이 0인지역이 존재해야 한다. 이런 각 지역은 “공간지역”(또는 가끔 “기포”)로 불린다. 공간지역들은 서로가 유체셀, 물체 또는 배플 등에 의해 분리되어 있을 수 있다. 이런 지역들은 물리적으로 기체에 의해 차지된 체적들을 나타낸다. VOF 해석 알고리즘은 이런 지역에서의 기체의 역학을 해석하지 않는다; 대신에 균일 압력지역으로 처리하며 이는 보통 탁월한 근사이다. 압력은 액체/기체 경계면에서 경계조건으로 이용된다.

공간영역에 대한 압력(그리고 아마 온도)의 평가는 공간 지역 모델에 달려있다. FLOW-3D 에서 사용되는 4가지 공간 지역 모델은:

  • Fixed Pressure Regions (고정압력지역)
  • Cavitation Regions  (캐비테이션 지역)
  • Adiabatic Bubbles (단열 기포)
  • Homogeneous Bubbles (동질 기포)

어떤 계산은 다른 지역에 따라 다른 모델을 사용하거나 또는 심지어 같은 지역에서도 시간에 따라 다른 모델을 이용할 수 가있다.

각 연결된 지역에서의 단일압력 사용은 주변의 비압축 유체의 형상의 변화에 따른 속도보다 음파가 훨씬 짧은 시간에 전파한다고 추정한다. 그러나 이 가정은 충분히 많은 관심 문제들에 정확히 사용될 수 있다.

망 경계에 부딪히는기포는 경계조건에 의해 영향을 받을 수 있다. 예를들면 고정압력 경계에 인접한 임의의 공간지역은 체적변화, 합체나 분해에 상관없이 자동적으로 기술된 경계압력을 취한다. 고정압력 경계에 인접한 공간지역은 엔탈피가 증가(또는 감소)할 것이다. 유동이 계산영역으로 들어오면 엔탈피 증가가 지정 경계조건으로부터 계산된다. 출구 경계라면 나가고 있는 기포 내의 앤탈피이다. 참고[NH80]는 이 기포 모델에 대한 이론 근거를 기술한다.

 

Constant Pressure Void Regions 일정압력공간지역

유체와 기체의 밀도가 상당히 다를 때 기체 내의 작은 압력변화와 기체의 관성은 유체의 그것들에 비해 무시될 수있다. 예를들면 물과 공기 밀도의 비는 약 1000이다. 이 경우 각 공간지역은 균일 압력지역으로 간주될 수 있다. FLOW-3D 에서 이런 유동은 자유표면으로 간주되는 기체 경계를 가지는 1유체모델로 기술된다.

더욱이 기체가 체적 변화(즉, 압축이나 팽창)를 겪지 않으면 공간지역의 압력은 시간에 대해 일정하다고 가정될 수 있다. 예를들면 일정한 압력 공간영역 모델은 기체가 대기압 하의 공기일 경우 같은 개수로의 경우에 대해 잘 적용된다. 또 다른 예제는 사형 내로의 금속액체의 충진인데 여기서도 사형의 다공은 사형 내의 공기가 갇히지 않고 빠져나가는 것을 보장해준다.

공간이 특정 압력 경계와 연결되어 있으면 이때 공간은 시간의 함수로 지정될 수 있는 그 경계에서 지정된 압력을 가지는 것으로 가정된다.

 

Homogeneous Bubble Model 동질기포모델

이 절에서는 비단열 상태에서의 질량과 에너지 변화를 추가한 단열 기포 모델의 확장형을 기술한다(사용자 사이트http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp에서 FSI기술노트 #57 를 참고하라). 고체-공간 열전달은 한 기포내의 가스와 기포에 노출된 고체 간의 열교환을 제공한다. 기포 표면에서의 상변화에 따른 질량과 에너지 교환은 기포 기체가 액체 기포로 이루어진 것 같은 경우에 포함될 수 있다.

동질기포는 FLOW-3D에서 사용하는 액체 열역학적 성질과 일치하는 단순하고 강력한 공식을 갖는다. 이 모델은 Homogeneous Bubble(동질기포) 모델이라고 불린다. 이런 명명은 기포 내의 기체의 압력과 온도는 공간적으로 일정하다(즉, 균일하다)는 사실을 강조하나 시간에 따라 변할 수 있다. 한 계산에서 각기 고유한 온도와 압력을 가지는 많은 이런 기포가 있을 수 있다.

기포 상태방정식은 이상기체 방정식이다.

p = (\gamma - 1)\rho C_v^{\rm{vap}}T

여기에서

  • p는 기포압력
  • ρ는 기체밀도
  • Cvvap는 기포의 일정체적에서의 비열이고
  • T는 절대 기포 온도이다.
  • γ는 기체비열의 비율이다(Variable Pressure Void참조).

기포의 기체상수는 \left( {\gamma - 1} \right)C_V^{\rm{vap}}와 같다는 것에 주목한다.

기포에서 질량이나 에너지소스가 없다면 이는 마치 초기 상태(p0, V0) 에서 새 상태(p,V ) 로 다음 상태식에 따라 변하며 단열 과정 같이 거동할 것이다.

p = {p_0}{\left( {\frac{V_0}{V}} \right)^\gamma }

상변화가 일어날 때 기포의 포화압력을 온도의 항으로 표현하는 해석적 관계식을 아는 것이 필요하다. FLOW-3D 에서 이 디폴트 관계식은 온도 T의 함수로 Psat 를 표현하는 Clapeyron 방정식이다.

{p^{\rm{sat}}} = {\rm{PV1}} \cdot \exp \left[ {\frac{{ - \left( {\frac{1}{T} - \frac{1}{{\rm{TV1}}}} \right)}}{{\rm{TVEXP}}}} \right]

여기서,

(PV1, TV1) 는 포화곡선 상의 한점이며

TVEXP 는 다음으로 주어지는 상수의 지수이다

{\rm{TVEXP}} = \frac{(\gamma - 1)C_v^{\rm{vap}}}{\rm{CLHV1}}

여기서 CLHV1는 기화 변환열(잠열)이다.

상변화율은 일반적으로 포화조건으로부터의 편차를 측정하는 어떤 것에 비례하는 것으로 모델링된다. 운동이론에 따른 일반식은

\mathbf{Net} \: \mathbf{mass} \: \mathbf{transfer} = \sqrt {\frac{M}{{2\pi R}}} \left( {{a_{\rm{vap}}}\frac{{{P_l}^{\rm{sat}}}}{{\sqrt {{T_l}} }} - {a_{\rm{con}}}\frac{{{P_v}}}{{\sqrt {{T_v}} }}} \right)

여기서

  • M 은 기포의 분자중량
  • R 은 기포기체상수
  • T 는 온도이며
  • 아래 첨자 l v 는액체와 기체 상태를 뜻한다.
  • Tl. Pl 에 있는 위첨자 sat 는 액체온도 Tl 에 상응하는포화압력을 가리킨다.
  • 마지막으로 계수avap acon는 각기 기화와 응축을 위한 “적응계수“이다

이 식의 근원은 질량유속(예를들면, 액체면에서의 응축)이 표면상에서의 분자의 국부적인 속도와 기포밀도에 비례해야 한다는 것이다. Maxwellian 속도 분포를 가정하면[PP76], 표면으로의 지역 속도는 다음과 같다.

{u_{\rm{in}}} = \sqrt {\frac{{RT}}{{2\pi }}}

이 결과를 기포 상태방정식과 결합하면 질량 전달식(10.48) 에서의 두 번째항(응축)이 나타난다. 기화항도 유사하게 유도된다. 즉 적응계수 즉 acon 은 액체 표면에 부딪히는 기포분자가 잡히는 확률이다. 이 해석에 따라 적응계수는 일반적으로 1보다 작거나 같을 수 있다.

기화와 응축 적응계수는 같다고 흔히 가정되나 이래야 되는이론적 근거는 없다. 더구나 이 값들에 대한 이론적 예측도 없다. 이 식은 액체로부터의 기체로의 “순수” 질량전달이라는 점을 주목할 필요가 있다. 순수 질량 교환 없이 에너지를 전달하는 액체와 기체 사이의 분자교환의 가능성에 대해 전혀 언급하지 않는다. 현재 목적을 위해 상변화율을 다음과 같이 단순화하기로 하였다.

\mathbf{Net} \: \mathbf{mass} \: \mathbf{transfer} = {\rm{RSIZE}}\sqrt {\frac{M}{{2\pi R{T_{\rm{bdy}}}}}} (P_l^{\rm{sat}} - {P_v})

여기서 RSIZE 는 순수” 적응계수” 이고 Tbdy 는 기포면을 따른 평균 액체온도이다.

 

Cavitating Void Regions 공동성 기포지역

공동성 기포지역은 지역의 압력이 입계치 Pcav 보다 작아질 때 유체에 발생한다. 공동 기포성장율을 모사하는데2개의 모델의 선택이있다: Simplified 모델과 Empirical 모델 (자세한 내용은 Cavitation and Bubble Formation (Nucleation)를 참조하라).

단순 모델에서 공동 초기 생성율은 입력변수 CAVRT 에 의해 조절될 수 있다; 지역 유체 압력이 입계치 Pcav 보다 작아지는 셀 내에서 유체분율은 CAVRT 시간 후에 셀의 1%가 공동이 되도록 줄어든다. CAVRT 가 지정되지 않으면 그 때는 5∆t 가 시간 간격으로 사용된다.

경험적 모델에서 공동 초기생성율은 생성소산항의 균형에의해 조절된다. 공동 생성은 지역 압력이Pcav 보다 작아지는 셀에서발생한다; 이 비율은 다음에의해 결정된다:

Cav_{\text{production}} = C_p \frac{E_{\text{turb}}}{\sigma} \rho_l \sqrt{ \left[ \frac{2}{3} \frac{P_{\rm{cav}}-P}{\rho_l} \right] } \left( 1 - f_{\rm{cav}} \right)

여기서 Cp공동 생성 계수, Eturb 는 난류 운동에너지(또는 난류모델이 사용되지 않으면 전체 운동에너지의 10%), σ 표면 장력 계수, Pcav 는 지정된 공동 압력, P 는 전체 유체압력, 그리고 fcav 는 계산셀 내의 공동의 질량율이다. 이 항은 P < Pcav 인 셀에서만 0이 아니다는 점에 주목한다.

공동소산은 지역압력이 Pcav 이상인 셀 내에서 생긴다; 이 비율은 다음과 같이 결정된다..

Cav_{\text{dissipation}} = C_d \frac{E_{\text{turb}}}{\sigma} \frac{{\rho_l}^2}{\rho_{\rm{cav}}} \sqrt{ \left[ \frac{2}{3} \frac{P - P_{\rm{cav}}}{\rho_l} \right] } f_{\rm{cav}}

여기서 Cd 공동 소산 계수이다. 이 항은 P > Pcav 인 셀에서만 0이아니며 양수의 공동 체적율이있을 때만 관련이있다(즉 공동체적율은 음수일수가없다.).

공동 체적율을 위한 이송방정식에 더해지면 Vcav 는 다음과 같다.

\frac{D V_{\rm{cav}}}{D t} = Cav_{\text{production}} - Cav_{\text{dissipation}}

선택된 모델에 상관없이 새 공동지역이 발생하면 이는 공동압력과 같은 압력을 가지는 고정 압력 기포로 처리된다. 공동 압력은 고정변수이며 현재 온도에 의존하지 않는다.

한 계산에서 공동 기포는 다른 형태의 공동지역과 같이 존재할 수있다.

 

Variable Pressure Void Regions 가변 압력 기포 지역

 

기체 체적이 닫힌 공간에 갇혀 있는 경우에 기체 압력은 더 이상 상수일 수가 없다. 예로써, 물밑에서 올라오는 공기방울은 가변압력을 가질 수 있다.

FLOW-3D 는 비압축 1유체 형태에서 하나 또는 그 이상의 기포지역을 기술할 수 있다. 기포모델은 PV γ 가 상수인 팽창 또는 압축의 등엔트로피 모델을 이용하여 공간 지역 내의 각 기포 내의 압력 P 을 평가한다. 여기서 γ 는 보통 비열의 비율 γ = Cp/CV 로 정의되는 등엔트로피 지수이다.

엄격히 말해서 이 기포압력 모델은 가역 단열 변화가 일어나는 기포지역이 이상기체로 거동할 경우에만 유효하다.

기포지역은 단순한 압축과 팽창 외에 더 복잡하게 거동할 수 있다. 이들은 부서지거나 합쳐지고 격자 경계에서 질량과 에너지를 주거나 받을 수 있다. 이런 모든 과정은 FLOW-3D 에서 기포압력 모델에 의해 근사화 된다. 합쳐진 기포의 압력은 이전의 각 기포의 압력의 체적 가중에 의해 결정된다. 부서진 기포는 이전 압력을가지는 새 기포를 생성한다. 이런 과정은 일정 PV γ 조건을 위반하는데 이는 단지 시간에대해 불연속적으로 발생하므로 축적된 에러는 작게 유지된다고 예상된다.

한 기포가 부서지지도 합쳐지지도 않으면 PV γ 관계는 새 압력을 결정한다.

[FLOW-3D 이론] Bubble and Void Region Models / 기포 및 공간지역모델

Bubble and Void Region Models

액체 및 기체 둘 다 존재하는 유동의 많은 계산들은 “자유표면유동”으로 이상화될 수 있다. 이런 형태의 유동은 기체를 균일압력과 온도를 가지는 지역으로 간주하여 해석되는데 이로써 기체의 역학을 해석할 필요가 없어진다. 자유표면 계산에서 FLOW-3D 는 유체가 차지하는지역의 유체 분율이 0이 아닌 것으로 인식한다. 자유표면 계산은 유체분율이 0인지역이 존재해야 한다. 이런 각 지역은 “공간지역”(또는 가끔 “기포”)로 불린다. 공간지역들은 서로가 유체셀, 물체 또는 배플 등에 의해 분리되어 있을 수 있다. 이런 지역들은 물리적으로 기체에 의해 차지된 체적들을 나타낸다. VOF 해석 알고리즘은 이런 지역에서의 기체의 역학을 해석하지 않는다; 대신에 균일 압력지역으로 처리하며 이는 보통 탁월한 근사이다. 압력은 액체/기체 경계면에서 경계조건으로 이용된다.

공간영역에 대한 압력(그리고 아마 온도)의 평가는 공간 지역 모델에 달려있다. FLOW-3D 에서 사용되는 4가지 공간 지역 모델은:

  • Fixed Pressure Regions (고정압력지역)
  • Cavitation Regions  (캐비테이션 지역)
  • Adiabatic Bubbles (단열 기포)
  • Homogeneous Bubbles (동질 기포)

어떤 계산은 다른 지역에 따라 다른 모델을 사용하거나 또는 심지어 같은 지역에서도 시간에 따라 다른 모델을 이용할 수 가있다.

각 연결된 지역에서의 단일압력 사용은 주변의 비압축 유체의 형상의 변화에 따른 속도보다 음파가 훨씬 짧은 시간에 전파한다고 추정한다. 그러나 이 가정은 충분히 많은 관심 문제들에 정확히 사용될 수 있다.

망 경계에 부딪히는기포는 경계조건에 의해 영향을 받을 수 있다. 예를들면 고정압력 경계에 인접한 임의의 공간지역은 체적변화, 합체나 분해에 상관없이 자동적으로 기술된 경계압력을 취한다. 고정압력 경계에 인접한 공간지역은 엔탈피가 증가(또는 감소)할 것이다. 유동이 계산영역으로 들어오면 엔탈피 증가가 지정 경계조건으로부터 계산된다. 출구 경계라면 나가고 있는 기포 내의 앤탈피이다. 참고[NH80]는 이 기포 모델에 대한 이론 근거를 기술한다.

 

Constant Pressure Void Regions 일정압력공간지역

유체와 기체의 밀도가 상당히 다를 때 기체 내의 작은 압력변화와 기체의 관성은 유체의 그것들에 비해 무시될 수있다. 예를들면 물과 공기 밀도의 비는 약 1000이다. 이 경우 각 공간지역은 균일 압력지역으로 간주될 수 있다. FLOW-3D 에서 이런 유동은 자유표면으로 간주되는 기체 경계를 가지는 1유체모델로 기술된다.

더욱이 기체가 체적 변화(즉, 압축이나 팽창)를 겪지 않으면 공간지역의 압력은 시간에 대해 일정하다고 가정될 수 있다. 예를들면 일정한 압력 공간영역 모델은 기체가 대기압 하의 공기일 경우 같은 개수로의 경우에 대해 잘 적용된다. 또 다른 예제는 사형 내로의 금속액체의 충진인데 여기서도 사형의 다공은 사형 내의 공기가 갇히지 않고 빠져나가는 것을 보장해준다.

공간이 특정 압력 경계와 연결되어 있으면 이때 공간은 시간의 함수로 지정될 수 있는 그 경계에서 지정된 압력을 가지는 것으로 가정된다.

 

Homogeneous Bubble Model 동질기포모델

이 절에서는 비단열 상태에서의 질량과 에너지 변화를 추가한 단열 기포 모델의 확장형을 기술한다(사용자 사이트http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp에서 FSI기술노트 #57 를 참고하라). 고체-공간 열전달은 한 기포내의 가스와 기포에 노출된 고체 간의 열교환을 제공한다. 기포 표면에서의 상변화에 따른 질량과 에너지 교환은 기포 기체가 액체 기포로 이루어진 것 같은 경우에 포함될 수 있다.

동질기포는 FLOW-3D에서 사용하는 액체 열역학적 성질과 일치하는 단순하고 강력한 공식을 갖는다. 이 모델은 Homogeneous Bubble(동질기포) 모델이라고 불린다. 이런 명명은 기포 내의 기체의 압력과 온도는 공간적으로 일정하다(즉, 균일하다)는 사실을 강조하나 시간에 따라 변할 수 있다. 한 계산에서 각기 고유한 온도와 압력을 가지는 많은 이런 기포가 있을 수 있다.

기포 상태방정식은 이상기체 방정식이다.

(44)p = (\gamma - 1)\rho C_v^{\rm{vap}}T

여기에서

  • p는 기포압력
  • ρ는 기체밀도
  • Cvvap는 기포의 일정체적에서의 비열이고
  • T는 절대 기포 온도이다.
  • γ는 기체비열의 비율이다(Variable Pressure Void참조).

기포의 기체상수는 \left( {\gamma - 1} \right)C_V^{\rm{vap}}와 같다는 것에 주목한다.

기포에서 질량이나 에너지소스가 없다면 이는 마치 초기 상태(p0, V0) 에서 새 상태(p,V ) 로 다음 상태식에 따라 변하며 단열 과정 같이 거동할 것이다.

(45)p = {p_0}{\left( {\frac{V_0}{V}} \right)^\gamma }

상변화가 일어날 때 기포의 포화압력을 온도의 항으로 표현하는 해석적 관계식을 아는 것이 필요하다. FLOW-3D 에서 이 디폴트 관계식은 온도 T의 함수로 Psat 를 표현하는 Clapeyron 방정식이다.

(46){p^{\rm{sat}}} = {\rm{PV1}} \cdot \exp \left[ {\frac{{ - \left( {\frac{1}{T} - \frac{1}{{\rm{TV1}}}} \right)}}{{\rm{TVEXP}}}} \right]

여기서,

(PV1, TV1) 는 포화곡선 상의 한점이며

TVEXP 는 다음으로 주어지는 상수의 지수이다

(47){\rm{TVEXP}} = \frac{(\gamma - 1)C_v^{\rm{vap}}}{\rm{CLHV1}}

여기서 CLHV1는 기화 변환열(잠열)이다.

상변화율은 일반적으로 포화조건으로부터의 편차를 측정하는 어떤 것에 비례하는 것으로 모델링된다. 운동이론에 따른 일반식은

(48)\mathbf{Net} \: \mathbf{mass} \: \mathbf{transfer} = \sqrt {\frac{M}{{2\pi R}}} \left( {{a_{\rm{vap}}}\frac{{{P_l}^{\rm{sat}}}}{{\sqrt {{T_l}} }} - {a_{\rm{con}}}\frac{{{P_v}}}{{\sqrt {{T_v}} }}} \right)

여기서

  • M 은 기포의 분자중량
  • R 은 기포기체상수
  • T 는 온도이며
  • 아래 첨자 l v 는액체와 기체 상태를 뜻한다.
  • Tl. Pl 에 있는 위첨자 sat 는 액체온도 Tl 에 상응하는포화압력을 가리킨다.
  • 마지막으로 계수avap acon는 각기 기화와 응축을 위한 “적응계수“이다

이 식의 근원은 질량유속(예를들면, 액체면에서의 응축)이 표면상에서의 분자의 국부적인 속도와 기포밀도에 비례해야 한다는 것이다. Maxwellian 속도 분포를 가정하면[PP76], 표면으로의 지역 속도는 다음과 같다.

(49){u_{\rm{in}}} = \sqrt {\frac{{RT}}{{2\pi }}}

이 결과를 기포 상태방정식과 결합하면 질량 전달식(10.48) 에서의 두 번째항(응축)이 나타난다. 기화항도 유사하게 유도된다. 즉 적응계수 즉 acon 은 액체 표면에 부딪히는 기포분자가 잡히는 확률이다. 이 해석에 따라 적응계수는 일반적으로 1보다 작거나 같을 수 있다.

기화와 응축 적응계수는 같다고 흔히 가정되나 이래야 되는이론적 근거는 없다. 더구나 이 값들에 대한 이론적 예측도 없다. 이 식은 액체로부터의 기체로의 “순수” 질량전달이라는 점을 주목할 필요가 있다. 순수 질량 교환 없이 에너지를 전달하는 액체와 기체 사이의 분자교환의 가능성에 대해 전혀 언급하지 않는다. 현재 목적을 위해 상변화율을 다음과 같이 단순화하기로 하였다.

(50)\mathbf{Net} \: \mathbf{mass} \: \mathbf{transfer} = {\rm{RSIZE}}\sqrt {\frac{M}{{2\pi R{T_{\rm{bdy}}}}}} (P_l^{\rm{sat}} - {P_v})

여기서 RSIZE 는 순수” 적응계수” 이고 Tbdy 는 기포면을 따른 평균 액체온도이다.

 

Cavitating Void Regions 공동성 기포지역

공동성 기포지역은 지역의 압력이 입계치 Pcav 보다 작아질 때 유체에 발생한다. 공동 기포성장율을 모사하는데2개의 모델의 선택이있다: Simplified 모델과 Empirical 모델 (자세한 내용은 Cavitation and Bubble Formation (Nucleation)를 참조하라).

단순 모델에서 공동 초기 생성율은 입력변수 CAVRT 에 의해 조절될 수 있다; 지역 유체 압력이 입계치 Pcav 보다 작아지는 셀 내에서 유체분율은 CAVRT 시간 후에 셀의 1%가 공동이 되도록 줄어든다. CAVRT 가 지정되지 않으면 그 때는 5∆t 가 시간 간격으로 사용된다.

경험적 모델에서 공동 초기생성율은 생성소산항의 균형에의해 조절된다. 공동 생성은 지역 압력이Pcav 보다 작아지는 셀에서발생한다; 이 비율은 다음에의해 결정된다:

Cav_{\text{production}} = C_p \frac{E_{\text{turb}}}{\sigma} \rho_l \sqrt{ \left[ \frac{2}{3} \frac{P_{\rm{cav}}-P}{\rho_l} \right] } \left( 1 - f_{\rm{cav}} \right)

여기서 Cp공동 생성 계수, Eturb 는 난류 운동에너지(또는 난류모델이 사용되지 않으면 전체 운동에너지의 10%), σ 표면 장력 계수, Pcav 는 지정된 공동 압력, P 는 전체 유체압력, 그리고 fcav 는 계산셀 내의 공동의 질량율이다. 이 항은 P < Pcav 인 셀에서만 0이 아니다는 점에 주목한다.

공동소산은 지역압력이 Pcav 이상인 셀 내에서 생긴다; 이 비율은 다음과 같이 결정된다..

Cav_{\text{dissipation}} = C_d \frac{E_{\text{turb}}}{\sigma} \frac{{\rho_l}^2}{\rho_{\rm{cav}}} \sqrt{ \left[ \frac{2}{3} \frac{P - P_{\rm{cav}}}{\rho_l} \right] } f_{\rm{cav}}

 

여기서 Cd 공동 소산 계수이다. 이 항은 P > Pcav 인 셀에서만 0이아니며 양수의 공동 체적율이있을 때만 관련이있다(즉 공동체적율은 음수일수가없다.).

공동 체적율을 위한 이송방정식에 더해지면 Vcav 는 다음과 같다.

\frac{D V_{\rm{cav}}}{D t} = Cav_{\text{production}} - Cav_{\text{dissipation}}

선택된 모델에 상관없이 새 공동지역이 발생하면 이는 공동압력과 같은 압력을 가지는 고정 압력 기포로 처리된다. 공동 압력은 고정변수이며 현재 온도에 의존하지 않는다.

한 계산에서 공동 기포는 다른 형태의 공동지역과 같이 존재할 수있다.

 

Variable Pressure Void Regions 가변 압력 기포 지역

 

기체 체적이 닫힌 공간에 갇혀 있는 경우에 기체 압력은 더 이상 상수일 수가 없다. 예로써, 물밑에서 올라오는 공기방울은 가변압력을 가질 수 있다.

FLOW-3D 는 비압축 1유체 형태에서 하나 또는 그 이상의 기포지역을 기술할 수 있다. 기포모델은 PV γ 가 상수인 팽창 또는 압축의 등엔트로피 모델을 이용하여 공간 지역 내의 각 기포 내의 압력 P 을 평가한다. 여기서 γ 는 보통 비열의 비율 γ = Cp/CV 로 정의되는 등엔트로피 지수이다.

 

엄격히 말해서 이 기포압력 모델은 가역 단열 변화가 일어나는 기포지역이 이상기체로 거동할 경우에만 유효하다.

기포지역은 단순한 압축과 팽창 외에 더 복잡하게 거동할 수 있다. 이들은 부서지거나 합쳐지고 격자 경계에서 질량과 에너지를 주거나 받을 수 있다. 이런 모든 과정은 FLOW-3D 에서 기포압력 모델에 의해 근사화 된다. 합쳐진 기포의 압력은 이전의 각 기포의 압력의 체적 가중에 의해 결정된다. 부서진 기포는 이전 압력을가지는 새 기포를 생성한다. 이런 과정은 일정 PV γ 조건을 위반하는데 이는 단지 시간에대해 불연속적으로 발생하므로 축적된 에러는 작게 유지된다고 예상된다.

한 기포가 부서지지도 합쳐지지도 않으면 PV γ 관계는 새 압력을 결정한다.

[FLOW-3D 이론] Wall Heat Transfer / 벽 열전달

10.3.24 Wall Heat Transfer 열전달

에너지 이송방정식 선택을 사용하여 수행된 계산에서FLOW-3D는 유체와 열 구조물이라불리는 구조물질간의 열전달을 허용한다. 유체 계산은 완전 비압축성이거나 거의 비압축성 또는 압축성 유동일 수 있다. 열구조물은 내부 물체이거나 계산 망 경계에 있는 벽일 수 있다. 2차원 배플을 통한 열전달 또한 허용된다.

열전달모델은 사용자에게 유연성을 주기 위한 많은 선택을 가지고 있다. 유동은 열전달에 의해 발생하는 부력에 의해 좌우되거나 그렇지 않을 수 있다. FLOW-3D는 알려진 온도, 지정된 열유속, 또는 지정된 내부 파워소스를 가지는 경계로부터의 열전달을 계산한다. 각기 고유의 온도/열유속량/파워소스를 가지는 다수의 구조물이 있을 수있다.

2유체 문제에서 혼합물의 내부에너지 방정식,(10.21) 과 (10.23)이 소스(또는 싱크) 항이 혼합에너지에 추가되도록 사용된다. 이 항은 하기에 기술된 바와 같이 유체와 벽사이의 열전달로부터 평가된다. 이 소스는 동일한 유체온도를 가지도록 하는 방식으로 두 유체 사이에 나누어진다.

Energy Source Terms / 에너지 소스항

에너지 소스항의 평가는 다수의 구조물을 포함하여야 한다. 임의의 계산 망 셀에서 하나 이상의 구조물이 있을 수 있으며 이 경우 소스가 각 기여의 합이어야 한다. 각각의 기여는 각 구조클에대한 특정 선택에 의해 결정된다. 이 소스항은 직접적으로 사용자에 의해 시간 종속 단위시간당 에너지(파워)로 지정되거나 또는 열구조물과 유체온도로부터 계산될 수 있다.

한 구조물에 대한 지정된 순 열유동량은 열 구조물 표면상의 균일한 열유속을 가정함으로써 지역 열 유동량으로 전환될 수 있다. 선택적으로 열유속은 열구조물의 습윤면에 균일할 수 있다. 이는

      (10.300)

형태의 계산망 셀에 대한 에너지 소스율을 발생시키며

여기서

  • WA, QT , 와 AT는 각기 고려하고있는 열구조물의 셀내의 표면적, 전체 구조물 열유동량 그리고 열구조물 표면적을 뜻한다.
  • QT는 시간종속 양으로써 사용자에 의해 지정될 수 있다.

열구조물의 벽온도가 알려져 있으면(지정되거나 계산된 값으로) FLOW-3D는 지역 에너지 소스율을

q = hWA(Tw T)                                                                          (10.301)

로서 평가하며,

여기서 유체로의 열전달계수h는 사용자가 지정하거나 밑에 기술된바와 같이 지역조건에 따른 상관 관계함수로부터 평가될 수 있다. 식(10.301)에서T는 유체표면온도, WA는 열구조물 표면적 그리고Tw는 열구조물(즉, 물체나 벽) 표면온도이다.

열구조물 표면온도Tw는 전도방정식(Diffusion Processes에서 기술된 바와 같이)으로부터 동적으로 계산된 시간종속 양이거나 집중변수식

   (10.302)

으로부터 평가될 수있으며

여기서 합계는 구조물과 연결된 모든 셀상에서 이루어지며, POW는 지정된 구조물에 대한 시간종속 파워이고MwCw는 구조물 전체의 열용량(질량x비열)이다. 에너지 소스항q은 식(10.301)으로부터 계산된다.

 

Surface Area Evaluation / 표면적 평가

각 유체망내 셀의 열표면적은 자동적으로 열구조물의 형상으로부터FLOW-3D에 의해 평가된다. 그러나 사용자가 지정하는 표면조도는 유효 열 전달율을 증가 또는 감소시키기 위해 형상 면적에 승수인자로 사용될 수 있다. 예를들어 조도가 0이면 열구조물 계산을 완전히 배제하는데 이는 단열 경계에서 유용하다. ROBS는 물체 표면 조도를 그리고RWALL은 벽 격자경계를 정의하는데 이용된다. 별도의 조도변수ROUGH는 마찰 조도를 정의하는데 이용될 수 있다(Prandtl Mixing Length Model참조).

경계는 반드시 한 망 좌표 평면에 있으므로 각 망 셀내의 올바른 형상 표면적이 쉽게 망 경계에서 계산된다. 반면에 물체경계는 망 셀을 절개할 수도 있다. 이 경우 표면적은 표면이 국소적으로 평평하다고 가정하여 추정된다. 이는 또한FLOW-3D내의 면적 과 체적율 계산방식과 일치한다. 이 때에 결과는 나중 계산에 사용되는 실제면적을 얻기 위해 조도에 의해 곱해진다.

열구조물의 전체 표면적은 모든 망 셀 표면적을 합함으로써 평가된다. 유한한 해상도 때문에 계산된 값은 물체의 실제 형상 표면적과 정확하게 일치하지 않을 수 있다. FLOW-3D는 사용자가 입력을 통해 알려진 전체 면적을 지정함으로써 계산면적을 재정규화하도록 한다. 이는 정확한 결과를 위해 전체면적이 중요한 고려사항이 되는 경우에 정확한 전체표면적을 확실하게 해준다.

Fluid/Obstacle Heat Transfer Coefficient 유체/고체 열전달계수

불연속적 표면과 내부경계를 포함하여 유동변수가 급격한 구배를 가지는 지역을 해결하기 위해 주의를 기울여야 한다. 예를들면VOF방식은 계산 망 셀 내의 자유표면 경계를 해결하고 셀 내부의 유체의 양과 표면의 방향에따라 경계조건을 지정하게끔 해준다[HN81]. 또다른 예제는 망 셀내의 물체 표면을 기술하는FAVORTM방식을 사용하는것이다[HS85]. FAVORTM방식은 또한FLOW-3D에서 유체/물체 표면 경계면 열유속을 계산하는데 이용된다.

셀 중심에서의 온도는 유한 체적 평균된 유체와 물체의 열함유량을 나타내며 이는 식(10.301) 에서 사용된 경계면 온도와 상당히 다를 수 있다. 그러므로 경계면에서의 유속을 계산하기 위해 셀 중심온도를 사용하는 것은 옳지 않을 수 있다. FLOW-3D에서 셀 절점과 금속/몰드 경계면의 위치 사이의 온도의 선형보간이 경계면에서의 금속과 몰드의 온도를 얻기 위해 이용된다[Gol50]. 이때 이 온도들은 경계에서의 열유속을 계산하기 위해 이용된다. 식(10.301). 경계면의 근사적 위치와 방향은 면적과 체적분율로부터 평가될 수 있다.

경계면 온도는 경계면과 경계면에 수직인 방향에서 가장 가까운 셀 절점과의 온도의 선형보간을 가정하여 얻어진다. 이 과정은 경계면의 각 편에 있는 두 온도 절점 사이의 유효 열전달계수heff를 나타내는데,

      (10.303)

여기서:

  • 1/h 는 경계면(사용자 정의)의 열저항 이고
  • k1 k2는 유체와 물체의 열전도 계수이며,
  • a1 a2는 각기 물체와 유체내의 가장 가까운 셀 절점들로부터 경계까지의 가장 가까운 거리들이다.

식(10.303)은 순수 열전달이 유체, 물체 그리고 경계면중에서 열저항이 가장 작은 것에의해 제한 된다는 것을 의미한다. 유체와 물체 에너지 방정식내의 열전도 항은 부분적으로 막힌 셀들에서 온도구배를 더 정확하게 고려하기 위해 또한 경계셀에서 수정된다. 2유체 문제에서 혼합물의 열전달계수는 각 유체의 국소적 체적율에 대한 무게 가중으로 계산되며,

heff = F · heff1 + (1 − F) · heff2                                                                                                  (10.304)

여기서F는 유체분율이고heff1 heff2는 식(10.303)에 의해 계산되는데 식의h는 각기 유체 1 과 2의 열전달계수로 치환된다.

열전달계수가 사용자에 의해 주어지지 않으면 이는 평판상의 유동에 대한 단순한 해석적 또는 경험적 표현을 이용하여FLOW-3D에 의해 평가된다. 각 유한 체적내 벽 가까이 유동 조건은 다음 물리적 상황 중의 하나에 상관관계를 가지게 된다: 자연대류, 강제 층류및 난류 대류, 유체내의 전도. 이 때 열전달계수는 가장 가까운 상황에 의거하여 유도된다. 이로 인한 각 유한체적 내 결과적h 값이 벽과 셀의 열린 체적의 중심사이의 유체층내 열전달 조건을 반영한다고 이해하는 것이 중요하다. 실제 유체/물체 경계면의 열 저항은 0으로 가정된다.

이 절의 논의에서 열전달 계수는 사용자에 의해 명확히 지정되든지 아니면 디폴트에 의하던지에 상관없이 항상 유한체적내에서 조절되는것으로보여진다. 특정 열전달 계수값이 더 이상 조정없이 유체와 물체 온도 절점사이에 사용되어야 한다면 사용자는 양의 열전달 계수와 양인 물체길이 규모 변수OBSL를 정의해야 한다.

열전달계수h로 식(10.305)에서 나타난 두 물질, 즉, 유체와 벽, 간의 접촉경계의 열저항은 주로 조도나 틈이 있다면 틈의 크기가 같은 두 물질의 표면 물성의 함수이다. 주조응용에서는 온도와 고상율의 함수일 수도있다. FLOW-3D에서 후자는 열전달계수와 고상율Fs의 선형관계를 통해 고려된다. :

h = Fs · HOBS1S(n) + (1 − Fs) · HOBS1(n)      (10.305)

여기서

  • HOBS1(n)는 액체금속에서의 사용자 정의된 열전달계수,
  • HOBS1S(n)는 고체금속에서의 사용자 정의된 열전달계수이며,
  • n는 이 계수들에의해 기술된 요소 번호

전형적으로 HOBS1S(n)는 액체금속이 고체금속보다 벽과 더 나은 접촉을 하므로 HOBS1(n)보다 훨씬 작다.

 

Baffle Heat Transfer / 배플 열전달

배플을 통과시 열전달은 열구조물 통과시와 상당히 다르다. 배플은 두께가 없어 열용량이 없으므로 열전달율은 배플 양쪽의 순간온도에 의존한다.

다공도PBAF 를 가지는 배플의 한면이 유체 셀N M을 분리하고 있다고 가정하자. 유체셀M의 에너지 소스(싱크)율은

qM = (1 − PBAF) · HBFT · (TN TM)

에 의해 평가된다.

유효 열전달계수HBFT는 전기저항 유사성인

(10.306)

        (10.307)

에의해 근사되며, 여기서 HN은 ,예를들면, 셀에 대한 2유체 체적중량 평균값
HN = (1 − FN) · HBAF2 + FN · HBAF1 (10.308)

이며, 여기서HBAF2 와HBAF1는 사용자가 제공하는 열전달 계수들이다. 이 계수들은 어떤 열전도 손실 뿐만아니라 대류도 고려하여야 한다. 둘다 0이면 배플간의 열전달은 없다.

 

Heat Transfer to Void Regions 공간지역으로의 열전달

유체및 물체는 열을 공간지역으로

qV = hV WV (TV T)                                                                        (10.309)

에 따라 전달하는데

여기서:

  • hV는 (일정) 열전달계수,
  • WV는 열전달 면적,
  • TV는 공간지역 온도이며
  • T는 유체나 물체의 온도이다. 각 공간은 다르지만 일정한 온도T를 갖는다.

열전달계수는 유체/공간 대류나 복사 열손실은 갖는 열전달에 대해 지정될 수 있다. 유사하게, 두 열전달 계수는 물체/공간 열전달로 지정되어도 된다. 또 다른 열전달계수는 배플에 의해 분리된 유체와 공간 간의 열교환에 대해 지정될 수도 있다. 복사는 단지 복사체 온도의 4승과 공간 온도의 4승의 차이에 비례하는 복사율로써 모델링되고 있다. 이 모델은 온도가Kelvin으로 정의됨을 가정한다.

 

Heat Transfer to Cooling Channels / 냉각 채널로의 열전달

FLOW-3D는 냉각채널을 특수지역으로 모델한다. 채널 내의 유체유동이 직접 외재적으로 모델링 되지않지만 대신에 물리적인 영향이 열전달 계수와 복사 표면의 온도를 이용하여 근사적으로 모델된다. 물체는 냉각채널로 열을

qcc = hccWcc(Tcc T)                                                                        (10.310)

에 따라 전달하며,

여기서

  • hcc는 열전달 계수
  • Wcc는 열전달표면적
  • Tcc는냉각채널온도이며
  • T는 물체온도이다

[FLOW-3D 이론] Turbulence Models / 난류모델

Turbulence Models 난류모델

난류란 안정화시키려는 점성력이 불충분할 때 발생하는 불안정하고 혼란한 운동이다. 높은Reynolds수에서 유동 내에서 발생하는 자연적 불안정성은 감쇠되지 않고 여러 크기의 와류를 생성으로 나타난다. 이 거동은 쉽게 수도꼭지에서 나오는 유동에서 또는 자유표면상에서 보이는 줄무늬 같이 빨리 움직이는 흐름에서 볼 수 있다. 매일 출퇴근시 자동차 주변에서 회전하는 잘 보이지 않는 난류 와류도 있다. 난류는 또한 공업 과정에서 중요하다: 고압 주조충진시 거의 모든 중간 내지 대규모의 유동 과정이 그렇듯이 확실히 난류가 발생한다.

간단히 말하면 난류는 우리 주변 모든 곳에 있고 유동모델 수치해석에서 무시될 수 없다. 이상적으로 질량 과 모멘텀방정식을 이용하여 난류 변동의 모든 면을 모사할수있을 것이다. 이는 이런 상세내용을 다 포착하기 위한 격자 해상도가 존재할 때만 가능하다. 그러나 이는 컴퓨터 메모리와 진행 시간제약으로 인해 일반적으로 가능하지 않다. 그러므로 우리는 평균 유동특성에서의 난류효과를 기술하는 단순화된 모델링에 의존한다.

FLOW-3D에서 6가지의 난류모델이 이용 가능하다: the Prandtl mixing length 모델, the one-equation, the two equation k ε, RNG,  k ω 모델들, 그리고  large eddy simulation, LES, 모델이 그것이다. 그러나 우리의 공식화 과정은 방법의 영향을 포함하고 부력과 관련된 난류 생성(또는 붕괴)을 일반화 했다는 점에서 다른 공식화 과정과 다르다. 후자의 일반화는 예를 들면 비관성 가속과 연관된 부력효과를 포함한다.

 

Turbulence Transport Models / 난류이송모델

방정식 난류 이송모델은 유동내의 난류속도 변동과 연관된 비운동에너지(난류운동에너지)의 이송방정식으로 이루어지고

   (10.268)

여기서u, v, w는 혼돈된 난류 변동과 연관된 유체속도의x−, y−, z성분이다. 이는 다음 난류강도에 해당하며

여기서K는 식(10.269)에서 정의된 질량가중 평균 운동에너지이고 ∀는 영역내 전체체적을 나타낸다.

    (10.269)

kT에대한 이송방정식은 난류 운동 에너지의 대류와확산, 전단과 부력효과에 의한 난류에너지의 생성, 난류 와류내의 점성손실에 의한 확산 과 소멸을 포함한다. 부력생성은 유동내의 불균일한 밀도가 존재할 경우에만 발생하며 중력과 비관성 가속도의 효과를 포함한다. 이송방정식은:

+ DiffkT εT                        (10.270)

여기서VF , Ax, Ay, 와 AzFLOW-3D의FAVORTM함수이고, PT 는 난류운동에너지 생산이다:

   (10.271)

where:여기서

  •  CSPRO 는 난류변수이며 디폴트값은 1.0이고,
  • R ξMass Continuity Equation section에서 이미 기술되어 있고 원통좌표계(사용된다면)와 연결되어 있다. 부력 생성항은

   (10.272)

여기서

  • µ는 분자동적점성
  • ρ는 유체밀도
  • P는압력이고
  • CRHO는 디폴트가 0인 또 다른 난류변수이나 열부력 유동문제에서는 약 2.5로 선택되어야 한다. 확산항은

   (10.273)

 

여기서υkkT의 확산계수이며 난류점도의 지역 값에 의거하여 계산된다. 사용자 정의 변수RMTKE는 난류 확산계수(이의 디폴트값은 1.0이다)를 계산하기 위해 사용되는 점도의 승수이다.

1방정식에서의 난류에너지소산율εT은 난류운동에너지kT와 관련되어있다:

   (10.274)

여기서

  • CNU는 변수(디폴트로 0.09),
  • kT는 난류운동에너지
  • TLEN는 난류 길이규모

이는 혼합길이에 근거한 공식과 일치한다. 이 경우에 디폴트로FLOW-3D는 가장 작은 영역크기의 7%로TLEN값을 선택한다; 그러나, 이 값은 대신에 유동의 특성 길이인 수리 직경[ShojaeeFardB07]의 7% 의 값을 취하는것으로 권장된다. 파이프 유동에서 수리직경은 파이프의 내경에 해당한다. 흐름의 유동에서는 흐름의 깊이이다.

더 정교하고 널리쓰이는 모델은 난류에너지kT와 난류 소산εT, 소위 말하는k ε모델[HN67]의 두 이송방정식으로 구성되어서 식(10.274) 의 필요성(유입경계나 거의 소산εT가 거의 0인 유동지역을 제외하고) 이 없다. k ε모델은 많은 유동형태에 대해 적합한 근사를 제공하는 것으로 알려져 있다[Rod80]. 추가의 이송방정식이 난류 소산εT에 대해  해석된다:

   (10.275)

여기서CDIS1, CDIS2, 와CDIS3는 모두 무차원인 사용자 조절 가능 변수들이며k ε모델에 대한 디폴트 값은 각기1.44, 1.92 및 0.2이다. 대부분의 유동영역에서 식(10.275) 은 식(10.274)를 치환하므로 영역전체에서의TLEN의 사용자 지정 값에 대한 필요성이 줄어든다.

소산의 확산Diffε,은 다음과같다:

   (10.276)

또 다른 난류모델은Renormalization-Group (RNG) 방법 [YO86] [YS92]에의거한다. 이 접근은 통계학적 방법을 난류운동 에너지나 이의 소산율같은 난류량들에 대해 평균된 방정식의 유도에 적용한다.

RNG모델은k ε모델 방정식과 유사한 방정식을 사용한다. 그러나 표준k ε모델에서 경험적으로 인용된 방정식상수들은 RNG에서는 외재적으로 유도된다. 일반적으로RNG모델은 표준k ε모델보다 더 넓게 응용된다. 특히RNG모델은 저강도의 난류유동과 강한 전단지역을 가지는 유동을 더 정확히 기술하는것으로 알려져있다. 또한 RMTKE, CDIS1 그리고 CNU의 디폴트 값은k ε모델에서 사용된 값과 다르다; 이들은 각기1.39, 1.42 와 0.085이다. CDIS2는 난류운동 에너지(kT )와 난류생산(PT )항으로부터 계산된다.

모든 난류이송모델에서 운동학적 난류점도는

νT = CNU                                                                              (10.277)

로부터 계산되며

여기서 νT 는 난류 운동학점도이다.

2방정식k ε 와 RNG 모델 둘다 에서의 하나의 특이한 수치적 장애점은 밑에 논의되는 εT값을 제한해야 한다는 것이다. 식(10.275)은 거의 0에가까운εT의 값을 생성할 수 있으며 물리적으로는 이런 경우에 마땅히   0에 접근해야 하지만 수치문제 때문에 그렇지 않을 경우 식(10.275)에서 비물리적으로 큰νT값을 발생시킬 것이다. 이 문제를 해결하기위해εT값을 TLEN이maximum turbulent length scale인 곳보다 작지 않도록 제한해야한다. 이는 사용자에 의해 정의되거나 난류길이 규모가 자동적으로 제한될 수 있다. 이에 대한 추가 논의는 다음절에서 보여진다.

위의 각 모델은 복잡한 수준에 따라 다양한 일련의 장점들을 제공한다. kω방정식 모델도 예외가 아니다. 어떤 특정한 유동에서 이는 특히 벽경계 가까이에서나 제트나 항적같은 유선방향 압력구배를 가지는 유동에서kε 또는 RNG 모델보다 탁월하다. FLOW-3D사용자는 응용시에 가끔 이런 유동 상태를 만나게 되므로 이 난류 모델의 우수한 특성으로부터 혜택을 볼 수가 있다.

변수ω ε/k [Kol42]는 1/시간의 차원을 갖는다. k ω [Wil98]

   (10.279)

와 같이 공식화 되며, 여기서

   (10.280)

With

                          (10.281)

여기서

          (10.282)

확산항을 위한RMTKE는 1/2이다.

   (10.283)

For ω transport we have: ω이송에서:

+ CDIS3 · GT) + Diffω βωT2                    (10.283)

where α = 13/25, RMDTKE = 1/2 and  이며
with β0 = 9/125 and β = β0fβ (10.284)

           (10.285)

where:여기서

      (10.286)

ij and Sij are the mean-rotation and mean-strain-rate tensors respectively and the buoyancy term is the same as Eq. (10.272).

ij Sij는 각기 평균-회전과 평균 변형율 텐서이며 부력항은 식(10.272)와 같다.

참고로k ω모델에서ε = β*ωk νT = k/ω이다.

어느 난류 모델이라도 이의 주목적은 평균 유동량에 대한 난류 변동의 영향을 추정하기 위한 방편을 제공하는 것이다. 이 영향은 보통 평균 질량, 모멘텀 그리고 에너지이송 방정식 (10.1), (10.9) 및 (10.21)의 추가 확산 항에 의해서 표현된다. 난류는 모멘텀의 확산을 증강시키므로 이는 유효하게 점도를 증가시킨다. 동적 점성계수가 나타나는 모든 곳에서 이는 분자및 난류 점도의 합이라고 가정한다.

µ = ρ(ν + νT)                                                                             (10.287)

엄격히 말해서 이는 항상 옳지는 않지만 높은 난류 수준에서는, 즉 난류점도가 분자점도보다 훨씬 클 때는 좋은 근사치이다. 낮은 난류 수준에서는 k ε모델이 추가 수정 없이는 부정확하다.

 

Turbulent Scales / 난류 규모

난류 시간및 길이규모는 난류 운동에너지및 소산

   (10.288)

LT = CNU

으로부터 형성될 수 있다.

εT뿐만 아니라 난류점도의 식에서kTT항은 난류시간 규모로 치환된다.

FLOW-3D에서TLEN은 1 방정식 모델에서의 실제 난류 길이 규모 그리고 2방정식 모델에서는 길이 규모의 최대값의 추정을 나타내는 사용자 정의된 변수이다. 추가로 이 최대 난류길이 규모는 모사중에 자동적으로 시간과 공간의 함수로 계산될 수 있다.

동적계산이 선택되면 모델은 한정된 난류의 시간과 길이 규모를 계산한다. 한정된 난류시간 규모는

    (10.289)

   (10.290)

 

이 제한은 낮은 한도에서는 Kolmogorov규모[Pop00]에 그리고 높은 한도에서는 급격한 뒤틀림 이론에 기인한다[KL93], [Dur96].

k ω의 경우에:

   (10.291)

그리고 제약은 유사하게 적용된다.

 

Prandtl Mixing Length Model   Prandtl혼합길이모델

가장 간단한 모델인Prandtl mixing length 모델은 높은 전단지역, 예를들면 고체벽 가까이에서의 난류 혼합과정에 의해 유체점도가 증강된다고 가정된다. 그러나 이는 완전히 발달한 거의 정상상태 유동에서만 단지 적합하다. 더 일반적으로 더 잘 난류강도의 시간 및 공간 분포를 모방하기 위해 몇몇의 이송과정(즉, 대류와 확산)를 고려하는 것이 필요하다. Prandtl mixing length 모델은 난류생성과 소산이 유동내 모든 곳에서 균형을 이룬다고 가정한다:

PT + GT = εT                                                                                                                       (10.292)

where, as above,여기서, 위에서와같이,

  • PT GT는 각기 전단과 부력효과에의한 난류생성이며
  • εT는 난류소산,
  • PT GT는위와같이정의된다. 다른말로 이류, 확산 그리고 시간에대한 난류에너지의 변화율은 무시된다. 또한 난류소산은

   (10.293)

로 쓰여질 수 있다

where CNU is a parameter (0.09 by default). 여기서 CNU 는 변수(디폴트는 0.09)

Combining Eqs. (10.292) and (10.293), kT is computed in terms of TLEN and the local shear rates and pressure/density gradients. Then kT and TLEN can be used to compute the turbulent kinematic viscosity νT from

식(10.292) 와 (10.293)을 결합하면 kT는TLEN과 지역 전단율및 압력/밀도 구배의 항으로 계산된다. 이때에kT 와TLEN는 난류 동적점성도 νT

              (10.294)

로부터 계산하는데 사용될 수 있다.

이 과정은 원래의Prandtl mixing length 모델 [Rod80]의 일반화인 결과를 보여주고있다. 이러한 제한적인 과정 때문에 이 모델은 1 또는 2방정식 난류 이송모델 보다 덜 유효하다.

Large Eddy Simulation Model / 와류모사 모델

난류의 큰와류 모사(LES) 모델은 기상 모델링 노력으로부터 생겨났다. 기본 개념은 계산격자에 의해 해결될 수 있는 모든 기본 난류구조를 직접 계산하고 단지 너무 작아 해결될 수 없는 양상들만 근사화하는 것이다[Sma63]. LES모델을 이용할 때 모델은 본질적으로 3차원이고 시간 종속적이라는 점을 명심하는게 중요하다. 더구나 변동들이 유입경계면에서 초기화 및/또는 입력되어야 한다. 이는 더 많은 노력을 필요로하고 컴퓨터 계산은 그렇지 않은 경우에 필요한 것보다 더 미세한 망의 사용으로 인해 심화될수있지만LES결과는 가끔Reynolds평균에 의한 모델(즉, 이전에 언급된 모델들)에 의해 주어지는 것보다 더 많은 정보를 제공한다. 예를들면, LES모델들이 커다란 건물 주변의 난류 유동의 계산에 사용될 때 평균 바람 응력뿐만 아니라 난류 유동에 따른 힘의 변동의 크기및 표준편차의 추정을 얻을 수 있다.

LES모델에서 너무 작아서 계산할 수 없는 난류의 효과는 길이 규모와 그 규모에서의 속도변동 정도의 곱에 비례하는 와류점도에 의해 나타내진다. 더 큰 규모에서[Sma63]는 격자셀 치수의 기하학적 평균을 사용하며,        (10.295)

속도변동을 L의 크기에 평균전단 응력을 곱한 값으로 비율한다. 이런 양들은 LES동와류 점도로 결합된다

.              (10.296)

여기서c는 일반적으로 0.1과 0.2사이의 값을 가지며 eij 는 변형율 텐서성분을 표기한다.

이 운동학적 와류점도는 난류 이송모델(식(10.287))들에서 적용된 것과 똑 같은 방식으로 FLOW-3D내에서 이용되고 있는 동적 점도에 편입된다.

µ = ρ(ν + νT)                                                                             (10.297)

 

Turbulence Boundary Conditions / 난류경계조건

식(10.268) 와 (10.275)은FLOW-3D에서 사용되는 2 방정식 난류모델을 구성한다. 이 방정식들을 위한 경계조건들은 부분적으로 면적 분율을 이용하여 반영되어 있다. 예를들면 모든 이류 및 확산 유속항들은 자동적으로 개폐 면적 분율이 사라지는 고체벽에서 0이다. 자유표면에서는 표면을 통과하는 속도구배가 사라지므로 접선방향 응력은 0이다. 유입경계에서 사용자는 직접적으로 난류 운동에너지 및 소산을 지정할 수 있다. 난류 운동에너지의 값이 지정되고 소산은 지정이 안된다면, 소산의 값은 자동적으로TLEN의 값으로부터 정해질 것이다.

또한 벽경계에서의 접선응력 유동이 없으므로0이다. 그러나kT εT이송방정식에 접선 벽전단 응력에 인한 기여가 있다. 이 응력들은 층류 바닥층에서 발생하며 분자 점도와 지역속도 구배에 비례한다. 이와 같이 벽전단응력의 기여를 생산 항PT에 포함시킬 수 있다.  불행히도 이 접근이 항상 잘 작동하지는 않는다. 경계근처에서kT εT 의 값을 제대로 제한하지 못한다. 그래서 좀더 표준적인 절차(즉, 참고 [Rod80])를  따르는 데 kT εT 는 벽경계에 인접한 망위치에서 지정된다.

FAVORTM 방식은 임의의 각도를 가지는 하나의 망  셀을 통과하는 벽 경계를 고려하므로 kT εT 를 위한 적절한 경계 값의 계산은 단순한 셀 가장자리 평가 이상으로 일반화되어 있다.

FLOW-3D에서 고체벽에 의해 하나 또는 그 이상의 면들이 완전히 막히거나 부분적으로 막힌 각 망 셀에서 kT εT 의 값들이 주어진다. kT εT 의 경계값을 결정하기위해 일상적인 절차는 난류 전단 생산과 소산과정 사이의 지역 평형 및 벽법칙 속도분포를 가정한다.

난류점도의 정의 식(10.290)와 결합되어 이는 값

       (10.298)

where u* is the local shear velocity determined from the equation 이 되며, 여기서u*는 식

         (10.299)

으로부터 결정되는 지역 전단속도이며, u 는 벽에 인접하여 계산된 속도의 평행성분이다. 벽으로부터 계산된 속도의 수직거리는 d로 표기되고κ는von Karman상수이다.

FAVORTM 방식은 셀내의 벽의 위치를 정확하게 표시하지 못하므로 u, u* a와 d를 찾기 위해 근사적방법이 소개되어야한다. 이를 위해 셀에서 수직한 벽의 방향을 결정하면, 이 때 u는 셀 중심 속도의 벽에 평행한 성분으로 계산될 수 있다. 벽으로부터의 평균거리, d는 벽에 수직한 방향에서의 셀 두께의 반으로 추정된다. 즉 삼중항(δx, δy, δz)은 벡터로 간주되며 이 벡터의 벽의 법선 과의 내적은 수직방향의 셀의 폭으로 정의된다. 마지막으로u*u d의 항으로 식(10.298)으로부터 반복적으로 구해진다. 벽표면에 질량소스가 존재하면 u와 질량의 유효법선 주입속도의 곱에 해당하는 항을 u*에 더한다. 일단 이 값들이 계산되면, 식(10.297)이 원하는 경계조건을 나타내는 kT εT의 셀 중심 값을 지정하기 위해 이용된다.

[FLOW-3D 이론] Solidification Shrinkage and Porosity Models / 응고수축과 기공모델

Solidification Shrinkage and Porosity Models / 응고수축과 기공모델

FLOW-3D는 고압 주조, 중력 및 경동주조 그리고 원심 및 스퀴즈 주조같은 주조과정을 모사하는데 이용될 수 있다. 한 이러한 응용은 응고시 체적 수축을 모델하는 것인데 최종 제폼의 열악한 기계성능을 일으키는 다공결함의 흔한 원인이다. FLOW-3D는 이런 결함의 발생을 최소화하는 원가절감 과정을 설계하는데 유용한 방편을 제공한다.

응고 금속의 기공은 상변화중의 체적변화(즉, 수축)뿐만 아니라 기포의 생성의 결과이다. 수축에 의한 금속내 거시-기공을 예측하는데FLOW-3D에서 이용되는두가지 모델이 있다. 첫째는 완전한 유체방정식의 해를 구하는 것이다.  이 결과로 응고 중인 금속내의 속도와 압력의 전개가 예측될 수 있다. 그러므로 이 모델은 유체(Hydrodynamic) 또는 1차 원리[First Principles (FP)], 수축모델이라고 불린다.

연속 및 에너지방정식,(10.5) 그리고 (10.21)은 체적 소스항을 포함하도록 수정된다. 이들은 응고율 및 고체/액체 밀도차이로 정의된다. 이 모델의 근거는 물질들은 응고시에 수축하고 이는 수축에 의해 잃은 체적을 채우기 위해 주변의 액체를 끌어당기는 낮아진 압력의 형태로 물질내에 장력을 일으킨다. 주변의 액체가 제약되어 흐르지 못하면 압력은 임계값에 도달할 때까지 추가 수축으로 계속 감소할 것이다. 이때에 수축기공이 열리도록 허용된다. 이 임계 압력은 용해된 가스가 용매로부터 다시 기화해 나오는 일반압력과 연결될 수 있다.

기공형성 현상을 연구하기 위한 정확한 도구임에도 불구하고FP모델은 각 시간단계에서 수치알고리즘이 모멘텀과 에너지방정식의 완전한 해를 구하므로 계산적으로 비용이 많이 소요된다. 또한 유체유동과 관련된 여러가지의 안정기준에 의해 조절되는 시간단계의 크기는 주조시 전체 응고시간에 비해 작을 수 있다. 후자는 커다란 사형주조시 수시간씩 소요될 수 있다.

다른 단순화된 수축모델은 단지 금속과 몰드의 에너지 방정식 해에 근거한다. 이 경우에 유체 유동방정식은 해석되지 않는다. 기공은 각 시간단계에서 주조시각 고립된 액체 지역에서의 응고수축의 체적을 평가하여 예측된다. 그리고 이 체적은 유체가 제거되어야 하는 셀내 액체금속의 양에 따라 액체지역의 맨위에서 차감된다. 액체의 ”맨 위”는 중력방향에 의해 정의된다. 이러한 접근의 적합성은 많은 경우에 응고하고있는 금속내의 유체유동은 무시할 수있다는 사실에 의해 뒷받침된다. 이 경우 기공형성은 주로 금속의 냉각및 중력에의해 지배된다. 중력 에의한 액체유입은 가끔 전체 응고시간 보다 훨씬 작은 시간 규모에서 발생한다. 이모델은 단순 응고수축[Simplified Solidification Shrinkage (SSS)]모델이라고 불린다. FLOW-3D의SSS모델은 복잡한 주조물들에서의 수축의 빠른 모사를 하기위한 단순한 방편을 제공한다.

두 모델 다 기공의 진화를 포함하지않으므로 기공체적은 냉각속도와 액체/고체 밀도차이에의해 정의된다.

FLOW-3D의 수축모델의 가장 중요한 면은 응축기공이 명쾌하게 기술되므로 유체와 열유동에대한 영향이 또한 고려되어있다는 것이다. 체적확장, 즉 재용해에 의한 것은 이 모델에 포함되지 않는다.

두 수축모델 모두 응고시 및 응고하기 전 액상의 냉각동안에의 체적변화를 고려한다.

SSS(Simplified Solidification Shrinkage )모델은 또한 감마철(austenite), 공정 응고시 흑연과 탄소화합물의 전개를 기술하는Cast Iron Solidification모델과 결합될 수 있다[CS11]. 이런 상들의 전개는 밀도 그러므로 응고합금의 체적변화에 영향을 준다. 금속은 주조 응고시에 합금의 초기 탄소 및 규소의 구성및 냉각률에 따라 수축 또는 팽창할 수 있다. 냉각에 의한 액체수축도 또한 모델에 포함되어있다.

완전 유동 수축 모델은 주철 응고시 흑연과탄소의 형성에의한 밀도변화를 참작하지않는다. 대신에 이모델에서의 체적변화는 액상의 열팽창 및 수축과 액상과 고상의 밀도에 의해 정의된다.

거시기공 형성 예측을위해 설정된 수축모델에 추가로FLOW-3D는 미세기공및 미세구조 양상들의 발생을 평가하기위해 사용될 수있는 다양한 응고함수를 계산한다. 이들은:

  • 고상속도, Vs, 응고 시의 등온고상선속도
  • 응고시 열구배G
  • 응고시 냉각율R 지역 및 절대응고 시간tl and ta
  • 국부응고시간은 액상선에서 고상선까지 냉각소요시간
  • 유입 효율 색인G/tl. 이 함수는SLDCF2변수를 그림으로써 가시화될 수 있다.
  • Niyama기준함수 . 이 함수는SLDCF1변수를 그림으로써 가시화될 수 있다.
  •  기준 .이 함수는SLDCF3변수를 그림으로써 가시화될 수 있다.

[FLOW-3D 이론] Shallow Water Model / 천해모델

Shallow Water Model / 천해모델

천해유동은 수평의 규모가 수직의 규모보다 훨씬 큰유동이다. 그 예로 바다, 하구, 큰 호수,계절적 홍수,액체 코딩, 윤활막, 그리고 자동차 앞유리의 물 등의 유동이 있다.

천해유동에서 유체의 수직가속도는 무시할 정도이고 깊이 평균 등가로 모든 유동방정식 변수들을 치환할 수 있는 3차원 유동에의 좋은 근사법이다[Ped87]. 이 때 3차원 운동방정식은 천해 유동식 또는 천해 유동모델이라 불리는 수평 방향에서의 2차원식으로 축소된다. 이 모델에서 유체의 자유표면은 파동현상을 표현 할 수 있다. 불균일 수평경계(예, 경사가 있는 해변)는 순수 수평유동으로부터 약간의 편차가 있을 수 있다. 이런 의미에서 깊이 평균된 근사는 어느 정도의 3차원효과를 포함한다. 참고[Kna78], [SG69]에서 천해 방정식과 이의 고차원 개선에 관한 훌륭한 논의가 있다.

FLOW-3D에서의 천해 유동모델은 얕은 방향이z-방향이고 중력은 음의z-방향이다. 깊이 평균이 방향에서의 3차원 모멘텀 방정식에 적용될 때 이는 압력에 대한 수압 관련식으로 간소화 된다.

p = p0 + ρg(η z)                                                                         (10.256)

유체밀도ρ, 수직 중력가속도g, z = 0로부터 측정된 수위 그리고 자유표면 상의 표면 장력 효과를 포함하는 자유표면에서의 외부압력p0의 항으로.

FLOW-3D에서 천해유동은 단지 유한체적의 한수직층 내에서만 존재할 수 있다(즉, z-방향의 실제 첫째 층 셀). 자유표면을 포함하는 한 요소내 압력은 다음으로 정의되며,

p = p0 + ρgH                                                                              (10.257)

여기서H는 격자 바닥으로부터 측정된 표면수위이다. 그러므로H는 유체깊이와 물체높이의 합이며,

H = FVFδz + (1 − VF)δz                                                                    (10.258)

 

여기서δz는z방향의 셀크기, F는 유체분율 그리고 VF 는 체적율(셀내의 열려진 체적량)이다.

FAVORTM기법에서 사용되는 체적/면적 폐색이 바닥 윤곽의 높이로써 설명될 수 있다. 이렇게 할때FLOW-3D에서 사용된 모든 근사가 유한 체적의 바닥에 확실한 폐색이 있게끔 하는 것이 단지 필요하다.

3차원 모멘텀방정식에 깊이 평균을 수평방향에서 적용하면 천해모델에 대한 모멘텀방정식을 얻으며,

   (10.259)

   (10.260)

여기서u v는 각기 깊이평균x y속도이다. 식(10.259) 와 (10.260)에서 만들어진 하나의 추가 가정은 수평방향의 점성확산은 수직방향의 확선에 비해 무시할 만하다는 것이다. 식 우측의 세번째항은 수직방향의 점성확산의 깊이평균 효과를 고려하는데 이는 자유표면에서의 바람에 의한 전단 응력과 저수지 바닥에서의 전단 응력의 합에 연관되어 있다. 여기서d는 수심; τs,x τs,y는 각x y방향에서의 유체표면에서의 바람 전단응력이다. τb,x τb,y 는 각기 바닥 전단 응력의x y방향성분이다. τs,x τs,y는 2차법칙을 따르며,

   (10.261)

   (10.262)

 

여기서

  • ρa는 공기밀도,
  • CD는 일반적으로 0.003에해당하는 풍항력계수
  • W10,x W10,y는 각기 수표면10M상에서의 바람의x y속도.

식(10.262)은 풍속이 유체의 속도보다 훨씬 큰 것을가정한다.

난류유동에서 천해유동모델은FLOW-3D에 있는 어떤 난류모델도 사용하지 않는다. 대신에 바닥에서의 전단응력을 계산하기 위해 2차법칙을 사용하며,

   (10.263)

여기서CD는 항력계수이다. CD는 디폴트 값이 0.0026인 사용자 정의된 값이거나 다음 식에 의해 계산되며,

   (10.264)

where κ = 0.4 is Von Karman constant, B=0.71, z0 = ks/30, ks is surface roughness.

여기서κ = 0.4는Von Karman상수이고, B=0.71, z0 = ks/30, ks는 표면조도이다.

For laminar flow, τb,x and τb,y are calculated as

층류유동에대해τb,x τb,y는 다음과같이 계산되며,

             (10.265)

 

여기서 kµ 는 수직방향에서의 부족한 속도 개요를 보상하기 위해 계획된 수직점도 승수이다. 수직방향에서 2차속도 프로필을 가지는 정상상태의 전단유동에서kµ의 이론적 값은 1.5이다.

식(10.259) 또는 (10.260)에서의 마지막 항은 지구의 자전에 의한Coriolis힘을 나타낸다. Coriolis힘은 바다, 하구 그리고 큰호수 같은 곳에서의 유동같은 지구물리적 유동에서 중요하다. 이항에서Ω는 지구 회전속도의 수직 성분이며,

Ω = Ωe sinϕ                                                                              (10.266)

where: 여기서

  • e = 7.29 × 10−5 rad/s는 지구의 각속도이며
  • ϕ는 일정한(즉, 유동영역내 평균) 위도이다. 북반구에서는 양의수이고 남반구에서는 음의수이다.

3차원 연속방정식을 깊이평균하고 식(10.258)을 이용하여 유체높이로 치환한 후x 와 y방향에대한 적합한 면적율을 고려하면 다음에 도달한다.

   (10.267)

이는 천해유동모델(식(10.19) 참조)에 필요한 제약인 z방향으로F의 이송이 없다고 가정하면, 정확하게 유동에 대한VOF 방법에서 하나의 수평층 유한체적을 가지는사용된F에 대한 방정식이다. 천해 유동 모델에 대한VOF 방법은 유체가 없는 지역으로 들어가던지 또는 전에 유체가있던지역으로부터 배수되는 것을 허용한다.

식(10.257), (10.259), (10.260) 와 (10.267)들은 외재적으로 해를 구할 수 있는데 이 경우 중력파동이 한 시간단계에 한 격자셀보다 더 움직이는 것을 방지하기 위해 시간단계의 크기에 대한 제약이 있다. 내재적 반복해석법 이용 가능하며 이는 이런 제약을 없앤다. 내재적 선택이 디폴트로 사용된다.

천해 유동모델은hybrid접근법에서 다중 블럭 망을 사용하여 완전 3차원 방정식해석과 결합될 수 있다. 한 주어진 망 블럭은 천해 또는 3차원 형태의 망 블럭이다. 어느 블럭들이나 서로의 공통 경계에서 서로 경계면을 가진다. 블럭들은 서로가 연결되어 있거나(겹치지않게) 또는 다른 블록 안에 완전히 포함되어 있다(완전히 겹치는).

천해형태의 망 블럭은 z-방향으로 바닥셀은 전체가 유체로 차있고 위의 셀은 유체나 형상이없는 적어도 두 셀을 가져야 한다. 유체는단지 셀의 가장 밑바닥에만 실재해야하므로 둘 이상의 셀을 사용하는 것의 의미가 없다. 그러므로z방향에서의 셀의 크기는 모사 기간 중에 모든 유체가 포함되도록 충분히 커야한다. 유체가 위층의 셀로 넘어가면 에러가 생성될 것이다. z방향셀의 두번째 셀들은 유체나 형상이 없도록 남겨져야 한다. 이는 모델이 밑에 층에서의 자유표면을 적절히 처리하게끔 해준다.

[FLOW-3D 이론] Sediment Scour Model / 퇴적물 세굴모델

10.3.20 Sediment Scour Model 퇴적물 세굴모델

퇴적 세굴모델은 입자크기, 질량밀도 임계 전단응력, 안정각 및 연행과 이송 변수 들이 서로 다른 물성치를 가지는 다수의 비응집성 퇴적 종류들을 가정한다. 예를들면, 중간 크기 모래, 거친 모래 그리고 미세 자갈은 한 모사에서 세가지의 다른 종으로 분류될 수 있다. 이 모델은 3차원이나 천해 유동모델에서도 사용될 수 있다. 이 모델은 퇴적물의 운동을 퇴적물의 침식, 이류 그리고 퇴적을 예측함으로써 다음과 같이 추정한다.

  • 부유퇴적물 이송계산
  • 중력에의한 퇴적물의 침전 계산
  • 바닥의 전단 및 유동 섭동에의한 퇴적물 연행 계산
  • 퇴적 입자들이  하상하여 유사 바닥을 따라 구르고, 건너뛰고 그리고 미끄러지는 소류사 이동 계산

FLOW-3D 에서 이는 퇴적물이 존재할 수 있는 두 상태를 고려함으로써 이루어진다. 부유와 하상유사. 부유퇴적물은 일반적으로 농도가 낮고 유동과 함께 이류한다. 하상 유사는 사용자가 정의할 수 있는 임계 패킹율(디폴트값은 0.64)에서 존재한다. 단지 하상 유사 입자의 얇은 표면층(몇 개의 입자 직경 두께 정도에서)만 소류사 이동 형태로 이동할 수 있다.

퇴적물은 하상 유사 경계면에서 전단과 작은 와류에 의한 올려짐과 재부유에 의해 연행된다. 퇴적물의 각기 개별 입자에 대한 유동 역학을 계산하는 것은 불가능하므로 경험적모델이 사용되어야 한다. 여기서 사용되는 모델은 Mastbergen 와 Van den Berg [MVanDBerg03]에 의거한다. 또한 Soulsby-Whitehouse equation [Sou97] 방정식이 임계 Shields 변수를 예측하는데 이용될 수있거나 사용자 정의된 변수가 지정될 수 있다. 디폴트로 임계 Shields 변수는 0.05이다. 임계 Shields 변수를 계산하는 첫째 단계는 무차원변수 d*i 를 계산하는 것이다:

   (10.235)

여기서

  • ρi is the density of the sediment species i, ρi 는 퇴적종 i 의 밀도
  • ρf is the fluid density. ρf 는 유체밀도
  • di is the diameter. di 는 직경
  • µf is the dynamic viscosity of fluid. µf 는 유체의 동적점도
  • g‖ is the magnitude of the acceleration of gravity g. ‖g‖ 는 중력가속도 g 의 크기

이로부터 무차원 임계 Shields 변수는 Soulsby-Whitehouse equation [Sou97]를이용하여 계산된다:

   (10.236)

임계 Shields 변수는 안정각을 포함하기 위해 구배표면에 대해 수정될 수 있다. 이에 대한 개념은 구배 경계면에서 하상 유사는 덜 안정적이므로 구배를 따라 내려가는 유체에 의해 더 쉽게 연행된다는 것이다. 이의 수정은 더 θcr,i [Sou97] 를 변경시키며:

   (10.237)

여기서 β 는 하상의 경사 각도, ϕi 는 퇴적종 i의 사용자 정의된 안정각 (디폴트는 32)이며, ψ 는 유동과 하상의 위로 향한 경사각도이다. 하상 경사방향으로 직접 올라가는 유동에대해 ψ = 0.이다.

지역 Shields 변수는 지역 하상전단응력 τ 에 기초하여 계산되며:

   (10.238)

d50,packed,

여기서 τ 는 바닥 표면조도를 고려하여 각기 3차원 난류및 천해유동 난류에 대해서 벽의 법칙 및 바닥 전단응력의 2차원 법칙을 이용하여 계산된다. Nikuradse 의 바닥표면 조도 ks 는 하상 유사의 지역 중간 입자 직경 d50,packed 에 비례한다고 가정된다,

ks = croughd50,packed                                                                                                             (10.239)

여기서 crough 는 디폴트 값이0인 사용자 정의 계수이다.

The entrainment lift velocity of sediment is then computed as [MVanDBerg03]:

퇴적물의 들어올려지는 연행속도는 다음으로 계산된다[MVanDBerg03]:.

   (10.240)

여기서 αi 는 연행 변수이며 0.018[MVanDBerg03] 이 권장되고 ns 는 다져진 경계바닥 면에서 외부로 향하는 법선 벡터이다. ulift,i 는 실질적으로 하상경계면에서의 부유 퇴적물의 질량소스로 작용하며 부유물로 전환되는 하상 유사의 양을 계산하는데 이용된다. 그 후에 부유 퇴적물은 유동과 함께 이송된다.

퇴적은 부유입자가 부유상태로부터 무게에 의해 다져진 하상에 침전하거나 소류사 이동에서 정지하게 되는 과정이다. 입자의 연행 및 침전은 반대의 과정이며 종종 동시에 발생한다. Soulsby [Sou97] 에 의해 제안된 침전속도 방정식이 사용된다:

   (10.241)

여기서 νf 는 운동학적 점성이다. 침전운동은 중력방향이라고 가정된다.

   (10.242)

입자대 입자의 상호작용을 고려하기위해 Richardson-Zaki 상관관계가 침전속도에 적용되며,

u*settling,i = usettling,i(1 − cs)ζ   (10.243)

여기서 cs 는 부유퇴적물의 전체체적율이다. 지수 ζ 는 다음과 같다.

ζ = ζuserζ0   (10.244)

ζuser 는 Richardson-Zaki 계수의 승수이며(디폴트는 1.0) ζ0는 다음으로 정의되는 Richardson-Zaki 계수이다.

Re < 0.2 ζ0 = 4.35
0.2 < Re < 1.0 ζ0 = 4.35/Re0.03
1.0 < Re < 500 ζ0 = 4.45/Re0.1
500 < Re ζ0 = 2.39

여기서 Re 는 입자 Reynolds 수이며

   (10.245)

 

소류사 이송은 퇴적물의 다져진 바닥표면 위에서의 구름과 튀어오름에의한 부유물 이송의 형태이다. 사용자는 하상 폭당 퇴적물의 체적이송율을 위한 3가지 방정식중의 하나를 선택한다:

  • Meyer, Peter and Müller [MPM48]

Φi = βMPM,                                                               (10.246)

  • Nielsen [Nie92]

Φi = βNie,iθi0.5(θi θ′cr,i)cb,i                                                                                                   (10.247)

  • Van Rijn [vanRijn84]

             (10.248)

여기서 βMPM,i, βNie,i βVR,i 는 각기 일반적으로 8.0, 12.0 and 0.053에 상응하는 계수이다. cb,i 는 하상물질 내의 종 i 의 체적율이다. 원래식에는 존재하지 않으나 다수 종의 효과를 참작하기 위해 식 (10.246), (10.247) 와 (10.248) 에 더해진다. Φi 는 무차원 소류사 이송율이며 다음에 의해 체적 소류사 이송율 qb,i,에 관련되어 있다.

   (10.249)

식 (10.249)은 시간및 바닥 폭당 체적의 단위인 소류사 이송율을 계산한다. 또 다른 필요한 정보는 소류사 두께의 추정이다. 즉, 도약하는 퇴적물의 두께. 이 두께를 추정하는데 선택된 관계는 [vanRijn84]이다.

   (10.250)

 

각 계산셀내 퇴적물의 운동을 계산하기 위해 qb,i 값이 [vanRijn84]에의해 소류사 속도로 전환되며:

   (10.251)

여기서 fb 는 퇴적물의 임계 패킹율이다. 소류사 속도는 다져진 하상 경계면에 인접한 유체 유동의 속도와 같은 방향으로 가정된다.

각 종에 대해 부유퇴적물 농도는 각 고유의 이송방정식을 해석함으로써 계산되며,

   (10.252)

여기서 Cs,i 는 종 i 의 부유 퇴적 질량 농도이며, 이는 유체-퇴적물 혼합물의 체적당 퇴적물의 질량으로 정의된다; D 는 확산 계수; us,i 는 부유 퇴적물속도. 부유하고있는 각 퇴적종은 유체나 다른종의 속도들과는다른 고유한 속도로 움직인다. 이는 다른 질량밀도와 크기를 가지는 입자들은 다른 관성을가지고 다른 항력을 받기 때문이다.

Cs,i by

따라서 부유퇴적체적농도 cs,i 는 유체-퇴적물 혼합물의 체적당 부유퇴적종 i 의 질량으로 정의된다. 이는 다음에 따라 Cs,i 에 연결되어 있다,

   (10.253)

Cs,i에대한 방정식 식 (10.252) 을 해석하기 위해 us,i 가 우선 계산되어야 한다. 다음 두가지 1) 부유중인 입자는 서로 강한 간섭을 안하고 2)부유입자와 유체 퇴적 혼합물의 속도 차이는 주로 입자의 침전속도 usettling,i 차이라는 것이 가정된다. 그러므로 us,i Cs,i 를 이용하여 평가된다.

us,i = + usettling,ics,i                                                                                                           (10.254)

여기서 는 유체 퇴적 혼합물의 속도를 표시한다.

대류수치 불안정성을 피하기 위해 부유퇴적물 이송의 시간단계에 대한 제약이 있다. 퇴적입자는 한 시간단계에 한 계산셀 이상을 지나 이송될 수 없다. 퇴적물 이류에 열려진 면적 및 체적율의 효과가 또한 고려되어야 한다. 안정조건은

   (10.255)

where (us,i,vs,i,ws,i,) are the x, y and z components of us,i, respectively, and CON < 1.0 is a safety factor to account for “worst cases” of convective numerical instability.

여기서 (us,i,vs,i,ws,i,) 는 us,i, 의 각기 x, y그리고 z 성분이며 CON < 1.0 는 대류수치 불안정성의 “최악의경우”를 고려하기 위한  안전 인자이다.

이 모델에는 제약이 있다. 미세토사나 점토를 포함하는 간섭하는 토양에는 유효하지 않다. 이 모델에서 사용되는 퇴적이론의 제약된 타당성때문에 과도하게 큰 입자에 대해서는 사용에 주의를 기울여야 한다. 퇴적이론의 경험적 성격 및 난류모델에서와 같은 다른 근사 등으로인해 적용시 최상의 결과를 위해 변수의 보정이 이루어져야 한다.

천해에서의 들어올리는 속도, 임계 Shields 변수와 침전속도에 대한 경험식의 변경은 사용자가 수정 가능한 서브루틴 scour_lift.F, scour_critic.F 그리고 scour_uset.F.에서 이루어질  수 있다.

 

[FLOW-3D 이론] Rigid Body Dynamics for Non-Inertial Reference Frame / 비관성 기준계에 대한 강체동역학

Rigid Body Dynamics for Non-Inertial Reference Frame / 비관성기준계에 대한 강체동역학

가끔 우리는 강체 안에들어있는 유체의 움직임에 의해 영향을 받는 강체내 유체의 운동에 관심이 있다. 이런 경우에 강체와 연관 유체의 결합된 운동을 예측하기 위해 into FLOW-3D 내의 통합된 결합된 강체동력학 모델을 적용할 수도있다.

관성 공간에 상대적인 강체운동의 평가를 고려해 보자. 더구나 강체가 유체가 부분적으로 차있는 공간(탱크들)을 가지는 경우도 가정한다. 강체 질량 중심의 운동, 이의 회전(자세) 그리고 탱크내 유체의 운동을 모사하고자 한다. 모사는 시간에 따른 속성을 예측한다. 유체운동, 그리고 이에 기인하는 힘과 토크의 평가는 다양한 분야의 물리적 현상을 포함을 허용하며 통상적인 알고리즘에 따라 수행된다.

그림 10.10 관성 및 물체고정좌표

이를 모사하기 위해 위의 그림에서 보여준 바와같이 관성계와 물체계 둘 다를 정의한다. 물체에 고정된 데카르트좌표계를 (x, y, z) 로 그리고 관성 공간에 고정된 좌표계를 (x’, y’, z’)라고 명한다. 유체역학 계산은 항상 그러듯이 물체계를 이용한다. 강체 질량 중심의 위치에 대한 뉴튼 방정식은 관성계에서 해석되나 물체의 회전방정식은 물체계에서 생성된다.

또한 중력체 기준계를 정의하는데 이의 원점은 관성 좌표계의 원점과 일치하나 z’ 축에 대해 일정 비율로 회전할 수 있다. 혼돈을 줄이기 위해 이 기준계에 대해서는 구좌표계를 사용한다. 이 기준계는 운동방정식의 공식에는 사용하지 않는다. 계산 결과를 직접 지구(또는 태양)기준의 계로 연관시키는 사용자의 편리성을 위해 의도된다. 지구기준계는 단지 대충 관성적이라는 것을 명심해야한다. 이 근사에 대한 수정은 필요하면 해석 알고리즘 다른곳에서 실행된다.

이 물체로부터 나오는 중력의 효과는 강체운동 방정식 및 유체운동식에 포함되어 있다. 중력장으로부터의 토크는 무시되고 있다.

환경 및 조절력과 토크를 포함하도록 대비가 되어있다. 이는 쉽게 해석 알고리즘의 다른 부분과 소통 될 수 있는 서브프로그램을 포함 함으로써 이루어진다. 이런 서브 프로그램들은 힘과 토크의 특정 소스를 모델링하지 않으나 사용자가 공기역학이나 지구자장 영향 또는 조절 제트 및/또는 플라이휠 같은 현상을 포함할 수 있게끔 한다.

가끔 하나 이상의 탱크가 강체의 운동에 영향을 미칠 수 있다. FLOW-3D 는 각 탱크를 개별적 유동지(또는 요소)으로 취급함으로써 이를 고려할 수있다. 강체상의 이들 효과를 결정하기위해 유체 힘과 토크는 전체요소에 대해 합해진다.

더 많은 정보가 필요하다면 다음을 참조하라

  • Non-Inertial Reference Frame notation
  • Rigid Body Dynamics Algorithm for Non-Inertial Reference Frame Model
  • Non-Inertial Reference Frame Motion equations
  • Rigid Body Dynamics for Non-Inertial Reference Frame
  • Non-inertial reference frame application example: Centrifugal Casting
  • Gravity
  • Impulsive Motion of Non-inertial Reference Frame
  • Non-Inertial Reference Frame Motion
  • Smooth Tabular Motion

[FLOW-3D 이론] Porous Media Models / 다공매질모델

토양, 파쇄 암석, 스펀지와 종이들은 모두 다공매질의 예이다. 다공매질은 유체가 흐를 수 있는 연결된 간극 공간을 가지는 고형물질을 뜻한다. 미세규모에서 빈 공간내의 속도와 압력은 아주 불규칙하나 거시적 관점에서는 체적 평균된 근사법은 유동을 상당히 잘 나타낸다 

물질의 전반적 크기에 상대적인 공간의 크기로 물질을 다공질로 모델링할 지에 또는 각개의 공간으로 모사할지에대한 적합성을 판단한다. 예를들면, 종이 장은 아주 얇지만 종이 공간의 크기는 훨씬 작다. 종이를 통한 평균유동이 관심이라면 종이를 다공도같은 체적 평균된 미세물성을 가지는 다공 매질로 간주하는 것이 적절할 것이다. 그러나 종이 내의 작은지역에서의 등방성 섬유 분포에 의한 심지 거동이 관심이라면 섬유가 모사에서 나타나야 한다. 계산 셀내 체적에 분포한 많은 기공을 평균하는 개념이 타당하기 위해 공간의 크기는 유한체적보다 훨씬 작아야한다.

그림 10.9 좌: 다공 모델은 예를 들면 사암과 꽉 차있는 가루같이 기공의 크기가 유한체적의 크기보다 훨씬 작을 때 유효하다. 우: 이산모델(모델되는 각 고체)은 기공의 크기가 유한적 크기와 같은 정도이고 기공내에 상세한 유동에 관심이 있을 때 유효하다. 예를 들면 섬유직물 내의 미세유동

Governing Equations in Porous Media 다공매질내 지배방정시

다공매질의 다공도는 공간체적의 전체 체적에 대한 비율로 정의된다. FLOW-3D 명기에서 다공도는 체적비율 Vf와  같다.

                                                                                            Porosity ≡ Vf                                                                                                                    (10.212)

금속 폼 필터 같은 재질은 거의 완전히 열려있고 1.0 에 접근하는 다공도를 가질 수 있다. 아주 잘 패킹된 구의 다공도는 패킹 배열에 따라 25% 에서 47%이다.

다공 물질을 연속체 모델을하고 각 유한체적을 평균함으로써 통상적인 보존방정식이 얻어진다. 질량보존은 식 (10.213)에 의해 표현된다.

   (10.213)

여기서 U 는 미세유동속도이다. 다공질 내 모멘텀방정식은 1856년에 다공질 내를 통과하는 한 방향으로의 유량은 적용된 압력에 비례하는 것에 주목한 프랑스 엔지니어 Henry Darcy의 관찰에 근거하여 얻어질 수 있다. 이 관계식은 다음으로 표현되며

   (10.214)

여기서 계수 K 는 재질 특유 또는 내재적 투과도이다. K 는 일반적으로 유체에 무관하고 길이의 제곱인 차원을 갖는다. 식 (10.214) 은 Darcy 법칙으로 불려진다. 일반 재질들에 대한 K 의 값은 자갈들에 대해 10-7 ∼ 10-9 m2 이고 진흙에 대해10-13 ∼ 10-16 m2 이다. 투과도 값이 작을수록 유동 저항이 크다. 이 저항은 다공매질 모델링에서 항력으로 불린다. 다공질내의 유동저항은 속도에 비례하는 항력항으로 Navier-Stokes 방정식에 나타난다.

                                                                                                 b = FdU                                                                                  (10.215)

여기서 Fd 는 다공매질 항력 계수이다.

투과도 K 는 다음에 따라 항력계수 Fd 의 항으로 표현된다.

   (10.216)

FLOW-3D 에서 이용 가능한 다양한 형태의 항력모델을 논하기 전에 다공 매질 내에는 두 가지 유동 종류-포화 와 불포화가 존재한다는 것에 주목한다. 포화유동은 가스와 액체의 경계면 구별이 상대적으로 뚜렷한 유동이다. 불포화유동은 가스와 액체의 경계면이 확산되어 서로 돌출되 있거나 갇혀진 가스 지역이 존재하는 유동이다.

Drag Calculations in Saturated Flows포화유동내의 항력계산

투과도 K 는 유체 물성보다 형상인자에 의해 결정되기 때문에 입자크기나 섬유직경 같은 형상 변수로부터 K 를 유도하는 것이 가능하다. Carman-Kozeny 방정식(10.217) 은 수력반경 이론으로부터 유도되고 다음으로 표시되며

   (10.217)

여기서 D 는 입자나 섬유의 직경이고 180은 Carman-Kozeny 상수라고 불린다. 식 (10.217) 은 다공매질이 거의 유사한 크기의 구형태로 되어있을 때 좋은 결과를 준다. 어떤 연구자들은 Carman-Kozeny 상수가 다공 및 섬유 형상비에 의존한다는 것을 발견하였다.

Darcian Saturated Drag  Darcian / 포화 항력

식(10.216) 으로부터 FLOW-3D 에서 사용된 항력계수는 투과도 K 의 항으로표현되며:

   (10.218)

식(10.216) 으로부터 FLOW-3D 에서 사용된 항력계수는 투과도 K 의 항으로표현되며:

항력계수는 또한 다음으로쓰여진다:

Fd = a                                                                                    (10.219)

Re                                                                             (10.220)

여기서 일정한 항력계수를 원할때는 a 는 양의 상수이다. 식 (10.218) 와 (10.219) 는 다음에서 계산되는 다공 Reynolds 수가 1보다 작을 경우에는 유효하다. 이는 보통 저속유동이나 작은 다공크기를가지는 매질에  맞는다.

Forchheimer Saturated Drag  Forchheimer 포화 항력

다공매질이 거친 입자나 섬유로 되어 있다면 미세 속도는 상당할 것이며 이로 인한 유동 손실은 속도의 1차함수에 비례할 뿐만 아니라 오히려 속도의 제곱에 비례할 수가 있다. 이는 일반적으로 ReP > 10일 경우이다. Forchheimer 방정식에서 압력손실은 다음과 같다.

                                                                 (10.221)

여기서 K2는 비 Darcian 또는 관성투과도이다.

선형(Darcian) 과 2차 유동 손실(non-Darcian)방정식은 Fd에대해 한 식으로 결합될 수있고

   (10.222)

여기서 a b 는 상수이다. 이들은 실험 데이터에의해 정의될 수있다. 실험식이 없을 경우 다음과같이 추정되며:

a = α/D2, b = β/D

여기서

  • 상수 α 는 보통 180이며,
  • β 는 1.8~4.0(부드러움에서 거친)의 범위에있는 조도 인자 이다.

변수 a는 비물리적인 유동을 방지하기 위해 각 다공요소에 대해 지정되어야한다. b의 정의는 선택적이다: 디폴트는0이다.

Capillary Pressure 모세관압력

포화 다공 매질 내에서 유체/가스 경계면에서의 표면장력의 효과는 유체가 다공매질에 상대적으로 강하게 습윤 또는 비습윤이면 중요할 수있다. 이 모세관압은 재질 내의 작은 기포들에 존재하는 높은 표면의 곡률 때문에 발생한다. 재질이 유체에 의해 습윤되면 (즉, 정적 접촉각이 90도보다 작으면)다공 매질내로의 유체의 심지효과와 흡수가 발생한다. 유체와 다공매질이 비습윤이면 반대현상이 발생하고 외부압이 유체를 매질 내로 밀도록 작용되어야 한다. 다공 매질에 대한 습윤 또는 비습윤의 역학은 모세관압력에 의해 정의된다.

모세관 압력값은 평균 기포직경, 적셔지는 유체의 표면장력 그리고 다공매질에 대한 정적 접촉각에 의존하며 해당식을 이용하여 추정될 수 있으며,

   (10.223)

식 (10.223) 에 의한 모세관압은 유체/가스 경계면 (유체 분율이1보다작고 0보다 큰 셀) 에 적용된다.

 

Unsaturated Flow in Porous Media / 다공매질내 불 포화유동

불포화 다공매질모델은 다공 매질 전체를 통해 어느 정도 서로 섞이는 2상 유동(보통 액체와가스)을 모사하도록 설계되어 있다. 그러므로, 유체분율(포화와 유사한, 액체에 의해 점유된 다공 공간의 지역 체적율)이 변하게 된다. FLOW-3D 에서 Volume-of-Fluid technique (VOF) 기법은 이 유체분율 F 를 추적하는데 이용된다.

단상보다 2상이 존재할 때 다공물질내 더 큰 유동 저항이 있으므로 항력은 포화함수이다. 이는 작은 길이 규모에서의 더 큰 표면장력 효과 때문에 변위시키기에 힘든 많은 작은 기포들에 기인한다.

 

Drag Calculations in Unsaturated Flows / 불포화유동에서의 항력계산

불포화유동에대한 두 항력 모델이 FLOW-3D 에포함되어있다. 가장 간단한 항력모델은 불포화 유동을 위한 “멱-법칙” 이며,

   (10.224)

로부터 계산되며,

여기서

  • F 는 유한체적내의 유체분율
  • FCMN 는 비환원 포화이며
  • FCMX 는 다공매질 내의최대 포화한계이다.

이 포화 한계는 더 이상의 액체가 재질로 제거되거나 추가될 수없을 때 각각에 대한 액체의 체적율을 뜻한다. FCMN FCMX 는 특정 매질의 개방된 기포체적에 상대적으로 계산 된다.

불포화 다공매질내 또다른 항력 모델의 정의는

   (10.226)

이며 where PEXP is a user-defined constant. 여기서 PEXP 는 사용자-정의된 상수이다.

유체가없는 지역에서 FCMN 가 지정되지 않으면 F 는 최소값10-6 로 제한된다. FFCMN 에 가까울 때 식 (10.226) 으로부터 발생하는 큰 항력의 발생을 방지하기 위해  FCMN 보다 큰 초기 F 값을 지정하거나 약간의 F 확산을 지정한다. 그렇지 않으면 유체는 FFCMN 로 다가가는 지역에 유체가 들어가지 못하게 될 수도있다.

 

Capillary Pressure in Unsaturated Flows / 불포화 유동에서의 모세관압

모세관 압은 또한 지역포화의 함수이다. 포화값이 낮은 매질 지역에서 곡률이 아주 높아서 매우 높은 모세관 압을 가지는 다수의 경계면이 있다. 역으로, 포화지역에서는 자유표면이 별로없고 모세관압은0에 가깝다.

FLOW-3D 에서 두 개의 계산되어야 할 모세관압 곡선이있다: 하나는 제질이 배수를 할때(즉, 포화가 감소하고)이고 다른 하나는 재질이 충진될 때(즉 포화가 증가할 때). 모세관압과 포화의 관계는 전진하는 유동(충진곡선)과 물러가는 유동(배수곡선)에대해 밑의 도식에서 보여진다.

배수곡선은 다음으로 정의되며,

   (10.227)

여기서

  • PBUB 는 포화조건 F = FCPMX 에서의 최대 모세관압이며
  • S 는 포화이다.

기포 발생압력 PBUB 은 다음으로 정의된다.

   (10.228)

충진곡선은 다음으로 정의된다.

PCAP,FILL = PBUB(SPexp − 1)   (10.229)

충진과 배수곡선은 항상 등거리로 기포 발생 압력 값에의해 분리되어있다.

Transition between Draining and Filling Curves / 배수와 충진 곡선사이의 전이

재질의 한 일부지역이 충진에서 배수(또는역으로)로 전환될떼 때 모세관압은 두 곡선사이의 주사곡선을 따른다. 이 주사곡선의 경사는 배수곡선의 지역 구배에 주사곡선이 목표곡선과 만날 때까지 목표 곡선(배수 또는 충진중의 하나)과 지역의 계산된 압력 차이의 10배를 더하여 계산된다.

모사가 단지 한 지역의 충진이나 배수만을 포함한다고 예측되면 이때는 단지 적절한 모세관압 대 포화곡선을 지정하는 것이 필요하다. 그러나 배수와 충진의 전이가 교대로 일어나면 그때는 두 곡선이 고려되어야 하고 수치적으로 이 과정사이에 전이가 발생하도록 어떤 방법이 주어져야 한다. 실험적으로 이 전이는 “주사”곡선을 따라 발생하는것으로 관찰된다. 이 곡선은 충진이나 배수 곡선의 구배보다 큰 구배를 가져야하며 그렇지 않으면 이 전이가 발생할 수가없다. 이를 위한 지침을위한 실험적 데이터가 없으므로 인위적으로 주사곡선의 구배를 지정해야 한다. 현재 F 값에서의 배수곡선의 구배에 상응하는 값에 포화 값 변화의 0.1에 의해 나누어진 (?)  포화F에서의 충진과 배수 곡선압력의  차이로 계산되는 추가 구배를  더해 사용한다.

사용자가 이용가능한 서부루틴 pcapcl 에서 PCAP 의 평가가 이루어질 때 시간단계 n + 1 에서의 첫 모세관압 추정은 주사곡선을 따르는 변화를 가정하여 전시간 단계로부터 얻어지며,

   (10.230)

여기서 dPCAP/dF 는 현 포화상태에서의 주사곡선의 구배이다. 새 값은 다음 같은 충진과배수 곡선 값 PCAP,FILL PCAP,DRAIN 에 대해 검사된다.

   (10.231)

 

Solidification Drag Model / 고체항력모델

유동성에 대한 응고의 영향은 둘 중에 하나로 참작될 수있다: 응고된 유체의 증강된 점도를 사용하거나 항력을 사용하여.

점도에 의거한 접근은 응고상이 변형 가능하고 그리고 예를 들면 이중롤 연속주조 과정 또는 비결정성 합금에서와 같이 아직 움직일 수 있을 때 유용하다. 유체 점도보다 더 높은 상수의 유한 점도가 응고 유체에 지정되고 액상/고상 혼합물 점도는 액체와 고상 점도의 고상율 가중평균으로 계산된다.

항력에 의거한 유동모델은 다공매질 항력 개념을 이용하여 구성된다. 상변화에 따른 체적 변화를 무시하고 고체물질은 계산 망에 상대적으로 정지되어 있다고 가정하면 우리는 고상화 과정(즉, 유동속도가 0인 상태)을 지역 고상율의 함수인 항력계수를 사용함으로써 근사화 할 수있다

재질이 고상일 경우 항력은 실질적으로 무한하다. 머시 상태로 이루어진 중간 단계에서는 항력은 중간값을 가진다고 가정한다.  FLOW-3D 에서 항력계수는 아래 식이며,

   (10.232)

여기서 Fs 는 지역 고상율이다. Fs = FSCR 일 경우, 항력계수 Fd 는 실질적으로 무한하다. FSCR 은 머시 구성 내의 모든 유동이 정지하는 임계 고상율 값을 표시하는 사용자 정의된 상수이다. TSDRG 는 사용자 정의 상수이다. 그 값은 머시 지역의 미세구조에 의존하는데, 이의 모델링은 FLOW-3D 내의 응고 모델의 영역 외에 있다. TSDRG 의 실질적 선택은 특정 응용에 달려 있을 것이며 일반적으로 실험 데이터와의 확인을 필요로 한다. TSDRG 의 값이 0이 되면 이 때는 이 머시 지역의 유체에 항력이 작용하지 않는다.

식 (10.214) 와 (10.232) 에 의해 주어진 머시 지역 내의 액상 유동에 대한 Darcy 형태의 항력모델은 낮거나 높은 고상율에서의 추가 유동효과를 포함하기 위해 개선될 수 있다. 낮은 고상율 값, Fs < FSCO값에서 고상결정은 분산되어 있고 간섭성 고상구조를 형성하지 않고 액체 내에 자유로이 부유할 수 있다.[BAAmericanFoundrymensSociety+96]. 이때에 고체/액체 혼합물은 고상율에 의존하는다음 혼합점도를 가지는 단일 유체로 근사될   수있으며,

   (10.233)

여기서 µ0 는 액상의 분자점도이다. 이 범위의 고상율을 가지는 항력계수 Fd 는 0이다. 응고가 계속되고 고상율이 간섭점 FSCO에 도달하면 고화된 상은 강체구조를 형성하는 것으로 가정된다. 이 경우 유체점도는 Fs = FSCO 인 식 (10.233) 에 의해 주어지는 값으로 되고 식 (10.232) 으로부터 주어지는 항력계수가 적용된다. 이는 고상율이 임계고상율인 FSCR 를 지날 때까지 계속되며 이점을 지나서는 유동이 정지한다.

FSCO 와 FSCR 둘다 사용자 정의된 상수이다. 모델에서 다음으로 가정된다.

0.0 ≤ FSCO < FSCR ≤ 1.0                                                              (10.234)

추가로 고상은 연속주조 과정에서 일어나듯이 균일한 선형속도(시간 의존일 수도 있는)로 이동할 수 있다 더 자세한 내용은 Model Reference 절의 Moving Solid Phase 을 참조한다.

다른 모델들이 항력계수가 계산될 수있는 서부르틴 drgcl 를 그리고 유체점도가 계산되는 mucal 을 변경하여 FLOW-3D 내로 포함될 수있다.

식 (10.232) 와 (10.233) 에서 기술된 응고화 항력 및 유효 점도의 개념은 머시지역이 액상의 유동이 있는 고상화 지역안에 있다는 존재한다는 중요한 가정에 근거한다. 이 가정은 순수금속같이 동결범위가없는 재질에는 해당이 안된다. 이경우 작은 임의의 동결범위가 0.1~1.0도 정도로 주어지면 모델의 정확도에 도움이된다.

 

[FLOW-3D 이론] Lost Foam Model / 로스트폼 모델

Lost Foam Model / 로스트폼 모델

로스트폼 주조과정에서 폼은 몰드 공간을 차지하고 금속의 유동에 저항을 미친다.
모멘텀은 로스트폼 주조과정에서 단지 작은 영향을 미친다.

폼은 강도를 잃을만큼 충분히 열을 받지 않는 한, 금속의 흐름을 방해하는 형태의 물체로 표현된다. 이런 의미에서 금속의 폼으로의 이동은 금속의 압력이나 관성에의 해서라기보다 열전달 방식에 의해 조절된다.

금속이 폼이 있는 유한 체적내로 진입할 때, 한 시간 증분 동안에 금속에서 폼으로 전달되는 열이 계산된다. 이 양은 금속의 온도에 도달하고 분해되는 폼의 체적을 계산하는데 이용된다. 분해된 폼의 양을 계산할 때 폼의 용융과 기화 잠열을 포함하는 것이 필요하다. 폼에 전달된 에너지는 금속으로부터 제거된다. 폼에서의 열전도는 무시된다.

금속은 각 유한체적내에서 제거된 폼의 체적 양과 동일한 양의 싱크 작용에 의해 전진하게 된다. 싱크는 금속표면에서 속도 성분의 견지에서 지정되는데 이는 금속내의 압력이 충분히 높은 한 폼으로 계속 이동하게 한다.

금속 전면 평균속도,  u는  추정될  수 있는데

   (10.209)

여기서

  HOBS1 금속/ 열전달 계수이며,

  RCOBS 밀도와 비열의 곱이다.

 

기화된 폼으로부터 발생한 기체유동의 직접적 모델링은고려되지 않고 있다. 가스의 중요성은 폼 형태에 따라 다른 피막 침투성이 주조의 성능에 미치는 영향을 통해 잘 알려져 있다. 침투성이 불충분한 경우 가스 가 모이게되면 실제로 금속을 몰드 외부로 불어 내 보낼수도 있다. 피막 침투성 효과는 금속/폼의 열전달계수의 변화를 통해 현재모델에 근사적으로 포함되어있다. 이러한 근거는 열전달율은 가스 지역의 두께에 비례해야 한다는 것이다.  낮은 침투성 피막은 가스를 증가시키고 열전달을 감소시킨다.

중력효과는 변수 CGFOB 를 이용하여 금속/폼 열전달계수의 계산에 고려될 수 있다. 폼의 분해물은 보통 금속보다 가벼우므로 이들은 밑으로 전진하는 금속에 의해 변위될 수 있으며 위로 움직이는 금속의 전면 부위에 축적된다. 그러므로, 반대의 경우일 때보다 금속이 폼위에 존재할 때 더 작은 경계면 틈을 예상할 수가 있다. 이 효과는 금속/폼의 열전달계수를 금속/폼의 전면에 수직인 중력성분 GHT 의 함수로 함으로써 기술된다.

   (10.210)

   (10.211)

ROUGH 폼의 물체에 대한 사용자정의 조도이다. 조도변수는 금속/ 경계(0.1cm 합리적인 값이다)에서 표면 불균일성에 의한 특정 길이 규모를 기술한다. 식에 의하면 금속과 폼사이의 열전달은 금속이 폼보다 위에 있는 곳에서 커서 금속이 위로 올라가기 보다 밑으로 전진하기에 쉽다. CGFOB 대한 권장값은 0.5이다.

일반 충진형태를 결정하고 금속전선의 집중(겹침)으로 인해 발생하는 결함의 가능한 근원을 찾아내는데 사용될 수있는 특별히 단순화된 충진모델이 IFLFOAM=2, 이용 가능하다. 그러나 모델은 온도나 속도분포, 표면결함 또는 응고에 대한 정보를 주지는 않는다.

더 나은 압력 반복 수렴을위해 RCSQLCGS 단위에서 10-6 정도의 값 또는0.1/(최대예상유체압력) 차수의 값을 지정하여 작은 정도의 제한된 압축성을 사용하는 것이 권장된다.

[FLOW-3D 이론] Combustible Object Model / 연소물체모델

Combustible Object Model / 연소물체모델

고체 추진연료의 연소는 로켓 엔진설계에 관심사이다. 이 절은 가스내 고체 추진연료의 연소를위한 모델을 기술한다.

추진연료의 연소는 주위 가스의 압력과 온도를 높인다. 결과적으로 고체 연료내에 응력과 변형이 발생한다. 추가로 연료가 사용되면 유동영역이 증가한다. 이런 변화를 예측하는 것에 관심이 있다. 이 모델은 다음 물성치를 갖는다.

  1. 연소율은 경험 지수를 가지는 멱 함수를 이용하여 가스 압력에 의해 조절된다.
  2. 연소 반응화학은 모델링되지 않는다.
  3. 사용된 고체연료는 등가질량을 가지는 가스로 변환되고 역학적으로 계산된 압력, 속도장 그리고 확산에 따라 이동된다;
  4. 연소가스의 밀도는 이상 기체 상태 방정식(EOS으로부터 계산된다;
  5. 연소율에대한 직접적인 난류효과는 무시된다;
  6. 연소 요소에서의 응력 및 변형 계산 또한 포함될 수 있다;

수치적 접근은 용해 고상용질 모델에서 사용된 것과 유사하다. 연소성고체는 특정 형태의 형상요소로 표현된다. 고체질량은 계산된 질량 전달율에따라 유체로 변환된다. 질량, 에너지그리고 모멘텀 소스는 고체연료의 경계면에 적용된다. 고체의 형태는 면적과 체적의 비율을 이용하여 조절된다.

가스/연료 경계에서의 연소 질량 유량 QM, 은 다음과같이정의된다.

QM = ρsolid(a · Pb)                                                                          (10.204)

여기서 ρsolid 는 고체연료밀도, P 는 경계면에서의 가스압력 그리고 a b 는 사용자가 정의하는 경험지수들이다. 식(10.204) 의 괄호안의 표현은 실질적인 경계면의 속도이다. 반응에 의해 생성된에너지 QE, 는 다음과 같다.

QE = QMCPTburn                                                                                                                  (10.205)

여기서 CP 는 가스의 정압비열이고 Tburn 는 사용자 정의된 연소온도이다.

질량소스는 정체 형태로 가정되며,즉 배기 가스의 초기속도는0이다. 이 가정으로 인해 모멘텀방정식에 추가 소스항이 존재하지 않는다.

면적/체적 비율 표현 기법(FAVORTM) 은 연소 고체 물체의 변하는 형상을 나타내는데 이용된다. 유동영역 내에 추진체및 유체에 용해될 때 이의 형상과 체적의 변화를 고려하기위해GMO의 변형모델이 개발되었다. 표준 GMO 모델은 유동 영역내에서 움직이는 강체의 운동을 기술하는 한편, 연소물체 모델은 그렇지 않으면 정지되어있는 연소요소인 추진체의 경계의 변화를 추적한다. 두 모델 다 고정 직교격자에서 변하는 형상을 표현하기 위해 시간에따라 변하는 면적과 체적 비율을 사용한다. 이 변수들은 요소의 경계위치의 변화를 반영하기 위해 매 시간단계에서 갱신된다. 압력과 속도 같은 유체 양들은 새로 열려진 셀내에서 초기화되어야 한다. 체적 소스와 싱크가 또한 유체와 고체에서의 연속성을 유지하기 위해 이동경계에서 계산된다.

증강된 모델에서 추진체를 나타내는 형상성분은 형태 연소의 한 성분으로 지정된다: 정지해 있지만 형상과  체적은 변한다. 이는 입력변수 IFOBBURN(nob)= 1로 지명되며 여기서 nob 은 성분 번호이다. 면적과 체적비율은 고체연료의 점진적 감소를 반영하기 위해 매 시간 단계에서 재 계산된다. 이러한 형상 성분을 보여주는 주요 변수는 셀내 고체의 상대적(비율) 체적이며 이는 셀 내의 고상 체적의 전체 셀 체적 대한 비율이다:

Vf,combust = Vcombust/Vcell                 0 ≤ Vf,combust ≤ 1.0                                             (10.206)

셀내의 공간 체적비율 또는 체적율은 다음과같다.

Vf = 1.0 − Vf,combust                                                                                                            (10.207)

이때 계산 셀 내의 고체 추진체의 변화는

   (10.208)

이며

여기서 dA 는 셀내 추진체 표면의 면적이다.

그림 10.8: 수치모델의 경계면 지역 개략도. 경계면 우측의 음영 면적은 시간에 따라 형태와 체적이변하는 고체 추진체를 나타내는 연소요소에 의해 점유되어 있다. 반응가스는 얇은 점선에 의해 표시된 경계면에 인접한 체적안의 유체내에 분산되어 있다. 굵은 점선은 셀내의 고체 추진체 체적을 나타낸다.

 

주어진 시간 단계 dt 에서 연소된 추진체의 양은 dM = QMdAdt이고 에너지는 경계면에 바로 인접한 포함하는 가스 체적에 분산되어 있다. 일단 질량과 에너지가 유한체적 내에 할당되어 있다면 확산과 대류과정이 뒤 따른다.

질량 이송 방정식은 반응에 의해 생성된 가스에 대해 해석된다.  해는 초기가스(공기로 추정되는)의 혼합물내 연소가스의 질량 비율로 출력되고 다른 공간 변수와 함께 후처리에서 보여질 수 있다.  초기 공간에 존재하는 가스의 물성치는 물론 항상 그렇지는 않지만 연소가스의 물성치와 같다고 가정된다. 그러나 이 가정에 의해 도입된 에러는 초기 가스가 공간에서 배출될 때 감소한다. 그러므로 압력유체 #2의 물성은 연소가스의 물성에 상응해야한다.

고체 추진체내의 탄성응력이 모델링되어야 하면 유체 구조 상호작용 모델(FluidStructure Interaction (FSI) and Thermal Stress Evolution (TSE) Models) 이 FSI (Model Setup) 형태로 지정된 연소 요소와 함께 전개되어야 한다. 고체 추진체의 형상과 체적이 시간에 따라 변할 때 탄성응력을 모사하기 위해 사용하는 유한요소 격자 또한 변해야한다: 고체연료가 연소되어 사라지는 지역에서 요소는 모사에서 제거되고 이에 기인하는 가스압력이 새로 노출된 고체표면에 작용한다.

이 모델을 이용하기 위해 연소 요소에대한 망이 유체 구조 상호작용 모델이나 열응력 전개(FSI/TSE) 모델을 일시적으로 구동하고 연소요소 표식(ifobburn(1)=0)을 잠금으로써 생성되어야 한다. 생성된 망 파일은 FSI/TSE 모델을 끝내고 연소요소표식(ifobburn(1)=0)을 다시 구동하여 저장되어야 한다. 생성된 망은 iffem(1)=1 와 ffem(1) = ‘fe_mesh_file.FEMESH’ 표식을 사용하여 모사중에 사용되어야한다. 이는 연소요소 설정을 마친다.

 

[FLOW-3D 이론] Dissolving Solid Solute Model / 용해 고상용질 모델

Dissolving Solid Solute Model / 용해 고상용질 모델

액체 내의 고상 용질의 용해는 여러 응용분야에서 관심이 있다. 용액을 이용한 채광으로부터 음식물 가공, 의학적 응용까지. 본 내용은 유체 내의 고상 용질의 용해와 소금물 내의 용질 추적 같은 모델을 기술한다.

고상용질의 용해는 유체의 밀도를 증가시키므로 유동에 영향을 미친다. 추가로 용질이 용해될 때 유체영역이 증가한다. 이 모델은 유체와 고체 경계면에서의 질량전달, 고상용질의 체적과 형태의 변화, 유체내 용해된 용질의 확산 및 대류, 그리고 마지막으로 유체밀도,점도,그리고 표면장력 계수 같은 기본 물리적 현상을 고려한다.

유체내 용해된 용질의 양은 질량 농도 C 로 표현된다. C 에대한 이송 방정식은

   (10.194)

이며

여기서 u 는 유체속도, D 는 유체내 용해된 용질의 확산계수이다. 유체/고체 경계면에서의 용질의 질량유속 Q 는 다음으로 정의되며

Q = κ(CSAT C)   (10.195)

여기서 κ 는 상수인 질량전달계수이고 CSAT 는 용질 포화농도이다. 혼합유체밀도 ρ 는 농도의 선형함수로 가정된다:

ρ = ρ0 + α · C   (10.196)

 

여기서 ρ0 는 순수 액체의 밀도이고 α 는 실험적으로 얻어진 상수이다. 따라서 유체체적은 또한 선형적으로 농도에 따라 변한다:

   (10.197)

혼합물 밀도계수는 용매분자가 더 큰 용질 분자에 의해 완전히 변위되었을 때 치환 용질(ρs 는 고상용질 밀도)의 1 − ρ0s 와 더 작은 용질분자가 용매의 분자 사이에 완전히 들어갔을 때의 간극 용질에대한 1 과의 사잇값을 취할 수 있다.

예를들면, 상온의 포화 해수(소금물)의 밀도는 민물의 밀도보다 약 26% 크지만 이의 체적은 단지 13% 증가하여 α = 0.5가 된다.

α = 1.0일 때 용해에 따른 혼합물의 체적에 변화가 없다는 것에 주목한다. 이 가정은 또한 다음이 성립하면 이 모델의 단순화로써 이용될 수 있다.

  • 용해율에의해 조절되는 경계면의 속도가 평균 유체 속도에 비해 작고;
  • 용질농도가 유체밀도에 비해 작다면

유동 방정식은

   (10.198)

P 는 유체압력, µ 는 점도 그리고 g 는 중력가속도이다. 소스항 S 는 유체와 용질사이 경계의 위치의 변화 및유체의 비체적(식(10.202)참조)의 증가를 참작한다.

물체 면적/체적 비율 표현 기법(FAVORTM) 은 고상 용질의 변화하는 형상을 표현하는 데 이용된다. 유동 영역내의 고상 용질의 존재 및 이것이 유체내 용해될 때의 체적과 형상의 변화를 참작하기위해 General Moving Objects Model 모델의 변형이 개발 되었다. 표준 GMO 모델은 유동 영역내에서 움직이는 강체의 운동을 기술하는 한편 용질모델은 그렇지않으면 정지되어 있을 용해성분의 고상용질 경계의 변화를 추적한다. 두 모델 다 고정 직교격자에서 변하는 형상을 표현하기 위해 시간에따라 변하는 면적과 체적율을 사용한다. 이 변수들은 성분의 경계위치의 변화를 반영하기 위해 매 시간단계에서 갱신된다. 압력과 속도 같은 유체 양들은 새로 열려진 셀내에서 초기화되어야 한다. 체적 소스와 싱크는 또한 유체와 고체에서의 연속성을 유지하기 위해 이동경계에서 계산된다.

증강된 모델에서 고상용질을 나타내는 형상성분은 형태 dissolving 의 한 성분으로 지정된다: 정지해 있지만 형상과 체적은 변한다. 이는 입력변수 IFOBDISS(nob)=1로 지명되는데 여기서 nob 은 성분 번호이다. 면적과 체적비율은 고상 용질의 점진적 용해를 반영하기 위해 매시간 단계에서 재 계산된다. 형상 성분을 나타내는 주요 변수는 셀 내 고상용질의 상대적(비율) 체적이며 이는 셀 내의 고상 체적의 전체 셀 체적대한 비율이다:

Vf,solute = Vsolute/Vcell 0 ≤ Vf,solute ≤ 1.0   (10.199)

셀 내의 공간 체적율, 또는 체적율은 이 때에

Vf = 1.0 − Vf,solute   (10.200)

이다.

셀 면에서의 면적비율 Af 는 면을 서로 공유하는 두 셀 내의 체적율로부터 계산된다: 계산 셀내의 고상용질 내용물의 변화율은 다음으로 정의된다:

   (10.201)

여기서

  • dA 는 셀내 고체 표면상의 젖은 면이며
  • ρs 는 고상 용질의 밀도이다.

경계면에서의 유체와 고체의 연속성 및 용질이 용해될 때 유체 체적 변화를 반영하는 연속방정식 (10.198) 의 싱크항 S 는:

   (10.202)

 

 

그림 10.7: 수치모델의 경계지역 개략도. 경계면 우측의 음영 면적은 시간에따라 형태와 체적이 변하는 고상용질을 나타내는 용질 성분에의해 점유되어있다. 용해된 용질은 얇은 점선에 의해 표시된 경계면에 인접한 체적안의 유체 내에 분산되어 있다.  굵은 점선은 셀내의 고체 용질체적을 나타낸다.

 

그림 10.7: 수치모델의 경계지역 개략도. 경계면 우측의 음영 면적은 시간에따라 형태와 체적이 변하는 고상용질을 나타내는 용질 성분에의해 점유되어있다. 용해된 용질은 얇은 점선에 의해 표시된 경계면에 인접한 체적안의 유체 내에 분산되어 있다.  굵은 점선은 셀내의 고체 용질체적을 나타낸다.

주어진 시간 증분내에 용해된 용질의 양 dm = QdAdt 은 경계면을 포함하는 망 셀의 체적과 같은 경계면에 인접한 유체체적상에 분산되어 있다(윗 그림의 얇은 점선 직사각형). 경계셀이 단지 부분적으로만 유체로 차 있다면 이때 용해된 용질의 부분은 한 인접 셀에 배분될 것이다. 용질농도의 이러한 평균은 해가 한 셀내의 경계면의 위치에 덜 의존하도록하며 각 체적이 한 개의 용질 농도값만 가지는 유한 체적 접근법과 유사하다.

고상용질의 용해율은 확산에의해 제한된다고가정되는데, 즉 용해된 용질은 더 많은 용해가 발생될 수있기 전에 경계면으로부터 확산되어나가야한다. 단위 면적당 한시간 증분 dt 동안에 용해된 용질의 체적은 Qdt√ 이다. 같은 기간 동안에 경계면으로부터 체적내로 확산되는 용질의 양은 대략 ρ Ddt(CSAT C)이다. 두 표현을 비교하는 것으로부터 유효 용질질량 전달계수를 얻는다:

 

일단 용해된 용질이 유한 체적내로 할당되면 확산과 대류를 통해 혼합물 내에 용질의 추가 재분배가 이루어질 수 있다.

 

[FLOW-3D 이론] General Moving Objects Model / 일반이동체모델

General Moving Objects Model / 일반이동체모델

일반이동체(GMO)는 동적으로 유체 유동과 결합되거나 사용자가 기술한 물리적 운동의 형태를 가지는 강체이다.

이는 6개의 자유도 운동을 할 수 있고 또 고정축이나 점에 대해 회전할 수 있다. GMO 모델은 사용자가 한 문제에서 여러 개의 이동체를 가질 수 있도록 하며 각 이동체는 개별적으로 정의된 운동을 할 수가 있다. GMO 요소들은 혼합된 운동을 할 수가 있으며, 즉 좌표방향과 일치하거나 다른 방향으로 기술된 병진 및/또는 회전속도를 가질 수 있다. 각 이동체에서 정의된 물체에 고정된 기준계 (“물체계”)와 공간기준계(“공간계”) 가 사용된다.

각 시간 단계에서 압력과 전단응력에 의한 수리력과 토크가 계산되고 운동방정식이 수리력, 중력, 스프링, 계류선 인장력과 제어력과 토크를 고려하는 결합운동하에있는 이동체에 대해 해석된다. 비관성력과 토크 또한 공간좌표계가 비관성이면 고려된다. 면적과 체적비율은 갱신된 물체의 위치및 방향에따라 각 시간 단계에서 재 계산된다.

소스항은 배수한 유체에 대한 이동체의 영향을 참작하기 위해 연속방정식과 VOF 이송방정식에 추가된다. 이동체 경계의 접선속도는 모멘텀방정식의 전단 응력 항들에 도입된다. 유체유동과 GMO 운동을 결합하기 위한 두 가지 수치 선택이있다:

외재적 과 내재적 방법. 전자는 각시간 단계에서의 유체와 GMO 운동을 전단계로부터의 힘과 속도를 이용하여 계산한다. 후자는 이를 반복적으로 계산한다. 외재적 방법은 단지 무거운 물체 (즉, 물체의 밀도가 유체밀도 보다 무거운)와 작은 부가질량의 문제에 잘 작동한다. 그러나 내재적방법은 모든 문제에 잘 작동하며 권장되는 수치방법이다.
GMO 모델은 또한 강체의 충돌을 모사하는 기능을 포함한다. 충돌은 순간적이라고 가정된다.

이들은 두 강체(둘 중의 하나가 이동해야하는)간에 그리고 강체들과 계산영역의 벽/ 경계간에 발생할수 있다. 충돌 모델은 두 부분으로 되어있다: 충돌감지와 충돌 통합. 각 시간 단계에서, 일단 충돌이 감지되면 한 세트의 충돌 방정식이 결합된다. Stronge 반발계수의 값에 따라 충돌은 완전탄성, 부분탄성 또는 완전 소성일 수 있다. 또한 접점에서의 마찰이 충돌시에 허용될 수있다. 충돌하는점촉점에서 두 물체 사이에 상대적인 미끄러짐이 발생할 수 있고 미끄러짐의 속도와 방향은 충돌과정에서 변할 수 있다.

미끄러짐이 충돌이 끝나기 전에 정지하면 두 물체는 즉시 미끄러짐이 재개 되던지 분리될 때까지 계속 붙어있다. 미끄러짐, 구름 그리고 한 물체가 다른 물체 상에 정지하는것 같은 이동체 사이의 연속적인 접촉은 미세-충돌이라고 불리는 일련의 급속하고 작은 진폭을가지는 충돌을 통해 모델링된다.

GMO 모델은 직교좌표계나 원통좌표계 둘 다 에서 잘 작동하며FLOW-3D의 대부분 물리적 그리고 수치적 방법과 호환성이 있다. 상세한 내용에 대해 http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp의 사용자 위치에 있는 See Flow Science Technical Notes #75 와 #76 를 참조한다.

Equations of Motion for Rigid Body / 강체운동 방정식

계산상 편리성을 위해 물체시스템(x, y, z) 이 시간 t=0에서 공간계의 축과 평행한 각 이동체에 대해 지정된다. 이동체가 6자유도를가지면 물체계의 원점은 물체 질량중심G에 지정된다. 물체계는 이동체에 고정되어 있고 이동체와  같은  병진과  회전운동을 갖는다. 공간계(x, y, z) 와 물체계(x’, y’, z’) 사이의  좌표 변환은

xs = [R] · xb + xG                                                                                                                (10.153)

이며,

여기서

  • xs xb 는 각기 공간계와 물체계에서의 위치벡터,
  • xG 는 공간계 질량중심의 위치벡터,
  • [R] 은 직교좌표 변환텐서,

   (10.154)

여기서

  • RijRjk = δik이고
  • δik 는크로네커 δ 표식이다.

역 행열과 전치 행열이 같다는 것은 [R] 의 성질이다. 공간계와 물체계 사이의 변환은

As = [R] · Ab                                                                                                                     (10.155)

where: 여기서

  • As Ab 는 각각 공간계와 물체계에서의 A 의표현이다.
  • [R] 은 다음을 해석함으로써 계산되며,

  (10.156)

여기서

  (10.157)

x, Ωy 와 Ωz 는 각기 공간계에 대한 물체의 각속도의 x, y그리고 z 성분이다.

기구학에 의하면 강체의 일반운동은 병진 운동과 회전운동으로 나누어질 수있다. 강체상의 한점의 속도는 강체 상의 임의의 한점에서의 속도에 그 점에서의 회전에의한 속도를 더한 값이다. 물체질량 중심을 6자유도를 가지는 물체의 기준점으로 선택하는 것이 편리하다. P 를 물체상의 임의의 점이라고 표식하면, 속도는 질량중심 속도 VG 와 강체의 각속도 ω 에 의해 다음과 같이 주어지며,

VP = VG + ω × rP/G                                                                                                                                                                                                                               (10.158)

여기서 rP/G G 로부터 P. 까지의 거리벡터이다. 식 (10.158) 의 우측 첫항은 질량중심의 병진운동을 나타내고 둘째 항은 질량중심에 대한 회전을 뜻한다. ω 는 이동체의 물성이고 기준점의 선택에 무관하다. 두 별도의 운동을 지배하는 운동방정식은 각각

   (10.159)

    (10.160)

respectively, where:이며, 여기서

  • F 는 전체힘
  • m 은 강체질량
  • TGG 에대한 전체 토크
  • [J] 는 물체계의 관성 모멘트 텐서(“관성텐서”),

(10.161)

요소 J11, J22 J33 들은 관성 모멘트이며, 다른 요소들은 상승모멘트이다.

 (10.161)

  (10.162)

x, yz좌표가 물체의 주축과 일치하면 상승모멘트는 사라진다. 계산을 단순화하기 위해 식(10.159) 와 (10.160) 각기 공간계 및 물체계에서 해석된다. 전체 힘과 전체 토크는 수리력, 중력, 스프링, 비관성 및 제어력과 토크를 포함한다.

물체의 운동이 고정점에 대해 발생하면 이는 3자유도를 갖는다. 물체계를 이 고정점에 위치한 원점으로 지정하는 것이 편리하다. 위에서 기술된 바와 같이 물체계의 좌표 축들은t=0 에서의 공간계의 좌표 축들과  평행하다.  C 가 고정점이고 xC 가 공간계에서의 위치벡터라고 하면 공간계와 물체계 사이의 좌표변환은 xGxC 로 치환하는 식 (10.153) 을 이용하여 실행된다.

강체상의 임의의 점 P 에대해 이 운동은 고정점에 관한 3차원 회전이고 속도는다음과 같으며,

VP = ω × rP/C                                                                                                                      (10.164)

여기서

  • rP/C C 로부터 P. 까지의 거리벡터를 표시하며
  • ωC 에관해 [J] 를 가지는 물체계에서 식 (10.160) 을 해석함으로써 얻어진다.

고정축에 대한 회전은 평면 운동이며 단지 1자유도를 갖는다. 이 경우 회전축은 공간죄표축 중의 하나에 평행하여야 한다. 물체계는 회전축과 일치하는 세축 중의 하나로 지정되며 나머지 두 축은 공간계의 축과 평행하다. 물체계 원점의 세좌표 중 둘은 회전축의 나머지 두좌표와 일치하며 세 째 좌표는 0이다. 예를들면, 회전축이 y 축에평행하고 회전축의 x z 좌표가 각기 x0 z0, 라면 이때 물체계(x, y, z)는 회전축과 일치하는 y축을 가지고 xz는 각기 x z 에 평행하며 물체계 원점은 (x0, 0, z0)으로 지정된다. 회전체의 각속도는 한 0이 아닌 성분을 가지며 식 (10.160) 의 상응하는 성분을 해석함으로써 얻어지거나,

T = ˙                                                                                  (10.165)

여기서 T, J ω˙ 는 전체 토크, 관성모멘트 그리고 물체계의 고정된축에 대한 각 가속도이다. 식(10.164)은 회전축에 대한 임의점을 나타내는 C 를 가지는 강체상의 점 P 의 속도를 계산하는 데 이용된다.

Source Terms in Conservation Equations / 보존방정식내의 소스항들

FAVORTM 방법에 의거한 연속방정식의 일반 형태는

   (10.166)

여기서

  • Sm 는 유체의 실제질량 소스항
  • Vf A 는 각기 체적과 면적 비율

정지하고 있는 물체 문제와는 대조적으로 Vf A 는이동물체 문제에서 시간에 따라 변하므로 유체유동에 대한 이영향이 고려되어야한다. 식(10.166)은 아래 같이 다시 쓰여질 수 있다.

 (10.167)

  (10.168)

정지물체 문제에대한 연속방정식과 비교할 때  는 추가 체적소스항과 같다. 유한체적법 사용시 이 소스항은 단지 이동체 경계의 둘레 망 셀에서만 존재한다. 이 항

  (10.169)

를 이용하여 계산되며,

where: 여기서

  • Vcell 는 한 망 셀의 체적
  • Sobj , n Vobj 는 각기 표면적,단위 법선 벡터 그리고 망 셀 내 존재하는 이동체의 이동속도이다.

이동물체 경계 주변 모든 셀상의 유체질량의 순수 생성은 0에 가까우므로 식 (10.169) 은 좋은 질량보존 성질을 가진다. 이는 또한 시간에 있어서 정확하고 계산하는데 큰 어려움이 없다.

유사한 항들이 에너지와 스칼라 이송 같은 보존형태로 풀어지는다른 양들의 이송방정식에서도 나타난다.

비보존 형태의 모멘텀 방정식이 FLOW-3D 에서 사용된다는 점을 주목한다. 이는 연속방정식을 모멘텀 방정식의 보존형태로부터 차감함으로써 얻어진다. VF 의 시간변화에 의한 항은 서로 상쇄되므로 비보존형태의 모멘텀방정식은 정지물체 문제에서와 같은 형식을 갖는다.

이동체의 0이 아닌 법선속도는 식(10.9)의 유체내 전단응력항의 계산에서 고려된다.

Dynamic Equations for Rigid-Body Collision강체충돌의 동력학방정식

Coulomb’s Law of Friction  Coulomb 마찰법칙

물체 B 가 물체 B’ 와 충돌하고 이들의 접점(또는 충돌점)은 각기 물체 B 상에서는 C 로 그리고 물체 B’상에서는 C’ 이라고 가정한다. 충돌기준계(충돌 시스템)는 접촉점에서 원점을가지며 n1, n2, n3 는 세 좌표축의 단위벡터를 뜻한다. n3는 접촉하는 두 물체의 접점에서의 공통 접선평면에 법선 방향을 따르며 물체 B’ 로부터 물체 B 방향을 가리킨다. ~v 는 점 C’에대한 C에서의 상대속도를 나타내고 p~ 는 물체 B 에대한 충격력이다. 벡터 형태로 그들은 아래와 같다.

  (10.170)

여기서 밑의 색인은 n1, n2, 및 n3 에 상응하는 성분을 나타낸다. 지금 우리는 단순히 하기위해 수직방향 n3 n 으로 수직충격 p3p 로 표시한다. Coulomb 의 마찰법칙은

  (10.171)

  (10.172)

로 쓰여진다.

(10.172) 은 또한 다음과 같이 쓰여진다.

dp1 = −µcosϕ dp, dp2 = −µsinϕdp, if v12 + v22 > 0 (10.173)

여기서 ϕ n에대해 n1으로부터 측정된 미끄러짐 방향의 각도이다.

 

Stronge’s Energetic Coefficient of Restitution. Stronge 의 에너지 반발계수

일반적으로 이해되듯이 충돌과정은 압축과 반발단계로 나누어진다. Stronge 가설은 반발동안의 수직 충격에의한 일을 압축 동안의 일과의 비율로 연결하는 것이다. Stronge 의 에너지 반발계수 e 는 다음과 같이 정의되며,

  (10.174)

여기서

  • W3는 수직충격에 의한 일의양
  • pc 는 충돌시 최대로 압축에 도달할 때의 수직 충격이며
  • pf 는 전체 충돌 충격량이다.

(10.174), 에서 제곱근안의 분자는 반발 동안에 수직 충격에의한 일의 양으로 항상 양이수이며 분모는 압축동안에 하여진 일의양으로 항상 음이다. e 값은 0과 1사이이다. W3는 다음에 의해 계산된다.

  (10.175)

두물체 B B’ 가 질량 M M’를 가지고 이들의 질량중심이 각기 G G’에 있다고 가정한다. 충돌계에서 접점에서의 상대속도는 운동방정식을 만족하며,

  (10.176)

여기서 Einstein 의 합의 관례가 사용된다. 그리고

  (10.177)

여기에서 mB,ij1 mB ,ij1 는 각기 물체 B 와 B’에 대한 항들이다. 이 두물체가 6자유도를 가지면 mB,ij1 와  의 식은

6DOF)   (10.178)

6DOF)   (10.179)

where: 여기서

  • δij 는 크로네커델터
  • εijk 는 순열텐서
  • Jkl−1 와 는 각기 충돌계에서의 두 물체에 대한 질량 중심의 역 관성텐서 요소이다.
  • ri ri는 각기 두 물체의 질량중심에서부터 충돌점까지의 거리벡터 성분들이다.

고정축과 고정점 운동에 대한 mij1 의 식은http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp 의 사용자 위치에 있는 Flow Science Technical Note #76 에서 찾을 수 있다.

 

Dynamic Equations in Terms of Normal Impulse 수직 충격에 관한 동역학식

충돌하는 두 물체가 초기에 접점에서 미끄러질 때 편심 충돌이고 초기 미끄러짐 속도가 충분히 작으면 마찰 때문에 정지할 수도 있다. 그 후에 이들은 접점에서 고착되거나(미끄럼 고착이라고 불리는) 두 물체의 관성물성과 마찰계수에 따라 이들이 분리될 때까지 새 방향으로 즉시 미끄러지기 시작할 것이다(미끄러짐 역전). 정지 발생 전의 미끄러짐은 미끄러짐의 1단계라고 불리며 미끄러짐이 역전될 때는 2단계 미끄러짐이라고 불린다. 마찰이 미끄러짐을 정지시키지 못하거나 충돌에 마찰이 없으면 충돌시에 단지 첫 단계만이 존재한다.

v1 = scosϕ       ,       v2 = ssinϕ                                                               (10.180)

충돌시 두 물체가 미끄러질 때 접선속도 성분들은 다음과 같고,

여기서 s 는 미끄러짐 속도이며,

  (10.181)

ϕ 는 충돌시 변화하는 미끄러짐 방향이다. 식 (10.173) 의Coulomb마찰식을 식(10.176)로 넣으면 미끄러짐 1단계에 대한 수직충격력 p 의 운동 방정식은 다음과 같다.

  (10.182)

  (10.183)

  (10.184)

물체가 완전히 미끄러우면 (µ =0), 식 (10.182) 부터 (10.184) 은 독립적이고 그렇지 않다면 이들은 결합되어 있다.  s ϕ 를 지배하는 방정식은 다음과 같다.

  (10.185)

  (10.186)

 

미끄러짐-고착에서 v1 = v2 = 0이고 dv1/dp = dv2/dp = 0이다. 접선속도 0은 일정빙향 ϕ¯ − π 을 따르는 접선 마찰력에 의해 동반된다.

  (10.187)

n1 n2 방향으로의 접선력의 미분충격 성분은

  (10.188)

를 만족하며
여기서 µ¯ 는 고착계수

  (10.189)

이며,

and µ < µ¯                  . Equations of motion are thus  µ < µ¯이다.  운동방정식은 그러므로 다음과같다.

  (10.190)

 

미끄러짐의 2단계, 또는 미끄러짐 반전에서 운동방정식(10.182) – (10.184) 은 아직 유효하다. 그러나 충돌시 미끄러짐 방향이 바뀌는1단계와는 달리 2단계에서의 미끄러짐은 일정방향 ϕ를 따른다. 이는 ϕ 에대한 식(10.186) 으로부터 h(µ,ϕ) = 0 를 해석함으로써 얻어진다. 다수의 ϕ 해가 있을 수 있다. 미끄러짐 방향은 (10.185)식 에서 정의된 ds/dp = g(µ,ϕ) > 0 를 만족하는 유일한 해를  갖는다.

마찰이 미끄러짐을 정지시키면 마찰계수 µ 와 고착계수 µ¯ 의 비교가 그 후에 미끄러짐이 고착될지 또는 미끄러짐의 역전이 발생할 지를 결정한다. µ < µ¯ 이면 미끄러짐 고착이 발생한다. 그렇지 않으면 미끄러짐 역전은 즉시 발생한다.

충돌 모사에 대한 동역학 방정식과 수치 방법에 대한 상세 내용을 위해 http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp의 사용자 위치 상에 Flow Science Technical Notes #75 and #76 를 참조하라.

 

Mooring Line Model / 계류선 모델

계류선 모델은 기술된 또는 결합된 운동을 하는 이동체가 유연한 계류선을 통해 고정된 닻에 또는 다른 이동 또는 정지된 물체에 연결되는 것을 가능하게 해준다. 다수의 계류선들을 한 모사에서 사용할 수 있으며 이들의 이동체에 연결은 임의적이다. 계류선은 팽팽하거나 느슨할 수 있고 부분적으로 해저/강하상에 놓여 있을 수 있다. 모델은 계류선에 작용하는 중력, 부력, 유체항력 및 인장력을 고려한다. 이 모델은 선과 선과 연결된 이동 물체의 동력학적 상호작용에 대한 완전한3차원 동역학을 수치적으로 계산한다.

이 모델은 계류선이 일정한 직경과 물질분포를 가지는 원통형이라고 가정한다. 그러나 각 선은 각기 고유의 길이, 직경, 질량밀도 그리고 물리적 물성을 가질 수 있다. 모델은 계류운동을 계산하기 위해 유한구간 접근을 이용한다. 하기 그림에서 보이듯이 계류선은 구간중심에 위치한 질량입자들에 의해 표현되는 이산 구간들의 일정 수로 균일하게 나누어진다. 각 구간들의 동역학식은

  (10.191)

여기서

  • mp 는 구간 질량
  • vp 는 구간 질량중심 속도
  • G 는 중력
  • B 는부력
  • T1 T2 는 구간 양끝의 인장력
  • Dn Dt 는 각기 구간 접선과 법선방향의 유체항력이다. 이들은 2차항력법칙을 이용하여 평가된다:
Dn = −CD,nρfAnvr,n |vr| (10.192)
Dt = −CD,tρfAtvr,t |vr| (10.193)

여기서

  • CD,n CD,t 는 각기 구간 접선과 법선방향의 항력계수이다.
  • vr 는 유체유동에 상대적인 구간 질량중심 속도이고,
  • vr,n vr,t 는 각기 구간 접선과 법선방향의 vr 의 성분이며,
  • An At 는 각기 구간 접선과 법선방향의 단면적이다.
  • ρf is fluid density. ρf 는 유체밀도이다.

그림 10.5 계류선의 이산구간과 구간의 질량입자 표현

구간에 적용된 힘은 대략적으로 밑의 그림에 있다. 유체유동 계산의 각 시간단계에서 식(10.191) 은 보조- 시간단계 알고리즘을 이용하여 vp 에대해 외재적으로 적분된다: 시간 단계는 수치적 안정성을 확실히하며 방정식을 적분할 수있도록 보조 시간 단계들로나누어진다. 구간의 질량중심 위치는 보조시간 단계들에 걸쳐vp를 적분함으로써 계산된다.  순간적인 계류선 형태는 갱신된 모든 구간의 질량 중심의 위치에 의해 결정된다.

초기조건에서 계류선은 정적 평형상태에 있다고 가정된다. 이 형태는 평형상태에 빨리 도달할 수 있도록 높은 인위적 항력으로 치환된 Dn Dt 를 가지는 식 (10.191) 의 수치 적분에 의해 계산된다. 계류선 형태의 첫 추정 값은 양 쪽의 두 점을 연결하는 직선이다.

Fig. 10.6: Forces applied on a segment of mooring line

계류선들은 완전히 또는 부분적으로 계산 영역의 외부에 위치하도록 허용된다. 계류선은 영역의 심해에 닻으로 고정되어 있을 때, 수직(세로) 크기에 따라, 선의 하부는 유동 계산이 없는 영역 바닥 하부에 위치할 수 있다. 이 경우 계류선의 하부가 있는 영역하부에는 균일한 유속이 존재한다고 가정되고 이에 상응하는 항력은 균일한 심해유속에 근거하여 계산된다.

계류선들과 선에 의해 묶여진 이동체와의 상호작용은 데이터 교환에 의해 이루어진다: 이동체는 계류선 고착점들의 순간 위치를 제공하고 계류선 모델은 이동체에 작용하는 인장력을 알려준다.

이 모델에는 제약이 있는데 계류선의 굽힘 경직성은 고려하지 않는다. 계류선 망이 모사될 때 자유 절점은 허용되지 않는다.

[FLOW-3D 이론] Fluid-Structure Interaction (FSI) and Thermal Stress Evolution (TSE) Models / 유체-구조 상호작용과 열응력 전개모델

유체-구조 상호작용과 열응력 전개모델

유체 구조 상호작용(FSI) 과 열응력 전개모델(TSE) 은 같은 접근법을 사용한다. 즉, FLOW-3D 내에서 완전히 결합된 고체역학과 유체유동을 해석한다. 전자는 고체 성분내 탄성응력을 해석하나 후자는 응고된 유체 지역 내에서 해석한다.

이 모델에서 사용된 접근법은 FLOW-3D 내의 다른 모델과 다르다. 유체와 열전달 계산에 사용되는 원래 구조화된 유한차분법 망은 이 모델에서는 사용되지 않는다. 대신에 고체와 일치되며 함께 변하는 비구조적인 유한 요소(FE) 격자가 사용된다. 이는 고체역학 방정식을 해석할 때 FE 망을 사용하는 것이 불일치하는 유한차분 격자를 사용하는 것보다 훨씬 정확하고 편하기 때문이다.

표준 FLOW-3D 망이 고체성분(FSI에 대해)이나 고상화된 유체지역(TSE에 대해) 새 유한요소(FE) 망을 생성하는데 이용된다. 대부분의 고체지역에서 표준6면 망은 변경없이 (6면체가 선택되면) 표준 망은 5개의 4면체로 분리되어(4면체가 선택되면) 사용된다. 고체지역의 경계에서 가장 가까운 절점들은 표면 법선 방향을 따라 고체 지역의 표면으로 이동된다.

6면체 선택에서 인접한 절점들은 제거되거나 이웃과 합쳐질 수 있다. 밑의 그림은 단순화된 이 과정의 2차원 예제를 보여준다. 그러므로 FE 망의 생성은 완전히 자동적이고 사용자로부터 추가 정보를 필요로하지 않는다. 경계면으로부터떨어진 요소들은 항상 8 절점을 가진다. 고체표면 가까이의 절점들의 합병 때문에 표면상 요소들은 7, 6, 5 심지어4결점도 가질 수 있다.

Tetrahedron 의 선택에서 생성된 모든 요소들은 4 절점을 가질 것이므로 비록 요소크기가 경계에 인접하여 변할지라도 고체지역 전체를 통해 더 균일한 알고리즘을 가질것이다.

Fluid-Structure Interaction Thermal Stress Evolution in Solidified Fluid Regions 모델 참조 절에서 유한요소격자의 해상도를 어떻게 조절하는 지에대한 논의가있다.

 

Equation of Motion and Stress 운동과 응력 방정식

FSI 와 TSE 모델들은 고체지역(TSE모델을위한 고상화된 유체)과 그리고FSI모델을 위한 고체 성분에 대한 표준 운동방정식을 해석한다:

                                                (10.137)

여기서

  • ρ 는 물질밀도
  • t 는 시간
  • x 는 물질내 점의 좌표
  • σ 는 Cauchy 응력텐서이며
  • b 는 체적력벡터이다.

Cauchy 응력텐서는 물질 내의 응력 상태의 척도이다. 탄성고체에서 열 및 다른 내부 응력뿐만 아니라 물질의 변형에도 관련되어 있다. 변형은 물질이 겪는 물리적 형상변화의 양이며 또한 텐서이다.

이 작업에 사용된 접근법은 작은 점진적 변형에 근거한다. 즉 한 단계에서 다음까지 변형 증분이 계산된다.

                                                  E                                 (10.138)

여기서 E 는 변형 증분이며 아래 첨자 i j 는 데카르트  좌표계 방향(x,y,z) 을 뜻하며 eix, y, z 방향에서의 단위 법선벡터를 가리킨다.  δx 는 변위 벡터를 뜻하며 다음과 같다:

δx = xn+1 xn (10.139)

여기서

  • xn 은 이전 시간 사이클에서의 물질내 임의 점의 위치이며
  • xn+1 은 현 시간 사이클에서의 물질내 같은 점의 위치이다.

현 시간 단계에서의 Cauchy 응력텐서 σn+1는 각 시간단계 증분에 대한 선형Hook 모델로부터 계산된다:

                                                                  .                                                  (10.140)

여기 다시 nn+1 위 첨자들은 전과 현재의 시간 사이클을 나타낸다. K G 는 각각 전단 과 체적탄성계수, tr(E) 는 변형 텐서 E 의 트레이스 라고 불리며 대각 성분합이다. 체적 탄성 계수 K 는 등방성 수축이나 팽창에 대한 물질 저항을 기술하는 사용자 정의 계수이다. 전단 탄성 계수 G 는 전단에 대한 물질의 저항을 뜻한다.

전단 과 체적 탄성계수, K G, 는 사용자가 직접 지정하거나 Young 계수(E)와 Poisson비(ν)를 지정함으로써 얻어질수있다. 이 모델은 4개의 탄성 물성중에 어느 두개가 알려지면 작동한다. 이들의 관계는:

(10.142)

 

Finite Element Method (FEM) / 유한 요소법

식 (10.137) 은 각 시간 단계마다  해석되는 3차원 미분방정식으로구성 되어있는데 여기서 미지수는 xn+1 (σn+1 xn+1와 식 (10.138) 에서 σ 의 이전 시간 단계들의 값으로부터 직접 계산된다.)이다. 유한요소법(FEM)은 식 (10.137)을 해석하기 위해 가중 잔류법을 사용한다. 식 (10.137의 가중 잔류 식은:

  (10.143)

여기서, Ψ 는 가중함수, Ω 는 영역을 표시한다. 식에서 미분 차수를 최소화하기 위해 다음 항등식이 이용된다:

                                                                                                                (10.144)

Eq. (10.144), Eq. (10.143) then becomes:  식(10.144)을이용하여 식 (10.143)는 다음이 된다:

 

  (10.145)

Green 정리로부터 식 (10.145) 의 우측 마지막 항은 표면적분으로 전환된다:

 (10.146)

여기서 n 은 영역 Ω 의 표면 외부로 향하는 법선벡터이다. 은 고체지역 경계면의 미소 부분면적이다. 상첨자 n−1, n, 그리고 n+1 는 각 변수의 시간 단계를 뜻한다. 우측의 마지막 항은 영역의 경계면에서만 0이 아니다. 가중함수 Ψ 는 일련의 기저함수로 이루어져 있는데 이는 이들에 상응하는 절점근처에서만 0이아니고 모든 다른 절점에서는0이다. 그러므로,

  (10.147)

 

Here: 여기서

  •  nnodes 는 망내 존재하는 모든 절점의 수.
  •  x 는 실제 좌표상 위치이며
  • ψi 는 절점번호 i 의 인근에서 정의된 지역 기저함수이다. 기저함수는 연속적이며 이들의 1차 미분은 존재하지만 연속적이 아니다.

요소의 개념은 기저함수 φi에 대한 이해를 도와준다. 한 요소 는 꼭지점들이 절점에 해당하는 영역내의 작은 체적이다. 위의 그림은 표준6면 요소의8 절점을 보여준다. 4면요소는 그림이 유사하나 단지(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) 그리고 (0,0,1)에서의 꼭지점을 가지는4 절점이 있다. 이 절점들에 상응하는 기저함수 ψi 는 이 공간 안에서 모두 0이 아니다. 현재 요소의 일부가 아닌 절점에 대한 기저함수들은 모두 0이다.

그러므로 식 (10.147)를 고려하여 식 (10.146) 이 다시 쓰여질 때 결과:

 

는 일련의 항들인데 이중에 일부만이 한 특정 요소 내에서0이 아니다. 이때에 식 (10.148) 이 요소 하나 하나에 대해 조립된다. 식 (10.148) 에서 ψk 는 절점 k 에 의해 공유되는 요소 내에서만 0이 아니므로 식 (10.148) 은 사실상 각 절점에 대해 하나씩인 일련의 n절점 수 방정식들의 집합이다. 더구나 3개의 직교방향이 있으므로 전체 3×n 절점 스칼라방정식이 존재한다.

개별적 기저 함수들, ψk, 은 각 요소에 대해 반복된다. 각 요소 내에서 이 기저함수들은 요소의 향배에 상관없이 각 요소(ξ,η,ζ)의 계산좌표를 이용하여 계산된다.  6면요소에 대해 이들은:

  (10.149)

4면요소에대해 이들은:

  (10.150)

 

X   (10.151)

 

여기서 아래 첨자는 지역(즉, 요소-단계) 절점을 뜻한다. 각 기저함수는 이의 지역 절점에서는1이고 모든 다른 절점에서는0이라는 것에 주목한다. 기저함수는 가중 잔류방정식을 위한 가중함수로 뿐만 아니라 위치와  변위를 나타내는데 이용된다:

여기서:

  • 실제영역내의 점의이며 위치이고,
  • xk 는 각 전체 절점k에 저장된 위치의 값이며,
  • φk 는 절점k에서의 기저함수이다.

비록 식 (10.151)은 영역 내 한점에 대해 일반적 형태로 쓰여졌지만 지역요소 내의 절점들만 고려하는 개별 요소내에서도 사용될 수있다. 이는 이 요소 외부의 모든 절점에서의 φk 값이 0으로 정의 되었기 때문이다.

식 (10.151)을 이용하여 식 (10.148)는 3×nnodes 미지수를 가지는 일련의 3×nnodes 스칼라 방정식으로 쓰여질 수 있다: 각 절점에서 위치 xk 의 3좌표. 적분은 수치적으로 Gaussian 구적법을 이용하여 해석되고 이로 인한 선형방정식 시스템은 반복적으로 유체에서의 결합된 모멘텀과 연속방정식을 해석하는데 이용된 솔버와 유사한 일반 최소잔류(GMRES) 솔버를 이용하여 해석된다.

 

Boundary Conditions on Solid Regions / 고체지역 상의 경계조건

유체-구조 상호작용과 응력전개모델은 자동적으로 고체요소의 각 면에서의 경계조건을 결정한다.

이러한 면들이 유체지역과 접촉하면 지역 유체압력이 식 (10.148) 의 견인 성분 (n · σn+1) 을 결정한다. 그러므로,

                                                                                          n · σn+1 = −npfluid                                                                                                               (10.152)

음의 표시는 고체 응력의 관례에서 압축이 음으로 나타나므로 존재한다.

경계면이(유체) 영역경계와 인접할 때 경계형태는고체에 적용되는 조건을 결정한다. 벽경계에 인접하면 고체지역은 고정된다; 즉, 절점은 경계에 고정되어 움직일 수 없다. 대칭경계에서 절점은 경계를 따라 자유로이 미끄러질 수는 있으나 침투하거나 떨어질 수는 없다. 다른경계에서는 인접한 경계 셀 에서의 압력이 식(10.152)에 따라 견인 성분을 계산하는 데 이용된다.

FSI 요소는 디폴트 결합(결합없음) 이 선택될 때 한 FSI 요소가 다른 요소(표준 또는 FSI) 와 접촉하는 모든 곳에서 경계면은 항상 고정되어 있다고 가정된다; 즉, 경계면상의 절점은 모사 동안에 움직이지 않는다.

두 인접한 요소사이에 부분 결합이 선택되면 접촉하고있는 이 두 요소 사이 경계를 통해 응력의 전달이 있다. 수직 압축응력은 완전히 전달 되지만 수직 인장응력은 아니며(즉 부분적으로  결합된 요소들은 자유로이 분리될 수 있다) 사용자가 지정한 마찰계수에 따라 접선방향의 힘만 부분적으로 전달된다.

두 인접 요소사이에 완전 결합이 선택되면 두 요소의 망은 이들이 접하고 있는 곳에서 실제로 융합되어 항상 두 요소 사이에 응력의 완전한 전달이 이루어진다.

고상화된 유체지역이 다른 요소(표준 또는 FSI)와 접촉하고 있으면 이 지역은 자유로이 떨어져서 틈을 형성할 수 있다. 틈새의 가스의 열전달 물성이 제공되면(가스 전도도및/또는 복사율), 열전달 계수가 자동적으로 틈에서 계산된다(더 넓은 틈은 열전달을 감소시킬 것이다). 인근 요소(FSI 또는 비-FSI)가 구속으로 지정되고 고상화 유체 지역이 한 요소로 밀리면 요소에의 간섭을 방지하기 위해 제지력이 이 지역에 적용된다. 그렇지않고 요소가 비구속 요소이면 이때는 단지 최소의 힘이 고상화지역의 위치를  유지하기 위해 적용된다. 이는 모래사형의 열응력 발달을 모사하는데유용하다.

추가로 고상화 유체 지역이 인접 FSI 요소와 접촉할 때 이 둘 사이의 결합은 두 FSI 요소의 결합과 마찬가지로 될 수 있다. 이 경우 TSE 지역과 FSI 요소 사이의 경계를 통해 부분적인 응력의 전달이 있다: 수직압축 응력은 전달되나(간섭이 발생할 수 없다) 수직인장 응력은 아니고 지정된 마찰계수에 따라 접선방향의 응력은 부분적으로 전달된다.